अक्ष घूर्णन

एक कोण के माध्यम से घुमाया गया एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली $\theta$ एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के लिए

गणित में, दो आयामी अक्षों का परिवर्तन एक चित्रण है जो एक xy-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से एक x′y′-कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में एक नक्शा (गणित) है जिसमें मूल (गणित) रखा जाता है स्थिर और x′ और y′ अक्ष एक कोणाकार दिशा में x और y अक्ष को घूमा जाता है। $\theta$. एक बिंदु P के निर्देशांक (x, y) मूल प्रणाली के संबंध में होते हैं और निर्देशांक (x′, y′) नई प्रणाली के संबंध में होते हैं। नई समन्वय प्रणाली में, बिंदु P विपरीत दिशा में घूमता हुआ प्रतीत होगा, अर्थात समय की दिशा में, घूमा हुआ दिखाई देगा, जिसमें कोण दिग्गजवार $\theta$ के माध्यम से होता है। दो से अधिक आयामों में अक्षों के घूर्णन को समान रूप से परिभाषित किया गया है। अक्ष का एक घूर्णन एक रैखिक नक्शा है और एक कठोर परिवर्तन है।

प्रेरणा

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की विधियों का उपयोग करते हुए वक्र (ज्यामिति) के समीकरणों के अध्ययन के लिए निर्देशांक प्रणालियाँ आवश्यक हैं। निर्देशांक ज्यामिति की विधि का उपयोग करने के लिए, अक्षों को विचाराधीन वक्र के संबंध में सुविधाजनक स्थिति में रखा जाता है। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के समीकरणों का अध्ययन करने के लिए, फोकस (ज्यामिति) सामान्यतः एक अक्ष पर स्थित होते हैं और मूल के संबंध में सममित रूप से स्थित होते हैं। यदि वक्र (अतिशयोक्ति , परबोला, दीर्घवृत्त, आदि) अक्ष के संबंध में आसानी से स्थित नहीं है, तो वक्र को सुविधाजनक और परिचित स्थान और अभिविन्यास पर रखने के लिए समन्वय प्रणाली को बदला जाना चाहिए। इस परिवर्तन को करने की प्रक्रिया को को निर्देशांक का परिवर्तन कहा जाता है।

एक ही मूल से नए अक्षों को प्राप्त करने के लिए निर्देशांक अक्षों को घुमाकर कई समस्याओं के समाधान को सरल बनाया जा सकता है।

व्युत्पत्ति

दो आयामों में परिवर्तन को परिभाषित करने वाले समीकरण, जो xy अक्षों को एक कोण से वामावर्त घुमाते हैं $\theta$ x'y' अक्ष में, निम्नानुसार व्युत्पन्न होते हैं।

मान लीजिए कि xy प्रणाली में बिंदु P का ध्रुवीय निर्देशांक तंत्र है $(r,\alpha )$. तब, x'y' निकाय में, P के ध्रुवीय निर्देशांक होंगे $(r,\alpha -\theta )$.

त्रिकोणमिति फ़ंक्शन का उपयोग करके, हमारे पास निम्नलिखित होगा:

$$x=r\cos \alpha$$

(1)

$$y=r\sin \alpha$$

(2)

और अंतर के लिए मानक त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करके,हमें निम्नलिखित मिलेगा:

$$x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta$$

(3)

$$y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta .$$

(4)

प्रतिस्थापन समीकरण (1) तथा (2) को समीकरणों (3) तथा (4),में प्रतिस्थापित करके

$$x'=x\cos \theta +y\sin \theta$$

(5)

$$y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .$$

(6)

समीकरण (5) तथा (6) को मैट्रिक्स रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$$

जो दो आयामों में अक्षों के घूर्णन का मानक मैट्रिक्स समीकरण है।

उलटा परिवर्तन है

$$x=$$