उत्पाद माप

गणित में, दो मापने योग्य रिक्त स्थान और उन पर माप दिए जाने पर, कोई उत्पाद मापने योग्य स्थान और उस स्थान पर उत्पाद माप प्राप्त कर सकता है। संकल्पनात्मक रूप से, यह सेट के कार्टेशियन उत्पाद और दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के उत्पाद टोपोलॉजी को परिभाषित करने के समान होता है, अतिरिक्त इसके कि उत्पाद माप के लिए कई प्राकृतिक विकल्प हो सकते है।

मान लेते है $(X_{1},\Sigma _{1})$ और $(X_{2},\Sigma _{2})$ दो मापने योग्य स्थान है, अर्थात, $\Sigma _{1}$ और $\Sigma _{2}$ सिग्मा बीजगणित प्रारंभ है $X_{1}$ और $X_{2}$ क्रमशः, और $\mu _{1}$ और $\mu _{2}$ इन स्थानों पर उपाय करता है। इनके द्वारा निरूपित करता है $\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2}$ कार्टेशियन उत्पाद पर सिग्मा बीजगणित $X_{1}\times X_{2}$ प्रपत्र के सबसेट द्वारा उत्पन्न है $B_{1}\times B_{2}$, जहाँ $B_{1}\in \Sigma _{1}$ और $B_{2}\in \Sigma _{2}.$ इस सिग्मा बीजगणित को उत्पाद स्थान पर टेंसर-उत्पाद σ-बीजगणित कहा जाता है।

एक उत्पाद उपाय $\mu _{1}\times \mu _{2}$ (द्वारा भी दर्शाया गया है $\mu _{1}\otimes \mu _{2}$ कई लेखकों द्वारा) मापने योग्य स्थान पर एक उपाय के रूप में परिभाषित किया गया है $(X_{1}\times X_{2},\Sigma _{1}\otimes \Sigma _{2})$ संपत्ति को संतुष्ट करता है

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(B_{1}\times B_{2})=\mu _{1}(B_{1})\mu _{2}(B_{2})$

सभी के लिए

$B_{1}\in \Sigma _{1},\ B_{2}\in \Sigma _{2}$.

गुणन के उपायों में, जिनमें से कुछ अनंत होते है, हम उत्पाद को शून्य के रूप में परिभाषित करते है यदि कोई कारक शून्य होता है।

वास्तव में, जब रिक्त स्थान होते है $\sigma$-परिमित, उत्पाद माप विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है, और प्रत्येक मापने योग्य सेट E के लिए,

$(\mu _{1}\times \mu _{2})(E)=\int _{X_{2}}\mu _{1}(E^{y})\,d\mu _{2}(y)=\int _{X_{1}}\mu _{2}(E_{x})\,d\mu _{1}(x),$

जहाँ $E_{x}=\{y\in X_{2}|(x,y)\in E\}$ और $E^{y}=\{x\in X_{1}|(x,y)\in E\}$, जो दोनों मापने योग्य सेट होते है।

इस उपाय के अस्तित्व की गारंटी हैन-कोल्मोगोरोव प्रमेय द्वारा दी गई है। उत्पाद माप की विशि�