फलनिक समीकरण: Difference between revisions

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गणित में, फलनिक समीकरण ^[1]^[2]^{[irrelevant citation]} व्यापक अर्थ में, एक समीकरण है जिसमें एक या अनेक फलन अज्ञात (गणित) के रूप में होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलनिक समीकरण हैं। यद्यपि अधिकतर प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग किया जाता है, जहाँ फलनिक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फलन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन अनिवार्य रूप से लघुगणक फलनिक समीकरण $\log(xy)=\log(x)+\log(y).$ द्वारा चित्रित किया जाता है।

यदि अज्ञात फलन का डोमेन प्राकृतिक संख्या माना जाता है, तो फलन को सामान्यतः अनुक्रम (गणित) के रूप में देखा जाता है तथा इस स्थिति में, फलनिक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को पुनरावृत्ति संबंध कहा जाता है। इस प्रकार फलनिक समीकरण पद का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक फलन और सम्मिश्र फलन के लिए किया जाता है । इसके अलावा समाधानों के लिए प्रायः सहजता की स्थिति स्वीकृत की जाती है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना अधिकांश फलनिक समीकरणों में अधिक अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक फलन है जो फलनिक समीकरण $f(x+1)=xf(x)$ और प्रारंभिक मान $f(1)=1.$ को संतुष्ट करता है। ऐसे कई फलन हैं जो इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन गामा फलन अद्वितीय है जो संपूर्ण सम्मिश्र समतल में मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, और $x$ वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय) के लिए लघुगणकीय रूप से उत्तल है।

उदाहरण

पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के फलनों में फलनिक समीकरण समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है जिसमें पदों के सूचकांकों के मध्य अंतर को शिफ्ट ऑपरेटर के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध जहाँ $F_{0}=0$ तथा $F_{1}=1$ है।
$f(x+P)=f(x)$ , जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

$f(x)=f(-x)$ , जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से $f(x)=-f(-x)$ जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

$f(f(x))=g(x)$ , जो फलन g के फलनात्मक वर्गमूल की विशेषता प्रदर्शित करता है।

$f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!$ (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए हेमल आधार से सिद्ध किया जा सकता है।
$f(x+y)=f(x)f(y),\,\!$ सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
$f(xy)=f(x)+f(y)\,\!$ , सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
$f(xy)=f(x)f(y)\,\!$ , सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
$f ($

[1]

[2]

@@ Line 41: / Line 41: @@
 \begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, {{mvar|f}}  को क्रम {{mvar|k}} का एक [[मॉड्यूलर रूप]] परिभाषित करता है।
-एक विशेषता जो ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरणों{{clarify|reason=Which examples does this refer to?|date=March 2022}} में समान रूप से साझा की गई है, वह यह है कि, प्रत्येक स्थिति में, दो या दो से अधिक ज्ञात फलन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चरों का योग, कभी-कभी तत्समक फलन) अज्ञात फलनों के तर्क के आंतरिक भाग में होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।{{citation needed|date=March 2022}}
+एक विशेषता जो ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरणों{{clarify|reason=Which examples does this refer to?|date=March 2022}} में समान रूप से साझा की गई है, वह यह है कि प्रत्येक स्थिति में, दो या दो से अधिक ज्ञात फलन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चरों का योग, कभी-कभी तत्समक फलन) अज्ञात फलनों के तर्क के अंतर्गत होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।{{citation needed|date=March 2022}}
-जब सभी समाधान पूछने की बात आती है, तो हो सकता है कि [[गणितीय विश्लेषण]] की शर्तों को लागू किया जाए; उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित कॉची समीकरण के मामले में, जो समाधान [[निरंतर कार्य]] हैं वे 'उचित' हैं, जबकि अन्य समाधान जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है, का निर्माण किया जा सकता है ([[वास्तविक संख्या]]ओं के लिए हैमल आधार का उपयोग करके) [[परिमेय संख्या]]ओं पर सदिश स्थान के रूप में)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।
+जब सभी समाधानों की मांग की बात होती है तो ऐसा हो सकता है कि [[गणितीय विश्लेषण]] गणितीय विश्लेषण के नियमों को लागू किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए ऊपर उल्लिखित कॉची समीकरण की स्थिति में जो समाधान [[निरंतर कार्य]] हैं हैं वे 'उचित' हैं जबकि अन्य समाधान जिनका व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है उनका निर्माण किया जा सकता है (परिमेय संख्याओं पर सदिश समष्टि के रूप में वास्तविक संख्याओं के लिए हैमेल आधार का उपयोग करके)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।
-=== अंतर्वलन ===
+=== प्रत्यावर्तन ===
-[[इनवोल्यूशन (गणित)|अंतर्वलन (गणित)]] को फलनिक समीकरण<math>f(f(x)) = x</math> द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के फलनिक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/2007270| jstor = 2007270| title = बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर| journal = The Annals of Mathematics| volume = 17| issue = 3| pages = 113–122| year = 1916| last1 = Ritt | first1 = J. F.}}</ref>
+[[इनवोल्यूशन (गणित)|प्रत्यावर्तन (गणित)]] को फलनिक समीकरण<math>f(f(x)) = x</math> द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के फलनिक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/2007270| jstor = 2007270| title = बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर| journal = The Annals of Mathematics| volume = 17| issue = 3| pages = 113–122| year = 1916| last1 = Ritt | first1 = J. F.}}</ref>
 : <math>f(f(x)) = 1-(1-x) = x \, .</math>
-समीकरण के अन्य अंतर्वलन और समाधान सम्मिलित हैं
+समीकरण के अन्य प्रत्यावर्तन और समाधान सम्मिलित हैं
 *<math> f(x) = a-x\, ,</math>
@@ Line 59: / Line 59: @@
 प्रारंभिक फलनिक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।{{citation needed|date=March 2022}}
-फलनिक समीकरणों के कुछ समाधानों ने '''प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण,''' विचित्रता और समता का उपयोग किया है।{{citation needed|date=March 2022}}
+फलनिक समीकरणों के कुछ समाधानों ने प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण, विचित्रता और समता का उपयोग किया है।{{citation needed|date=March 2022}}
 कुछ फलनिक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा [[ansatz|एन्सैटेज़]] के प्रयोग से हल किया गया है।{{citation needed|date=March 2022}}

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