मॉड्यूलर रूप: Difference between revisions
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=== एक [[लाइन बंडल]] के अनुभागों के रूप में === | === एक [[लाइन बंडल]] के अनुभागों के रूप में === | ||
मॉड्यूलर रूपों को [[मॉड्यूलर वक्र]] पर एक विशिष्ट लाइन बंडल के अनुभागों के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। | मॉड्यूलर रूपों को [[मॉड्यूलर वक्र]] पर एक विशिष्ट लाइन बंडल के अनुभागों के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है। <math>\Gamma \subset \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> के लिए स्तर का एक मॉड्यूलर रूप <math>\Gamma</math> और भार <math>k</math> के तत्व के रूप में परिभाषित किया जा सकता है<math>f \in H^0(X_\Gamma,\omega^{\otimes k}) = M_k(\Gamma)</math> | ||
== एसएल (2, जेड) | जहाँ <math>\omega</math> मॉड्यूलर वक्र पर एक विहित लाइन बंडल है<math>X_\Gamma = \Gamma \backslash (\mathcal{H} \cup \mathbb{P}^1(\mathbb{Q}))</math> मॉड्यूलर रूपों के इन स्थानों के आयामों की गणना रीमैन-रोच प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है।<ref>{{Cite web|last=Milne|title=मॉड्यूलर फ़ंक्शंस और मॉड्यूलर फॉर्म|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/mf.html|page=51}}</ref> पारंपरिक मॉड्यूलर रूपों के लिए <math>\Gamma = \text{SL}_2(\mathbb{Z})</math> अण्डाकार वक्रों के मोडुली स्टैक पर लाइन बंडल का खंड हैं। | ||
== एसएल (2, जेड) के लिए मॉड्यूलर रूप == | |||
=== मानक परिभाषा === | === मानक परिभाषा === | ||
भार का एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|k}} मॉड्यूलर समूह के लिए | |||
:<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math> | :<math>\text{SL}(2, \mathbf Z) = \left \{ \left. \begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix} \right| a, b, c, d \in \mathbf Z,\ ad-bc = 1 \right \}</math> | ||
एक जटिल संख्या है | जटिल-मूल्यवान फलन {{math| ''f'' }} ऊपरी आधे तल पर {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[imaginary part|Im]](''z'') > 0},}} निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना: | एक जटिल संख्या है | जटिल-मूल्यवान फलन {{math| ''f'' }} ऊपरी आधे तल पर {{math|'''H''' {{=}} {''z'' ∈ '''C''', [[imaginary part|Im]](''z'') > 0},}} निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करना: | ||
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:<math>G_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}.</math> | :<math>G_k(\Lambda) = \sum_{0 \neq\lambda\in\Lambda}\lambda^{-k}.</math> | ||
तब {{mvar|G<sub>k</sub>}} | तब {{mvar|G<sub>k</sub>}} भार का एक मॉड्यूलर रूप है {{mvar|k}}. के लिए {{math|Λ {{=}} '''Z''' + '''Z'''''τ''}} अपने पास | ||
:<math>G_k(\Lambda) = G_k(\tau) = \sum_{ (0,0) \neq (m,n)\in\mathbf{Z}^2} \frac{1}{(m + n \tau)^k},</math> | :<math>G_k(\Lambda) = G_k(\tau) = \sum_{ (0,0) \neq (m,n)\in\mathbf{Z}^2} \frac{1}{(m + n \tau)^k},</math> | ||
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:<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math> | :<math>\vartheta_L(z) = \sum_{\lambda\in L}e^{\pi i \Vert\lambda\Vert^2 z} </math> | ||
अभिसरित होता है जब Im(z) > 0, और प्वासों योग सूत्र के परिणामस्वरूप | अभिसरित होता है जब Im(z) > 0, और प्वासों योग सूत्र के परिणामस्वरूप भार का एक मॉड्यूलर रूप दिखाया जा सकता है {{math|''n''/2}}. एक-मॉड्यूलर जाली का निर्माण करना इतना आसान नहीं है, परंतु यहाँ एक तरीका है: चलो {{mvar|n}} 8 से विभाज्य एक पूर्णांक बनें और सभी सदिशों पर विचार करें {{mvar|v}} में {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि {{math|2''v''}} में पूर्णांक निर्देशांक होते हैं, या तो सभी सम या सभी विषम, और इस तरह के निर्देशांकों का योग {{mvar|v}} एक सम पूर्णांक है। हम इस जाली को कहते हैं {{mvar|L<sub>n</sub>}}. कब {{math|''n'' {{=}} 8}}, यह जड़ प्रणाली में जड़ों द्वारा उत्पन्न जाली है जिसे E8 (गणित) कहा जाता है|E<sub>8</sub>. क्योंकि स्केलर गुणन तक भार 8 का केवल एक मॉड्यूलर रूप है, | ||
:<math>\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z),</math> | :<math>\vartheta_{L_8\times L_8}(z) = \vartheta_{L_{16}}(z),</math> | ||
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:<math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.</math> | :<math>\eta(z) = q^{1/24}\prod_{n=1}^\infty (1-q^n), \qquad q = e^{2\pi i z}.</math> | ||
जहां क्यू [[नोम (गणित)]] का वर्ग है। फिर मॉड्यूलर भेदभाव {{math|Δ(''z'') {{=}} (2π)<sup>12</sup> ''η''(''z'')<sup>24</sup>}} | जहां क्यू [[नोम (गणित)]] का वर्ग है। फिर मॉड्यूलर भेदभाव {{math|Δ(''z'') {{=}} (2π)<sup>12</sup> ''η''(''z'')<sup>24</sup>}} भार 12 का एक मॉड्यूलर रूप है। 24 की उपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि [[जोंक जाली]] के 24 आयाम हैं। [[[[रामानुजन]] अनुमान]] अनुमान पर रामानुजन ने जोर दिया कि कब {{math|Δ(''z'')}} को q, के गुणांक में शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया गया है {{mvar|q<sup>p</sup>}} किसी भी प्राइम के लिए {{mvar|p}} का निरपेक्ष मान है {{math|≤ 2''p''<sup>11/2</sup>}}. वेइल अनुमानों के डेलिग्ने के प्रमाण के परिणामस्वरूप [[मार्टिन आइक्लर]], [[ ग्राउंडर शिमुरा ]], [[सड़क वाक्यांश]], [[यासुताका इहारा]] और पियरे डेलिग्ने के काम से इसकी पुष्टि हुई, जो रामानुजन के अनुमान को दर्शाने के लिए दिखाए गए थे। | ||
दूसरे और तीसरे उदाहरण संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर रूपों और | दूसरे और तीसरे उदाहरण संख्या सिद्धांत में मॉड्यूलर रूपों और पारंपरिक प्रश्नों के बीच संबंध का कुछ संकेत देते हैं, जैसे [[द्विघात रूप]]ों और [[विभाजन समारोह (संख्या सिद्धांत)]] द्वारा पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व। मॉड्यूलर रूपों और संख्या सिद्धांत के बीच महत्वपूर्ण वैचारिक लिंक [[हेज ऑपरेटर]] के सिद्धांत द्वारा प्रस्तुत किया गया है, जो मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत और [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत]] के बीच की कड़ी भी देता है। | ||
== मॉड्यूलर कार्य == | == मॉड्यूलर कार्य == | ||
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=== परिभाषा === | === परिभाषा === | ||
<nowiki>के लिए एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|G}भार k का } 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है </nowiki>{{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर पूर्णसममितिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. | <nowiki>के लिए एक मॉड्यूलर रूप {{mvar|G}भार k का } 'H' पर एक फलन है जो सभी आव्यूहों के लिए उपरोक्त प्रकार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है </nowiki>{{mvar|G}}, जो कि H पर और सभी पुच्छल पर पूर्णसममितिक है {{mvar|G}}. फिर से, मॉड्यूलर रूप जो सभी क्यूप्स पर गायब हो जाते हैं, उन्हें पुच्छल रूप कहा जाता है {{mvar|G}}. भार के मॉड्यूलर और पुच्छल रूपों के सी-वेक्टर रिक्त स्थान '' k '' को निरूपित किया जाता है {{math|''M<sub>k</sub>''(''G'')}} और {{math|''S<sub>k</sub>''(''G'')}}, क्रमश। इसी तरह, G\'H' पर एक मेरोमोर्फिक फलन<sup>∗</sup> के लिए एक मॉड्यूलर फलन कहा जाता है {{mvar|G}}. जी = जी के मामले में<sub>0</sub>(एन), उन्हें मॉड्यूलर / पुच्छल रूपों और स्तर एन के कार्यों के रूप में भी जाना जाता है {{math|''G'' {{=}} Γ(1) {{=}} SL(2, '''Z''')}}, यह पूर्वोक्त परिभाषा को वापस देता है। | ||
=== परिणाम === | === परिणाम === | ||
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== मॉड्यूलर रूपों के छल्ले == | == मॉड्यूलर रूपों के छल्ले == | ||
{{Main|Ring of modular forms}} | {{Main|Ring of modular forms}} | ||
एक उपसमूह के लिए {{math|Γ}} की {{math|SL(2, '''Z''')}}, मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी के मॉड्यूलर रूपों द्वारा उत्पन्न श्रेणीबद्ध अंगूठी है {{math|Γ}}. दूसरे शब्दों में, अगर {{math|M<sub>k</sub>(Γ)}} | एक उपसमूह के लिए {{math|Γ}} की {{math|SL(2, '''Z''')}}, मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी के मॉड्यूलर रूपों द्वारा उत्पन्न श्रेणीबद्ध अंगूठी है {{math|Γ}}. दूसरे शब्दों में, अगर {{math|M<sub>k</sub>(Γ)}} भार के मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी हो {{mvar|k}}, फिर के मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी {{math|Γ}} ग्रेडेड रिंग है <math>M(\Gamma) = \bigoplus_{k > 0} M_k(\Gamma)</math>. | ||
के सर्वांगसम उपसमूहों के मॉड्यूलर रूपों के छल्ले {{math|SL(2, '''Z''')}} पियरे डेलिग्ने और [[माइकल रैपोपोर्ट]] के परिणाम के कारण अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं। मॉड्यूलर रूपों के ऐसे छल्ले अधिकतम 6 | के सर्वांगसम उपसमूहों के मॉड्यूलर रूपों के छल्ले {{math|SL(2, '''Z''')}} पियरे डेलिग्ने और [[माइकल रैपोपोर्ट]] के परिणाम के कारण अंतिम रूप से उत्पन्न होते हैं। मॉड्यूलर रूपों के ऐसे छल्ले अधिकतम 6 भार में उत्पन्न होते हैं और संबंध अधिकतम 12 भार में उत्पन्न होते हैं जब सर्वांगसम उपसमूह में गैर-शून्य विषम भार वाले मॉड्यूलर रूप होते हैं, और संबंधित सीमाएँ 5 और 10 होती हैं जब कोई गैर-शून्य विषम भार मॉड्यूलर रूप नहीं होता है . | ||
अधिक आम तौर पर, मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी के जेनरेटर के | अधिक आम तौर पर, मॉड्यूलर रूपों की अंगूठी के जेनरेटर के भार और मनमाने ढंग से फ्यूचियन समूहों के लिए इसके संबंधों पर सीमा के सूत्र हैं। | ||
== प्रकार == | == प्रकार == | ||
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अगर f पुच्छल पर होलोमॉर्फिक फलन है (q = 0 पर कोई ध्रुव नहीं है), तो इसे 'संपूर्ण मॉड्यूलर रूप' कहा जाता है। | अगर f पुच्छल पर होलोमॉर्फिक फलन है (q = 0 पर कोई ध्रुव नहीं है), तो इसे 'संपूर्ण मॉड्यूलर रूप' कहा जाता है। | ||
यदि च मेरोमोर्फिक है परंतु कस्प पर पूर्णसममितिक नहीं है, तो इसे 'गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर फॉर्म' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जे-इनवेरिएंट | यदि च मेरोमोर्फिक है परंतु कस्प पर पूर्णसममितिक नहीं है, तो इसे 'गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर फॉर्म' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जे-इनवेरिएंट भार 0 का एक गैर-संपूर्ण मॉड्यूलर रूप है, और i∞ पर एक साधारण पोल है। | ||
=== नए रूप === | === नए रूप === | ||
{{Main|Atkin–Lehner theory}} | {{Main|Atkin–Lehner theory}} | ||
एटकिन-लेहनर सिद्धांत मॉड्यूलर रूपों का एक उप-स्थान है<ref>{{Cite web|last=Mocanu|first=Andreea|title=Atkin-Lehner Theory of <math>\Gamma_1(N)</math>-Modular Forms|url=https://andreeamocanu.github.io/atkin-lehner-theory.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200731204425/https://andreeamocanu.github.io/atkin-lehner-theory.pdf|archive-date=31 July 2020}}</ref> एक निश्चित | एटकिन-लेहनर सिद्धांत मॉड्यूलर रूपों का एक उप-स्थान है<ref>{{Cite web|last=Mocanu|first=Andreea|title=Atkin-Lehner Theory of <math>\Gamma_1(N)</math>-Modular Forms|url=https://andreeamocanu.github.io/atkin-lehner-theory.pdf|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20200731204425/https://andreeamocanu.github.io/atkin-lehner-theory.pdf|archive-date=31 July 2020}}</ref> एक निश्चित भार का <math>N</math> जिसका निर्माण कम भार के मॉड्यूलर रूपों से नहीं किया जा सकता है <math>M</math> डिवाइडिंग <math>N</math>. अन्य रूपों को पुराने रूप कहा जाता है। इन पुराने रूपों का निर्माण निम्नलिखित अवलोकनों का उपयोग करके किया जा सकता है: यदि <math>M \mid N</math> तब <math>\Gamma_1(N) \subseteq \Gamma_1(M)</math> मॉड्यूलर रूपों का उल्टा समावेशन देना <math>M_k(\Gamma_1(M)) \subseteq M_k(\Gamma_1(N))</math>. | ||
=== पुच्छल रूप === | === पुच्छल रूप === | ||
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== सामान्यीकरण == | == सामान्यीकरण == | ||
मॉड्यूलर फलन शब्द के कई अन्य उपयोग हैं, इस | मॉड्यूलर फलन शब्द के कई अन्य उपयोग हैं, इस पारंपरिक एक के अलावा; उदाहरण के लिए, हार उपायों के सिद्धांत में, यह एक कार्य है {{math|Δ(''g'')}} संयुग्मन क्रिया द्वारा निर्धारित। | ||
मास रूप विश्लेषणात्मक कार्य हैं | [[लाप्लासियन]] के वास्तविक-विश्लेषणात्मक [[eigenfunction]] परंतु पूर्णसममितिक फलन होने की आवश्यकता नहीं है। कुछ कमजोर द्रव्यमान तरंग रूपों के पूर्णसममितिक भाग अनिवार्य रूप से रामानुजन के नकली थीटा कार्य हैं। समूह जो उपसमूह नहीं हैं {{math|SL(2, '''Z''')}} माना जा सकता है। | मास रूप विश्लेषणात्मक कार्य हैं | [[लाप्लासियन]] के वास्तविक-विश्लेषणात्मक [[eigenfunction]] परंतु पूर्णसममितिक फलन होने की आवश्यकता नहीं है। कुछ कमजोर द्रव्यमान तरंग रूपों के पूर्णसममितिक भाग अनिवार्य रूप से रामानुजन के नकली थीटा कार्य हैं। समूह जो उपसमूह नहीं हैं {{math|SL(2, '''Z''')}} माना जा सकता है। | ||
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[[हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म]] 'एन' चर में कार्य कर रहे हैं, प्रत्येक ऊपरी आधे समष्टि में एक जटिल संख्या है, जो [[पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र]] में प्रविष्टियों के साथ 2 × 2 आव्यूह के लिए एक मॉड्यूलर संबंध को संतुष्ट करता है। | [[हिल्बर्ट मॉड्यूलर फॉर्म]] 'एन' चर में कार्य कर रहे हैं, प्रत्येक ऊपरी आधे समष्टि में एक जटिल संख्या है, जो [[पूरी तरह से वास्तविक संख्या क्षेत्र]] में प्रविष्टियों के साथ 2 × 2 आव्यूह के लिए एक मॉड्यूलर संबंध को संतुष्ट करता है। | ||
[[ सील मॉड्यूलर रूप ]] बड़े सहानुभूति समूहों से उसी तरह जुड़े होते हैं जैसे क्लासिकल मॉड्यूलर फॉर्म जुड़े होते हैं {{math|SL(2, '''R''')}}; दूसरे शब्दों में, वे एबेलियन विविधता से उसी अर्थ में संबंधित हैं जैसे | [[ सील मॉड्यूलर रूप ]] बड़े सहानुभूति समूहों से उसी तरह जुड़े होते हैं जैसे क्लासिकल मॉड्यूलर फॉर्म जुड़े होते हैं {{math|SL(2, '''R''')}}; दूसरे शब्दों में, वे एबेलियन विविधता से उसी अर्थ में संबंधित हैं जैसे पारंपरिक मॉड्यूलर रूप (जिन्हें कभी-कभी बिंदु पर जोर देने के लिए अंडाकार मॉड्यूलर रूप कहा जाता है) अंडाकार वक्र से संबंधित होते हैं। | ||
'जैकोबी फॉर्म्स' मॉड्यूलर फॉर्म्स और एलिप्टिक फंक्शन्स का मिश्रण हैं। इस तरह के कार्यों के उदाहरण बहुत | 'जैकोबी फॉर्म्स' मॉड्यूलर फॉर्म्स और एलिप्टिक फंक्शन्स का मिश्रण हैं। इस तरह के कार्यों के उदाहरण बहुत पारंपरिक हैं - जैकोबी थीटा फलन और जीनस दो के सीगल मॉड्यूलर रूपों के फूरियर गुणांक - परंतु यह एक अपेक्षाकृत हालिया अवलोकन है कि [[जैकोबी रूप]]ों में एक अंकगणितीय सिद्धांत है जो मॉड्यूलर रूपों के सामान्य सिद्धांत के अनुरूप है। | ||
'ऑटोमॉर्फिक फॉर्म' मॉड्यूलर रूपों की धारणा को सामान्य झूठ समूहों तक फैलाते हैं। | 'ऑटोमॉर्फिक फॉर्म' मॉड्यूलर रूपों की धारणा को सामान्य झूठ समूहों तक फैलाते हैं। | ||
भार का '[[ मॉड्यूलर अभिन्न ]]' {{mvar|k}} अनंत पर मध्यम वृद्धि के ऊपरी आधे समष्टि पर मेरोमोर्फिक कार्य हैं जो भार के मॉड्यूलर होने में विफल रहते हैं {{mvar|k}} एक तर्कसंगत कार्य द्वारा। | |||
'ऑटोमॉर्फिक कारक' रूप के कार्य हैं <math>\varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k</math> जिनका उपयोग मॉड्यूलर रूपों को परिभाषित करने वाले मॉड्यूलरिटी संबंध को सामान्यीकृत करने के लिए किया जाता है, ताकि | 'ऑटोमॉर्फिक कारक' रूप के कार्य हैं <math>\varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k</math> जिनका उपयोग मॉड्यूलर रूपों को परिभाषित करने वाले मॉड्यूलरिटी संबंध को सामान्यीकृत करने के लिए किया जाता है, ताकि | ||
:<math>f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).</math> | :<math>f\left(\frac{az+b}{cz+d}\right) = \varepsilon(a,b,c,d) (cz+d)^k f(z).</math> | ||
कार्यक्रम <math>\varepsilon(a,b,c,d)</math> मॉड्यूलर रूप का नेबेंटिपस कहा जाता है। डेडेकिंड एटा फलन जैसे कार्य, | कार्यक्रम <math>\varepsilon(a,b,c,d)</math> मॉड्यूलर रूप का नेबेंटिपस कहा जाता है। डेडेकिंड एटा फलन जैसे कार्य, भार 1/2 का एक मॉड्यूलर रूप, ऑटोमोर्फिक कारकों की अनुमति देकर सिद्धांत द्वारा शामिल किया जा सकता है। | ||
== इतिहास == | == इतिहास == | ||
Revision as of 01:18, 23 June 2023
गणित में, मॉड्यूलर रूप, एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन है जो मॉड्यूलर समूह के समूह क्रिया के संबंध में एक निश्चित प्रकार के कार्यात्मक समीकरण तथा विकास की स्थिति को संतुष्ट करता है। इसीलिए मॉड्यूलर रूपों का सिद्धांत जटिल विश्लेषण से संबंधित है परंतु इस सिद्धांत का मुख्य महत्व परंपरागत रूप से संख्या सिद्धांत के साथ इसके संबंध में रहा है। अन्य क्षेत्रों जैसे कि बीजगणितीय सांस्थिति, गोलाकार गतिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत में भी मॉड्यूलर रूप दिखाई देते हैं।
मॉड्यूलर फलन एक ऐसा फलन है जो मॉड्यूलर समूह के संबंध में अपरिवर्तनीय है, परंतु बिना किसी शर्त के f (z) उच्च अर्ध-समष्टि में पूर्णसममितिक फलन रूप को संतुष्ट करना चाहिए। इसके अतिरिक्त, मॉड्यूलर फलन मेरोमॉर्फिक फलन हैं अर्थात, वे पृथक बिंदुओं के एक समुच्चय के पूरक पर पूर्णसममितिक हैं, जो इसी फलन के ध्रुव हैं।
मॉड्यूलर रूप सिद्धांत स्वचालित रूप के अधिक सामान्य सिद्धांत की एक विशेष परिस्थिति है। ये लाइ समूहों पर परिभाषित फलन हैं जो कुछ असतत उपसमूहों की कार्रवाई के संबंध में उपयुक्त रूप से रूपांतरित होते हैं तथा मॉड्यूलर समूह के उदाहरण को समान्यीकृत करते हैं। .
मॉड्यूलर रूपों की सामान्य परिभाषा
सामान्य रूप में,[1] एक उपसमूह परिमित सूचकांक दिया गया है, जिसे अंकगणितीय समूह कहा जाता है। इस स्तर का मॉड्यूलर रूप और भार एक पूर्णसममितिक फलन है। उच्च अर्ध-समष्टि से इस प्रकार रूपांतरित होती है कि निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं:
1. (ऑटोमॉर्फी शर्त) किसी के लिए समानता है[note 1]
2. (वृद्धि की स्थिति) किसी के लिए फलन