मॉड्यूलर रूप: Difference between revisions

Revision as of 11:37, 23 June 2023

गणित में, मॉड्यूलर रूप, एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन है जो मॉड्यूलर समूह के समूह क्रिया के संबंध में एक निश्चित प्रकार के कार्यात्मक समीकरण तथा विकास की स्थिति को संतुष्ट करता है। इसीलिए मॉड्यूलर रूपों का सिद्धांत जटिल विश्लेषण से संबंधित है परंतु इस सिद्धांत का मुख्य महत्व परंपरागत रूप से संख्या सिद्धांत के साथ इसके संबंध में रहा है। अन्य क्षेत्रों जैसे कि बीजगणितीय सांस्थिति, गोलाकार गतिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत में भी मॉड्यूलर रूप दिखाई देते हैं।

मॉड्यूलर फलन एक ऐसा फलन है जो मॉड्यूलर समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है, परंतु बिना किसी शर्त के $f (z)$ उच्च अर्ध-समष्टि में पूर्णसममितिक फलन रूप को संतुष्ट करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, मॉड्यूलर फलन मेरोमॉर्फिक फलन हैं अर्थात, वे पृथक बिंदुओं के एक समुच्चय के पूरक पर पूर्णसममितिक हैं, जो इसी फलन के ध्रुव हैं।

मॉड्यूलर रूप सिद्धांत स्वचालित रूप के अधिक सामान्य सिद्धांत की एक विशेष परिस्थिति है। ये लाइ समूहों पर परिभाषित फलन हैं जो कुछ असतत उपसमूहों की कार्रवाई के संबंध में उपयुक्त रूप से रूपांतरित होते हैं तथा मॉड्यूलर समूह $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$ के उदाहरण को समान्यीकृत करते हैं। .

मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा

सामान्य रूप में,^[1] एक उपसमूह $\Gamma \subset {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ परिमित सूचकांक दिया गया है, जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है। इस स्तर का मॉड्यूलर रूप $\Gamma$ और भार $k$ एक पूर्णसममितिक फलन $f:{\mathcal {H}}\to \mathbb {C}$ है। उच्च अर्ध-समष्टि से इस प्रकार रूपांतरित होती है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:

1. (ऑटोमॉर्फी शर्त) किसी $\gamma \in \Gamma$ के लिए $f(\gamma (z))=(cz+d)^{k}f(z)$ समानता है^{[note 1]}
2. (वृद्धि की स्थिति) किसी $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए फलन $(cz+d)^{-k}f(\gamma (z))$ , ${\text{im}}(z)\to \infty$ के लिए बाध्य है

जहां ${\textstyle \gamma (z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ और फलन ${\textstyle \gamma }$ आव्यूह ${\textstyle \gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} ).\,}$ से इस प्रकार पहचाना जाता है की आव्यूहों के साथ ऐसे फलनों की पहचान आव्यूह गुणन के अनुरूप ऐसे फलन की संरचना का कारण बनती है। इसके अतिरिक्त, इसे एक कस्प रूप कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित वृद्धि की स्थिति को संतुष्ट करता है:

3. (कस्पिडल शर्त) किसी $\gamma \in {\text{SL}}_{2}(\mathbb {Z} )$ के लिए, फलन ${(c z + d)}^{- k} f (γ (z)) \to$

[1]

[note 1]

@@ Line 30: / Line 30: @@
 भार का एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|k}} मॉड्यूलर समूह के लिए
 :<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}  \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math>
-एक जटिल संख्या है | जटिल-मूल्यवान फलन {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} ऊपरी आधे तल पर {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[imaginary part|Im]](''z'') > 0},}} निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना:
+एक जटिल संख्या है जटिल-मूल्यवान फलन {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} उच् अर्ध-समष्टि पर {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[imaginary part|Im]](''z'') > 0},}} निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:
-# {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} एक पूर्णसममितिक फलन है {{math|'''H'''}}.
+# {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} {{math|'''H'''}} एक पूर्णसममितिक फलन है.
-# किसी के लिए {{math|''z'' ∈ '''H'''}} और कोई भी आव्यूह {{math|SL(2, '''Z''')}} ऊपर के रूप में, हमारे पास है:
+# किसी {{math|''z'' ∈ '''H'''}} के लिए और कोई भी आव्यूह {{math|SL(2, '''Z''')}} ऊपर के रूप में, हमारे पास निम्नलिखित समीकरण है:
 #:<math> f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>
-# {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के रूप में बाध्य होना आवश्यक है {{math|''z'' → [[Imaginary unit|''i'']]∞}}.
+# {{math|''z'' → [[Imaginary unit|''i'']]∞}} को {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} के रूप में बाध्य होना आवश्यक है।
 टिप्पणियां:
-* भार {{mvar|k}} आमतौर पर एक सकारात्मक पूर्णांक है।
+* भार {{mvar|k}} सामान्यतः एक सकारात्मक पूर्णांक है।
 * विषम के लिए {{mvar|k}}, केवल शून्य फलन ही दूसरी शर्त को पूरा कर सकता है।
-*तीसरी शर्त भी ऐसा कहकर कही जाती है {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} शिखर पर पूर्णसममितिक है, एक शब्दावली जिसे नीचे समझाया गया है। स्पष्ट रूप से, स्थिति का अर्थ है कि कुछ मौजूद हैं <math> M, D > 0 </math> ऐसा है कि <math> \operatorname{Im}(z) > M \implies |f(z)| < D </math>, अर्थ <math>f</math> कुछ क्षैतिज रेखा से ऊपर बँधा हुआ है।
+*तीसरी शर्त {{math|&thinsp;''f''&thinsp;}} शिखर पर पूर्णसममितिक है, जिसे नीचे समझाया गया है। स्पष्ट रूप से, स्थिति का अर्थ है कि कुछ उपलब्ध हैं <math> M, D > 0 </math> ऐसा है कि <math> \operatorname{Im}(z) > M \implies |f(z)| < D </math>, अर्थ <math>f</math> कुछ क्षैतिज रेखा से ऊपर बँधा हुआ है।
-* के लिए दूसरी शर्त
 ::<math>S = \begin{pmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad T = \begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> : पढ़ता है
 ::<math>f\left(-\frac{1}{z}\right) = z^k f(z), \qquad f(z + 1) = f(z)</math>
-:क्रमश। तब से {{mvar|S}} और {{mvar|T}} एक समूह मॉड्यूलर समूह का उत्पादन सेट {{math|SL(2, '''Z''')}}, उपरोक्त दूसरी शर्त इन दो समीकरणों के बराबर है।
+:क्रमश तब से {{mvar|S}} और {{mvar|T}} एक समूह मॉड्यूलर समूह का उत्पादन समुच्चय {{math|SL(2, '''Z''')}}, उपरोक्त दूसरी शर्त इन दो समीकरणों के बराबर है।
-* तब से {{math|&thinsp;''f''&thinsp;(''z'' + 1) {{=}} &thinsp;''f''&thinsp;(''z'')}}, मॉड्यूलर रूप आवधिक कार्य हैं, अवधि के साथ {{math|1}}, और इस प्रकार एक फूरियर श्रृंखला है।
+* तब से {{math|&thinsp;''f''&thinsp;(''z'' + 1) {{=}} &thinsp;''f''&thinsp;(''z'')}}, मॉड्यूलर रूप आवधिक कार्य हैं, अवधि के साथ {{math|1}} है, और इस प्रकार एक फूरियर श्रृंखला है।
 === जाली या अण्डाकार वक्रों के संदर्भ में परिभाषा ===
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 # अगर हम जाली पर विचार करें {{math|Λ {{=}} '''Z'''''α'' + '''Z'''''z''}} एक स्थिर द्वारा उत्पन्न {{mvar|α}} और एक चर {{mvar|z}}, तब {{math|''F''(Λ)}} का एक विश्लेषणात्मक कार्य है {{mvar|z}}.
-# अगर {{mvar|α}} एक गैर-शून्य जटिल संख्या है और {{math|''α''Λ}} प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त जाली है {{math|Λ}} द्वारा {{mvar|α}}, तब {{math|''F''(''α''Λ) {{=}} ''α''<sup>−''k''</sup>''F''(Λ)}} कहाँ {{mvar|k}} एक स्थिरांक है (आमतौर पर एक धनात्मक पूर्णांक) जिसे प्रपत्र का भार कहा जाता है।
+# अगर {{mvar|α}} एक गैर-शून्य जटिल संख्या है और {{math|''α''Λ}} प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त जाली है {{math|Λ}} द्वारा {{mvar|α}}, तब {{math|''F''(''α''Λ) {{=}} ''α''<sup>−''k''</sup>''F''(Λ)}} कहाँ {{mvar|k}} एक स्थिरांक है (सामान्यतः एक धनात्मक पूर्णांक) जिसे प्रपत्र का भार कहा जाता है।
 # का पूर्ण मूल्य {{math|''F''(Λ)}} जब तक सबसे छोटे गैर-शून्य तत्व का निरपेक्ष मान तब तक ऊपर बना रहता है {{math|Λ}} 0 से दूर है।
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 ===रीमैन सतह G\H<sup>∗</sup>===
-होने देना {{mvar|G}} का एक उपसमूह हो {{math|SL(2, '''Z''')}} जो एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। ऐसा समूह {{mvar|G}} H पर समूह क्रिया (गणित) उसी तरह जैसे {{math|SL(2, '''Z''')}}. [[भागफल टोपोलॉजिकल स्पेस]] G\'H' को [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] के रूप में दिखाया जा सकता है। आमतौर पर यह कॉम्पैक्ट नहीं होता है, परंतु कस्प्स नामक बिंदुओं की एक सीमित संख्या को जोड़कर इसे कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। ये 'एच' की सीमा पर बिंदु हैं, यानी 'परिमेय संख्या' में ∪{∞},<ref>Here, a matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> sends ∞ to ''a''/''c''.</ref> जैसे कि एक परवलयिक तत्व है {{mvar|G}} (एक आव्यूह ± 2 के निशान के साथ एक आव्यूह) बिंदु को ठीक करता है। यह एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस जी \ 'एच' पैदा करता है<sup>∗</sup>. क्या अधिक है, इसे [[रीमैन सतह]] की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है, जो किसी को होलो- और मेरोमोर्फिक कार्यों के बारे में बात करने की अनुमति देता है।
+होने देना {{mvar|G}} का एक उपसमूह हो {{math|SL(2, '''Z''')}} जो एक उपसमूह के परिमित सूचकांक का है। ऐसा समूह {{mvar|G}} H पर समूह क्रिया (गणित) उसी तरह जैसे {{math|SL(2, '''Z''')}}. [[भागफल टोपोलॉजिकल स्पेस]] G\'H' को [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] के रूप में दिखाया जा सकता है। सामान्यतः यह कॉम्पैक्ट नहीं होता है, परंतु कस्प्स नामक बिंदुओं की एक सीमित संख्या को जोड़कर इसे कॉम्पैक्ट किया जा सकता है। ये 'एच' की सीमा पर बिंदु हैं, यानी 'परिमेय संख्या' में ∪{∞},<ref>Here, a matrix <math>\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}</math> sends ∞ to ''a''/''c''.</ref> जैसे कि एक परवलयिक तत्व है {{mvar|G}} (एक आव्यूह ± 2 के निशान के साथ एक आव्यूह) बिंदु को ठीक करता है। यह एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस जी \ 'एच' पैदा करता है<sup>∗</sup>. क्या अधिक है, इसे [[रीमैन सतह]] की संरचना के साथ संपन्न किया जा सकता है, जो किसी को होलो- और मेरोमोर्फिक कार्यों के बारे में बात करने की अनुमति देता है।
 महत्वपूर्ण उदाहरण हैं, किसी भी धनात्मक पूर्णांक N के लिए, सर्वांगसम उपसमूहों में से कोई एक
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 मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत को चार अवधियों में विकसित किया गया था: पहला उन्नीसवीं शताब्दी के पहले भाग में अण्डाकार कार्यों के सिद्धांत के संबंध में; फिर [[फेलिक्स क्लेन]] और अन्य लोगों द्वारा उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में ऑटोमोर्फिक रूप अवधारणा के रूप में समझा गया (एक चर के लिए); फिर लगभग 1925 से [[एरिक हेके]] द्वारा; और फिर 1960 के दशक में, संख्या सिद्धांत की जरूरतों और विशेष रूप से [[मॉड्यूलरिटी प्रमेय]] के निर्माण ने यह स्पष्ट कर दिया कि मॉड्यूलर रूपों को गहराई से फंसाया गया है।
-मॉड्यूलर फॉर्म शब्द, एक व्यवस्थित विवरण के रूप में, आमतौर पर हेके को जिम्मेदार ठहराया जाता है।
+मॉड्यूलर फॉर्म शब्द, एक व्यवस्थित विवरण के रूप में, सामान्यतः हेके को जिम्मेदार ठहराया जाता है।
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