जैक्सन नेटवर्क: Difference between revisions

Revision as of 17:32, 12 June 2023

पंक्तियां सिद्धांत में, संभावना के गणितीय सिद्धांत के भीतर अनुशासन, जैक्सन नेटवर्क (कभी-कभी जैकसोनियन नेटवर्क^[1]) पंक्तिबद्ध नेटवर्क का वर्ग है जहां संतुलन वितरण विशेष रूप से गणना करने के लिए सरल होता है क्योंकि नेटवर्क में उत्पाद-रूप समाधान होता है। पंक्तियां के नेटवर्क के सिद्धांत में यह पहला महत्वपूर्ण विकास था, और अन्य नेटवर्कों में समान उत्पाद-रूप समाधानों की खोज के लिए प्रमेय के विचारों को सामान्य बनाना और लागू करना बहुत शोध का विषय रहा है,^[2] इंटरनेट के विकास में प्रयुक्त विचारों सहित।^[3] नेटवर्क की जेम्स आर. जैक्सन द्वारा पहचान सबसे पहले की गई थी^[4]^[5] और उनके पेपर को जर्नल मैनेजमेंट साइंस के 'टेन मोस्ट इन्फ्लुएंशियल टाइटल्स ऑफ मैनेजमेंट साइंसेज फर्स्ट फिफ्टी इयर्स' में फिर से छापा गया था।^[6]

जैक्सन बर्क और रीच के काम से प्रेरित थे,^[7] यद्यपि जीन वालरैंड ने "उत्पाद-रूप के परिणामों को नोट किया है ... [हैं] जैक्सन की तुलना में आउटपुट प्रमेय का बहुत कम तात्कालिक परिणाम है जो खुद अपने मौलिक पेपर में विश्वास करने के लिए दिखाई दिया"।^[8]

अग्रानुक्रम पंक्तियां (पंक्तियां की परिमित श्रृंखला जहां प्रत्येक ग्राहक को प्रत्येक पंक्ति में क्रम से जाना चाहिए) और चक्रीय नेटवर्क (पंक्तियां का लूप जहां प्रत्येक ग्राहक को क्रम में प्रत्येक पंक्ति में जाना चाहिए) के लिए आर.आर.पी. जैक्सन द्वारा पूर्व उत्पाद-रूप समाधान पाया गया था।^[9]

जैक्सन नेटवर्क में कई नोड्स होते हैं, जहां प्रत्येक नोड पंक्ति का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें सेवा दर दोनों नोड-निर्भर हो सकती है (विभिन्न नोड्स में अलग-अलग सेवा दरें होती हैं) और स्थिति-निर्भर (पंक्ति की लंबाई के आधार पर सेवा दरें बदलती हैं)। निश्चित रूटिंग मैट्रिक्स के बाद नौकरियां नोड्स के बीच यात्रा करती हैं। प्रत्येक नोड पर सभी नौकरियां एक ही वर्ग से संबंधित हैं और नौकरियां समान सेवा-समय वितरण और समान रूटिंग तंत्र का पालन करती हैं। फलस्वरूप, नौकरियों की सेवा में प्राथमिकता की कोई धारणा नहीं है: प्रत्येक नोड पर सभी नौकरियां पहले आओ, पहले पाओ के आधार पर दी जाती हैं।

जैक्सन नेटवर्क जहां नौकरियों की सीमित आबादी एक बंद नेटवर्क के आसपास घूमती है, वहां गॉर्डन-नेवेल प्रमेय द्वारा वर्णित उत्पाद-रूप समाधान भी है।^[10]

जैक्सन नेटवर्क के लिए आवश्यक शर्तें

m परस्पर जुड़ी पंक्तियां के नेटवर्क को 'जैक्सन नेटवर्क' ^[11] या जैकसोनियन नेटवर्क^[12] के रूप में जाना जाता है यदि यह निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:

यदि नेटवर्क खुला है, नोड के लिए कोई भी बाहरी आगमन पॉसॉन प्रक्रिया बनाता है,
सभी सेवा समय घातीय रूप से वितरित किए जाते हैं और सभी पंक्तियां में सेवा अनुशासन पहले आओ पहले पाओ वाला है,
पंक्ति में सेवा पूरी करने वाला ग्राहक या तो संभावना के साथ कुछ नई पंक्ति j में चला जाएगा $P_{ij}$ या प्रणाली को संभाव्यता के साथ छोड़ दें $1-\sum _{j=1}^{m}P_{ij}$ , जो खुले नेटवर्क के लिए पंक्तियां के कुछ सबसेट के लिए गैर-शून्य है,
सभी पंक्तियां का उपयोग एक से कम है।

प्रमेय

एम एम/एम/1 पंक्तियां के खुले जैक्सन नेटवर्क में जहां उपयोग होता है $\rho _{i}$ प्रत्येक पंक्ति में 1 से कम है, संतुलन स्थिति संभाव्यता वितरण मौजूद है और स्थिति के लिए $\scriptstyle {(k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m})}$ व्यक्तिगत पंक्ति संतुलन वितरण के उत्पाद द्वारा दिया जाता है

\pi (k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m})=\prod _{i=1}^{m}\pi _{i}(k_{i})=\prod _{i=1}^{m}[\rho _{i}^{k_{i}}(1-\rho _{i})].

परिणाम $\pi (k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m})=\prod _{i=1}^{m}\pi _{i}(k_{i})$ c_i सर्वर के साथ एम/एम/सी मॉडल स्टेशनों के लिए भी है $i^{\text{th}}$ स्टेशन, उपयोग की आवश्यकता के साथ $\rho _{i}<c_{i}$ .

परिभाषा

खुले नेटवर्क में, दर के साथ पॉइसन प्रक्रिया के बाद नौकरियां बाहर से आती हैं $\alpha >0$ । प्रत्येक आगमन को संभावना के साथ स्वतंत्र रूप से नोड j पर रूट किया जाता है $p_{0j}\geq 0$ और $\sum _{j=1}^{J}p_{0j}=1$ . नोड I पर सेवा पूर्ण होने पर, कार्य संभाव्यता के साथ दूसरे नोड j पर जा सकता है $p_{ij}$ या संभाव्यता के साथ नेटवर्क छोड़ दें $p_{i 0} = 1 - \sum_{j = 1}^{J} p_{i j <}$

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-{{short description|Mathematical discipline}}[[कतार सिद्धांत|पंक्तियां सिद्धांत]] में, संभावना के गणितीय सिद्धांत के भीतर अनुशासन, जैक्सन नेटवर्क (कभी-कभी जैकसोनियन नेटवर्क<ref>{{Cite journal | last1 = Walrand | first1 = J. | author-link1 = Jean Walrand| last2 = Varaiya | first2 = P. | title = सोजर्न टाइम्स एंड द ओवरटेकिंग कंडीशन इन जैकसोनियन नेटवर्क्स| journal = Advances in Applied Probability| volume = 12 | issue = 4 | pages = 1000–1018 | doi = 10.2307/1426753 | jstor = 1426753| year = 1980 }}</ref>) पंक्तिबद्ध नेटवर्क का वर्ग है जहां [[संतुलन वितरण]] विशेष रूप से गणना करने के लिए सरल होता है क्योंकि नेटवर्क में [[उत्पाद-रूप समाधान]] होता है। पंक्तियां के नेटवर्क के सिद्धांत में यह पहला महत्वपूर्ण विकास था, और अन्य नेटवर्कों में समान उत्पाद-रूप समाधानों की खोज के लिए प्रमेय के विचारों को सामान्य बनाना और लागू करना बहुत शोध का विषय रहा है,<ref>{{cite journal|title=कतारों का जाल|author-link=F. P. Kelly|first=F. P.|last=Kelly|journal=Advances in Applied Probability|volume=8|date=June 1976|pages=416–432|jstor=1425912|issue=2|doi=10.2307/1425912}}</ref> इंटरनेट के विकास में प्रयुक्त विचारों सहित।<ref>{{cite journal|title=Comments on "Jobshop-Like Queueing Systems": The Background|first=James R.|last=Jackson|journal=[[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]|volume=50|date=December 2004|pages=1796–1802|jstor=30046150|issue=12|doi=10.1287/mnsc.1040.0268}}</ref> नेटवर्क की जेम्स आर. जैक्सन द्वारा पहचान सबसे पहले की गई थी<ref name="jackson">{{cite journal|title=जॉबशॉप-जैसी क्यूइंग सिस्टम|first=James R.|last=Jackson|journal=[[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]|volume=10|date=Oct 1963|pages=131–142|doi=10.1287/mnsc.1040.0268|jstor=2627213|issue=1}} A version from January 1963 is available at http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/296776.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180412210004/http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/296776.pdf |date=2018-04-12 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Jackson | first1 = J. R. | author-link = James R. Jackson| title = वेटिंग लाइन्स का नेटवर्क| doi = 10.1287/opre.5.4.518 | journal = Operations Research | volume = 5 | issue = 4 | pages = 518–521 | year = 1957 | jstor = 167249}}</ref> और उनके पेपर को जर्नल मैनेजमेंट साइंस के 'टेन मोस्ट इन्फ्लुएंशियल टाइटल्स ऑफ मैनेजमेंट साइंसेज फर्स्ट फिफ्टी इयर्स' में फिर से छापा गया था।<ref>{{cite journal|title=जॉबशॉप-लाइक क्यूइंग सिस्टम|first=James R.|last=Jackson|journal=[[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]|volume=50|date=December 2004|pages=1796–1802|jstor=30046149|issue=12|doi=10.1287/mnsc.1040.0268}}</ref>
+{{short description|Mathematical discipline}}[[कतार सिद्धांत|पंक्तियां सिद्धांत]] में, संभावना के गणितीय सिद्धांत के भीतर अनुशासन, '''जैक्सन नेटवर्क''' (कभी-कभी '''जैकसोनियन नेटवर्क'''<ref>{{Cite journal | last1 = Walrand | first1 = J. | author-link1 = Jean Walrand| last2 = Varaiya | first2 = P. | title = सोजर्न टाइम्स एंड द ओवरटेकिंग कंडीशन इन जैकसोनियन नेटवर्क्स| journal = Advances in Applied Probability| volume = 12 | issue = 4 | pages = 1000–1018 | doi = 10.2307/1426753 | jstor = 1426753| year = 1980 }}</ref>) पंक्तिबद्ध नेटवर्क का वर्ग है जहां [[संतुलन वितरण]] विशेष रूप से गणना करने के लिए सरल होता है क्योंकि नेटवर्क में [[उत्पाद-रूप समाधान]] होता है। पंक्तियां के नेटवर्क के सिद्धांत में यह पहला महत्वपूर्ण विकास था, और अन्य नेटवर्कों में समान उत्पाद-रूप समाधानों की खोज के लिए प्रमेय के विचारों को सामान्य बनाना और लागू करना बहुत शोध का विषय रहा है,<ref>{{cite journal|title=कतारों का जाल|author-link=F. P. Kelly|first=F. P.|last=Kelly|journal=Advances in Applied Probability|volume=8|date=June 1976|pages=416–432|jstor=1425912|issue=2|doi=10.2307/1425912}}</ref> इंटरनेट के विकास में प्रयुक्त विचारों सहित।<ref>{{cite journal|title=Comments on "Jobshop-Like Queueing Systems": The Background|first=James R.|last=Jackson|journal=[[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]|volume=50|date=December 2004|pages=1796–1802|jstor=30046150|issue=12|doi=10.1287/mnsc.1040.0268}}</ref> नेटवर्क की जेम्स आर. जैक्सन द्वारा पहचान सबसे पहले की गई थी<ref name="jackson">{{cite journal|title=जॉबशॉप-जैसी क्यूइंग सिस्टम|first=James R.|last=Jackson|journal=[[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]|volume=10|date=Oct 1963|pages=131–142|doi=10.1287/mnsc.1040.0268|jstor=2627213|issue=1}} A version from January 1963 is available at http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/296776.pdf {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20180412210004/http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/296776.pdf |date=2018-04-12 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Jackson | first1 = J. R. | author-link = James R. Jackson| title = वेटिंग लाइन्स का नेटवर्क| doi = 10.1287/opre.5.4.518 | journal = Operations Research | volume = 5 | issue = 4 | pages = 518–521 | year = 1957 | jstor = 167249}}</ref> और उनके पेपर को जर्नल मैनेजमेंट साइंस के 'टेन मोस्ट इन्फ्लुएंशियल टाइटल्स ऑफ मैनेजमेंट साइंसेज फर्स्ट फिफ्टी इयर्स' में फिर से छापा गया था।<ref>{{cite journal|title=जॉबशॉप-लाइक क्यूइंग सिस्टम|first=James R.|last=Jackson|journal=[[Management Science: A Journal of the Institute for Operations Research and the Management Sciences|Management Science]]|volume=50|date=December 2004|pages=1796–1802|jstor=30046149|issue=12|doi=10.1287/mnsc.1040.0268}}</ref>
 जैक्सन बर्क और रीच के काम से प्रेरित थे,<ref>{{cite journal|title=वेटिंग टाइम्स जब कतारें अग्रानुक्रम में हों|journal=[[Annals of Mathematical Statistics]]|volume=28|date=September 1957|first=Edgar|last=Reich|doi=10.1214/aoms/1177706889|jstor=2237237|issue=3|pages=768|doi-access=free}}</ref> यद्यपि [[ जीन वालरांड | जीन वालरैंड]] ने "उत्पाद-रूप के परिणामों को नोट किया है ... [हैं] जैक्सन की तुलना में आउटपुट प्रमेय का बहुत कम तात्कालिक परिणाम है जो खुद अपने मौलिक पेपर में विश्वास करने के लिए दिखाई दिया"।<ref>{{cite journal|title=अर्ध-प्रतिवर्ती कतारों के नेटवर्क पर एक संभावित नज़र|journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]]|volume=29|date=November 1983|first=Jean|last=Walrand|doi=10.1109/TIT.1983.1056762|issue=6|pages=825}}</ref>
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 == सामान्यीकृत जैक्सन नेटवर्क ==
-'''सामान्यीकृत''' जैक्सन नेटवर्क [[नवीनीकरण प्रक्रिया]] की अनुमति देता है, जिसके लिए पोइसन प्रक्रियाओं की आवश्यकता नहीं होती है, और स्वतंत्र, समान रूप से गैर-घातीय सेवा समय वितरित किया जाता है। सामान्य तौर पर, इस नेटवर्क में उत्पाद-रूप समाधान नहीं होता है। उत्पाद-रूप स्थिर वितरण होता है, इसलिए सन्निकटन मांगा जाता है।<ref>{{cite book|title=Fundamentals of Queueing Networks: Performance, Asymptotics, and Optimization|first1=Hong|last1=Chen|first2=David D.|last2=Yao|publisher=Springer|year=2001|isbn=0-387-95166-0}}</ref>
+सामान्यीकृत जैक्सन नेटवर्क [[नवीनीकरण प्रक्रिया|नवीनीकरण प्रक्रियाओं]] की अनुमति देता है, जिसके लिए प्वासोंप्रक्रिया की आवश्यकता नहीं होती है, और स्वतंत्र, समान रूप से गैर-घातीय सेवा समय वितरित किया जाता है। सामान्य तौर पर, इस नेटवर्क में उत्पाद-रूप स्थिर वितरण नहीं होता है, इसलिए अनुमानों की मांगा की जाती है।<ref>{{cite book|title=Fundamentals of Queueing Networks: Performance, Asymptotics, and Optimization|first1=Hong|last1=Chen|first2=David D.|last2=Yao|publisher=Springer|year=2001|isbn=0-387-95166-0}}</ref>
 === ब्राउनियन सन्निकटन ===
-कुछ हल्की परिस्थितियों में पंक्ति-लंबाई की प्रक्रिया{{clarify|date=January 2013}} <math>Q(t)</math> एक खुले सामान्यीकृत जैक्सन नेटवर्क के रूप में परिभाषित एक परिलक्षित ब्राउनियन गति द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है <math> \operatorname{RBM}_{Q(0)}(\theta,\Gamma;R).</math>, कहाँ <math> \theta </math> प्रक्रिया का बहाव है, <math> \Gamma </math> सहप्रसरण मैट्रिक्स है, और <math> R </math> प्रतिबिंब मैट्रिक्स है। यह सामान्य जैक्सन नेटवर्क के बीच सजातीय [[द्रव नेटवर्क]] और परिलक्षित ब्राउनियन गति के बीच संबंध द्वारा प्राप्त एक दो-क्रम सन्निकटन है।
+कुछ हल्की परिस्थितियों में पंक्ति-लंबाई की प्रक्रिया{{clarify|date=January 2013}} खुले सामान्यीकृत जैक्सन नेटवर्क के  <math>Q(t)</math> रूप में परिभाषित प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है <math> \operatorname{RBM}_{Q(0)}(\theta,\Gamma;R).</math>, जहां <math> \theta </math> प्रक्रिया का बहाव है, <math> \Gamma </math> सहप्रसरण मैट्रिक्स है, और <math> R </math> प्रतिबिंब मैट्रिक्स है। यह सामान्य जैक्सन नेटवर्क के बीच सजातीय [[द्रव नेटवर्क]] और प्रतिबिंबित ब्राउनियन गति के बीच संबंध द्वारा प्राप्त एक दो-क्रम समीपता है।
 परिलक्षित ब्राउनियन प्रक्रिया के पैरामीटर निम्नानुसार निर्दिष्ट हैं:
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 जहां प्रतीकों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 {|class="wikitable"
-|+Definitions of symbols in the approximation formula
+|+समीपता सूत्र में प्रतीकों की परिभाषाएँ
-! symbol !!  Meaning
+! प्रतीक !!  अर्थ
 |-
-| <math> \alpha=(\alpha_j)_{j=1}^J </math>|| a ''J''-vector specifying the arrival rates to each node.
+| <math> \alpha=(\alpha_j)_{j=1}^J </math>|| एक जे-वेक्टर प्रत्येक नोड के लिए आगमन दर निर्दिष्ट करता है।
 |-
-| <math> \mu=(\mu)_{j=1}^J </math> || a ''J''-vector specifying the service rates of each node.
+| <math> \mu=(\mu)_{j=1}^J </math> || एक जे-वेक्टर प्रत्येक नोड की सेवा दरों को निर्दिष्ट करता है।
 |-
-| <math> P </math> || routing matrix.
+| <math> P </math> || रूटिंग मैट्रिक्स।
 |-
-| <math> \lambda_j </math>|| effective arrival of <math> j^\text{th} </math> node.
+| <math> \lambda_j </math>|| प्रभावी आगमन का 𝑗वां नोड।
 |-
-| <math> c_j </math> || variation of service time at <math> j^\text{th} </math> node.
+| <math> c_j </math> || सेवा समय में परिवर्तन 𝑗वां  नोड।
 |-
-| <math> c_{0,j} </math> || variation of inter-arrival time at <math> j^\text{th}</math> node.
+| <math> c_{0,j} </math> || अंतर-आगमन समय की भिन्नता पर 𝑗वां नोड।
 |-
-| <math> \delta_{ij} </math> || coefficients to specify correlation between nodes.{{hidden begin
+| <math> \delta_{ij} </math> || नोड्स के बीच सहसंबंध निर्दिष्ट करने के लिए गुणांक।{{hidden begin
 |toggle     = left}}
 They are defined in this way: Let <math>A(t)</math> be the arrival process of the system, then <math>A(t)-\alpha t {}\approx \hat{A}(t)</math> in distribution, where <math>\hat{A}(t)</math> is a driftless Brownian process with covariate matrix <math>\Gamma^0=(\Gamma^0_{ij})</math>, with <math>\Gamma^0_{ij}=\alpha_i c_{0,i}^2 \delta_{ij}</math>, for any <math>i,j\in \{1,\dots,J\}</math>
 {{hidden end}}
 |}
 == यह भी देखें ==

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