कैटेनॉयड: Difference between revisions
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[[Image:Catenoid.gif|thumb|right|alt=animation of a catenary sweeping out the shape of a catenoid as it rotates about a central point|एक कैटेनरी के रोटेशन से प्राप्त एक कैटेनॉयड]][[ज्यामिति]] में, एक कैटेनॉइड एक प्रकार की [[सतह (गणित)]] है, जो एक अक्ष ([[क्रांति की सतह]]) के बारे में एक [[ ज़ंजीर का ]] वक्र को घुमाकर उत्पन्न होती है।<ref>{{cite book|last1=Dierkes|first1=Ulrich|last2=Hildebrandt|first2=Stefan|last3=Sauvigny|first3=Friedrich|title=न्यूनतम सतहें|date=2010|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=9783642116988|page=141|url=https://books.google.com/books?id=9YhBOg6vO-EC&pg=PA141|language=en}}</ref> यह एक [[न्यूनतम सतह]] है, जिसका अर्थ है कि यह एक बंद स्थान से बंधे होने पर सबसे कम क्षेत्र घेरता है।<ref name=Gullberg>{{cite book|last1=Gullberg|first1=Jan|title=Mathematics: From the Birth of Numbers|date=1997|publisher=[[W. W. Norton & Company]]|isbn=9780393040029|page=[https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull/page/538 538]|url=https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull|url-access=registration|language=en}}</ref> गणितज्ञ [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा 1744 में औपचारिक रूप से इसका वर्णन किया गया था। | [[Image:Catenoid.gif|thumb|right|alt=animation of a catenary sweeping out the shape of a catenoid as it rotates about a central point|एक कैटेनरी के रोटेशन से प्राप्त एक कैटेनॉयड]][[ज्यामिति]] में, एक कैटेनॉइड एक प्रकार की [[सतह (गणित)]] है, जो एक अक्ष ([[क्रांति की सतह]]) के बारे में एक [[ ज़ंजीर का ]] वक्र को घुमाकर उत्पन्न होती है।<ref>{{cite book|last1=Dierkes|first1=Ulrich|last2=Hildebrandt|first2=Stefan|last3=Sauvigny|first3=Friedrich|title=न्यूनतम सतहें|date=2010|publisher=[[Springer Science & Business Media]]|isbn=9783642116988|page=141|url=https://books.google.com/books?id=9YhBOg6vO-EC&pg=PA141|language=en}}</ref> यह एक [[न्यूनतम सतह]] है, जिसका अर्थ है कि यह एक बंद स्थान से बंधे होने पर सबसे कम क्षेत्र घेरता है।<ref name=Gullberg>{{cite book|last1=Gullberg|first1=Jan|title=Mathematics: From the Birth of Numbers|date=1997|publisher=[[W. W. Norton & Company]]|isbn=9780393040029|page=[https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull/page/538 538]|url=https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull|url-access=registration|language=en}}</ref> गणितज्ञ [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा 1744 में औपचारिक रूप से इसका वर्णन किया गया था। | ||
जुड़वाँ वृत्ताकार छल्लों से जुड़ी साबुन की फिल्म एक कैटेनॉइड का आकार ले लेगी।<ref name=Gullberg/>क्योंकि वे सतहों के एक ही [[सहयोगी परिवार]] के सदस्य हैं, एक कैटेनॉइड को [[घुमावदार]] के एक | जुड़वाँ वृत्ताकार छल्लों से जुड़ी साबुन की फिल्म एक कैटेनॉइड का आकार ले लेगी।<ref name=Gullberg/> क्योंकि वे सतहों के एक ही [[सहयोगी परिवार]] के सदस्य हैं, एक कैटेनॉइड को [[घुमावदार]] के एक भाग में और इसके विपरीत मोड़ा जा सकता है। | ||
== ज्यामिति == | == ज्यामिति == | ||
विमान (ज्यामिति) से अलग खोजे जाने वाले 3-आयामी यूक्लिडियन | विमान (ज्यामिति) से अलग खोजे जाने वाले 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में कैटेनॉइड पहली गैर-तुच्छ न्यूनतम [[सतह (टोपोलॉजी)]] थी। कैटेनॉयड अपने [[डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)|नियता]] के बारे में एक कैटेनरी को घुमाकर प्राप्त किया जाता है।<ref name=Gullberg/> यह 1744 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा पाया गया और न्यूनतम प्रमाण हुआ।<ref>{{cite book|last1=Helveticae|first1=Euler, Leonhard |editor= Carathëodory Constantin |title=Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti |date=1952 |orig-year=reprint of 1744 edition |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=3-76431-424-9 |language=Latin |url=https://books.google.com/books?id=zNDdVFZalSAC}}</ref><ref name=Colding06>{{cite journal|last1=Colding|first1=T. H.|last2=Minicozzi|first2=W. P.|title=एम्बेडेड न्यूनतम सतहों के आकार|journal=Proceedings of the National Academy of Sciences|date=17 July 2006|volume=103|issue=30|pages=11106–11111|doi=10.1073/pnas.0510379103|pmc=1544050|pmid=16847265|bibcode=2006PNAS..10311106C|doi-access=free}}</ref> | ||
इस विषय पर प्रारंभिक कार्य [[जीन-बैप्टिस्ट मेसनियर]] द्वारा भी प्रकाशित किया गया था।<ref name=salvert>{{cite book|url=https://archive.org/details/mmoiresurlathor00salvgoog|format=PDF|last1=Meusnier|first1=J. B|title=Mémoire sur la courbure des surfaces|trans-title=Memory on the curvature of surfaces.|date=1881|publisher=F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique|location=Bruxelles|language=French|isbn=9781147341744|pages=477–510}}</ref><ref name=Colding06/>{{rp|11106}} क्रांति की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं ([[क्रांति की सतहें]] जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और | |||
इस विषय पर प्रारंभिक कार्य [[जीन-बैप्टिस्ट मेसनियर]] द्वारा भी प्रकाशित किया गया था।<ref name="salvert">{{cite book|url=https://archive.org/details/mmoiresurlathor00salvgoog|format=PDF|last1=Meusnier|first1=J. B|title=Mémoire sur la courbure des surfaces|trans-title=Memory on the curvature of surfaces.|date=1881|publisher=F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique|location=Bruxelles|language=French|isbn=9781147341744|pages=477–510}}</ref><ref name="Colding06" />{{rp|11106}} क्रांति की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं ([[क्रांति की सतहें]] जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और कैटेनॉयड है।<ref>{{cite web|title=कैटेनॉयड|url=http://mathworld.wolfram.com/कैटेनॉयड.html|website=Wolfram MathWorld|accessdate=15 January 2017|language=en}}</ref> | |||
कैटेनॉइड को निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है: | कैटेनॉइड को निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है: | ||
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एक साबुन के घोल में दो वृत्ताकार छल्लों को डुबोकर और धीरे-धीरे वृत्तों को अलग करके एक कैटेनॉइड का भौतिक मॉडल बनाया जा सकता है। | एक साबुन के घोल में दो वृत्ताकार छल्लों को डुबोकर और धीरे-धीरे वृत्तों को अलग करके एक कैटेनॉइड का भौतिक मॉडल बनाया जा सकता है। | ||
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'''एक साबुन के घोल में दो वृत्ताकार छल्लों को डुबोकर और धीरे-धीरे वृत्तों को अलग करके एक कैटेनॉइड का भौतिक मॉडल बनाया जा सकता है।''' | |||
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Revision as of 10:04, 24 April 2023
File:Catenoid.svg
कैटेनॉइड
ज्यामिति में, एक कैटेनॉइड एक प्रकार की सतह (गणित) है, जो एक अक्ष (क्रांति की सतह) के बारे में एक ज़ंजीर का वक्र को घुमाकर उत्पन्न होती है।[1] यह एक न्यूनतम सतह है, जिसका अर्थ है कि यह एक बंद स्थान से बंधे होने पर सबसे कम क्षेत्र घेरता है।[2] गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1744 में औपचारिक रूप से इसका वर्णन किया गया था।
जुड़वाँ वृत्ताकार छल्लों से जुड़ी साबुन की फिल्म एक कैटेनॉइड का आकार ले लेगी।[2] क्योंकि वे सतहों के एक ही सहयोगी परिवार के सदस्य हैं, एक कैटेनॉइड को घुमावदार के एक भाग में और इसके विपरीत मोड़ा जा सकता है।
ज्यामिति
विमान (ज्यामिति) से अलग खोजे जाने वाले 3-आयामी यूक्लिडियन स्थान में कैटेनॉइड पहली गैर-तुच्छ न्यूनतम सतह (टोपोलॉजी) थी। कैटेनॉयड अपने नियता के बारे में एक कैटेनरी को घुमाकर प्राप्त किया जाता है।[2] यह 1744 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा पाया गया और न्यूनतम प्रमाण हुआ।[3][4]
इस विषय पर प्रारंभिक कार्य जीन-बैप्टिस्ट मेसनियर द्वारा भी प्रकाशित किया गया था।[5][4]: 11106 क्रांति की केवल दो न्यूनतम सतहें हैं (क्रांति की सतहें जो न्यूनतम सतहें भी हैं): समतल (ज्यामिति) और कैटेनॉयड है।[6]
कैटेनॉइड को निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
जहाँ और और एक गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक है।
बेलनाकार निर्देशांक में:
जहाँ एक वास्तविक स्थिरांक है।
एक साबुन के घोल में दो वृत्ताकार छल्लों को डुबोकर और धीरे-धीरे वृत्तों को अलग करके एक कैटेनॉइड का भौतिक मॉडल बनाया जा सकता है।
कैटेनॉयड को लगभग फैली हुई ग्रिड विधि द्वारा एक पहलू 3डी मॉडल के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।
हेलिकॉइड परिवर्तन
File:Helicatenoid.gif
एक हेलिकॉइड का कैटेनॉइड में विरूपण
क्योंकि वे सतहों के एक ही सहयोगी परिवार के सदस्य हैं, कोई बिना खिंचाव के एक हेलिकॉइड के एक भाग में एक कैटेनॉइड को मोड़ सकता है। दूसरे शब्दों में, हेलिकॉइड के एक भाग में एक (ज्यादातर) निरंतर कार्य और एक कैटेनॉइड के आइसोमेट्री विरूपण कर सकते हैं जैसे कि विरूपण परिवार का प्रत्येक सदस्य न्यूनतम सतह (शून्य का औसत वक्रता) है। ऐसी विकृति का एक पैरामीट्रिक समीकरण प्रणाली द्वारा दिया जाता है
के लिए विरूपण पैरामीटर के साथ , जहाँ:
- दाएं हाथ के हेलिकॉइड से मेल खाता है,
- एक कैटेनॉइड से मेल खाता है, और
- बाएं हाथ के हेलिकॉइड से मेल खाता है।
एक साबुन के घोल में दो वृत्ताकार छल्लों को डुबोकर और धीरे-धीरे वृत्तों को अलग करके एक कैटेनॉइड का भौतिक मॉडल बनाया जा सकता है।
संदर्भ
- ↑ Dierkes, Ulrich; Hildebrandt, Stefan; Sauvigny, Friedrich (2010). न्यूनतम सतहें (in English). Springer Science & Business Media. p. 141. ISBN 9783642116988.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 Gullberg, Jan (1997). Mathematics: From the Birth of Numbers (in English). W. W. Norton & Company. p. 538. ISBN 9780393040029.
- ↑ Helveticae, Euler, Leonhard (1952) [reprint of 1744 edition]. Carathëodory Constantin (ed.). Methodus inveniendi lineas curvas: maximi minimive proprietate gaudentes sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (in Latin). Springer Science & Business Media. ISBN 3-76431-424-9.
{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: unrecognized language (link) - ↑ 4.0 4.1 Colding, T. H.; Minicozzi, W. P. (17 July 2006). "एम्बेडेड न्यूनतम सतहों के आकार". Proceedings of the National Academy of Sciences. 103 (30): 11106–11111. Bibcode:2006PNAS..10311106C. doi:10.1073/pnas.0510379103. PMC 1544050. PMID 16847265.
- ↑ Meusnier, J. B (1881). Mémoire sur la courbure des surfaces [Memory on the curvature of surfaces.] (PDF) (in French). Bruxelles: F. Hayez, Imprimeur De L'Acdemie Royale De Belgique. pp. 477–510. ISBN 9781147341744.
{{cite book}}: CS1 maint: unrecognized language (link) - ↑ "कैटेनॉयड". Wolfram MathWorld (in English). Retrieved 15 January 2017.
अग्रिम पठन
- Krivoshapko, Sergey; Ivanov, V. N. (2015). "Minimal Surfaces". Encyclopedia of Analytical Surfaces (in English). Springer. ISBN 9783319117737.
बाहरी संबंध
- "Catenoid", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Catenoid - WebGL model
- Euler's text describing the catenoid at Carnegie Mellon University
- Calculating the surface area of a Catenoid
