क्रुल रिंग

क्रमविनिमेय बीजगणित में, एक क्रुल वलय, या क्रुल डोमेन, एक क्रमविनिमेय वलय है, जिसमें प्रमुख गुणनखंडन का एक अच्छा व्यवहार सिद्धांत है। वे 1931 में वोल्फगैंग क्रुल द्वारा पेश किए गए थे। वे डेडेकिंड डोमेन का एक उच्च-आयामी सामान्यीकरण हैं, जो अधिकतम 1 पर आयाम के क्रुल डोमेन हैं।

इस लेख में, एक वलय क्रमविनिमेय है और इसमें समानता है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $A$ एक अभिन्न प्रांत है और $P$ को ऊंचाई के $A$ के सभी प्रमुख आदर्शों का सेट होने दें, यानी सभी प्रमुख आदर्शों का सेट जो उचित रूप से कोई गैर-प्रमुख आदर्श नहीं हैं। तो $A$ क्रूर वलय है

1. $A_{\mathfrak {p}}$ सभी ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए असतत मूल्यांकन वलय है।
2. $A$ इन असतत मूल्यांकन वलयों का प्रतिच्छेदन है ($A$ के भागफल क्षेत्र के सबरिंग के रूप में माना जाता है)।
3. $A$ का कोई भी गैर-शून्य तत्व ऊंचाई 1 प्रमुख आदर्शों की केवल एक सीमित संख्या में निहित है।

केवल मूल्यांकन के माध्यम से क्रुल वलयों को चिह्नित करना भी संभव है:

अभिन्न डोमेन $A$ क्रुल रिंग है, अगर $A$ के भिन्न के के क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन $K$ एक परिवार $\{v_{i}\}_{i\in I}$ उपस्थित हैं जैसे:

1. किसी भी $x\in K\setminus \{0\}$ और सभी $i$ के लिए, संभवतः उनकी एक सीमित संख्या को छोड़कर, $v_{i}(x)=0$;
2. किसी भी $x\in K\setminus \{0\}$ के लिए, $x$, $A$ का है यदि और केवल यदि $v_{i}(x)\geq 0$ सभी $i\in I$ के लिए।

मूल्यांकन $v_{i}$ को $A$ का आवश्यक मूल्यांकन कहा जाता है।

दो परिभाषाओं के बीच की कड़ी इस प्रकार है: प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए, कोई $K$ के एक अद्वितीय सामान्यीकृत मूल्यांकन $v_{\mathfrak {p}}$ को संबद्ध कर सकता है जिसका मूल्यांकन वलय $A_{\mathfrak {p}}$ है। तब समुच्चय ${\mathcal {V}}=\{v_{\mathfrak {p}}\}$ समतुल्य परिभाषा की शर्तों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, यदि समुच्चय ${\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}$ ऊपर जैसा है, और $v_{i}$ को सामान्यीकृत किया गया है, तो ${\mathcal {V}}'$ से बड़ा हो सकता है, लेकिन इसमें ${\mathcal {V}}$ शामिल होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, ${\mathcal {V}}$ समान परिभाषा को संतुष्ट करने वाले सामान्यीकृत मूल्यांकन का न्यूनतम सेट है।

क्रुल के वलय को प्रस्तुत करने और परिभाषित करने के अन्य तरीके हैं I क्रुल के वलयों के सिद्धांत को विभाजनकारी आदर्शों के सिद्धांत के साथ सहक्रिया में उजागर किया जा सकता है। इस विषय पर सबसे अच्छे पी. सैमुअल का लेक्चर ऑन यूनिक फैक्टराइजेशन डोमेन संदर्भों में से एक है।

गुण

ऊपर दिए गए नोटेशन के साथ, $v_{\mathfrak {p}}$ मूल्यांकन वलय $A_{\mathfrak {p}}$ के अनुरूप सामान्यीकृत मूल्यांकन को दर्शाता है, $U$$A$ की इकाइयों के सेट को दर्शाता है, और $K$ इसके भागफल क्षेत्र।

• एक अवयव $x\in K$, $U$ से संबंधित है यदि, और केवल यदि, प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए $v_{\mathfrak {p}}(x)=0$ है। दरअसल, इस मामले में, $x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}$ प्रत्येक ${\mathfrak {p}}\in P$ के लिए, इसलिए $x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}$; प्रतिच्छेदन गुण द्वारा, $x^{-1}\in A$ इसके विपरीत, यदि $x$ और $x^{-1}$ $A$ में हैं, तो $v_{\mathfrak{p}}(x{x}^{-<!--\; -\; -->1})=v_{\mathfrak{p}}(1)=0=v_{}$