अपचायक समूह: Difference between revisions
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गणित में, अपचायक समूह एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का [[प्रत्यक्ष योग]] है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे [[सामान्य रैखिक समूह]] '' | गणित में, अपचायक समूह एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र (गणित]]) पर [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का [[प्रत्यक्ष योग]] है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे [[सामान्य रैखिक समूह]] ''G''l(''n'') व्युत्क्रम आव्यूह, [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष लंब कोणीय समूह]] ''S''o(''n''), और [[सहानुभूतिपूर्ण समूह|सममिती समूह]] ''S''p(2''n'')। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं। | ||
[[क्लाउड चेवेली]] ने दिखाया कि किसी भी [[बीजीय रूप से बंद क्षेत्र|बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र]] पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि [[वास्तविक संख्या]] R या एक [[संख्या क्षेत्र]] के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह ''k'' के समूह | [[क्लाउड चेवेली]] ने दिखाया कि किसी भी [[बीजीय रूप से बंद क्षेत्र|बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र]] पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि [[वास्तविक संख्या]] R या एक [[संख्या क्षेत्र]] के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह ''k'' के समूह g(''k'') के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह ''G'' के [[तर्कसंगत बिंदु]] क्षेत्र ''के'', या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है। | ||
अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत|निरूपण सिद्धांत]] है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो ''k''-सदिश रिक्त समष्टि पर ''G'' की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह | अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत|निरूपण सिद्धांत]] है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो ''k''-सदिश रिक्त समष्टि पर ''G'' की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह g(''k'') के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब ''k'' एक [[परिमित क्षेत्र]] है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
{{main|रैखिक बीजगणितीय समूह}} | {{main|रैखिक बीजगणितीय समूह}} | ||
किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर | किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर Gl(n) की एक [[चिकनी योजना|समृणीकृत पद्धति]] संवृत [[समूह योजना|समूह पद्धति]] के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k पर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है। | ||
=== एकांगी मूलक के साथ === | === एकांगी मूलक के साथ === | ||
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=== सरल अपचायक समूह === | === सरल अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह | क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय [[केंद्र (समूह सिद्धांत)|केंद्र (समूह सिद्धांत]]) हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह Sl(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μ<sub>''n''</sub> है। | ||
अपचायक समूहों के 'केंद्रीय समरूपता' विशेषण [[समूह समरूपता]] है जिसमें आधार एक परिमित [[केंद्रीय उपसमूह]] पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करते है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k, | अपचायक समूहों के 'केंद्रीय समरूपता' विशेषण [[समूह समरूपता]] है जिसमें आधार एक परिमित [[केंद्रीय उपसमूह]] पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करते है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k, | ||
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=== GL<sub>''n''</sub> और SL<sub>''n''</sub> === | === GL<sub>''n''</sub> और SL<sub>''n''</sub> === | ||
अपचायक समूह का मूलभूत उदाहरण प्राकृतिक संख्या n के लिए क्षेत्र k पर व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह सामान्य रैखिक समूह <math>\text{GL}_n</math> | अपचायक समूह का मूलभूत उदाहरण प्राकृतिक संख्या n के लिए क्षेत्र k पर व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह सामान्य रैखिक समूह <math>\text{GL}_n</math> है। विशेष रूप से, 'गुणक समूह' G<sub>''m''</sub> समूह Gl(1) है, और इसलिए k-तर्कसंगत बिंदुओं का इसका समूह Gm(k) गुणन के अंतर्गत k के शून्येतर अवयवों का समूह k* है। अन्य अपचायक समूह [[विशेष रैखिक समूह]] Sl(n) एक क्षेत्र k पर, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह है। वस्तुतः, Sl(n) कम से कम 2 n के लिए सरल बीजगणितीय समूह है। | ||
=== | === o(n), So(n), और Sp(n) === | ||
महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सममिती समूह Sp(2n) है, | महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सममिती समूह Sp(2n) है, Gl(2n) का उपसमूह जो सदिश समष्टि k<sup>2n</sup> पर गैर-अपघटित वैकल्पिक [[द्विरेखीय रूप]] को संरक्षित करता है। इसी प्रकार, लांबिक समूह o(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश समष्टि पर अविकृत [[द्विघात रूप]] q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह o(q) में दो संयोजित घटक (सांस्थिति) हैं, और इसकी [[पहचान घटक|तत्समक घटक]] So(q) अपचायक है, वस्तुतः विमा n के q के लिए कम से कम 3 सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह पद्धति o(q) वस्तुतः सम्बद्ध है, परन्तु k पर समृणीकृत नहीं है। सरल समूह So(q) को सदैव o(q) के अधिक से अधिक समृणीकृत रूप से संयोजित उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से संवृत होता है, तो कोई भी दो (अनपभ्रष्ट) ही विमा के द्विघात रूप समरूपी हैं, और इसलिए इस समूह को So(n) कहना उचित है। सामान्य क्षेत्र k के लिए, विमा n के विभिन्न द्विघात रूपों से k पर गैर-समरूपी सरल समूह So(q) प्राप्त हो सकते हैं, यद्यपि उन सभी में बीजगणितीय संवरक <math>\overline k</math> में समान आधार परिवर्तन होता है। | ||
=== टोरी === | === टोरी === | ||
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== अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | == अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | ||
प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में जटिलता (लाई समूह) होती है, जो जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित लाई समूहों और जटिल अपचायक समूहों के बीच एक-से-एक संगति देता है। जटिलता G के साथ एक संहत लाई समूह k के लिए, k से जटिल अपचायक समूह | प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में जटिलता (लाई समूह) होती है, जो जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित लाई समूहों और जटिल अपचायक समूहों के बीच एक-से-एक संगति देता है। जटिलता G के साथ एक संहत लाई समूह k के लिए, k से जटिल अपचायक समूह g('<nowiki/>'''C'''<nowiki/>') में सम्मिलित होना, g(''''C'''<nowiki/>') पर शास्त्रीय सांस्थिति के संबंध में समस्थेयता समतुल्यता है। उदाहरण के लिए, [[एकात्मक समूह]] u(n) से Gl(n,'C') में समावेश एक [[होमोटॉपी तुल्यता|समस्थेयता तुल्यता]] है। | ||
एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अखंडनीय निरूपण के प्रत्यक्ष योग हैं।<ref>Milne (2017), Theorem 22.42.</ref> यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त ) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक G<sup>o</sup> अपचायक है।<ref>Milne (2017), Corollary 22.43.</ref> विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, [[न्यायमूर्ति नगाटा|मासायोशी नागाटा]] ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G<sup>o</sup> गुणक प्रकार का है और G/G<sup>o</sup> के निकट p से क्रम अभाज्य है।<ref>Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.</ref> | एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अखंडनीय निरूपण के प्रत्यक्ष योग हैं।<ref>Milne (2017), Theorem 22.42.</ref> यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक G<sup>o</sup> अपचायक है।<ref>Milne (2017), Corollary 22.43.</ref> विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, [[न्यायमूर्ति नगाटा|मासायोशी नागाटा]] ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G<sup>o</sup> गुणक प्रकार का है और G/G<sup>o</sup> के निकट p से क्रम अभाज्य है।<ref>Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.</ref> | ||
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अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं। | अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं। | ||
G को एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (G<sub>''m''</sub>)<sup>n</sup> के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है।<ref>Milne (2017), Theorem 12.12.</ref> G के लिए भार का अर्थ है ''T'' के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता ''T''→ ''G''<sub>''m''</sub>। [[पूर्णांक]] 'Z<sup>n</sup>' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए | G को एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (G<sub>''m''</sub>) <sup>n</sup> के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है।<ref>Milne (2017), Theorem 12.12.</ref> G के लिए भार का अर्थ है ''T'' के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता ''T''→ ''G''<sub>''m''</sub>। [[पूर्णांक]] 'Z<sup>n</sup>' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए x(T) समरूपता के साथ निरूपण के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह x(T) बनाते हैं। | ||
संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा होते है। G के एक मूल का अर्थ है गैर-शून्य भार जो <math>\mathfrak g</math>पर ''T'' ⊂ G की क्रिया में होते है। प्रत्येक मूल के अनुरूप <math>\mathfrak g</math> की उप-समष्टि उपक्षेत्र 1-विमीय है, और T द्वारा निश्चित की गई <math>\mathfrak g</math> की उपसमष्टि यथार्थ T की लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> है।<ref name="M2111">Milne (2017), Theorem 21.11.</ref> इसलिए, G का लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> में मूलों के सम्मुचय Φ द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थानों के साथ विघटित होते है: | संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा होते है। G के एक मूल का अर्थ है गैर-शून्य भार जो <math>\mathfrak g</math>पर ''T'' ⊂ G की क्रिया में होते है। प्रत्येक मूल के अनुरूप <math>\mathfrak g</math> की उप-समष्टि उपक्षेत्र 1-विमीय है, और T द्वारा निश्चित की गई <math>\mathfrak g</math> की उपसमष्टि यथार्थ T की लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> है।<ref name="M2111">Milne (2017), Theorem 21.11.</ref> इसलिए, G का लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> में मूलों के सम्मुचय Φ द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थानों के साथ विघटित होते है: | ||
:<math>{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | :<math>{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | ||
उदाहरण के लिए, जब G समूह | उदाहरण के लिए, जब G समूह Gl(n) है, तो इसका लाई बीजगणित <math>{\mathfrak gl}(n)</math>, k पर सभी n × n आव्यूहों की सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि G में विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह T है। फिर मूल-समष्टि अपघटन <math>{\mathfrak gl}(n)</math> को विकर्ण आव्यूह के प्रत्यक्ष योग और संवृत-विकर्ण पदों (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-विमीय उप-समष्टि के रूप में व्यक्त करते है। भार जालक x(T) ≅ 'Z <sup>n</sup>' के मानक आधार के लिए L<sub>1</sub>,..., L<sub>''n''</sub> लिखते हुए, 1 से n तक सभी i ≠ j के लिए मूल अवयव Li - Lj हैं। | ||
एक अर्धसरल समूह की मूल 'मूल पद्धति' बनाती हैं; यह एक मिश्रित संरचना है जिसे पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अपचायक समूह की मूल [[ रूट तिथि |मूल आधार]] बनाती हैं, एक सधारण भिन्नता।<ref>Milne (2017), Corollary 21.12.</ref> अपचायक समूह G के [[वेइल समूह]] का अर्थ है टोरस द्वारा अधिकतम टोरस के [[ नॉर्मलाइज़र |प्रसामान्यक]] का [[भागफल समूह]], ''W'' = ''n'' | एक अर्धसरल समूह की मूल 'मूल पद्धति' बनाती हैं; यह एक मिश्रित संरचना है जिसे पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अपचायक समूह की मूल [[ रूट तिथि |मूल आधार]] बनाती हैं, एक सधारण भिन्नता।<ref>Milne (2017), Corollary 21.12.</ref> अपचायक समूह G के [[वेइल समूह]] का अर्थ है टोरस द्वारा अधिकतम टोरस के [[ नॉर्मलाइज़र |प्रसामान्यक]] का [[भागफल समूह]], ''W'' = ''n''g(T) / T। वेइल समूह वस्तुतः परावर्तनों द्वारा उत्पन्न परिमित समूह है। उदाहरण के लिए, समूह Gl(n) (या Sl(n)) के लिए, वेइल समूह [[सममित समूह]] S<sub>''n''</sub> है। | ||
एक दिए गए अधिकतम टोरस वाले बहुत से बोरेल उपसमूह हैं, और वे वेइल समूह (संयुग्मन द्वारा अभिनय) द्वारा केवल सकर्मक रूप से अनुमत हैं।<ref>Milne (2017), Proposition 17.53.</ref> बोरेल उपसमूह का एक विकल्प धनात्मक मूलों का एक सम्मुचय निर्धारित करता है Φ<sup>+</sup> ⊂ Φ, इस गुण के साथ कि Φ Φ<sup>+</sup> और −Φ<sup>+</sup> का असंयुक्त सम्मिलन है। स्पष्ट रूप से, B का लाई बीजगणित T के लाई बीजगणित और धनात्मक मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग है: | एक दिए गए अधिकतम टोरस वाले बहुत से बोरेल उपसमूह हैं, और वे वेइल समूह (संयुग्मन द्वारा अभिनय) द्वारा केवल सकर्मक रूप से अनुमत हैं।<ref>Milne (2017), Proposition 17.53.</ref> बोरेल उपसमूह का एक विकल्प धनात्मक मूलों का एक सम्मुचय निर्धारित करता है Φ<sup>+</sup> ⊂ Φ, इस गुण के साथ कि Φ Φ<sup>+</sup> और −Φ<sup>+</sup> का असंयुक्त सम्मिलन है। स्पष्ट रूप से, B का लाई बीजगणित T के लाई बीजगणित और धनात्मक मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग है: | ||
:<math>{\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | :<math>{\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | ||
उदाहरण के लिए, यदि B, | उदाहरण के लिए, यदि B, Gl(n) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का बोरेल उपसमूह है, तो यह <math>{\mathfrak gl}(n)</math> में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों के उप-समष्टि <math>\mathfrak b</math> का स्पष्ट अपघटन है। 1 ≤ i <j ≤ n के लिए धनात्मक मूल L<sub>''i''</sub> - L<sub>''j''</sub> हैं। | ||
एक 'सरल मूल' का अर्थ एक धनात्मक मूल है जो दो अन्य धनात्मक मूलों का योग नहीं है। सरल मूलों के समुच्चय के लिए Δ लिखिए। सरल मूलों की संख्या R G के [[कम्यूटेटर उपसमूह|क्रमविनिमेयक उपसमूह]] के पद के बराबर है, जिसे G के 'अर्धसरल पद' कहा जाता है (जो कि G के अर्धसरल होने पर मात्र G का पद है)। उदाहरण के लिए, | एक 'सरल मूल' का अर्थ एक धनात्मक मूल है जो दो अन्य धनात्मक मूलों का योग नहीं है। सरल मूलों के समुच्चय के लिए Δ लिखिए। सरल मूलों की संख्या R G के [[कम्यूटेटर उपसमूह|क्रमविनिमेयक उपसमूह]] के पद के बराबर है, जिसे G के 'अर्धसरल पद' कहा जाता है (जो कि G के अर्धसरल होने पर मात्र G का पद है)। उदाहरण के लिए, Gl(n) (या Sl(n)) के लिए सरल मूल 1 ≤ i ≤ n − 1 के लिए L<sub>''i''</sub> - L<sub>''i''+1</sub> हैं। | ||
मूल पद्धति को संबंधित डायनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एक परिमित [[ग्राफ (असतत गणित)|आरेख (असतत गणित | मूल पद्धति को संबंधित डायनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एक परिमित [[ग्राफ (असतत गणित)|आरेख (असतत गणित]]) है (कुछ किनारों को निर्देशित या एकाधिक के साथ)। डायनकिन आरेख के शीर्षों का समुच्चय सरल मूलों का समुच्चय है। संक्षेप में, डायनकिन आरेख भार जाली पर एक वेइल समूह-निश्चर आंतरिक उत्पाद के संबंध में सरल मूलों और उनकी सापेक्ष लंबाई के बीच के कोणों का वर्णन करते है। संयोजित डायकिन आरेख (सरल समूहों के अनुरूप) नीचे चित्रित किए गए हैं। | ||
एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एक मूल α न मात्र G के लाई बीजगणित के 1-विमीय उप-समष्टि को निर्धारित करते है, बल्कि दिए गए लाई बीजगणित के साथ G में योज्य समूह G<sub>a</sub> की एक प्रति भी है, जिसे 'मूल उपसमूह' U<sub>α</sub> कहा जाता है। मूल उपसमूह G में योज्य समूह की अद्वितीय प्रति है जो T द्वारा सामान्य है और जिसमें दिया गया बीजगणित है।<ref name = "M2111" /> पूर्ण समूह G को T और मूल उपसमूहों द्वारा (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, जबकि बोरेल उपसमूह B को T और धनात्मक मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न किया जाता है। वस्तुतः, एक विभाजित अर्धसरल समूह G अकेले मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न होते है। | एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एक मूल α न मात्र G के लाई बीजगणित के 1-विमीय उप-समष्टि को निर्धारित करते है, बल्कि दिए गए लाई बीजगणित के साथ G में योज्य समूह G<sub>a</sub> की एक प्रति भी है, जिसे 'मूल उपसमूह' U<sub>α</sub> कहा जाता है। मूल उपसमूह G में योज्य समूह की अद्वितीय प्रति है जो T द्वारा सामान्य है और जिसमें दिया गया बीजगणित है।<ref name = "M2111" /> पूर्ण समूह G को T और मूल उपसमूहों द्वारा (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, जबकि बोरेल उपसमूह B को T और धनात्मक मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न किया जाता है। वस्तुतः, एक विभाजित अर्धसरल समूह G अकेले मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न होते है। | ||
== [[परवलयिक उपसमूह]] == | == [[परवलयिक उपसमूह]] == | ||
एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G के समृणीकृत संयोजित उपसमूह जिनमें G का दिया गया बोरेल उपसमूह B होता है, सरल मूलों के सम्मुचय Δ के उपसम्मुचय के साथ एक-से-एक संगति में होते हैं (या समतुल्य, उपसम्मुचय) डायकिन आरेख के शीर्षों के सम्मुचय का)। मान लीजिए r Δ की कोटि है, जो G का अर्धसरल कोटि है। G का प्रत्येक 'परवलयिक उपसमूह' | एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G के समृणीकृत संयोजित उपसमूह जिनमें G का दिया गया बोरेल उपसमूह B होता है, सरल मूलों के सम्मुचय Δ के उपसम्मुचय के साथ एक-से-एक संगति में होते हैं (या समतुल्य, उपसम्मुचय) डायकिन आरेख के शीर्षों के सम्मुचय का)। मान लीजिए r Δ की कोटि है, जो G का अर्धसरल कोटि है। G का प्रत्येक 'परवलयिक उपसमूह' g(k) के किसी अवयव द्वारा B युक्त उपसमूह से संयुग्मित होते है। फलस्वरूप, k पर G में परवलयिक उपसमूहों के वस्तुतः 2<sup>r</sup> संयुग्मन वर्ग हैं।<ref>Borel (1991), Proposition 21.12.</ref> स्पष्ट रूप से, Δ के दिए गए उपसमुच्चय S के संगत परवलयिक उपसमूह, S में α के लिए मूल उपसमूहों U<sub>−α</sub> के साथ मिलकर B द्वारा उत्पन्न समूह है। उदाहरण के लिए, एस में α के लिए। उदाहरण के लिए, Gl(n) के परवलयिक उपसमूहों में उपरोक्त बोरेल उपसमूह B होते हैं, विकर्ण के साथ वर्गों के दिए गए सम्मुचय के नीचे शून्य प्रविष्टियों के साथ व्युत्क्रम आव्यूह के समूह होते हैं, जैसे: | ||
:<math>\left \{ \begin{bmatrix} | :<math>\left \{ \begin{bmatrix} | ||
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परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता|सामान्यीकृत चिह्नक विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। '' | परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता|सामान्यीकृत चिह्नक विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। ''G''l(''n'') के लिए, ये चिह्नक प्रकार हैं, दिए गए विमाओं ''a''<sub>1</sub>,...,a<sub>''i''</sub> के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n: | ||
:<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V</math> के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है | :<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V</math> के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है | ||
लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि चिह्नक की प्रकार के रूप में होते है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'चिह्नक प्रकार' या 'चिह्नक कई गुना' कहा जाता है। | लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि चिह्नक की प्रकार के रूप में होते है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'चिह्नक प्रकार' या 'चिह्नक कई गुना' कहा जाता है। | ||
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[[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]चेवेली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं। | [[File:Finite Dynkin diagrams.svg|480px|thumb|संयोजित डायनकिन आरेख]]चेवेली ने 1958 में दिखाया कि किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों को मूल आंकड़ों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है।<ref>Chevalley (2005); Springer (1998), 9.6.2 and 10.1.1.</ref> विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अर्ध-सरल समूहों को उनके डायनकिन आरेख द्वारा केंद्रीय समरूपता तक वर्गीकृत किया जाता है, और सरल समूह संयोजित आरेखों के अनुरूप होते हैं। इस प्रकार A<sub>''n''</sub>, B<sub>''n''</sub>, C<sub>''n''</sub>, D<sub>''n''</sub>, E<sub>6</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub>, F<sub>4</sub>, G<sub>2</sub> के सरल समूह हैं। यह परिणाम अनिवार्य रूप से 1880 और 1890 के दशक में [[ विल्हेम हत्या |विल्हेम किलिंग]] और एली कार्टन द्वारा संहत लाई समूहों या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण के समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों के विमा, केंद्र और अन्य गुणों को सरल लाई समूहों की सूची से पढ़ा जा सकता है। यह उल्लेखनीय है कि अपचायक समूहों का वर्गीकरण विशेषता से स्वतंत्र है। तुलना के लिए, अभिलक्षणिक शून्य की तुलना में धनात्मक अभिलक्षण में बहुत अधिक सरल लाई बीजगणित हैं। | ||
प्रकार G<sub>2</sub> और E<sub>6</sub> के [[असाधारण समूह]] G का निर्माण कम से कम अमूर्त समूह | प्रकार G<sub>2</sub> और E<sub>6</sub> के [[असाधारण समूह]] G का निर्माण कम से कम अमूर्त समूह g(K) के रूप में लियोनार्ड यूजीन डिक्सन द्वारा किया गया था। उदाहरण के लिए, समूह G<sub>2</sub> k पर एक [[ऑक्टोनियन बीजगणित|अष्टकैक बीजगणित]] का [[ऑटोमोर्फिज्म समूह|स्वसमाकृतिकता समूह]] है। इसके विपरीत, धनात्मक विशेषताओं के क्षेत्र में F<sub>4</sub>, E<sub>7</sub>, E<sub>8</sub> प्रकार के शेवाले समूह पूर्ण रूप से नवीन थे। | ||
अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है।<ref>Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.</ref> एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को ' पूर्णतः संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक केंद्रीय समरूपता एक समरूपता है। (जटिल संख्याओं पर G अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में [[बस जुड़ा हुआ है|पूर्णतः संयोजित]] | अधिक सामान्यतः, विभाजित अपचायक समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान होता है।<ref>Milne (2017), Theorems 23.25 and 23.55.</ref> एक क्षेत्र k पर एक अर्द्धसरल समूह G को ' पूर्णतः संयोजित' कहा जाता है, यदि अर्द्धसरल समूह से G तक प्रत्येक केंद्रीय समरूपता एक समरूपता है। (जटिल संख्याओं पर G अर्धसरल के लिए, इस अर्थ में [[बस जुड़ा हुआ है|पूर्णतः संयोजित]] g('C') के बराबर है जो शास्त्रीय सांस्थिति में पूर्णतः संयोजित है।) चेवेली का वर्गीकरण देता है कि, किसी भी क्षेत्र पर, एक दिए गए डायनकिन आरेख के साथ एक अद्वितीय सरलता से संयोजित विभाजित अर्धसरल समूह G है, जिसमें संयोजित आरेखों के अनुरूप सरल समूह हैं। दूसरे परम पर, एक अर्धसरल समूह 'संलग्न प्रकार' का होता है यदि इसका केंद्र नगण्य होता है। दिए गए डायनकिन आरेख के साथ k पर विभाजित अर्धसरल समूह वस्तुतः समूह G/A हैं, जहाँ G सरल रूप से संयोजित समूह है और A, G के केंद्र की एक k-उपसमूह पद्धति है। | ||