बहुरेखीय रूप: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 34: | Line 34: | ||
बहुरेखीय रूपों का महत्वपूर्ण वर्ग वैकल्पिक बहुरेखीय रूप हैं, जिनके पास अतिरिक्त संपत्ति है<ref name=":0">{{Cite book|title=कई गुना का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoma00lwtu_506|url-access=limited|last=Tu|first=Loring W.|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-1-4419-7399-3|edition=2nd |pages=[https://archive.org/details/introductiontoma00lwtu_506/page/n40 22]–23}}</ref> | बहुरेखीय रूपों का महत्वपूर्ण वर्ग वैकल्पिक बहुरेखीय रूप हैं, जिनके पास अतिरिक्त संपत्ति है<ref name=":0">{{Cite book|title=कई गुना का परिचय|url=https://archive.org/details/introductiontoma00lwtu_506|url-access=limited|last=Tu|first=Loring W.|publisher=Springer|year=2011|isbn=978-1-4419-7399-3|edition=2nd |pages=[https://archive.org/details/introductiontoma00lwtu_506/page/n40 22]–23}}</ref> | ||
: <math>f(x_{\sigma(1)},\ldots, x_{\sigma(k)}) = \sgn(\sigma)f(x_1,\ldots, x_k), </math> | : <math>f(x_{\sigma(1)},\ldots, x_{\sigma(k)}) = \sgn(\sigma)f(x_1,\ldots, x_k), </math> | ||
जहाँ <math>\sigma:\mathbf{N}_k\to\mathbf{N}_k</math> क्रम [[परिवर्तन]] है और <math>\sgn(\sigma)</math> क्रमचय के अपने चिह्न को दर्शाता है (+1 यदि सम है, -1 यदि विषम है)। परिणामस्वरूप, वैकल्पिक बहुरेखीय मानचित्र बहुरेखीय रूप किसी भी दो तर्कों की अदला-बदली के संबंध में विषम हैं (अर्थात, <math>\sigma(p)=q,\sigma(q)=p </math> और <math>\sigma(i)=i, 1\le i\le k, i\neq p,q </math>): | |||
: <math>f(x_1,\ldots, x_p,\ldots, x_q,\ldots, x_k) = -f(x_1,\ldots, x_q,\ldots, x_p,\ldots, x_k). </math> | : <math>f(x_1,\ldots, x_p,\ldots, x_q,\ldots, x_k) = -f(x_1,\ldots, x_q,\ldots, x_p,\ldots, x_k). </math> | ||
| Line 57: | Line 57: | ||
विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और बहु-रेखीय रूपों के माध्यम से निर्मित होती हैं, जो कई तरह से व्यवहार करती हैं, जैसे मौलिक अर्थों में कार्य का अंतर। चूंकि संकल्पनात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी, अंतर कलन के इतिहास में प्रारंभिक रूप से विकसित अपरिमित मात्राओं की अ-परिभाषित धारणाओं पर आधारित हैं। विभेदक रूप लंबे समय से चले आ रहे इस विचार को आधुनिक बनाने के लिए गणितीय रूप से कठोर और स्पष्ट रूपरेखा प्रदान करते हैं। विभेदक रूप विशेष रूप से [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] (विश्लेषण) और विभेदक ज्यामिति में उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके पास परिवर्तन गुण होते हैं जो उन्हें घटता, सतहों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स (भिन्नात्मक कई गुना) पर एकीकृत करने की अनुमति देते हैं। दूरगामी अनुप्रयोग स्टोक्स प्रमेय का आधुनिक कथन है, उच्च आयामों के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का व्यापक सामान्यीकरण। | विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और बहु-रेखीय रूपों के माध्यम से निर्मित होती हैं, जो कई तरह से व्यवहार करती हैं, जैसे मौलिक अर्थों में कार्य का अंतर। चूंकि संकल्पनात्मक और कम्प्यूटेशनल रूप से उपयोगी, अंतर कलन के इतिहास में प्रारंभिक रूप से विकसित अपरिमित मात्राओं की अ-परिभाषित धारणाओं पर आधारित हैं। विभेदक रूप लंबे समय से चले आ रहे इस विचार को आधुनिक बनाने के लिए गणितीय रूप से कठोर और स्पष्ट रूपरेखा प्रदान करते हैं। विभेदक रूप विशेष रूप से [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस]] (विश्लेषण) और विभेदक ज्यामिति में उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके पास परिवर्तन गुण होते हैं जो उन्हें घटता, सतहों और उनके उच्च-आयामी एनालॉग्स (भिन्नात्मक कई गुना) पर एकीकृत करने की अनुमति देते हैं। दूरगामी अनुप्रयोग स्टोक्स प्रमेय का आधुनिक कथन है, उच्च आयामों के लिए कलन के मौलिक प्रमेय का व्यापक सामान्यीकरण। | ||
नीचे दिया गया सार मुख्य रूप से स्पिवक (1965) | नीचे दिया गया सार मुख्य रूप से स्पिवक (1965)<ref>{{Cite book|url=https://archive.org/details/SpivakM.CalculusOnManifoldsPerseus2006Reprint|title=कई गुना पर पथरी|last=Spivak|first=Michael|publisher=W. A. Benjamin, Inc.|year=1965|isbn=0805390219 |pages=75–146}}</ref> और तू (2011) पर आधारित है। <ref name=":0" /> | ||
| Line 66: | Line 66: | ||
'अंतर <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म ऑन <math>U\subset\R^n</math> कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\omega</math> जो प्रत्येक को आवंटित करता है <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर के स्पर्शरेखा स्थान पर <math>\R^n</math>पर <math>p</math>, सामान्यतः निरूपित <math>\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)</math>. संक्षेप में, अंतर <math>k</math>-रूप है <math>k</math>-वेक्टर क्षेत्र। का स्थान <math>k</math>-फॉर्म चालू है <math>U</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>\Omega^k(U)</math>; इस प्रकार यदि <math>\omega</math> अंतर है <math>k</math>-फॉर्म, हम लिखते हैं <math>\omega\in\Omega^k(U)</math>. कन्वेंशन द्वारा, पर सतत कार्य <math>U</math> अंतर 0-रूप है: <math>f\in C^0(U)=\Omega^0(U)</math>. | 'अंतर <math>\boldsymbol{k}</math>-फॉर्म ऑन <math>U\subset\R^n</math> कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\omega</math> जो प्रत्येक को आवंटित करता है <math>p\in U</math> a <math>k</math>-कोवेक्टोर के स्पर्शरेखा स्थान पर <math>\R^n</math>पर <math>p</math>, सामान्यतः निरूपित <math>\omega_p:=\omega(p)\in\mathcal{A}^k(\R^n_p)</math>. संक्षेप में, अंतर <math>k</math>-रूप है <math>k</math>-वेक्टर क्षेत्र। का स्थान <math>k</math>-फॉर्म चालू है <math>U</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>\Omega^k(U)</math>; इस प्रकार यदि <math>\omega</math> अंतर है <math>k</math>-फॉर्म, हम लिखते हैं <math>\omega\in\Omega^k(U)</math>. कन्वेंशन द्वारा, पर सतत कार्य <math>U</math> अंतर 0-रूप है: <math>f\in C^0(U)=\Omega^0(U)</math>. | ||
हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित [[चिकनाई]] अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, | हम पहले 0-रूपों से विभेदक 1-रूपों का निर्माण करते हैं और उनके कुछ मूलभूत गुणों को निकालते हैं। नीचे दी गई चर्चा को सरल बनाने के लिए, हम केवल चिकनेपन से निर्मित [[चिकनाई]] अंतर रूपों पर विचार करेंगे (<math>C^\infty</math>) कार्य करता है। होने देना <math>f:\R^n\to\R</math> सुचारू कार्य हो। हम 1-रूप को परिभाषित करते हैं <math>df</math> पर <math>U</math> के लिए <math>p\in U</math> और <math>v_p\in\R^n_p</math> द्वारा <math>(df)_p(v_p):=Df|_p(v)</math>, जहाँ <math>Df|_p:\R^n\to\R</math> का कुल योग है <math>f</math> पर <math>p</math>. (याद रखें कि कुल व्युत्पन्न रैखिक परिवर्तन है।) विशेष रुचि के प्रक्षेपण मानचित्र हैं (जिन्हें समन्वय कार्यों के रूप में भी जाना जाता है) <math>\pi^i:\R^n\to\R</math>, द्वारा परिभाषित <math>x\mapsto x^i</math>, जहाँ <math>x^i</math> का i मानक निर्देशांक है <math>x\in\R^n</math>. 1-रूप <math>d\pi^i</math> मूलभूत 1-रूपों के रूप में जाने जाते हैं; वे पारंपरिक रूप से निरूपित हैं <math>dx^i</math>. यदि मानक निर्देशांक <math>v_p\in\R^n_p</math> हैं <math>(v^1,\ldots, v^n)</math>, फिर की परिभाषा का अनुप्रयोग <math>df</math> पैदावार <math>dx^i_p(v_p)=v^i</math>, जिससे <math>dx^i_p((e_j)_p)=\delta_j^i</math>, जहाँ <math>\delta^i_j</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है।<ref>The Kronecker delta is usually denoted by <math>\delta_{ij}=\delta(i,j)</math> and defined as <math display="inline">\delta:X\times X\to\{0,1\},\ (i,j)\mapsto \begin{cases} 1, & i=j \\ 0, & i\neq j \end{cases}</math>. Here, the notation <math>\delta^i_j</math> is used to conform to the tensor calculus convention on the use of upper and lower indices. </ref> इस प्रकार, के लिए मानक आधार के दोहरे के रूप में <math>\R^n_p</math>, <math>(dx^1_p,\ldots,dx^n_p)</math> का आधार बनता है <math>\mathcal{A}^1(\R^n_p)=(\R^n_p)^*</math>. परिणामस्वरूप यदि <math>\omega</math> 1-फॉर्म ऑन है <math>U</math>, तब <math>\omega</math> रूप में लिखा जा सकता है <math display="inline">\sum a_i\,dx^i</math> सुचारू कार्यों के लिए <math>a_i:U\to\R</math>. इसके अतिरिक्त , हम के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं <math>df</math> कुल अंतर के लिए मौलिक अभिव्यक्ति के साथ मेल खाता है: | ||
: <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math> | : <math>df=\sum_{i=1}^n D_i f\; dx^i={\partial f\over\partial x^1} \, dx^1+\cdots+{\partial f\over\partial x^n} \, dx^n.</math> | ||
| Line 87: | Line 87: | ||
: <math>\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\ldots i_k} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, \qquad (*)</math> | : <math>\omega=\sum_{i_1<\cdots<i_k} a_{i_1\ldots i_k} \, dx^{i_1}\wedge\cdots\wedge dx^{i_k}, \qquad (*)</math> | ||
जहाँ <math>a_{i_1\ldots i_k}:U\to\R</math> चिकने कार्य हैं। सूचकांकों के प्रत्येक समुच्चय के साथ <math>\{i_1,\ldots,i_k\}</math> आरोही क्रम में रखा, (*) की मानक प्रस्तुति कहा जाता है<math>\omega</math>. <br> | |||
पिछले अनुभाग में, 1-फ़ॉर्म <math>df</math> 0-फॉर्म (निरंतर कार्य) के बाहरी व्युत्पन्न को ले कर परिभाषित किया गया था <math>f</math>. अब हम एक्सटीरियर डेरिवेटिव ऑपरेटर को परिभाषित करके इसका विस्तार करते हैं <math>d:\Omega^k(U)\to\Omega^{k+1}(U)</math> के लिए <math>k\geq1</math>. यदि की मानक प्रस्तुति <math>k</math>-प्रपत्र <math>\omega</math> (*) द्वारा दिया गया है <math>(k+1)</math>-प्रपत्र <math>d\omega</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | पिछले अनुभाग में, 1-फ़ॉर्म <math>df</math> 0-फॉर्म (निरंतर कार्य) के बाहरी व्युत्पन्न को ले कर परिभाषित किया गया था <math>f</math>. अब हम एक्सटीरियर डेरिवेटिव ऑपरेटर को परिभाषित करके इसका विस्तार करते हैं <math>d:\Omega^k(U)\to\Omega^{k+1}(U)</math> के लिए <math>k\geq1</math>. यदि की मानक प्रस्तुति <math>k</math>-प्रपत्र <math>\omega</math> (*) द्वारा दिया गया है <math>(k+1)</math>-प्रपत्र <math>d\omega</math> द्वारा परिभाषित किया गया है | ||
| Line 100: | Line 100: | ||
: <math>(f^*\eta)_p(v_{1p},\ldots, v_{kp}):=\eta_{f(p)}(f_*(v_{1p}),\ldots,f_*(v_{kp})),</math> | : <math>(f^*\eta)_p(v_{1p},\ldots, v_{kp}):=\eta_{f(p)}(f_*(v_{1p}),\ldots,f_*(v_{kp})),</math> | ||
के लिए <math>v_{1p},\ldots,v_{kp}\in\R^n_p</math>, | के लिए <math>v_{1p},\ldots,v_{kp}\in\R^n_p</math>, जहाँ <math>f_*:\R^n_p\to\R^m_{f(p)}</math> नक्शा है <math>v_p\mapsto(Df|_p(v))_{f(p)}</math>. | ||
यदि <math>\omega=f\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> <math>n</math>-फॉर्म ऑन <math>\R^n</math> (अर्थात।, <math>\omega\in\Omega^n(\R^n)</math>), हम इकाई पर इसके अभिन्न को परिभाषित करते हैं <math>n</math>-सेल पुनरावृत्त रीमैन के अभिन्न अंग के रूप में <math>f</math>: | यदि <math>\omega=f\, dx^1\wedge\cdots\wedge dx^n</math> <math>n</math>-फॉर्म ऑन <math>\R^n</math> (अर्थात।, <math>\omega\in\Omega^n(\R^n)</math>), हम इकाई पर इसके अभिन्न को परिभाषित करते हैं <math>n</math>-सेल पुनरावृत्त रीमैन के अभिन्न अंग के रूप में <math>f</math>: | ||
| Line 111: | Line 111: | ||
: <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math> | : <math>\int_C \omega :=\sum_i n_i\int_{c_i} \omega.</math> | ||
की उपयुक्त परिभाषा <math>(n-1)</math>-[[चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]] <math>\partial C</math>की सीमा के रूप में जाना जाता है <math>C</math>,<ref>The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (''see {{harvnb|Spivak|1965|pp=98–99}} for a discussion''). Intuitively, if <math>C</math> maps to a square, then <math>\partial C</math> is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner. The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.</ref> हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है <math>\R^m</math>: <blockquote>यदि <math>\omega</math> चिकना है <math>(n-1)</math>- खुले समुच्चय पर फॉर्म <math>A\subset\R^m</math>और <math>C</math> चिकना है <math>n</math>-श्रृंखला में <math>A</math>, तब<math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math></blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, जर्म (गणित) और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी चिकनी कई गुना <math>M</math> (आवश्यक नहीं कि इसमें एम्बेड किया गया हो <math>\R^m</math>) परिभाषित किया जा सकता। अनुरूप रूप से, विभेदक रूप <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर नक्शा है <math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math>. स्टोक्स की प्रमेय को सीमा के साथ इच्छानुसार कई गुना और यहां तक कि कुछ कच्चे डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)। | की उपयुक्त परिभाषा <math>(n-1)</math>-[[चेन (बीजगणितीय टोपोलॉजी)]] <math>\partial C</math> की सीमा के रूप में जाना जाता है <math>C</math>,<ref>The formal definition of the boundary of a chain is somewhat involved and is omitted here (''see {{harvnb|Spivak|1965|pp=98–99}} for a discussion''). Intuitively, if <math>C</math> maps to a square, then <math>\partial C</math> is a linear combination of functions that maps to its edges in a counterclockwise manner. The boundary of a chain is distinct from the notion of a boundary in point-set topology.</ref> हमें स्टोक्स के प्रमेय (स्टोक्स-कार्टन प्रमेय) को सबसेट में जंजीरों के लिए बताने की अनुमति देता है <math>\R^m</math>: <blockquote>यदि <math>\omega</math> चिकना है <math>(n-1)</math>- खुले समुच्चय पर फॉर्म <math>A\subset\R^m</math>और <math>C</math> चिकना है <math>n</math>-श्रृंखला में <math>A</math>, तब<math>\int_C d\omega=\int_{\partial C} \omega</math></blockquote>अधिक परिष्कृत मशीनरी (जैसे, जर्म (गणित) और [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]]) का उपयोग करके, स्पर्शरेखा स्थान <math>T_p M</math> किसी भी चिकनी कई गुना <math>M</math> (आवश्यक नहीं कि इसमें एम्बेड किया गया हो <math>\R^m</math>) परिभाषित किया जा सकता। अनुरूप रूप से, विभेदक रूप <math>\omega\in\Omega^k(M)</math> सामान्य स्मूथ मैनिफोल्ड पर नक्शा है <math>\omega:p\in M\mapsto\omega_p\in \mathcal{A}^k(T_pM)</math>. स्टोक्स की प्रमेय को सीमा के साथ इच्छानुसार कई गुना और यहां तक कि कुछ कच्चे डोमेन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है (विवरण के लिए स्टोक्स के प्रमेय पर लेख देखें)। | ||
== यह भी देखें == | == यह भी देखें == | ||
Revision as of 09:46, 30 April 2023
अमूर्त बीजगणित और बहुरेखीय बीजगणित में, सदिश स्थान पर बहुरेखीय रूप क्षेत्र पर (गणित) मानचित्र (गणित) है
जो अपने प्रत्येक तर्कों में अलग से -रैखिक है।[1] अधिक सामान्यतः , मॉड्यूल (गणित) पर क्रमविनिमेय वृत्त पर बहु-रेखीय रूपों को परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, इस लेख के बाकी हिस्से में केवल आयाम (वेक्टर स्पेस) या परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस पर बहुरेखीय रूपों पर विचार किया जाएगा।
पर पर एक बहुरेखीय -रूप को (सहसंयोजक) -टेंसर कहा जाता है, और ऐसे रूपों के सदिश स्थान को सामान्यतः पर निरूपित किया जाता है या .[2]
टेंसर उत्पाद
दिए गए -टेंसर और एक -टेंसर , एक उत्पाद , टेंसर उत्पाद के रूप में जाना जाता है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
सभी के लिए। बहुरेखीय रूपों का टेन्सर उत्पाद क्रमविनिमेय नहीं है; चूँकि यह द्विरेखीय और साहचर्य है: