ग्राफिकल मॉडल

This article is about ग्राफ़ का उपयोग करके संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व. For कंप्यूटर ग्राफिक्स जर्नल, see ग्राफिकल मॉडल.

ग्राफिकल मॉडल या संभावित ग्राफिकल मॉडल (पीजीएम) या संरचित संभावित मॉडल वह मॉडल है जिसके लिए एक ग्राफ (असतत गणित) आकस्मिक चर के बीच प्रतिबंधात्मक निर्भरता के संरचना को व्यक्त करता है। वे सामान्यतः संभावित सिद्धांत, सांख्यिकी-विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी और यांत्रिक अधिगम में उपयोग किए जाते हैं।

ग्राफिकल मॉडल के प्रकार

सामान्यतः, संभावित ग्राफिकल मॉडल एक ग्राफ-आधारित प्रतिनिधित्व का उपयोग एक बहु-आयामी स्थान पर वितरण को कोडित करने के लिए आधार के रूप में करते हैं और एक ग्राफ जो विशिष्ट वितरण में होने वाली अभिकलनों के एक समुच्चय का सघन या आकारिकी ग्राफ को प्रतिनिधित्व करता है। वितरण के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व की दो शाखाओं का सामान्यतः उपयोग किया जाता है, ये दो शाखाएं बायेसियन नेटवर्क और मार्कोव अनियमित क्षेत्र हैं। दोनों समूह गुणनखंड और अभिकलन के गुणों को सम्मिलित करते हैं, लेकिन वे उन अभिकलनों के समुच्चय में भिन्न होते हैं जिन्हें वे सांकेतिक रूप से प्रयोग कर सकते हैं और वे वितरण के गुणनखंड को प्रेरित करते हैं।

अप्रत्यक्ष ग्राफिकल मॉडल

File:Examples of an Undirected Graph.svg

चार शीर्षों वाला एक अप्रत्यक्ष ग्राफ।

दिखाए गए अप्रत्यक्ष ग्राफ कई व्याख्याओं में से एक हो सकती है; सामान्य विशेषता यह है कि सीमाओं की उपस्थिति का तात्पर्य संगत आकस्मिक चर के बीच किसी प्रकार की निर्भरता से है। वितरण के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व की दो शाखाओं का सामान्यतः उपयोग किया जाता है, वे सामान्यतः संभावित सिद्धांत, सांख्यिकी-विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी और यांत्रिक अधिगम में उपयोग किए जाते हैं। इस ग्राफ से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि $B,C,D$ एक बार सभी परस्पर स्वतंत्र हैं, एक बार $A$ ज्ञात होने पर परिणामतः (समकक्ष रूप से इस सन्दर्भ में) यह कहा जा सकता है कि

$P[A,B,C,D]=f_{AB}[A,B]\cdot f_{AC}[A,C]\cdot f_{AD}[A,D]$

कुछ गैर-नकारात्मक फलन के लिए $f_{AB},f_{AC},f_{AD}$ होता है।

बायेसियन नेटवर्क

Main article: बायेसियन नेटवर्क

File:Example of a Directed Graph.svg

चार शीर्षों पर निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ का उदाहरण।

यदि मॉडल की नेटवर्क संरचना एक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ है, इस ग्राफ से हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि $B,C,D$ एक बार सभी परस्पर स्वतंत्र हैं, तो मॉडल सभी आकस्मिक चरों की संयुक्त संभावना के गुणनखंड का प्रतिनिधित्व करता है। यदि अधिक निर्धारित, घटनाएं $X_{1},\ldots ,X_{n}$ हैं तब संयुक्त संभावना संतुष्ट होती है।

$P[X_{1},\ldots ,X_{n}]=\prod _{i=1}^{n}P[X_{i}|{\text{pa}}(X_{i})]$

जहाँ ${\text{pa}}(X_{i})$ नोड $X_{i}$ (किनारों के साथ नोड्स की ओर निर्देशित $X_{i}$) के मूल प्रमुख का समुच्चय है। दूसरे शब्दों में, प्रतिबंधात्मक वितरण के उत्पाद में संयुक्त वितरण आकारिकी का समुच्चय है। उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए निर्देशित चक्रीय ग्राफ में यह गुणनखंड होगा।

$P[A,B,C,D]=P[A]\cdot P[B|A]\cdot P[C|A]\cdot P[D|A,C]$.

कोई भी दो नोड अपने मूल प्रमुख के मानों को देखते हुए प्रतिबंधात्मक रूप से स्वतंत्र हैं, सामान्यतः, नोड्स के किसी भी दो समुच्चय प्रतिबंधात्मक रूप से स्वतंत्र होते हैं, यदि डी-पृथक्करण नामक एक मानदंड ग्राफ में रहता है। बायेसियन नेटवर्क में स्थानीय अभिकलन और वैश्विक अभिकलन समान हैं।

इस प्रकार के ग्राफिकल मॉडल को निर्देशित ग्राफिकल मॉडल, बायेसियन नेटवर्क या पूर्वोत्तरपद नेटवर्क के रूप में जाना जाता है। प्रथम श्रेणी का यांत्रिक लर्निंग मॉडल जैसे छिपे हुए मार्कोव मॉडल, तंत्रिकीय - तंत्र और नए मॉडल जैसे चर-क्रम मार्कोव मॉडल को बायेसियन नेटवर्क के विशेष सन्दर्भ माना जा सकता है।

सबसे सरल बायेसियन नेटवर्क में से एक अनुभवहीन बेज़ वर्गीकरण है।

चक्रीय निर्देशित ग्राफिकल मॉडल

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निर्देशित, चक्रीय ग्राफिकल मॉडल का एक उदाहरण। प्रत्येक तीर एक निर्भरता को इंगित करता है। इस उदाहरण में: D, A, B और C पर निर्भर करता है; और C, B और D पर निर्भर करता है; जबकि A और B प्रत्येक स्वतंत्र हैं।

अगला आंकड़ा एक चक्र के साथ एक ग्राफिकल मॉडल को दर्शाता है। इसकी व्याख्या किसी न किसी रूप में इसके मूल प्रमुख के मानों के 'आधार' पर प्रत्येक चर के संदर्भ में की जा सकती है।

दिखाया गया विशेष ग्राफ एक संयुक्त संभावित घनत्व का सुझाव देता है जो आकारिकी के रूप में होता है। उदाहरण के लिए, चित्र में दिखाए गए निर्देशित चक्रीय ग्राफ में यह गुणनखंड होगा।$P[A,B,C,D]=P[A]\cdot P[B]\cdot P[C,D|A,B]$,

लेकिन अन्य व्याख्याएं भी संभव हैं।

अन्य प्रकार

• निर्भरता नेटवर्क (ग्राफिकल मॉडल) जहां चक्रों की अनुमति है।
• ट्री संवर्धित वर्गीकरण या टैन मॉडल में चक्रों की अनुमति है।

प्रवाल डेटासमुच्चय के लिए टैन मॉडल।

• लक्षित बायेसियन नेटवर्क लर्निंग (टीबीएनएल)
  

  कोरल डेटासमुच्चय के लिए टीबीएनएल मॉडल
  *एक आकारिकी ग्राफ एक अप्रत्यक्ष द्विदलीय ग्राफ है जो चर और आकारिकी को जोड़ता है। प्रत्येक आकारिकी उन चरों पर एक फलन का प्रतिनिधित्व करता है जिनसे यह जुड़ा हुआ है। पूर्वोत्तरपद प्रसारण को समझने और लागू करने के लिए यह एक उपयोगी प्रतिनिधित्व है। निर्भरता नेटवर्क (ग्राफिकल मॉडल) जहां चक्रों की अनुमति है।
• एक क्लिक ट्री या जंक्शन ट्री, गुट (ग्राफ सिद्धांत) का एक ट्री (ग्राफ सिद्धांत) है, जिसका उपयोग जंक्शन ट्री कलन विधि में किया जाता है।
• एक श्रृंखला ग्राफ एक ऐसा ग्राफ है जिसमें निर्देशित और अप्रत्यक्ष दोनों सीमाएं हो सकते हैं, लेकिन बिना किसी निर्देशित चक्र के (अर्थात यदि हम किसी शीर्ष पर प्रारम्भ करते हैं और किसी भी तीर की दिशाओं का सम्मान करते हुए ग्राफ के साथ आगे बढ़ते हैं, तो हम उस शीर्ष पर वापस नहीं लौट सकते हैं जहां से हमने प्रारम्भ किया था) यदि हमने एक तीर स्वीकार्य किया है। निर्देशित चक्रीय रेखांकन और अप्रत्यक्ष रेखांकन दोनों श्रृंखला रेखांकन के विशेष सन्दर्भ हैं, जो बायेसियन और मार्कोव नेटवर्क को एकीकृत और सामान्य बनाने का एक तरीका प्रदान कर सकते हैं।
• पूर्वज संबंधी ग्राफ एक अन्य विस्तार है, जिसमें निर्देशित, द्विदिश और अप्रत्यक्ष सीमाओं हैं।
• आकस्मिक क्षेत्र तकनीकें मार्कोव आकस्मिक क्षेत्र, जिसे मार्कोव नेटवर्क के रूप में भी जाना जाता है, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ पर एक मॉडल है। कई दोहराई गई उप इकाई के साथ एक ग्राफिकल मॉडल को एकलविमीय अंकन के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है।
• एक प्रतिबंधात्मक आकस्मिक क्षेत्र एक भेदभावपूर्ण मॉडल है जो एक अप्रत्यक्ष ग्राफ पर निर्दिष्ट है।
• एक प्रतिबंधित बोल्ट्जमैन यांत्रिक एक द्विदलीय ग्राफ जनरेटिव मॉडल है जो एक अप्रत्यक्ष ग्राफ पर निर्दिष्ट है।

अनुप्रयोग

मॉडल का प्रारूप, जो जटिल वितरण में संरचना की खोज और विश्लेषण के लिए उन्हें संक्षिप्त रूप से वर्णन करने और असंरचित जानकारी निकालने के लिए कलन विधि को प्रदान करता है, निर्देशित चक्रीय रेखांकन और अप्रत्यक्ष रेखांकन दोनों श्रृंखला रेखांकन के विशेष सन्दर्भ हैं, वह उन्हें प्रभावी ढंग से निर्मित और उपयोग करने की अनुमति देता है। एक प्रतिबंधात्मक आकस्मिक क्षेत्र एक भेदभावपूर्ण मॉडल है जो एक अप्रत्यक्ष ग्राफ पर निर्दिष्ट है। ग्राफिकल मॉडल के अनुप्रयोगों में कारण अनुमान, सूचना निष्कर्षण, भाषण मान्यता, कंप्यूटर दृष्टि, कम घनत्व समानता-जांच कोड का डिकोडिंग, जीन नियामक नेटवर्क का मॉडलिंग, जीन खोज और रोगों का निदान, और प्रोटीन संरचना के लिए ग्राफिकल मॉडल सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

• पूर्वोत्तरपद प्रसारण
• संरचनात्मक समीकरण मॉडल

अग्रिम पठन

पुस्तकें और पुस्तक अध्याय

• Barber, David (2012). बायेसियन रीजनिंग एंड मशीन लर्निंग. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51814-7.

• Bishop, Christopher M. (2006). "Chapter 8. Graphical Models" (PDF). पैटर्न मान्यता और मशीन प्रवीणता. Springer. pp. 359–422. ISBN 978-0-387-31073-2. MR 2247587.
• Cowell, Robert G.; Dawid, A. Philip; Lauritzen, Steffen L.; Spiegelhalter, David J. (1999). संभाव्य नेटवर्क और विशेषज्ञ प्रणाली. Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-98767-5. MR 1697175. एक अधिक उन्नत और सांख्यिकीय रूप से उन्मुख पुस्तक
• Jensen, Finn (1996). बायेसियन नेटवर्क का परिचय. Berlin: Springer. ISBN 978-0-387-91502-9.
• Pearl, Judea (1988). इंटेलिजेंट सिस्टम में संभाव्य तर्क (2nd revised ed.). San Mateo, CA: Morgan Kaufmann. ISBN 978-1-55860-479-7. MR 0965765. एक कम्प्यूटेशनल रीज़निंग दृष्टिकोण, जहाँ ग्राफ और संभावनाओं के बीच संबंधों को औपचारिक रूप से पेश किया गया था।

जर्नल लेख

• Edoardo M. Airoldi (2007). "संभाव्य ग्राफिकल मॉडल में प्रारंभ करना". PLOS Computational Biology. 3 (12): e252. arXiv:0706.2040. Bibcode:2007PLSCB...3..252A. doi:10.1371/journal.pcbi.0030252. PMC 2134967. PMID 18069887.
• Jordan, M. I. (2004). "ग्राफिकल मॉडल". Statistical Science. 19: 140–155. doi:10.1214/088342304000000026.
• Ghahramani, Zoubin (May 2015). "संभाव्य मशीन सीखने और कृत्रिम बुद्धि". Nature (in English). 521 (7553): 452–459. Bibcode:2015Natur.521..452G. doi:10.1038/nature14541. PMID 26017444. S2CID 216356.

अन्य

• Heckerman's Bayes Net Learning Tutorial
• ग्राफिकल मॉडल और बायेसियन नेटवर्क का संक्षिप्त परिचय
• संभावित ग्राफिकल मॉडल पर सरगुर श्रीहरि का व्याख्यान स्लाइड

बाहरी संबंध

• Graphical models and Conditional Random Fields
• Probabilistic Graphical Models taught by Eric Xing at CMU