सिमसन लाइन: Difference between revisions
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प्रमेय#विपरीत भी सत्य है; यदि तीन निकटतम अंक {{mvar|P}} तीन रेखाओं पर समरेख हैं, और फिर कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं {{mvar|P}} तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है। या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज की सिमसन रेखा {{mvar|ABC}} और | प्रमेय#विपरीत भी सत्य है; यदि तीन निकटतम अंक {{mvar|P}} तीन रेखाओं पर समरेख हैं, और फिर कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं {{mvar|P}} तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है। या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज की सिमसन रेखा {{mvar|ABC}} और बिंदु {{mvar|P}} का सिर्फ [[पेडल त्रिकोण]] है {{mvar|ABC}} और {{mvar|P}} जो सीधी रेखा में पतित हो गया है और यह स्थिति लोकस (गणित) को विवश करती है {{mvar|P}} त्रिभुज के परिवृत्त का पता लगाने के लिए {{mvar|ABC}}. | ||
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त्रिभुज को जटिल तल में रखकर, त्रिभुज को दें {{mvar|ABC}} इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक होते हैं {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, और P को जटिल निर्देशांक के साथ दें {{mvar|p}} परिवृत्त पर | त्रिभुज को जटिल तल में रखकर, त्रिभुज को दें {{mvar|ABC}} इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक होते हैं {{mvar|a}}, {{mvar|b}}, {{mvar|c}}, और P को जटिल निर्देशांक के साथ दें {{mvar|p}} परिवृत्त पर बिंदु हो। सिमसन रेखा बिंदुओं का समुच्चय है {{mvar|z}} संतुष्टि देने वाला<ref name=TZ>Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", ''Forum Geometricorum'' 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf</ref>{{rp|Proposition 4}} | ||
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*अगर {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} परिवृत्त पर बिंदु हैं, फिर सिमसन रेखाओं के बीच का कोण {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} चाप का आधा कोण है {{mvar|PQ}}. विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन रेखाएँ लंबवत होती हैं और इस मामले में रेखाओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है। | *अगर {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} परिवृत्त पर बिंदु हैं, फिर सिमसन रेखाओं के बीच का कोण {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} चाप का आधा कोण है {{mvar|PQ}}. विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन रेखाएँ लंबवत होती हैं और इस मामले में रेखाओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है। | ||
*देना {{mvar|H}} त्रिभुज के लंबकेंद्र को निरूपित करें {{mvar|ABC}}, की सिमसन रेखा {{mvar|P}} खंड को समद्विभाजित करें {{mvar|PH}} उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है। | *देना {{mvar|H}} त्रिभुज के लंबकेंद्र को निरूपित करें {{mvar|ABC}}, की सिमसन रेखा {{mvar|P}} खंड को समद्विभाजित करें {{mvar|PH}} उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है। | ||
* | * ही परिधि वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, बिंदु की सिमसन रेखाओं के बीच का कोण {{mvar|P}} दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर निर्भर नहीं करता है {{mvar|P}}. | ||
* सभी सिमसन रेखाओं का सेट, जब खींचा जाता है, संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाने वाले डेल्टोइड के आकार में | * सभी सिमसन रेखाओं का सेट, जब खींचा जाता है, संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाने वाले डेल्टोइड के आकार में [[लिफाफा (गणित)]] बनाता है। | ||
* सिमसन रेखा का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के | * सिमसन रेखा का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के पक्ष के साथ मेल खाता है (ऊपर पहली संपत्ति देखें) इस पार्श्व रेखा पर गैर-तुच्छ बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही साइड लाइन के मध्य बिंदु के बारे में ऊंचाई के पैर (साइड लाइन पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अलावा, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके [[स्टेनर डेल्टॉइड]] के बीच स्पर्शरेखा बिंदु है। | ||
* | * [[चतुर्भुज]] जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, में और केवल पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर पैर समरेख होते हैं।<ref>[http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201316.pdf Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, and Mario Pennisi, "Pedal Polygons", ''Forum Geometricorum'' 13 (2013) 153–164: Theorem 4.]</ref> समलम्ब [[चतुर्भुज]] का सिम्पसन बिंदु दो गैर समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।<ref>Olga Radko and Emmanuel Tsukerman, "The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic point, and the Simson Line of a Quadrilateral", ''Forum Geometricorum'' 12 (2012). [http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201214.pdf]</ref>{{rp|p. 186}} | ||
* कम से कम 5 भुजाओं वाले किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] में सिमसन रेखा नहीं होती है।<ref>{{cite journal | last1 = Tsukerman | first1 = Emmanuel | year = 2013 | title = पैराबोलस के असतत एनालॉग्स के रूप में एक सिमसन रेखा को स्वीकार करने वाले बहुभुजों पर| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 13 | pages = 197–208 }}</ref> | * कम से कम 5 भुजाओं वाले किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] में सिमसन रेखा नहीं होती है।<ref>{{cite journal | last1 = Tsukerman | first1 = Emmanuel | year = 2013 | title = पैराबोलस के असतत एनालॉग्स के रूप में एक सिमसन रेखा को स्वीकार करने वाले बहुभुजों पर| url = http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201321.pdf | journal = Forum Geometricorum | volume = 13 | pages = 197–208 }}</ref> | ||
== अस्तित्व का प्रमाण == | == अस्तित्व का प्रमाण == | ||
प्रमाण का तरीका यह दिखाना है <math>\angle NMP + \angle PML = 180^\circ</math>. <math>PCAB</math> | प्रमाण का तरीका यह दिखाना है <math>\angle NMP + \angle PML = 180^\circ</math>. <math>PCAB</math> चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए <math>\angle PBA + \angle ACP = \angle PBN + \angle ACP = 180^\circ</math>. <math>PMNB</math> चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए <math>\angle PBN + \angle NMP = 180^\circ</math>. इस तरह <math>\angle NMP = \angle ACP</math>. अब <math>PLCM</math> चक्रीय है, इसलिए <math>\angle PML = \angle PCL = 180^\circ - \angle ACP</math>. इसलिए <math>\angle NMP + \angle PML = \angle ACP + (180^\circ - \angle ACP) = 180^\circ</math>. | ||
== सामान्यीकरण == | == सामान्यीकरण == | ||
=== सामान्यीकरण 1 === | === सामान्यीकरण 1 === | ||
[[File:A generalization of the Simson line.svg|thumb|250px|AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं]]* मान लीजिए कि ABC | [[File:A generalization of the Simson line.svg|thumb|250px|AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं]]* मान लीजिए कि ABC त्रिभुज है, मान लीजिए कि रेखा ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और बिंदु P को परिवृत्त पर स्थित होने दें। माना AP, BP, CP ℓ A पर मिलते हैं<sub>p</sub>, बी<sub>p</sub>, सी<sub>p</sub>क्रमश। चलो ए<sub>0</sub>, बी<sub>0</sub>, सी<sub>0</sub> ए के अनुमान हो<sub>p</sub>, बी<sub>p</sub>, सी<sub>p</sub>क्रमशः बीसी, सीए, एबी पर। फिर एक<sub>0</sub>, बी<sub>0</sub>, सी<sub>0</sub> संरेख हैं। इसके अलावा, नई रेखा PH के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर गुजरती है, तो रेखा सिमसन रेखा के संपाती हो जाती है।<ref>{{cite web|url=http://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/GeneralizationSimson.shtml|title=सिमसन लाइन का एक सामान्यीकरण|publisher=Cut-the-knot|date = April 2015}}</ref><ref>{{citation|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201608.pdf|author= Nguyen Van Linh|title= Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem|journal= Forum Geometricorum|volume= 16|year=2016|pages= 57–61}}</ref><ref name=NguyenLePhuocandNguyenChuongChi>[http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=10362951&fileId=S0025557216000772 Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77.] [[The Mathematical Gazette]]</ref> | ||
[[File:A propjective Simson line.svg|thumb|right|250px|सिमसन लाइन का | [[File:A propjective Simson line.svg|thumb|right|250px|सिमसन लाइन का प्रक्षेपी संस्करण]] | ||
=== सामान्यीकरण 2 === | === सामान्यीकरण 2 === | ||
* त्रिभुज ABC के शीर्ष [[शंकु खंड]] Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने दें। माना PA, PB, PC शंकु को A पर प्रतिच्छेद करते हैं<sub>1</sub>, बी<sub>1</sub>, सी<sub>1</sub> क्रमश। क्यूए<sub>1</sub> BC को A पर काटती है<sub>2</sub>, क्यूबी<sub>1</sub> AC को B पर काटती है<sub>2</sub>, और क्यूसी<sub>1</sub> AB को C पर काटती है<sub>2</sub>. फिर चार अंक ए<sub>2</sub>, बी<sub>2</sub>, सी<sub>2</sub>, और P संरेख हैं यदि केवल Q शांकव Γ पर स्थित है।<ref>{{citation|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9834854&fulltextType=XX&fileId=S0025557215020549|first= Geoff|last= Smith|year=2015|title= 99.20 A projective Simson line|journal= The Mathematical Gazette|volume= 99|issue=545|pages=339–341|doi= 10.1017/mag.2015.47|s2cid= 124965348}}</ref> | * त्रिभुज ABC के शीर्ष [[शंकु खंड]] Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने दें। माना PA, PB, PC शंकु को A पर प्रतिच्छेद करते हैं<sub>1</sub>, बी<sub>1</sub>, सी<sub>1</sub> क्रमश। क्यूए<sub>1</sub> BC को A पर काटती है<sub>2</sub>, क्यूबी<sub>1</sub> AC को B पर काटती है<sub>2</sub>, और क्यूसी<sub>1</sub> AB को C पर काटती है<sub>2</sub>. फिर चार अंक ए<sub>2</sub>, बी<sub>2</sub>, सी<sub>2</sub>, और P संरेख हैं यदि केवल Q शांकव Γ पर स्थित है।<ref>{{citation|url=http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9834854&fulltextType=XX&fileId=S0025557215020549|first= Geoff|last= Smith|year=2015|title= 99.20 A projective Simson line|journal= The Mathematical Gazette|volume= 99|issue=545|pages=339–341|doi= 10.1017/mag.2015.47|s2cid= 124965348}}</ref> | ||
=== सामान्यीकरण 3 === | === सामान्यीकरण 3 === | ||
* R. F. सिस्टर ने [https://www.jstor.org/stable/3606490 [[चक्रीय चतुर्भुज]] की सिमसन रेखाएँ] में चक्रीय चतुर्भुजों के लिए प्रमेय का सामान्यीकरण किया। | * R. F. सिस्टर ने [https://www.jstor.org/stable/3606490 [[चक्रीय चतुर्भुज]] की सिमसन रेखाएँ] में चक्रीय चतुर्भुजों के लिए प्रमेय का सामान्यीकरण किया। | ||
Revision as of 16:48, 22 April 2023
ज्यामिति में, त्रिभुज ABC और इसके परिवृत्त पर बिंदु P दिया गया है, रेखाओं AB, AC, और BC पर P के तीन निकटतम बिंदु संरेख हैं।[1] इन बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा P की सिमसन रेखा है, जिसका नाम रॉबर्ट सिमसन के नाम पर रखा गया है।[2] चूँकि, इस अवधारणा को प्रथम बार 1799 में विलियम वालेस द्वारा प्रकाशित किया गया था।[3]
प्रमेय#विपरीत भी सत्य है; यदि तीन निकटतम अंक P तीन रेखाओं पर समरेख हैं, और फिर कोई भी दो रेखाएँ समानांतर नहीं हैं P तीन रेखाओं से बने त्रिभुज के परिवृत्त पर स्थित है। या दूसरे शब्दों में, त्रिभुज की सिमसन रेखा ABC और बिंदु P का सिर्फ पेडल त्रिकोण है ABC और P जो सीधी रेखा में पतित हो गया है और यह स्थिति लोकस (गणित) को विवश करती है P त्रिभुज के परिवृत्त का पता लगाने के लिए ABC.
समीकरण
त्रिभुज को जटिल तल में रखकर, त्रिभुज को दें ABC इकाई परिवृत्त के साथ ऐसे शीर्ष होते हैं जिनके स्थानों में जटिल निर्देशांक होते हैं a, b, c, और P को जटिल निर्देशांक के साथ दें p परिवृत्त पर बिंदु हो। सिमसन रेखा बिंदुओं का समुच्चय है z संतुष्टि देने वाला[4]: Proposition 4
जहां ओवरबार जटिल संयुग्मन को इंगित करता है।
गुण
सिमसन रेखाएँ (लाल रंग में) स्टेनर डेल्टॉइड वक्र (नीले रंग में) की स्पर्शरेखाएँ हैं।
*त्रिकोण के किसी शीर्ष की सिमसन रेखा उस शीर्ष से गिराए गए त्रिभुज की ऊँचाई (ज्यामिति) होती है, और शीर्ष के बिल्कुल विपरीत बिंदु की सिमसन रेखा उस शीर्ष के विपरीत त्रिभुज की भुजा होती है।
- अगर P और Q परिवृत्त पर बिंदु हैं, फिर सिमसन रेखाओं के बीच का कोण P और Q चाप का आधा कोण है PQ. विशेष रूप से, यदि बिंदु बिलकुल विपरीत हैं, तो उनकी सिमसन रेखाएँ लंबवत होती हैं और इस मामले में रेखाओं का प्रतिच्छेदन नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
- देना H त्रिभुज के लंबकेंद्र को निरूपित करें ABC, की सिमसन रेखा P खंड को समद्विभाजित करें PH उस बिंदु पर जो नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित है।
- ही परिधि वाले दो त्रिभुज दिए गए हैं, बिंदु की सिमसन रेखाओं के बीच का कोण P दोनों त्रिभुजों के परिवृत्त पर निर्भर नहीं करता है P.
- सभी सिमसन रेखाओं का सेट, जब खींचा जाता है, संदर्भ त्रिभुज के स्टीनर डेल्टोइड के रूप में जाने वाले डेल्टोइड के आकार में लिफाफा (गणित) बनाता है।
- सिमसन रेखा का निर्माण जो संदर्भ त्रिकोण के पक्ष के साथ मेल खाता है (ऊपर पहली संपत्ति देखें) इस पार्श्व रेखा पर गैर-तुच्छ बिंदु उत्पन्न करता है। यह बिंदु बनाई जा रही साइड लाइन के मध्य बिंदु के बारे में ऊंचाई के पैर (साइड लाइन पर गिरा हुआ) का प्रतिबिंब है। इसके अलावा, यह बिंदु संदर्भ त्रिभुज की भुजा और उसके स्टेनर डेल्टॉइड के बीच स्पर्शरेखा बिंदु है।
- चतुर्भुज जो समांतर चतुर्भुज नहीं है, में और केवल पेडल बिंदु होता है, जिसे सिमसन बिंदु कहा जाता है, जिसके संबंध में चतुर्भुज पर पैर समरेख होते हैं।[5] समलम्ब चतुर्भुज का सिम्पसन बिंदु दो गैर समानांतर भुजाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।[6]: p. 186
- कम से कम 5 भुजाओं वाले किसी भी उत्तल बहुभुज में सिमसन रेखा नहीं होती है।[7]
अस्तित्व का प्रमाण
प्रमाण का तरीका यह दिखाना है . चक्रीय चतुर्भुज है, इसलिए . चक्रीय चतुर्भुज (थेल्स प्रमेय) है, इसलिए . इस तरह . अब चक्रीय है, इसलिए . इसलिए .
सामान्यीकरण
सामान्यीकरण 1
File:A generalization of the Simson line.svg
AP, Bp, Cp का BC, CA, AB पर प्रक्षेप तीन संरेख बिंदु हैं
* मान लीजिए कि ABC त्रिभुज है, मान लीजिए कि रेखा ℓ परिकेन्द्र O से होकर जाती है, और बिंदु P को परिवृत्त पर स्थित होने दें। माना AP, BP, CP ℓ A पर मिलते हैंp, बीp, सीpक्रमश। चलो ए0, बी0, सी0 ए के अनुमान होp, बीp, सीpक्रमशः बीसी, सीए, एबी पर। फिर एक0, बी0, सी0 संरेख हैं। इसके अलावा, नई रेखा PH के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है, जहाँ H ΔABC का लंबकेन्द्र है। यदि ℓ, P से होकर गुजरती है, तो रेखा सिमसन रेखा के संपाती हो जाती है।[8][9][10]
File:A propjective Simson line.svg
सिमसन लाइन का प्रक्षेपी संस्करण
सामान्यीकरण 2
- त्रिभुज ABC के शीर्ष शंकु खंड Γ पर स्थित हैं, और Q, P को समतल में दो बिंदु होने दें। माना PA, PB, PC शंकु को A पर प्रतिच्छेद करते हैं1, बी1, सी1 क्रमश। क्यूए1 BC को A पर काटती है2, क्यूबी1 AC को B पर काटती है2, और क्यूसी1 AB को C पर काटती है2. फिर चार अंक ए2, बी2, सी2, और P संरेख हैं यदि केवल Q शांकव Γ पर स्थित है।[11]
सामान्यीकरण 3
- R. F. सिस्टर ने चक्रीय चतुर्भुज की सिमसन रेखाएँ में चक्रीय चतुर्भुजों के लिए प्रमेय का सामान्यीकरण किया।
यह भी देखें
- पेडल त्रिकोण
- रॉबर्ट सिमसन
संदर्भ
- ↑ H.S.M. Coxeter and S.L. Greitzer, Geometry revisited, Math. Assoc. America, 1967: p.41.
- ↑ "Gibson History 7 - Robert Simson". MacTutor History of Mathematics archive. 2008-01-30.
- ↑ "विलियम वॉलेस". MacTutor History of Mathematics archive.
- ↑ Todor Zaharinov, "The Simson triangle and its properties", Forum Geometricorum 17 (2017), 373--381. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201736.pdf
- ↑ Daniela Ferrarello, Maria Flavia Mammana, and Mario Pennisi, "Pedal Polygons", Forum Geometricorum 13 (2013) 153–164: Theorem 4.
- ↑ Olga Radko and Emmanuel Tsukerman, "The Perpendicular Bisector Construction, the Isoptic point, and the Simson Line of a Quadrilateral", Forum Geometricorum 12 (2012). [1]
- ↑ Tsukerman, Emmanuel (2013). "पैराबोलस के असतत एनालॉग्स के रूप में एक सिमसन रेखा को स्वीकार करने वाले बहुभुजों पर" (PDF). Forum Geometricorum. 13: 197–208.
- ↑ "सिमसन लाइन का एक सामान्यीकरण". Cut-the-knot. April 2015.
- ↑ Nguyen Van Linh (2016), "Another synthetic proof of Dao's generalization of the Simson line theorem" (PDF), Forum Geometricorum, 16: 57–61
- ↑ Nguyen Le Phuoc and Nguyen Chuong Chi (2016). 100.24 A synthetic proof of Dao's generalisation of the Simson line theorem. The Mathematical Gazette, 100, pp 341-345. doi:10.1017/mag.2016.77. The Mathematical Gazette
- ↑ Smith, Geoff (2015), "99.20 A projective Simson line", The Mathematical Gazette, 99 (545): 339–341, doi:10.1017/mag.2015.47, S2CID 124965348
बाहरी संबंध
Wikimedia Commons has media related to Simson line.
- Simson Line at cut-the-knot.org
- F. M. Jackson and Weisstein, Eric W. "Simson Line". MathWorld.
- A generalization of Neuberg's theorem and the Simson-Wallace line at Dynamic Geometry Sketches, an interactive dynamic geometry sketch.
