माध्य मुक्त पथ: Difference between revisions

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{{short description|Average distance travelled by a moving particle between impacts with other particles}}
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[[भौतिक विज्ञान]] में, माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान [[कण]] (जैसे कि एक परमाणु, एक [[अणु]], या एक फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या, एक विशिष्ट संदर्भ में, अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है, सामान्यतः अन्य कणों के साथ एक या एक से अधिक लगातार [[टक्कर]]ों का परिणाम।
[[भौतिक विज्ञान]] में, माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान [[कण]] (जैसे कि परमाणु, [[अणु]], या फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या, विशिष्ट संदर्भ में, अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है, सामान्यतः अन्य कणों के साथ या से अधिक लगातार [[टक्कर]]ों का परिणाम।


== बिखराव सिद्धांत ==
== बिखराव सिद्धांत ==
<!-- also, inconsistent notation re probability density or CDF. -->
 
[[File:Mean free path.png|frame|लक्ष्य का स्लैब]]एक लक्ष्य के माध्यम से गोली मारने वाले कणों की एक किरण की कल्पना करें, और लक्ष्य के एक अत्यंत पतले स्लैब पर विचार करें (चित्र देखें)।<ref>{{cite book |last1=Chen |first1=Frank F.|title=प्लाज्मा भौतिकी और नियंत्रित संलयन का परिचय|date=1984 |publisher=Plenum Press |isbn=0-306-41332-9 |page=156 |edition=1st}}</ref> बीम कण को ​​​​रोकने वाले परमाणु (या कण) लाल रंग में दिखाए जाते हैं। माध्य मुक्त पथ का परिमाण तंत्र की विशेषताओं पर निर्भर करता है। यह मानते हुए कि सभी लक्ष्य कण आराम पर हैं, किन्तु केवल बीम कण ही ​​गतिमान है, जो माध्य मुक्त पथ के लिए एक अभिव्यक्ति देता है:
[[File:Mean free path.png|frame|लक्ष्य का स्लैब]]एक लक्ष्य के माध्यम से गोली मारने वाले कणों की किरण की कल्पना करें, और लक्ष्य के अत्यंत पतले स्लैब पर विचार करें (चित्र देखें)।<ref>{{cite book |last1=Chen |first1=Frank F.|title=प्लाज्मा भौतिकी और नियंत्रित संलयन का परिचय|date=1984 |publisher=Plenum Press |isbn=0-306-41332-9 |page=156 |edition=1st}}</ref> बीम कण को ​​​​रोकने वाले परमाणु (या कण) लाल रंग में दिखाए जाते हैं। माध्य मुक्त पथ का परिमाण तंत्र की विशेषताओं पर निर्भर करता है। यह मानते हुए कि सभी लक्ष्य कण आराम पर हैं, किन्तु केवल बीम कण ही ​​गतिमान है, जो माध्य मुक्त पथ के लिए अभिव्यक्ति देता है:


:<math>\ell = (\sigma n)^{-1},</math>
:<math>\ell = (\sigma n)^{-1},</math>
कहाँ {{mvar|ℓ}} माध्य मुक्त पथ है, {{mvar|n}} प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और {{mvar|&sigma;}} टक्कर के लिए प्रभावी [[क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)]] | क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है।
कहाँ {{mvar|ℓ}} माध्य मुक्त पथ है, {{mvar|n}} प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और {{mvar|&sigma;}} टक्कर के लिए प्रभावी [[क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)]] | क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है।


स्लैब का क्षेत्रफल है {{math|''L''<sup>2</sup>}}, और इसकी मात्रा है {{math|''L''<sup>2</sup> ''dx''}}. स्लैब में परमाणुओं को रोकने की विशिष्ट संख्या एकाग्रता है {{mvar|n}} गुना मात्रा, अर्थात , {{math|''n L''<sup>2</sup> ''dx''}}. संभावना है कि उस स्लैब में एक बीम कण बंद हो जाएगा, स्लैब के कुल क्षेत्र से विभाजित परमाणुओं के शुद्ध क्षेत्र का शुद्ध क्षेत्र है:
स्लैब का क्षेत्रफल है {{math|''L''<sup>2</sup>}}, और इसकी मात्रा है {{math|''L''<sup>2</sup> ''dx''}}. स्लैब में परमाणुओं को रोकने की विशिष्ट संख्या एकाग्रता है {{mvar|n}} गुना मात्रा, अर्थात , {{math|''n L''<sup>2</sup> ''dx''}}. संभावना है कि उस स्लैब में बीम कण बंद हो जाएगा, स्लैब के कुल क्षेत्र से विभाजित परमाणुओं के शुद्ध क्षेत्र का शुद्ध क्षेत्र है:


:<math>\mathcal{P}(\text{stopping within }dx) = \frac{\text{Area}_\text{atoms}}{\text{Area}_\text{slab}} = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,</math>
:<math>\mathcal{P}(\text{stopping within }dx) = \frac{\text{Area}_\text{atoms}}{\text{Area}_\text{slab}} = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,</math>
कहाँ {{mvar|&sigma;}} एक परमाणु का क्षेत्र (या, अधिक औपचारिक रूप से, [[बिखरने वाला क्रॉस-सेक्शन]]) है।
कहाँ {{mvar|&sigma;}} परमाणु का क्षेत्र (या, अधिक औपचारिक रूप से, [[बिखरने वाला क्रॉस-सेक्शन]]) है।


बीम की तीव्रता में गिरावट आने वाली बीम की तीव्रता के बराबर होती है, जिसे स्लैब के अंदर कण के रुकने की संभावना से गुणा किया जाता है:
बीम की तीव्रता में गिरावट आने वाली बीम की तीव्रता के बराबर होती है, जिसे स्लैब के अंदर कण के रुकने की संभावना से गुणा किया जाता है:


:<math>dI = -I n \sigma \,dx.</math>
:<math>dI = -I n \sigma \,dx.</math>
यह एक [[साधारण अंतर समीकरण]] है:
यह [[साधारण अंतर समीकरण]] है:


:<math>\frac{dI}{dx} = -I n \sigma \overset{\text{def}}{=} -\frac{I}{\ell},</math>
:<math>\frac{dI}{dx} = -I n \sigma \overset{\text{def}}{=} -\frac{I}{\ell},</math>
जिसका समाधान बीयर-लैंबर्ट नियम के रूप में जाना जाता है और इसका रूप है <math>I = I_{0} e^{-x/\ell}</math>, कहाँ {{mvar|x}} लक्ष्य के माध्यम से बीम द्वारा तय की गई दूरी है, और {{math|''I''<sub>0</sub>}} लक्ष्य में प्रवेश करने से पहले बीम की तीव्रता है; {{mvar|ℓ}} को औसत मुक्त पथ कहा जाता है क्योंकि यह रुकने से पहले बीम कण द्वारा तय की गई औसत दूरी के बराबर होता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि एक कण के बीच अवशोषित होने की संभावना {{mvar|x}} और {{math|''x'' + ''dx''}} द्वारा दिया गया है
जिसका समाधान बीयर-लैंबर्ट नियम के रूप में जाना जाता है और इसका रूप है <math>I = I_{0} e^{-x/\ell}</math>, कहाँ {{mvar|x}} लक्ष्य के माध्यम से बीम द्वारा तय की गई दूरी है, और {{math|''I''<sub>0</sub>}} लक्ष्य में प्रवेश करने से पहले बीम की तीव्रता है; {{mvar|ℓ}} को औसत मुक्त पथ कहा जाता है क्योंकि यह रुकने से पहले बीम कण द्वारा तय की गई औसत दूरी के बराबर होता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि कण के बीच अवशोषित होने की संभावना {{mvar|x}} और {{math|''x'' + ''dx''}} द्वारा दिया गया है


:<math>d\mathcal{P}(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.</math>
:<math>d\mathcal{P}(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\ell} e^{-x/\ell} dx.</math>
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==[[गैसों का गतिज सिद्धांत]]==
==[[गैसों का गतिज सिद्धांत]]==
गैसों के गतिज सिद्धांत में, एक कण का औसत मुक्त पथ, जैसे अणु, वह औसत दूरी है जो कण अन्य गतिशील कणों के साथ टकराव के बीच यात्रा करता है। ऊपर की व्युत्पत्ति लक्ष्य कणों को आराम पर मानती है; इसलिए, वास्तव में, सूत्र <math>\ell = (n\sigma)^{-1}</math> एक बीम कण के लिए एक उच्च गति के साथ रखता है <math>v</math> यादृच्छिक स्थानों के साथ समान कणों के समूह के वेग के सापेक्ष। उस स्थिति में, लक्षित कणों की गति तुलनात्मक रूप से नगण्य होती है, इसलिए सापेक्ष वेग <math>v_{\rm rel} \approx v</math>.
गैसों के गतिज सिद्धांत में, कण का औसत मुक्त पथ, जैसे अणु, वह औसत दूरी है जो कण अन्य गतिशील कणों के साथ टकराव के बीच यात्रा करता है। ऊपर की व्युत्पत्ति लक्ष्य कणों को आराम पर मानती है; इसलिए, वास्तव में, सूत्र <math>\ell = (n\sigma)^{-1}</math> बीम कण के लिए उच्च गति के साथ रखता है <math>v</math> यादृच्छिक स्थानों के साथ समान कणों के समूह के वेग के सापेक्ष। उस स्थिति में, लक्षित कणों की गति तुलनात्मक रूप से नगण्य होती है, इसलिए सापेक्ष वेग <math>v_{\rm rel} \approx v</math>.


यदि, दूसरी ओर, बीम कण समान कणों के साथ स्थापित संतुलन का हिस्सा है, तो सापेक्ष वेग का वर्ग है:
यदि, दूसरी ओर, बीम कण समान कणों के साथ स्थापित संतुलन का हिस्सा है, तो सापेक्ष वेग का वर्ग है:
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जहां के{{sub|B}} [[बोल्ट्जमैन स्थिरांक]] है, <math>p</math> गैस का दबाव है और <math>T</math> परम तापमान है।
जहां के{{sub|B}} [[बोल्ट्जमैन स्थिरांक]] है, <math>p</math> गैस का दबाव है और <math>T</math> परम तापमान है।


व्यवहार में, गैस के अणुओं का व्यास ठीक से परिभाषित नहीं है। वास्तव में, एक अणु के गतिज व्यास को माध्य मुक्त पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है। सामान्यतः , गैस के अणु कठोर गोले की तरह व्यवहार नहीं करते हैं, बल्कि बड़ी दूरी पर एक दूसरे को आकर्षित करते हैं और कम दूरी पर एक दूसरे को पीछे हटाते हैं, जैसा कि [[लेनार्ड-जोन्स क्षमता]] के साथ वर्णित किया जा सकता है। ऐसे नरम अणुओं से निपटने का एक विधि/प्रणाली व्यास के रूप में लेनार्ड-जोन्स σ पैरामीटर का उपयोग करना है।
व्यवहार में, गैस के अणुओं का व्यास ठीक से परिभाषित नहीं है। वास्तव में, अणु के गतिज व्यास को माध्य मुक्त पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है। सामान्यतः , गैस के अणु कठोर गोले की तरह व्यवहार नहीं करते हैं, बल्कि बड़ी दूरी पर दूसरे को आकर्षित करते हैं और कम दूरी पर दूसरे को पीछे हटाते हैं, जैसा कि [[लेनार्ड-जोन्स क्षमता]] के साथ वर्णित किया जा सकता है। ऐसे नरम अणुओं से निपटने का विधि/प्रणाली व्यास के रूप में लेनार्ड-जोन्स σ पैरामीटर का उपयोग करना है।


एक अन्य विधि/प्रणाली यह है कि एक कठोर गोले वाली गैस की कल्पना की जाए जिसमें वास्तविक गैस के समान गतिशील चिपचिपाहट हो। यह एक औसत मुक्त मार्ग की ओर जाता है <ref>{{cite book|title=भौतिक गैस गतिकी का परिचय|year=1965|publisher=Krieger Publishing Company|author=Vincenti, W. G. and Kruger, C. H.|page=414}}</ref>
एक अन्य विधि/प्रणाली यह है कि कठोर गोले वाली गैस की कल्पना की जाए जिसमें वास्तविक गैस के समान गतिशील चिपचिपाहट हो। यह औसत मुक्त मार्ग की ओर जाता है <ref>{{cite book|title=भौतिक गैस गतिकी का परिचय|year=1965|publisher=Krieger Publishing Company|author=Vincenti, W. G. and Kruger, C. H.|page=414}}</ref>
:<math>\ell = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B}T}}=\frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi k_\text{B}T}{2 m}},</math>
:<math>\ell = \frac{\mu}{\rho} \sqrt{\frac{\pi m}{2 k_\text{B}T}}=\frac{\mu}{p} \sqrt{\frac{\pi k_\text{B}T}{2 m}},</math>
कहाँ <math>m </math> आणविक द्रव्यमान है, <math>\rho= m p/(k_\text{B}T)</math> आदर्श गैस का घनत्व है, और μ गतिशील चिपचिपापन है। इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित सुविधाजनक रूप में रखा जा सकता है
कहाँ <math>m </math> आणविक द्रव्यमान है, <math>\rho= m p/(k_\text{B}T)</math> आदर्श गैस का घनत्व है, और μ गतिशील चिपचिपापन है। इस अभिव्यक्ति को निम्नलिखित सुविधाजनक रूप में रखा जा सकता है
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=== रेडियोग्राफी ===
=== रेडियोग्राफी ===
[[File:Photon Mean Free Path.png|thumb|right|400px|परमाणु क्रमांक = 1 से 100 वाले तत्वों के लिए 1 keV से 20 MeV तक ऊर्जा रेंज में फोटॉनों के लिए माध्य मुक्त पथ।<ref>Based on data from {{cite web|url=http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayNoteB.html |title=NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases |publisher=Physics.nist.gov |date=1998-03-10 |access-date=2011-11-08}}</ref> विघटन गैस तत्वों के कम घनत्व के कारण हैं। छह बैंड छह डब्ल्यू: नोबल गैस के पड़ोस के अनुरूप हैं। यह भी दिखाया गया है कि अवशोषण किनारों के स्थान हैं।]]गामा-रे [[ रेडियोग्राफ़ |रेडियोग्राफ़]] में मोनो-ऊर्जावान फोटॉनों के एक [[पेंसिल बीम]] का औसत मुक्त पथ वह औसत दूरी है जो एक फोटॉन लक्ष्य सामग्री के परमाणुओं के साथ टकराव के बीच यात्रा करता है। यह सामग्री और फोटॉन की ऊर्जा पर निर्भर करता है:
[[File:Photon Mean Free Path.png|thumb|right|400px|परमाणु क्रमांक = 1 से 100 वाले तत्वों के लिए 1 keV से 20 MeV तक ऊर्जा रेंज में फोटॉनों के लिए माध्य मुक्त पथ।<ref>Based on data from {{cite web|url=http://physics.nist.gov/PhysRefData/XrayNoteB.html |title=NIST: Note - X-Ray Form Factor and Attenuation Databases |publisher=Physics.nist.gov |date=1998-03-10 |access-date=2011-11-08}}</ref> विघटन गैस तत्वों के कम घनत्व के कारण हैं। छह बैंड छह डब्ल्यू: नोबल गैस के पड़ोस के अनुरूप हैं। यह भी दिखाया गया है कि अवशोषण किनारों के स्थान हैं।]]गामा-रे [[ रेडियोग्राफ़ |रेडियोग्राफ़]] में मोनो-ऊर्जावान फोटॉनों के [[पेंसिल बीम]] का औसत मुक्त पथ वह औसत दूरी है जो फोटॉन लक्ष्य सामग्री के परमाणुओं के साथ टकराव के बीच यात्रा करता है। यह सामग्री और फोटॉन की ऊर्जा पर निर्भर करता है:


:<math>\ell = \mu^{-1} = ( (\mu/\rho) \rho)^{-1},</math>
:<math>\ell = \mu^{-1} = ( (\mu/\rho) \rho)^{-1},</math>
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[[एक्स-रे]] रेडियोग्राफी में औसत मुक्त पथ की गणना अधिक जटिल होती है, क्योंकि फोटॉन मोनो-ऊर्जावान नहीं होते हैं, किन्तु ऊर्जा का कुछ आवृत्ति वितरण होता है जिसे [[स्पेक्ट्रम]] कहा जाता है। चूंकि फोटॉन लक्षित सामग्री के माध्यम से आगे बढ़ते हैं, वे अपनी ऊर्जा के आधार पर संभावनाओं के साथ क्षीणन होते हैं, परिणामस्वरूप उनके वितरण में प्रक्रिया में परिवर्तन होता है जिसे स्पेक्ट्रम सख्त कहा जाता है। स्पेक्ट्रम सख्त होने के कारण, एक्स-रे स्पेक्ट्रम का माध्य मुक्त पथ दूरी के साथ बदलता है।
[[एक्स-रे]] रेडियोग्राफी में औसत मुक्त पथ की गणना अधिक जटिल होती है, क्योंकि फोटॉन मोनो-ऊर्जावान नहीं होते हैं, किन्तु ऊर्जा का कुछ आवृत्ति वितरण होता है जिसे [[स्पेक्ट्रम]] कहा जाता है। चूंकि फोटॉन लक्षित सामग्री के माध्यम से आगे बढ़ते हैं, वे अपनी ऊर्जा के आधार पर संभावनाओं के साथ क्षीणन होते हैं, परिणामस्वरूप उनके वितरण में प्रक्रिया में परिवर्तन होता है जिसे स्पेक्ट्रम सख्त कहा जाता है। स्पेक्ट्रम सख्त होने के कारण, एक्स-रे स्पेक्ट्रम का माध्य मुक्त पथ दूरी के साथ बदलता है।


कभी-कभी कोई सामग्री की मोटाई को औसत मुक्त पथों की संख्या में मापता है। एक माध्य मुक्त पथ की मोटाई वाली सामग्री 37% (1/e (गणितीय स्थिरांक)) फोटॉन तक क्षीण हो जाएगी। यह अवधारणा अर्ध-मूल्य परत (एचवीएल) से निकटता से संबंधित है: एक एचवीएल की मोटाई वाली सामग्री 50% फोटॉन को क्षीण कर देगी। एक मानक एक्स-रे छवि एक संचरण छवि है, इसकी तीव्रता के नकारात्मक लघुगणक वाली छवि को कभी-कभी कई माध्य मुक्त पथ छवि कहा जाता है।
कभी-कभी कोई सामग्री की मोटाई को औसत मुक्त पथों की संख्या में मापता है। माध्य मुक्त पथ की मोटाई वाली सामग्री 37% (1/e (गणितीय स्थिरांक)) फोटॉन तक क्षीण हो जाएगी। यह अवधारणा अर्ध-मूल्य परत (एचवीएल) से निकटता से संबंधित है: एचवीएल की मोटाई वाली सामग्री 50% फोटॉन को क्षीण कर देगी। मानक एक्स-रे छवि संचरण छवि है, इसकी तीव्रता के नकारात्मक लघुगणक वाली छवि को कभी-कभी कई माध्य मुक्त पथ छवि कहा जाता है।


=== इलेक्ट्रॉनिक्स ===
=== इलेक्ट्रॉनिक्स ===
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=== ध्वनिकी ===
=== ध्वनिकी ===
अन्यथा खाली गुहा में, दीवारों से उछलते हुए एक कण का औसत मुक्त मार्ग है:
अन्यथा खाली गुहा में, दीवारों से उछलते हुए कण का औसत मुक्त मार्ग है:


:<math>\ell = \frac{F V}{S},</math>
:<math>\ell = \frac{F V}{S},</math>
जहाँ V गुहा का आयतन है, S गुहा का कुल आंतरिक सतह क्षेत्र है, और F गुहा के आकार से संबंधित एक स्थिरांक है। अधिकांश सरल गुहा आकृतियों के लिए, F लगभग 4 है।<ref name="YoungRW">{{cite journal|last1=Young|first1=Robert W.|title=सबाइन पुनर्संयोजन समीकरण और ध्वनि शक्ति गणना|journal=The Journal of the Acoustical Society of America|date=July 1959|volume=31|issue=7|page=918|doi=10.1121/1.1907816|bibcode=1959ASAJ...31..912Y}}</ref>
जहाँ V गुहा का आयतन है, S गुहा का कुल आंतरिक सतह क्षेत्र है, और F गुहा के आकार से संबंधित स्थिरांक है। अधिकांश सरल गुहा आकृतियों के लिए, F लगभग 4 है।<ref name="YoungRW">{{cite journal|last1=Young|first1=Robert W.|title=सबाइन पुनर्संयोजन समीकरण और ध्वनि शक्ति गणना|journal=The Journal of the Acoustical Society of America|date=July 1959|volume=31|issue=7|page=918|doi=10.1121/1.1907816|bibcode=1959ASAJ...31..912Y}}</ref>
ध्वनि प्रसार के एक ज्यामितीय सन्निकटन का उपयोग करते हुए, ध्वनिक में पुनर्संयोजन की व्युत्पत्ति में इस संबंध का उपयोग किया जाता है।<ref>Davis, D. and Patronis, E. [https://books.google.com/books?id=9mAUp5IC5AMC&pg=PA173 "Sound System Engineering"] (1997) Focal Press, {{ISBN|0-240-80305-1}} p. 173.</ref>
ध्वनि प्रसार के ज्यामितीय सन्निकटन का उपयोग करते हुए, ध्वनिक में पुनर्संयोजन की व्युत्पत्ति में इस संबंध का उपयोग किया जाता है।<ref>Davis, D. and Patronis, E. [https://books.google.com/books?id=9mAUp5IC5AMC&pg=PA173 "Sound System Engineering"] (1997) Focal Press, {{ISBN|0-240-80305-1}} p. 173.</ref>




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==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
*[http://web.ics.purdue.edu/~alexeenk/GDT/index.html Gas Dynamics Toolbox]: Calculate mean free path for mixtures of gases using VHS model
*[http://web.ics.purdue.edu/~alexeenk/GDT/index.html Gas Dynamics Toolbox]: Calculate mean free path for mixtures of gases using VHS model
{{Authority control}}


{{DEFAULTSORT:Mean Free Path}}[[Category: सांख्यिकीय यांत्रिकी]] [[Category: बिखराव, अवशोषण और विकिरण स्थानांतरण (प्रकाशिकी)]]  
{{DEFAULTSORT:Mean Free Path}}[[Category: सांख्यिकीय यांत्रिकी]] [[Category: बिखराव, अवशोषण और विकिरण स्थानांतरण (प्रकाशिकी)]]  

Revision as of 19:09, 22 June 2023

भौतिक विज्ञान में, माध्य मुक्त पथ वह औसत दूरी है जिस पर गतिमान कण (जैसे कि परमाणु, अणु, या फोटॉन) अपनी दिशा या ऊर्जा (या, विशिष्ट संदर्भ में, अन्य गुणों में) को बदलने से पहले यात्रा करता है, सामान्यतः अन्य कणों के साथ या से अधिक लगातार टक्करों का परिणाम।

बिखराव सिद्धांत

लक्ष्य का स्लैब

एक लक्ष्य के माध्यम से गोली मारने वाले कणों की किरण की कल्पना करें, और लक्ष्य के अत्यंत पतले स्लैब पर विचार करें (चित्र देखें)।[1] बीम कण को ​​​​रोकने वाले परमाणु (या कण) लाल रंग में दिखाए जाते हैं। माध्य मुक्त पथ का परिमाण तंत्र की विशेषताओं पर निर्भर करता है। यह मानते हुए कि सभी लक्ष्य कण आराम पर हैं, किन्तु केवल बीम कण ही ​​गतिमान है, जो माध्य मुक्त पथ के लिए अभिव्यक्ति देता है:

कहाँ ℓ माध्य मुक्त पथ है, n प्रति इकाई आयतन लक्ष्य कणों की संख्या है, और σ टक्कर के लिए प्रभावी क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) | क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है।

स्लैब का क्षेत्रफल है L2, और इसकी मात्रा है L2 dx. स्लैब में परमाणुओं को रोकने की विशिष्ट संख्या एकाग्रता है n गुना मात्रा, अर्थात , n L2 dx. संभावना है कि उस स्लैब में बीम कण बंद हो जाएगा, स्लैब के कुल क्षेत्र से विभाजित परमाणुओं के शुद्ध क्षेत्र का शुद्ध क्षेत्र है:

कहाँ σ परमाणु का क्षेत्र (या, अधिक औपचारिक रूप से, बिखरने वाला क्रॉस-सेक्शन) है।

बीम की तीव्रता में गिरावट आने वाली बीम की तीव्रता के बराबर होती है, जिसे स्लैब के अंदर कण के रुकने की संभावना से गुणा किया जाता है:

यह साधारण अंतर समीकरण है:

जिसका समाधान बीयर-लैंबर्ट नियम के रूप में जाना जाता है और इसका रूप है , कहाँ x लक्ष्य के माध्यम से बीम द्वारा तय की गई दूरी है, और I0 लक्ष्य में प्रवेश करने से पहले बीम की तीव्रता है; ℓ को औसत मुक्त पथ कहा जाता है क्योंकि यह रुकने से पहले बीम कण द्वारा तय की गई औसत दूरी के बराबर होता है। इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि कण के बीच अवशोषित होने की संभावना x और x + dx द्वारा दिया गया है