नैश संतुलन: Difference between revisions

[[खेल सिद्धांत]] में, गणितज्ञ जॉन फोर्ब्स नैश जूनियर के नाम पर रखा गया नैश संतुलन, दो या दो से अधिक खिलाड़ियों को शामिल करने वाले गैर-सहकारी खेल की [[समाधान अवधारणा]] को परिभाषित करने का सबसे आम तरीका है। नैश संतुलन में, प्रत्येक खिलाड़ी को अन्य खिलाड़ियों की संतुलन रणनीतियों को जानने के लिए माना जाता है, और केवल अपनी रणनीति को बदलकर किसी को कुछ हासिल नहीं होता है।<ref name="Osborne">{{Cite book |title=गेम थ्योरी में एक कोर्स|last1=Osborne |first1=Martin J. |last2=Rubinstein |first2=Ariel |date=12 Jul 1994 |publisher=MIT |isbn=9780262150415 |location=Cambridge, MA |page=14 |author-link2=Ariel Rubinstein}}</ref> नैश संतुलन का सिद्धांत [[एंटोनी ऑगस्टिन कोर्टन]] के समय का है, जिन्होंने 1838 में इसे आउटपुट चुनने वाली प्रतिस्पर्धी फर्मों पर लागू किया था।<ref>Kreps D.M. (1987) "Nash Equilibrium." In: Palgrave Macmillan (eds) ''The New Palgrave Dictionary of Economics''. Palgrave Macmillan, London.</ref>

यदि प्रत्येक खिलाड़ी ने एक रणनीति (गेम थ्योरी) चुनी है{{snd}} खेल में अब तक जो हुआ है, उसके आधार पर एक कार्य योजना{{snd}} और कोई भी अपनी रणनीति को बदलकर अपनी अपेक्षित अदायगी में वृद्धि नहीं कर सकता है, जबकि अन्य खिलाड़ी अपनी रणनीति को अपरिवर्तित रखते हैं, तो रणनीति विकल्पों का वर्तमान सेट नैश संतुलन का गठन करता है।

यदि दो खिलाड़ी [[ऐलिस और बॉब]] रणनीति ए और बी चुनते हैं, (ए, बी) एक नैश संतुलन है यदि ऐलिस के पास कोई अन्य रणनीति उपलब्ध नहीं है जो बॉब के बी को चुनने के जवाब में उसके भुगतान को अधिकतम करने में ए से बेहतर है, और बॉब के पास कोई अन्य रणनीति नहीं है उपलब्ध है जो ऐलिस के ए को चुनने के जवाब में अपने अदायगी को अधिकतम करने में बी से बेहतर करता है। एक ऐसे खेल में जिसमें कैरल और डैन भी खिलाड़ी हैं, (ए, बी, सी, डी) एक नैश संतुलन है यदि ए एलिस की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया है ( बी, सी, डी), बी बॉब की सबसे अच्छी प्रतिक्रिया है (ए, सी, डी), और आगे।

खेल सिद्धांतकार कई निर्णय लेने की [[रणनीति]] के परिणाम का विश्लेषण करने के लिए नैश संतुलन का उपयोग करते हैं। एक रणनीतिक बातचीत में, प्रत्येक निर्णयकर्ता के लिए परिणाम दूसरों के साथ-साथ उनके स्वयं के निर्णयों पर निर्भर करता है। नैश के विचार में अंतर्निहित सरल अंतर्दृष्टि यह है कि यदि कोई उन निर्णयों का अलग-अलग विश्लेषण करता है, तो वह कई निर्णय निर्माताओं के विकल्पों की भविष्यवाणी नहीं कर सकता है। इसके बजाय, किसी को यह पूछना चाहिए कि प्रत्येक खिलाड़ी इस बात को ध्यान में रखते हुए क्या करेगा कि खिलाड़ी दूसरों से क्या करने की अपेक्षा करता है। नैश संतुलन के लिए आवश्यक है कि किसी की पसंद सुसंगत हो: कोई भी खिलाड़ी अपने निर्णय को पूर्ववत नहीं करना चाहता, यह देखते हुए कि दूसरे क्या निर्णय ले रहे हैं।

अवधारणा का उपयोग युद्ध और हथियारों की दौड़ जैसी शत्रुतापूर्ण स्थितियों का विश्लेषण करने के लिए किया गया है<ref>Schelling, Thomas, ''[https://books.google.com/books?id=7RkL4Z8Yg5AC&q=thoma+schelling+strategy+of+conflict The Strategy of Conflict]'', copyright 1960, 1980, Harvard University Press, {{isbn|0-674-84031-3}}.</ref> (कैदी की दुविधा देखें), और बार-बार बातचीत से संघर्ष को कैसे कम किया जा सकता है (देखें [[जैसे को तैसा]])। इसका उपयोग यह अध्ययन करने के लिए भी किया गया है कि विभिन्न प्राथमिकताओं वाले लोग किस हद तक सहयोग कर सकते हैं (देखें [[लिंगों की लड़ाई (गेम थ्योरी)]]), और क्या वे सहकारी परिणाम प्राप्त करने के लिए जोखिम उठाएंगे (देखें [[ हरिण का शिकार ]])। इसका उपयोग [[तकनीकी मानक]]ों को अपनाने के अध्ययन के लिए किया गया है,{{citation needed|date=June 2012}} और [[ बैंक चलाना ]] और [[मुद्रा संकट]] की घटना भी ([[समन्वय खेल]] देखें)। अन्य अनुप्रयोगों में यातायात प्रवाह (वार्ड्रोप का सिद्धांत देखें), नीलामी कैसे व्यवस्थित करें ([[नीलामी सिद्धांत]] देखें), शिक्षा प्रक्रिया में कई दलों द्वारा किए गए प्रयासों के परिणाम शामिल हैं,<ref>{{Cite journal | doi = 10.1162/REST_a_00013| title = Must Try Harder: Evaluating the Role of Effort in Educational Attainment| journal = Review of Economics and Statistics| volume = 92| issue = 3| pages = 577| year = 2010| last1 = De Fraja | first1 = G. | last2 = Oliveira | first2 = T. | last3 = Zanchi | first3 = L. | s2cid = 57072280| hdl = 2108/55644| hdl-access = free}}</ref> नियामक कानून जैसे पर्यावरणीय नियम (देखें कॉमन्स की त्रासदी),<ref>{{Cite journal | doi = 10.1111/j.1467-9248.1996.tb00338.x| title = Game Theory and the Politics of Global Warming: The State of Play and Beyond| journal = Political Studies| volume = 44| issue = 5| pages = 850–871| year = 1996| last1 = Ward | first1 = H. | s2cid = 143728467}},</ref> प्राकृतिक संसाधन प्रबंधन,<ref>{{Cite journal | doi = 10.1093/icesjms/fsx062| title = बहुप्रजाति मिश्रित मात्स्यिकी में बहुत अच्छी उपज पकड़ने के जोखिम और लाभ|

नैश संतुलन का नाम अमेरिकी गणितज्ञ जॉन फोर्ब्स नैश जूनियर के नाम पर रखा गया है। इसी विचार का उपयोग 1838 में एक विशेष अनुप्रयोग में एंटोनी ऑगस्टिन कौरनॉट ने अपने [[अल्पाधिकार]] के सिद्धांत में किया था।<ref>Cournot A. (1838) Researches on the Mathematical Principles of the Theory of Wealth</ref> कौरनॉट के सिद्धांत में, कई फर्मों में से प्रत्येक यह चुनती है कि अपने लाभ को अधिकतम करने के लिए कितना उत्पादन करना है। एक फर्म का सर्वोत्तम उत्पादन दूसरी फर्म के उत्पादन पर निर्भर करता है। एक कोर्टन संतुलन तब होता है जब प्रत्येक फर्म का उत्पादन अन्य फर्मों के उत्पादन को देखते हुए अपने लाभ को अधिकतम करता है, जो एक [[शुद्ध रणनीति]] है। शुद्ध-रणनीति नैश संतुलन। कोर्टन ने संतुलन की स्थिरता के अपने विश्लेषण में सर्वश्रेष्ठ प्रतिक्रिया गतिकी की अवधारणा को भी पेश किया। हालांकि, कोर्टनोट ने किसी अन्य अनुप्रयोग में इस विचार का उपयोग नहीं किया, या इसे आम तौर पर परिभाषित नहीं किया।

इसके बजाय नैश संतुलन की आधुनिक अवधारणा को [[मिश्रित रणनीति]] के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां खिलाड़ी संभावित शुद्ध रणनीतियों पर संभाव्यता वितरण चुनते हैं (जो एक शुद्ध रणनीति पर संभावना का 100% डाल सकता है; ऐसी शुद्ध रणनीतियाँ मिश्रित रणनीतियों का एक सबसेट हैं)। [[जॉन वॉन न्यूमैन]] और [[ऑस्कर मॉर्गनस्टर्न]] ने अपनी 1944 की पुस्तक द थ्योरी ऑफ़ गेम्स एंड इकोनॉमिक बिहेवियर में एक मिश्रित-रणनीति संतुलन की अवधारणा पेश की थी, लेकिन उनका विश्लेषण शून्य-राशि वाले खेलों के विशेष मामले तक ही सीमित था। उन्होंने दिखाया कि एक मिश्रित-रणनीति नैश संतुलन किसी भी शून्य-राशि वाले खेल के लिए क्रियाओं के सीमित सेट के साथ मौजूद रहेगा।<ref>J. Von Neumann, O. Morgenstern, ''[https://archive.org/stream/theoryofgamesand030098mbp#page/n5/mode/2up Theory of Games and Economic Behavior]'', copyright 1944, 1953, Princeton University Press</ref> अपने 1951 के लेख गैर-सहकारी खेलों में नैश का योगदान किसी भी खेल के लिए एक मिश्रित-रणनीति नैश संतुलन को क्रियाओं के सीमित सेट के साथ परिभाषित करना था और यह साबित करना था कि इस तरह के खेल में कम से कम एक (मिश्रित-रणनीति) नैश संतुलन मौजूद होना चाहिए। वॉन न्यूमैन की तुलना में कहीं अधिक सामान्य रूप से अस्तित्व को साबित करने की नैश की क्षमता की कुंजी संतुलन की उनकी परिभाषा में निहित है। नैश के अनुसार, एक संतुलन बिंदु एक n-tuple है जैसे कि प्रत्येक खिलाड़ी की मिश्रित रणनीति उसके भुगतान को अधिकतम करती है यदि दूसरों की रणनीतियों को स्थिर रखा जाता है। इस प्रकार प्रत्येक खिलाड़ी की रणनीति दूसरों के खिलाफ इष्टतम होती है। समस्या को इस ढाँचे में डालने से नैश ने संतुलन के अस्तित्व को साबित करने के लिए अपने 1950 के पेपर में [[अब निश्चित बिंदु प्रमेय]] को नियोजित करने की अनुमति दी। उनके 1951 के पेपर में इसी उद्देश्य के लिए सरल [[ब्रोवर फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय]] का इस्तेमाल किया गया था।<ref>{{Cite journal |last1=Carmona |first1=Guilherme |first2=Konrad |last2=Podczeck |year=2009|title=बड़े खेलों में शुद्ध रणनीति नैश इक्विलिब्रिया के अस्तित्व पर|ssrn=882466 |journal=[[Journal of Economic Theory]] |volume=144 |issue=3 |pages=1300–1319 |doi=10.1016/j.jet.2008.11.009 |url=http://fesrvsd.fe.unl.pt/WPFEUNL/WP2008/wp531.pdf |hdl=10362/11577 |hdl-access=free }}</ref>

खेल सिद्धांतकारों ने पता लगाया है कि कुछ परिस्थितियों में नैश संतुलन अमान्य भविष्यवाणियां करता है या एक अद्वितीय भविष्यवाणी करने में विफल रहता है। उन्होंने कई समाधान अवधारणाओं (नैश इक्विलिब्रिया के 'शोधन') का प्रस्ताव दिया है, जिन्हें अकल्पनीय नैश इक्विलिब्रिया से बाहर करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि कुछ नैश संतुलन उन खतरों पर आधारित हो सकते हैं जो 'विश्वसनीयता' नहीं हैं। 1965 में [[रेइनहार्ड दुर्लभ]] ने [[ उप खेल पूर्ण संतुलन ]] को एक परिशोधन के रूप में प्रस्तावित किया जो गैर-विश्वसनीय खतरों पर निर्भर साम्यावस्था को समाप्त करता है। नैश संतुलन अवधारणा के अन्य विस्तारों ने यह बताया है कि क्या होता है यदि कोई खेल दोहराया जाता है, या क्या होता है यदि कोई खेल [[वैश्विक खेल]] में खेला जाता है। हालांकि, नैश संतुलन के बाद के शोधन और विस्तार मुख्य अंतर्दृष्टि को साझा करते हैं जिस पर नैश की अवधारणा टिकी हुई है: संतुलन रणनीतियों का एक सेट है जैसे कि प्रत्येक खिलाड़ी की रणनीति दूसरों के विकल्पों को देखते हुए इष्टतम होती है।

एक रणनीति प्रोफ़ाइल रणनीतियों का एक सेट है, प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक। अनौपचारिक रूप से, एक रणनीति प्रोफ़ाइल एक नैश संतुलन है यदि कोई खिलाड़ी अपनी रणनीति को एकतरफा बदलकर बेहतर नहीं कर सकता है। यह देखने के लिए कि इसका क्या मतलब है, कल्पना करें कि प्रत्येक खिलाड़ी को दूसरों की रणनीतियों के बारे में बताया जाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक खिलाड़ी खुद से पूछता है: अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों को जानना, और अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों को पत्थर की तरह समझना, क्या मुझे अपनी रणनीति बदलने से फायदा हो सकता है?

यदि कोई खिलाड़ी हां में उत्तर दे सकता है, तो रणनीतियों का वह सेट नैश संतुलन नहीं है। लेकिन अगर हर खिलाड़ी स्विच नहीं करना पसंद करता है (या स्विच करने और न करने के बीच उदासीन है) तो रणनीति प्रोफ़ाइल नैश संतुलन है। इस प्रकार, नैश संतुलन में प्रत्येक रणनीति उस संतुलन में अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया होती है।<ref name="preliminaries">{{cite web|last=von Ahn|first=Luis|title=गेम थ्योरी की प्रारंभिक|url=http://www.scienceoftheweb.org/15-396/lectures_f11/lecture09.pdf|url-status=dead|archive-url=https://web.archive.org/web/20111018035629/http://scienceoftheweb.org/15-396/lectures_f11/lecture09.pdf|archive-date=2011-10-18|access-date=2008-11-07}}</ref>

औपचारिक रूप से, चलो <math>S_i</math> खिलाड़ी के लिए सभी संभावित रणनीतियों का सेट हो <math>i</math>, कहाँ <math>i = 1, \ldots, N</math>. होने देना <math>s^* = (s_i^*, s_{-i}^*)</math> एक रणनीति प्रोफ़ाइल हो, प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक रणनीति वाला एक सेट, जहां <math>s_{-i}^*</math> दर्शाता है <math>N-1</math> को छोड़कर सभी खिलाड़ियों की रणनीति <math>i</math>. होने देना <math>u_i(s_i, s_{-i}^*)</math> रणनीति के फलन के रूप में खिलाड़ी का प्रतिदान होना। रणनीति प्रोफ़ाइल <math>s^*</math> एक नैश संतुलन है अगर

एक खेल में एक से अधिक नैश संतुलन हो सकते हैं। यहां तक ​​कि अगर संतुलन अद्वितीय है, तो यह कमजोर हो सकता है: एक खिलाड़ी दूसरे खिलाड़ियों की पसंद को देखते हुए कई रणनीतियों के बीच उदासीन हो सकता है। यह अद्वितीय है और सख्त नैश संतुलन कहा जाता है यदि असमानता सख्त है तो एक रणनीति अद्वितीय सर्वोत्तम प्रतिक्रिया है:

ध्यान दें कि रणनीति सेट <math>S_i</math> अलग-अलग खिलाड़ियों के लिए अलग-अलग हो सकते हैं, और इसके तत्व विभिन्न प्रकार की गणितीय वस्तुएं हो सकते हैं। सबसे सरलता से, एक खिलाड़ी दो रणनीतियों के बीच चयन कर सकता है, उदा।  <math>S_i = \{\text{Yes}, \text{No}\}.</math> या, रणनीति सेट अन्य खिलाड़ियों को जवाब देने वाली सशर्त रणनीतियों का एक सीमित सेट हो सकता है, उदा। <math>S_i = \{\text{Yes}|p=\text{Low}, \text{No}|p=\text{High}\}.</math> या, यह एक अनंत समुच्चय हो सकता है, एक सातत्य या असीमित, उदा. <math>S_i = \{\text{Price}\}</math> ऐसा है कि <math>\text{Price}</math> एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या है। नैश के अस्तित्व प्रमाण एक सीमित रणनीति सेट मानते हैं, लेकिन नैश संतुलन की अवधारणा को इसकी आवश्यकता नहीं है।

=== सख्त/कमजोर संतुलन ===

मान लीजिए कि नैश संतुलन में, प्रत्येक खिलाड़ी खुद से पूछता है: अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों को जानना, और अन्य खिलाड़ियों की रणनीतियों को पत्थर की तरह समझना, क्या मुझे अपनी रणनीति बदलने से नुकसान होगा?

यदि इसके बजाय, किसी खिलाड़ी के लिए, नैश संतुलन में रणनीति और कुछ अन्य रणनीति के बीच सटीक समानता है जो बिल्कुल समान भुगतान देती है (यानी यह खिलाड़ी स्विचिंग और नहीं के बीच उदासीन है), तो संतुलन को कमजोर नैश संतुलन के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।

यदि विकल्पों का सेट अनंत और गैर-कॉम्पैक्ट है तो नैश संतुलन मौजूद नहीं है। एक उदाहरण एक खेल है जहां दो खिलाड़ी एक साथ एक संख्या का नाम लेते हैं और बड़ी संख्या का नाम रखने वाला खिलाड़ी जीत जाता है। एक और उदाहरण है जहां दो खिलाड़ियों में से प्रत्येक 5 से कम वास्तविक संख्या चुनता है और विजेता वह होता है जिसके पास सबसे बड़ी संख्या होती है; 5 से कम कोई भी सबसे बड़ी संख्या मौजूद नहीं है (यदि संख्या 5 के बराबर हो सकती है, तो नैश संतुलन में दोनों खिलाड़ी 5 का चयन करेंगे और खेल को बांधेंगे)। हालांकि, एक नैश संतुलन मौजूद है यदि विकल्पों का सेट सभी खिलाड़ियों की रणनीतियों में निरंतर प्रत्येक खिलाड़ी के भुगतान के साथ [[कॉम्पैक्ट जगह]] है।<ref>MIT OpenCourseWare. 6.254: Game Theory with Engineering Applications, Spring 2010. [https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-254-game-theory-with-engineering-applications-spring-2010/lecture-notes/MIT6_254S10_lec06.pdf Lecture 6: Continuous and Discontinuous Games].</ref>

समन्वय खेल एक क्लासिक दो-खिलाड़ी, दो-रणनीति (गेम थ्योरी) खेल है, जैसा कि उदाहरण में दाईं ओर [[अदायगी मैट्रिक्स]] में दिखाया गया है। दो शुद्ध-रणनीति संतुलन हैं, (ए, ए) प्रत्येक खिलाड़ी के लिए भुगतान 4 के साथ और (बी, बी) प्रत्येक के लिए भुगतान 2 के साथ। संयोजन (बी, बी) एक नैश संतुलन है क्योंकि यदि कोई खिलाड़ी एकतरफा अपनी रणनीति को बी से ए में बदलता है, तो उसका भुगतान 2 से 1 तक गिर जाएगा।

समन्वय खेल का एक प्रसिद्ध उदाहरण हरिण का शिकार है। दो खिलाड़ी खरगोश (1 उपयोगिता इकाई) की तुलना में अधिक मांस (4 उपयोगिता इकाइयां, प्रत्येक खिलाड़ी के लिए 2) प्रदान करने वाले हरिण या खरगोश का शिकार करना चुन सकते हैं। चेतावनी यह है कि हरिण को सहकारी रूप से शिकार किया जाना चाहिए, इसलिए यदि एक खिलाड़ी हरिण का शिकार करने का प्रयास करता है, जबकि दूसरा खरगोश का शिकार करता है, तो हरिण शिकारी पूरी तरह से विफल हो जाएगा, 0 के भुगतान के लिए, जबकि खरगोश-शिकारी सफल होगा, के लिए 1 का भुगतान। खेल में दो संतुलन होते हैं, (स्टैग, स्टैग) और (खरगोश, खरगोश), क्योंकि एक खिलाड़ी की इष्टतम रणनीति उसकी अपेक्षा पर निर्भर करती है कि दूसरा खिलाड़ी क्या करेगा। यदि एक शिकारी को विश्वास हो कि दूसरा हरिण का शिकार करेगा, तो उसे हरिण का शिकार करना चाहिए; हालाँकि अगर वह सोचता है कि दूसरा खरगोश का शिकार करेगा, तो वह भी खरगोश का शिकार करेगा। इस खेल का उपयोग सामाजिक सहयोग के लिए एक सादृश्य के रूप में किया जाता है, क्योंकि समाज में लोगों को जो लाभ मिलता है, वह सहयोग करने वाले लोगों पर निर्भर करता है और सहयोग के अनुरूप कार्य करने के लिए एक-दूसरे पर भरोसा करता है।

एक आने वाली कार के खिलाफ सड़क पर ड्राइविंग करना, और या तो बायीं ओर मुड़ना है या सड़क के दायीं ओर मुड़ना है, यह भी एक समन्वय खेल है। उदाहरण के लिए, अदायगी के साथ 10 का अर्थ कोई दुर्घटना नहीं है और 0 का अर्थ दुर्घटना है, समन्वय खेल को निम्नलिखित अदायगी मैट्रिक्स के साथ परिभाषित किया जा सकता है: