जैकोबी विधि: Difference between revisions

Revision as of 11:15, 31 May 2023

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में जैकोबी विधि रैखिक समीकरणों के विकर्ण प्रभावी प्रणाली के समाधान को निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक विकर्ण अवयव के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरित न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर रखा गया है।

विवरण

चलो $A\mathbf {x} =\mathbf {b}$ , n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:

A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}},\qquad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}.

जब

A

और

\mathbf {b}

ज्ञात हैं, और

\mathbf {x}

अज्ञात है, हम अनुमानित

\mathbf {x}

के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश

\mathbf {x} ^{(0)}

के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान

\mathbf {x}

को दर्शाता है (अक्सर

\mathbf {x} _{i}^{(0)}=0

के लिए

i=1,2,...,n

) के रूप में निरूपित करते हैं

\mathbf {x} ^{(k)}

को

\mathbf {x}

के k-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में निरुपित करते है, और

\mathbf {x} ^{(k+1)}

का अगला पुनरावृत्ति ( k+1) है .

मैट्रिक्स आधारित सूत्र

तब A को एक विकर्ण घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:

A = D + L + U where D = [\begin{matrix} a_{11} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{22} & \dots & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & a_{n n} \end{matrix}] and L + U = [\begin{matrix} 0 & a_{12} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & 0 & \dots & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} \end{matrix}

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 {{Distinguish|Jacobi eigenvalue algorithm}}
-[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में जैकोबी विधि  रैखिक समीकरणों के पूरी तरह से विकर्ण  प्रभावी प्रणाली के समाधान को  निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है। प्रत्येक विकर्ण तत्व के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा  जाता है। प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरण न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के नाम पर रखा गया है।
+[[संख्यात्मक रैखिक बीजगणित]] में जैकोबी विधि रैखिक समीकरणों के विकर्ण प्रभावी प्रणाली के समाधान को निर्धारण करने के लिए एक पुनरावृत्ति एल्गोरिथ्म है, जो प्रत्येक विकर्ण अवयव के लिए हल किया जाता है, और अनुमानित मान को रखा जाता है। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि यह अभिसरित न हो जाए। यह एल्गोरिथम आव्यूह विकर्णन के जैकोबी परिवर्तन बिधि का एक स्ट्रिप्ड-डाउन संस्करण है। इस विधि का नाम [[कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी]] के नाम पर रखा गया है।
 == विवरण ==
-चलो <math>A\mathbf x = \mathbf b</math> n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:<math display="block">A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad  \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>
+चलो <math>A\mathbf x = \mathbf b</math>, n रैखिक समीकरणों की एक वर्ग प्रणाली हो, जहाँ:<math display="block">A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}, \qquad  \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \qquad  \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix}.</math>
-जब <math>A</math> और <math>\mathbf b</math> ज्ञात हैं, और <math>\mathbf x</math> अज्ञात है, हम अनुमानित <math>\mathbf x</math> के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश <math>\mathbf x^{(0)}</math> के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान को दर्शाता है <math>\mathbf x</math> (अक्सर <math>\mathbf x^{(0)}_i=0</math> के लिए <math>i=1,2,...,n</math>). हम निरूपित करते हैं <math>\mathbf{x}^{(k)}</math> के-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में <math>\mathbf{x}</math>, और <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> का अगला (या k+1) पुनरावृत्ति है <math>\mathbf{x}</math>.
+जब <math>A</math> और <math>\mathbf b</math> ज्ञात हैं, और <math>\mathbf x</math> अज्ञात है, हम अनुमानित <math>\mathbf x</math> के लिए जैकोबी विधि का उपयोग कर सकते हैं। सदिश <math>\mathbf x^{(0)}</math> के लिए हमारे प्रारंभिक अनुमान <math>\mathbf x</math> को दर्शाता है  (अक्सर <math>\mathbf x^{(0)}_i=0</math> के लिए <math>i=1,2,...,n</math>) के रूप में  निरूपित करते हैं <math>\mathbf{x}^{(k)}</math>को <math>\mathbf{x}</math> के k-वें सन्निकटन या पुनरावृत्ति के रूप में निरुपित करते है, और <math>\mathbf{x}^{(k+1)}</math> का अगला पुनरावृत्ति ( k+1)  है .
 === मैट्रिक्स आधारित सूत्र ===
-तब A को एक [[विकर्ण मैट्रिक्स]] घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:<math display="block">A=D+L+U \qquad \text{where} \qquad D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \text{ and } L+U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>इसके बाद समाधान को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त किया जाता है
+तब A को एक विकर्ण घटक D, एक निचला त्रिकोणीय भाग L और एक ऊपरी त्रिकोणीय भाग U में विघटित किया जा सकता है:<math display="block">A=D+L+U \qquad \text{where} \qquad D = \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \text{ and } L+U = \begin{bmatrix} 0 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & 0 & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & 0 \end{bmatrix}. </math>इसके बाद समाधान को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त किया जाता है
 :<math> \mathbf{x}^{(k+1)} = D^{-1} (\mathbf{b} - (L+U) \mathbf{x}^{(k)}). </math>
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 === तत्व-आधारित सूत्र ===
-प्रत्येक पंक्ति के लिए तत्व-आधारित सूत्र <math>i</math> इस प्रकार है:<math display="block"> x^{(k+1)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\quad i=1,2,\ldots,n. </math>की गणना <math>x_i^{(k+1)}</math> में प्रत्येक तत्व की आवश्यकता है <math>\mathbf{x}^{(k)}</math> खुद को छोड़कर। गॉस-सीडेल पद्धति के विपरीत, हम अधिलेखित नहीं कर सकते <math>x_i^{(k)}</math> साथ <math>x_i^{(k+1)}</math>, क्योंकि शेष गणना के लिए उस मान की आवश्यकता होगी। भंडारण की न्यूनतम मात्रा आकार n के दो वैक्टर हैं।
+प्रत्येक पंक्ति के लिए तत्व-आधारित सूत्र <math>i</math> इस प्रकार है:<math display="block"> x^{(k+1)}_i  = \frac{1}{a_{ii}} \left(b_i -\sum_{j\ne i}a_{ij}x^{(k)}_j\right),\quad i=1,2,\ldots,n. </math><math>x_i^{(k+1)}</math> की गणना के लिए स्वयं को छोड़कर <math>\mathbf{x}^{(k)}</math>में प्रत्येक अवयव की आवश्यकता होती है। गॉस-सीडेल विधि के विपरीत, हम <math>x_i^{(k)}</math> को <math>x_i^{(k+1)}</math> के साथ अधिलेखित नहीं कर सकते क्योंकि शेष गणना के लिए उस मान की आवश्यकता होगी।           भंडारण की न्यूनतम मात्रा आकार n के दो वैक्टर हैं।
 == एल्गोरिथम ==

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