ड्रैग समीकरण

द्रव गतिकी में, ड्रैग समीकरण एक सूत्र है जिसका उपयोग पूरी तरह से संलग्न द्रव के माध्यम से आंदोलन के कारण किसी वस्तु द्वारा अनुभव किए गए ड्रैग के बल की गणना करने के लिए किया जाता है। समीकरण यह है:

$$F_{\rm {d}}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,u^{2}\,c_{\rm {d}}\,A$$

जहाँ

• $F_{\rm {d}}$ ड्रैग बल है, जो कि परिभाषा के अनुसार प्रवाह वेग की दिशा में बल घटक है,
• $\rho$ तरल पदार्थ का द्रव्यमान घनत्व है,
• $u$ वस्तु के सापेक्ष प्रवाह वेग है,
• $A$ संदर्भ क्षेत्र है, और
• $c_{\rm {d}}$ ड्रैग गुणांक है - वस्तु की ज्यामिति से संबंधित एक आयाम रहित गुणांक और त्वचा घर्षण और फॉर्म ड्रैग दोनों को ध्यान में रखते हुए। यदि द्रव एक तरल है, $c_{\rm {d}}$ रेनॉल्ड्स नंबर पर निर्भर करता है; यदि द्रव एक गैस है, $c_{\rm {d}}$रेनॉल्ड्स संख्या और मैक संख्या दोनों पर निर्भर करता है।

समीकरण का श्रेय लॉर्ड रेले को दिया जाता है, जिन्होंने मूल रूप से A के स्थान पर L² का उपयोग किया था (L कुछ रैखिक आयाम के साथ)।

संदर्भ क्षेत्र ए को आम तौर पर गति की दिशा के लंबवत विमान पर वस्तु के ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेपण के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाता है। सरल आकृतियों वाली गैर-खोखली वस्तुओं के लिए, जैसे कि एक गोला, यह बिल्कुल अधिकतम अनुप्रस्थ-अनुभागीय क्षेत्र के समान होता है। अन्य वस्तुओं के लिए (उदाहरण के लिए, एक रोलिंग ट्यूब या साइकिल चालक का शरीर), ए गति की दिशा में लंबवत किसी भी विमान के किसी भी क्रॉस-सेक्शन के क्षेत्र से काफी बड़ा हो सकता है। एयरफॉइल्स संदर्भ क्षेत्र के रूप में कॉर्ड लंबाई के वर्ग का उपयोग करते हैं; चूंकि एयरफॉइल कॉर्ड आमतौर पर 1 की लंबाई के साथ परिभाषित होते हैं, संदर्भ क्षेत्र भी 1 होता है। विमान विंग क्षेत्र (या रोटर-ब्लेड क्षेत्र) को संदर्भ क्षेत्र के रूप में उपयोग करता है, जो लिफ्ट की तुलना करना आसान बनाता है। एयरशिप और क्रांति के निकाय ड्रैग के वॉल्यूमेट्रिक गुणांक का उपयोग करते हैं, जिसमें संदर्भ क्षेत्र एयरशिप की मात्रा के घनमूल का वर्ग है। कभी-कभी एक ही वस्तु के लिए अलग-अलग संदर्भ क्षेत्र दिए जाते हैं, जिस स्थिति में इन अलग-अलग क्षेत्रों में से प्रत्येक के लिए एक ड्रैग गुणांक दिया जाना चाहिए।

शार्प कॉर्नर्ड ब्लफ बॉडीज के लिए, जैसे स्क्वायर सिलिंडर और प्लेट्स, जिन्हें प्रवाह दिशा में अनुप्रस्थ रखा जाता है, यह समीकरण रेनॉल्ड्स संख्या 1000 से अधिक होने पर स्थिर मान के रूप में ड्रैग गुणांक के साथ लागू होता है। सुचारू निकाय के लिए, एक सिलेंडर की तरह, रेनॉल्ड्स की संख्या 10⁷ (दस मिलियन) तक पहुंचने तक ड्रैग गुणांक महत्वपूर्ण रूप से भिन्न हो सकता है।

विचार-विमर्श

आदर्श स्थिति के लिए समीकरण को आसानी से समझा जा सकता है, जहां सभी तरल पदार्थ संदर्भ क्षेत्र से टकराते हैं और एक पूर्ण विराम पर आ जाते हैं, जिससे पूरे क्षेत्र में स्थिरीकरण दबाव बन जाता है। कोई वास्तविक वस्तु इस व्यवहार के बिल्कुल अनुरूप नहीं है। $c_{\rm {d}}$किसी वास्तविक वस्तु के लिए आदर्श वस्तु के लिए ड्रैग का अनुपात है। व्यवहार में, एक खुरदरी अन-सुव्यवस्थित बॉडी (एक ब्लफ बॉडी) की $c_{\rm {d}}$ लगभग 1, कम या ज्यादा होगी। सुचारु वस्तुओं में $c_{\rm {d}}$ का मान बहुत कम हो सकता है। समीकरण सटीक है - यह केवल $c_{\rm {d}}$(ड्रैग गुणांक) की परिभाषा प्रदान करता है, जो रेनॉल्ड्स संख्या के साथ बदलता रहता है और प्रयोग द्वारा पाया जाता है।

प्रवाह वेग पर $u^{2}$ निर्भरता का विशेष महत्व है, जिसका अर्थ है कि प्रवाह वेग के वर्ग के साथ द्रव ड्रैग बढ़ता है। जब प्रवाह वेग दोगुना हो जाता है, उदाहरण के लिए, तरल न केवल प्रवाह वेग के दोगुने के साथ टकराता है, बल्कि द्रव का द्रव्यमान प्रति सेकंड दोगुना होता है। इसलिए, प्रति समय संवेग में परिवर्तन, यानी बल का अनुभव, चार से गुणा किया जाता है। यह ठोस-पर-ठोस गतिशील घर्षण के विपरीत है, जो आम तौर पर बहुत कम वेग पर निर्भर करता है।

गतिशील दबाव के साथ संबंध

ड्रैग फोर्स को भी निर्दिष्ट किया जा सकता है

$$F_{\rm {d}}\propto P_{\rm {D}}A$$

जहां पी_D क्षेत्र A पर द्रव द्वारा डाला गया दबाव है। यहाँ दबाव P है_D सापेक्ष प्रवाह वेग यू का अनुभव करने वाले द्रव की गतिज ऊर्जा के कारण गतिशील दबाव के रूप में जाना जाता है। इसे गतिज ऊर्जा समीकरण के समान रूप में परिभाषित किया गया है:

$$P_{\rm {D}}={\frac {1}{2}}\rho u^{2}$$

व्युत्पत्ति

आयामी विश्लेषण की विधि द्वारा ड्रैग समीकरण को गुणक स्थिरांक के भीतर प्राप्त किया जा सकता है। यदि गतिमान द्रव किसी वस्तु से मिलता है, तो यह वस्तु पर एक बल लगाता है। मान लीजिए कि द्रव एक तरल है, और शामिल चर - कुछ शर्तों के तहत - हैं:

• गति यू,
• द्रव घनत्व ρ,
• श्यानता#गतिशील और गतिज श्यानता ν द्रव की,
• शरीर का आकार, इसके गीले क्षेत्र ए के संदर्भ में व्यक्त किया गया, और
• खींचें बल एफ_d.

बकिंघम π प्रमेय के एल्गोरिदम का उपयोग करके, इन पांच चरों को दो आयाम रहित समूहों में घटाया जा सकता है:

• खींचें गुणांक सी_d और
• रेनॉल्ड्स नंबर रे।

यह इतना स्पष्ट हो जाता है जब ड्रैग फोर्स F_d समस्या में अन्य चर के एक समारोह के हिस्से के रूप में व्यक्त किया गया है:

$$f_{a}(F_{\rm {d}},u,A,\rho ,\nu )=0.$$

अभिव्यक्ति के इस बल्कि विषम रूप का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह एक-से-एक संबंध नहीं मानता है। यहाँ, एफ_aकुछ (अभी तक अज्ञात) कार्य है जो पांच तर्क लेता है। अब इकाइयों की किसी भी प्रणाली में दाहिनी ओर शून्य है; इसलिए f द्वारा वर्णित संबंध को व्यक्त करना संभव होना चाहिए_aकेवल आयामहीन समूहों के संदर्भ में।

f के पाँच तर्कों को संयोजित करने के कई तरीके हैं_aआयाम रहित समूह बनाने के लिए, लेकिन बकिंघम π प्रमेय कहता है कि ऐसे दो समूह होंगे। सबसे उपयुक्त रेनॉल्ड्स संख्या है, जिसके द्वारा दिया गया है

$$\mathrm {Re} ={\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}$$

और ड्रैग गुणांक, द्वारा दिया गया

$$c_{\rm {d}}={\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}}.$$

इस प्रकार पाँच चरों के कार्य को केवल दो चरों के दूसरे फलन से बदला जा सकता है:

$$f_{b}\left({\frac {F_{\rm {d}}}{{\frac {1}{2}}\rho Au^{2}}},{\frac {u{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)=0.$$

जहां च_bदो तर्कों का कुछ कार्य है। मूल कानून को तब केवल इन दो नंबरों को शामिल करने वाले कानून में बदल दिया जाता है।

क्योंकि उपरोक्त समीकरण में एकमात्र अज्ञात ड्रैग फोर्स F है_d, इसे व्यक्त करना संभव है

$$\begin{array}{rl}\frac{F_{\mathrm{d}}}{\frac{1}{2}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}A{u}^2}& =f_c\left(\frac{u\sqrt{A}}{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}\right)\\ F_{\mathrm{d}}& =\frac{1}{2}\mathrm{\rho <!--\; \rho \; -->}A{u}^2{f}_c(\mathrm{R}\mathrm{e})\\ c_{\mathrm{d}}& =f_c(\end{array}$$