अपचायक समूह: Difference between revisions
From Vigyanwiki
No edit summary |
No edit summary |
||
| Line 1: | Line 1: | ||
{{Group theory sidebar|Algebraic}} | {{Group theory sidebar|Algebraic}} | ||
गणित में, | गणित में, अपचायक समूह एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का [[प्रत्यक्ष योग]] है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे [[सामान्य रैखिक समूह]] ''GL''(''n'') व्युत्क्रम आव्यूह, [[विशेष ऑर्थोगोनल समूह|विशेष लंब कोणीय समूह]] ''SO''(''n''), और [[सहानुभूतिपूर्ण समूह|सममिती समूह]] ''Sp''(2''n'')। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं। | ||
[[क्लाउड चेवेली]] ने दिखाया कि किसी भी [[बीजीय रूप से बंद क्षेत्र|बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र]] पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि [[वास्तविक संख्या]] R या एक [[संख्या क्षेत्र]] के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह ''k'' के समूह ''G''(''k'') के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह ''G'' के [[तर्कसंगत बिंदु]] क्षेत्र ''के'', या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है। | [[क्लाउड चेवेली]] ने दिखाया कि किसी भी [[बीजीय रूप से बंद क्षेत्र|बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र]] पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि [[वास्तविक संख्या]] R या एक [[संख्या क्षेत्र]] के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। [[परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण]] कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह ''k'' के समूह ''G''(''k'') के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह ''G'' के [[तर्कसंगत बिंदु]] क्षेत्र ''के'', या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है। | ||
अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत|निरूपण सिद्धांत]] है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र ''k'' पर | अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध [[प्रतिनिधित्व सिद्धांत|निरूपण सिद्धांत]] है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो ''k''-सदिश रिक्त समष्टि पर ''G'' की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह ''G''(''k'') के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब ''k'' एक [[परिमित क्षेत्र]] है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
| Line 15: | Line 15: | ||
=== निरूपण सिद्धांत के साथ === | === निरूपण सिद्धांत के साथ === | ||
विशेषता शून्य के क्षेत्रों में | विशेषता शून्य के क्षेत्रों में अपचायक समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक संयोजित समूह <math>G</math> है एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करता है जो इसके बीजगणितीय संवरक <math>k^{al}</math> पर अर्धसरल रहता है <ref>{{Cite book|last=Milne|url=https://www.jmilne.org/math/CourseNotes/iAG200.pdf|title=रैखिक बीजगणितीय समूह|pages=381-394}}</ref> <sup>पृष्ठ 424</sup>। | ||
=== सरल अपचायक समूह === | === सरल अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μ<sub>''n''</sub> है। | क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, असतहीय है, और G से अधिक k का प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित सामान्य उपसमूह नगण्य या G के बराबर है।<ref>Conrad (2014), after Proposition 5.1.17.</ref> (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से किंचित अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में असतहीय [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] हो सकता है (यद्यपि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह एकता की nth मूलों की समूह पद्धति μ<sub>''n''</sub> है। | ||
अपचायक समूहों | अपचायक समूहों के 'केंद्रीय समरूपता' विशेषण [[समूह समरूपता]] है जिसमें आधार एक परिमित [[केंद्रीय उपसमूह]] पद्धति है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक अपचायक समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करते है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k, | ||
:<math>GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n</math> पर। | :<math>GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n</math> पर। | ||
यह किंचित अनुपयुक्त है कि एक क्षेत्र पर | यह किंचित अनुपयुक्त है कि एक क्षेत्र पर अपचायक समूह की परिभाषा में बीजगणितीय संवरक को पारित करना सम्मिलित है। पूर्ण क्षेत्र k के लिए, इससे बचा जा सकता है: k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है यदि और मात्र यदि G के प्रत्येक समृणीकृत संयोजित एकांगी सामान्य k-उपसमूह नगण्य हैं। स्वेच्छ क्षेत्र के लिए, बाद की गुण एक [[छद्म-रिडक्टिव समूह|छद्म-अपचायक समूह]] को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है। | ||
=== विभाजित-अपचायक समूह === | === विभाजित-अपचायक समूह === | ||
क्षेत्र k पर | क्षेत्र k पर अपचायक समूह G को 'विभाजित' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक विभाजित अधिकतम टोरस T होता है (अर्थात, G में रैखिक बीजगणितीय समूह जिसका आधार बदल जाता है) <math>\overline k</math> में एक अधिकतम टोरस है <math>G_{\overline k}</math>)। यह कहने के बराबर है कि टी G में विभाजित टोरस है जो कि G में सभी k-टोरी के बीच अधिकतम है।<ref>Borel (1991), 18.2(i).</ref> इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी आंकड़ों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे मूल आंकड़ें कहा जाता है। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
=== GL<sub>''n''</sub> और SL<sub>''n''</sub> === | === GL<sub>''n''</sub> और SL<sub>''n''</sub> === | ||
अपचायक समूह का | अपचायक समूह का मूलभूत उदाहरण प्राकृतिक संख्या n के लिए क्षेत्र k पर व्युत्क्रमणीय n × n आव्यूह सामान्य रैखिक समूह <math>\text{GL}_n</math> है । विशेष रूप से, 'गुणक समूह' G<sub>''m''</sub> समूह GL (1) है, और इसलिए k-तर्कसंगत बिंदुओं का इसका समूह G<sub>''m''</sub>(k) गुणन के अंतर्गत k के शून्येतर अवयवों का समूह k* है। अन्य अपचायक समूह [[विशेष रैखिक समूह]] SL(n) एक क्षेत्र k पर, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह है। वस्तुतः, SL(n) कम से कम 2 n के लिए सरल बीजगणितीय समूह है। | ||
=== O(n), SO(n), और SP(n) === | === O(n), SO(n), और SP(n) === | ||
महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सममिती समूह Sp(2n) है, GL(2n) का उपसमूह जो सदिश समष्टि k<sup>2n</sup> पर गैर-अपघटित वैकल्पिक [[द्विरेखीय रूप]] को संरक्षित करता है। इसी प्रकार, लांबिक समूह O(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश समष्टि पर अविकृत [[द्विघात रूप]] q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह O(q) में दो संयोजित घटक (सांस्थिति) हैं, और इसकी [[पहचान घटक|तत्समक घटक]] SO(q) अपचायक है, वस्तुतः विमा n के q के लिए कम से कम 3 सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह पद्धति O(q) वस्तुतः सम्बद्ध है, परन्तु k पर समृणीकृत नहीं है। सरल समूह SO(q) को सदैव O(q) के अधिक से अधिक समृणीकृत रूप से संयोजित उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से संवृत होता है, तो कोई भी दो ( अनपभ्रष्ट) ही विमा के द्विघात रूप समरूपी हैं, और इसलिए इस समूह को SO(n) कहना उचित है। सामान्य क्षेत्र k के लिए, विमा n के विभिन्न द्विघात रूपों से k पर गैर-समरूपी सरल समूह SO(q) प्राप्त हो सकते हैं, यद्यपि उन सभी में बीजगणितीय संवरक <math>\overline k</math> में समान आधार परिवर्तन होता है। | |||
=== टोरी === | === टोरी === | ||
| Line 46: | Line 46: | ||
* कोई भी [[शक्तिहीन समूह|एकांगी समूह]] अपचायक नहीं है क्योंकि उसका एकांगी मूलक स्वयं है। इसमें योजक समूह <math>\mathbb{G}_a</math> सम्मिलित है। | * कोई भी [[शक्तिहीन समूह|एकांगी समूह]] अपचायक नहीं है क्योंकि उसका एकांगी मूलक स्वयं है। इसमें योजक समूह <math>\mathbb{G}_a</math> सम्मिलित है। | ||
* <math>\text{GL}_n</math> के [[बोरेल समूह]] <math>B_n</math> में विकर्ण पर <math>1</math> के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह का असतहीय एकांगी मूलक <math>\mathbb{U}_n</math> है। यह एक गैर-अपचायक समूह का | * <math>\text{GL}_n</math> के [[बोरेल समूह]] <math>B_n</math> में विकर्ण पर <math>1</math> के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह का असतहीय एकांगी मूलक <math>\mathbb{U}_n</math> है। यह एक गैर-अपचायक समूह का उदाहरण है जो एक-एकांगी नहीं है। | ||
==== संबद्ध अपचायक समूह ==== | ==== संबद्ध अपचायक समूह ==== | ||
| Line 52: | Line 52: | ||
== अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | == अपचायक समूहों के अन्य लक्षण == | ||
प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में | प्रत्येक संहत संयोजित लाई समूह में जटिलता (लाई समूह) होती है, जो जटिल अपचायक बीजगणितीय समूह है। वस्तुतः, यह निर्माण समरूपता तक संहत संयोजित लाई समूहों और जटिल अपचायक समूहों के बीच एक-से-एक संगति देता है। जटिलता G के साथ एक संहत लाई समूह k के लिए, k से जटिल अपचायक समूह G ('<nowiki/>'''C'''<nowiki/>') में सम्मिलित होना, G (''''C'''<nowiki/>') पर शास्त्रीय सांस्थिति के संबंध में समस्थेयता समतुल्यता है। उदाहरण के लिए, [[एकात्मक समूह]] U(n) से GL(n,'C') में समावेश एक [[होमोटॉपी तुल्यता|समस्थेयता तुल्यता]] है। | ||
एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में | एक क्षेत्र शून्य की विशेषता के क्षेत्र में अपचायक समूह G के लिए, G के सभी परिमित-विमीय निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) अर्धसूत्रीय निरूपण हैं, अर्थात, वे अखंडनीय निरूपण के प्रत्यक्ष योग हैं।<ref>Milne (2017), Theorem 22.42.</ref> यह नाम अपचायक का स्रोत है। ध्यान दें, यद्यपि, पूर्ण न्यूनीकरण धनात्मक विशेषता (टोरी के अतिरिक्त ) में अपचायक समूहों के लिए विफल रहता है। अधिक विवरण में: एक क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक सजातीय समूह पद्धति G को रैखिक रूप से अपचायक' कहा जाता है यदि इसके परिमित-विमीय निरूपण पूर्ण रूप से कम हो जाते हैं। विशेषता शून्य के k के लिए, G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G का तत्समक घटक G<sup>o</sup> अपचायक है।<ref>Milne (2017), Corollary 22.43.</ref> विशेषता p>0 के k के लिए, यद्यपि, [[न्यायमूर्ति नगाटा|मासायोशी नागाटा]] ने दिखाया कि G रैखिक रूप से अपचायक है यदि और मात्र यदि G<sup>o</sup> गुणक प्रकार का है और G/G<sup>o</sup> के निकट p से क्रम अभाज्य है।<ref>Demazure & Gabriel (1970), Théorème IV.3.3.6.</ref> | ||
| Line 60: | Line 60: | ||
अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं। | अपचायक बीजगणितीय समूहों का वर्गीकरण संबद्ध मूल प्रणाली के संदर्भ में है, जैसा कि जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित या संहत लाई समूहों के सिद्धांतों में है। यहाँ जिस प्रकार से मूल अपचायक समूहों के लिए दिखाई देती हैं। | ||
G को एक क्षेत्र k पर | G को एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह होने दें, और T को G में विभाजित अधिकतम टोरस होने दें; इसलिए T कुछ n के लिए (G<sub>''m''</sub>)<sup>n</sup> के लिए समरूपी है, जिसमें n को G का पद कहा जाता है। T का प्रत्येक निरूपण (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) 1-विमीय निरूपण का प्रत्यक्ष योग है।<ref>Milne (2017), Theorem 12.12.</ref> G के लिए भार का अर्थ है ''T'' के 1-विमीय निरूपण का एक समरूपता वर्ग, या समतुल्य समरूपता ''T''→ ''G''<sub>''m''</sub>। [[पूर्णांक]] 'Z<sup>n</sup>' की n प्रतियों के उत्पाद के लिए X(T) समरूपता के साथ निरूपण के टेंसर गुणनफल के अंतर्गत भार एक समूह X(T) बनाते हैं। | ||
संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा | संलग्न निरूपण G की क्रिया है जो इसके लाई बीजगणित <math>\mathfrak g</math> पर संयुग्मन द्वारा होते है। G के एक मूल का अर्थ है गैर-शून्य भार जो <math>\mathfrak g</math>पर ''T'' ⊂ G की क्रिया में होते है। प्रत्येक मूल के अनुरूप <math>\mathfrak g</math> की उप-समष्टि उपक्षेत्र 1-विमीय है, और T द्वारा निश्चित की गई <math>\mathfrak g</math> की उपसमष्टि यथार्थ T की लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> है।<ref name="M2111">Milne (2017), Theorem 21.11.</ref> इसलिए, G का लाई बीजगणित <math>\mathfrak t</math> में मूलों के सम्मुचय Φ द्वारा अनुक्रमित 1-आयामी उप-स्थानों के साथ विघटित होते है: | ||
:<math>{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | :<math>{\mathfrak g} = {\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | ||
उदाहरण के लिए, जब G समूह GL(n) है, तो इसका लाई बीजगणित <math>{\mathfrak gl}(n)</math>, k पर सभी n × n आव्यूहों की सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि G में विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह T है। फिर मूल-समष्टि अपघटन <math>{\mathfrak gl}(n)</math> को विकर्ण आव्यूह के प्रत्यक्ष योग और संवृत-विकर्ण पदों (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-विमीय उप-समष्टि के रूप में व्यक्त | उदाहरण के लिए, जब G समूह GL(n) है, तो इसका लाई बीजगणित <math>{\mathfrak gl}(n)</math>, k पर सभी n × n आव्यूहों की सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि G में विकर्ण आव्यूहों का उपसमूह T है। फिर मूल-समष्टि अपघटन <math>{\mathfrak gl}(n)</math> को विकर्ण आव्यूह के प्रत्यक्ष योग और संवृत-विकर्ण पदों (i, j) द्वारा अनुक्रमित 1-विमीय उप-समष्टि के रूप में व्यक्त करते है। भार जालक X(T) ≅ 'Z <sup>n</sup>' के मानक आधार के लिए L<sub>1</sub>,..., L<sub>''n''</sub> लिखते हुए, 1 से n तक सभी i ≠ j के लिए मूल अवयव Li - Lj हैं। | ||
एक अर्धसरल समूह की मूल | एक अर्धसरल समूह की मूल 'मूल पद्धति' बनाती हैं; यह एक मिश्रित संरचना है जिसे पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है। अधिक सामान्यतः, अपचायक समूह की मूल [[ रूट तिथि |मूल आधार]] बनाती हैं, एक सधारण भिन्नता।<ref>Milne (2017), Corollary 21.12.</ref> अपचायक समूह G के [[वेइल समूह]] का अर्थ है टोरस द्वारा अधिकतम टोरस के [[ नॉर्मलाइज़र |प्रसामान्यक]] का [[भागफल समूह]], ''W'' = ''n''<sub>''G''</sub>(T) / T। वेइल समूह वस्तुतः परावर्तनों द्वारा उत्पन्न परिमित समूह है। उदाहरण के लिए, समूह GL(n) (या SL(n)) के लिए, वेइल समूह [[सममित समूह]] S<sub>''n''</sub> है। | ||
एक दिए गए अधिकतम टोरस वाले बहुत से बोरेल उपसमूह हैं, और वे वेइल समूह (संयुग्मन द्वारा अभिनय) द्वारा केवल सकर्मक रूप से अनुमत हैं।<ref>Milne (2017), Proposition 17.53.</ref> बोरेल उपसमूह का एक विकल्प धनात्मक मूलों का एक सम्मुचय निर्धारित करता है<sup>+</sup> ⊂ Φ, इस गुण के साथ कि Φ Φ<sup>+</sup> और −Φ<sup>+</sup> का असंयुक्त सम्मिलन है। स्पष्ट रूप से, B का लाई बीजगणित T के लाई बीजगणित और धनात्मक मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग है: | एक दिए गए अधिकतम टोरस वाले बहुत से बोरेल उपसमूह हैं, और वे वेइल समूह (संयुग्मन द्वारा अभिनय) द्वारा केवल सकर्मक रूप से अनुमत हैं।<ref>Milne (2017), Proposition 17.53.</ref> बोरेल उपसमूह का एक विकल्प धनात्मक मूलों का एक सम्मुचय निर्धारित करता है Φ<sup>+</sup> ⊂ Φ, इस गुण के साथ कि Φ Φ<sup>+</sup> और −Φ<sup>+</sup> का असंयुक्त सम्मिलन है। स्पष्ट रूप से, B का लाई बीजगणित T के लाई बीजगणित और धनात्मक मूल स्थानों का प्रत्यक्ष योग है: | ||
:<math>{\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | :<math>{\mathfrak b}={\mathfrak t}\oplus \bigoplus_{\alpha\in\Phi^{+}} {\mathfrak g}_{\alpha}.</math> | ||
उदाहरण के लिए, यदि B, GL (n) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का बोरेल उपसमूह है, तो यह <math>{\mathfrak gl}(n)</math> में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों के उप-समष्टि <math>\mathfrak b</math> का स्पष्ट अपघटन है। 1 ≤ i <j ≤ n के लिए धनात्मक मूल L<sub>''i''</sub> - L<sub>''j''</sub> हैं। | उदाहरण के लिए, यदि B, GL (n) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का बोरेल उपसमूह है, तो यह <math>{\mathfrak gl}(n)</math> में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों के उप-समष्टि <math>\mathfrak b</math> का स्पष्ट अपघटन है। 1 ≤ i <j ≤ n के लिए धनात्मक मूल L<sub>''i''</sub> - L<sub>''j''</sub> हैं। | ||
| Line 74: | Line 74: | ||
एक 'सरल मूल' का अर्थ एक धनात्मक मूल है जो दो अन्य धनात्मक मूलों का योग नहीं है। सरल मूलों के समुच्चय के लिए Δ लिखिए। सरल मूलों की संख्या R G के [[कम्यूटेटर उपसमूह|क्रमविनिमेयक उपसमूह]] के पद के बराबर है, जिसे G के 'अर्धसरल पद' कहा जाता है (जो कि G के अर्धसरल होने पर मात्र G का पद है)। उदाहरण के लिए, GL(n) (या SL(n)) के लिए सरल मूल 1 ≤ i ≤ n − 1 के लिए L<sub>''i''</sub> - L<sub>''i''+1</sub> हैं। | एक 'सरल मूल' का अर्थ एक धनात्मक मूल है जो दो अन्य धनात्मक मूलों का योग नहीं है। सरल मूलों के समुच्चय के लिए Δ लिखिए। सरल मूलों की संख्या R G के [[कम्यूटेटर उपसमूह|क्रमविनिमेयक उपसमूह]] के पद के बराबर है, जिसे G के 'अर्धसरल पद' कहा जाता है (जो कि G के अर्धसरल होने पर मात्र G का पद है)। उदाहरण के लिए, GL(n) (या SL(n)) के लिए सरल मूल 1 ≤ i ≤ n − 1 के लिए L<sub>''i''</sub> - L<sub>''i''+1</sub> हैं। | ||
मूल पद्धति को संबंधित डायनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एक परिमित [[ग्राफ (असतत गणित)|आरेख (असतत गणित)]] है (कुछ किनारों को निर्देशित या एकाधिक के साथ)। डायनकिन आरेख के शीर्षों का समुच्चय सरल मूलों का समुच्चय है। संक्षेप में, डायनकिन आरेख भार जाली पर एक वेइल समूह-निश्चर आंतरिक उत्पाद के संबंध में सरल मूलों और उनकी सापेक्ष लंबाई के बीच के कोणों का वर्णन | मूल पद्धति को संबंधित डायनकिन आरेख द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो एक परिमित [[ग्राफ (असतत गणित)|आरेख (असतत गणित)]] है (कुछ किनारों को निर्देशित या एकाधिक के साथ)। डायनकिन आरेख के शीर्षों का समुच्चय सरल मूलों का समुच्चय है। संक्षेप में, डायनकिन आरेख भार जाली पर एक वेइल समूह-निश्चर आंतरिक उत्पाद के संबंध में सरल मूलों और उनकी सापेक्ष लंबाई के बीच के कोणों का वर्णन करते है। संयोजित डायकिन आरेख (सरल समूहों के अनुरूप) नीचे चित्रित किए गए हैं। | ||
एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एक मूल α न मात्र G के लाई बीजगणित के 1-विमीय उप-समष्टि को निर्धारित | एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, एक महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि एक मूल α न मात्र G के लाई बीजगणित के 1-विमीय उप-समष्टि को निर्धारित करते है, बल्कि दिए गए लाई बीजगणित के साथ G में योज्य समूह G<sub>a</sub> की एक प्रति भी है, जिसे 'मूल उपसमूह' U<sub>α</sub> कहा जाता है। मूल उपसमूह G में योज्य समूह की अद्वितीय प्रति है जो T द्वारा सामान्य है और जिसमें दिया गया बीजगणित है।<ref name = "M2111" /> पूर्ण समूह G को T और मूल उपसमूहों द्वारा (एक बीजगणितीय समूह के रूप में) उत्पन्न किया जाता है, जबकि बोरेल उपसमूह B को T और धनात्मक मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न किया जाता है। वस्तुतः, एक विभाजित अर्धसरल समूह G अकेले मूल उपसमूहों द्वारा उत्पन्न होते है। | ||
== [[परवलयिक उपसमूह]] == | == [[परवलयिक उपसमूह]] == | ||
एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G के समृणीकृत संयोजित उपसमूह जिनमें G का दिया गया बोरेल उपसमूह B होता है, सरल मूलों के सम्मुचय Δ के उपसम्मुचय के साथ एक-से-एक संगति में होते हैं (या समतुल्य, उपसम्मुचय) डायकिन आरेख के शीर्षों के सम्मुचय का)। मान लीजिए r Δ की कोटि है, जो G का अर्धसरल कोटि है। G का प्रत्येक 'परवलयिक उपसमूह' G(k) के किसी अवयव द्वारा B युक्त उपसमूह से संयुग्मित | एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G के लिए, G के समृणीकृत संयोजित उपसमूह जिनमें G का दिया गया बोरेल उपसमूह B होता है, सरल मूलों के सम्मुचय Δ के उपसम्मुचय के साथ एक-से-एक संगति में होते हैं (या समतुल्य, उपसम्मुचय) डायकिन आरेख के शीर्षों के सम्मुचय का)। मान लीजिए r Δ की कोटि है, जो G का अर्धसरल कोटि है। G का प्रत्येक 'परवलयिक उपसमूह' G(k) के किसी अवयव द्वारा B युक्त उपसमूह से संयुग्मित होते है। फलस्वरूप, k पर G में परवलयिक उपसमूहों के वस्तुतः 2<sup>r</sup> संयुग्मन वर्ग हैं।<ref>Borel (1991), Proposition 21.12.</ref> स्पष्ट रूप से, Δ के दिए गए उपसमुच्चय S के संगत परवलयिक उपसमूह, S में α के लिए मूल उपसमूहों U<sub>−α</sub> के साथ मिलकर B द्वारा उत्पन्न समूह है। उदाहरण के लिए, एस में α के लिए। उदाहरण के लिए, GL (n) के परवलयिक उपसमूहों में उपरोक्त बोरेल उपसमूह B होते हैं, विकर्ण के साथ वर्गों के दिए गए सम्मुचय के नीचे शून्य प्रविष्टियों के साथ व्युत्क्रम आव्यूह के समूह होते हैं, जैसे: | ||
:<math>\left \{ \begin{bmatrix} | :<math>\left \{ \begin{bmatrix} | ||
* & * & * & *\\ | * & * & * & *\\ | ||
| Line 88: | Line 88: | ||
परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता|सामान्यीकृत चिह्नक विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। ''GL''(''n'') के लिए, ये चिह्नक प्रकार हैं, दिए गए विमाओं ''a''<sub>1</sub>,...,a<sub>''i''</sub> के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n: | परिभाषा के अनुसार, एक क्षेत्र ''k'' पर अपचायक समूह ''G'' का एक परवलयिक उपसमूह ''P'' एक समृणीकृत ''k''-उपसमूह है, जैसे कि भागफल प्रकार ''G''/P 'K' पर [[उचित योजना|उचित पद्धति]] है, या 'K' पर समकक्ष प्रक्षेपी विविधता है। इस प्रकार परवलयिक उपसमूहों का वर्गीकरण 'G' के लिए [[सामान्यीकृत ध्वज विविधता|सामान्यीकृत चिह्नक विविधता]] के वर्गीकरण के बराबर है (समृणीकृत स्थिरक समूह के साथ; यह विशेषता शून्य के ''K'' के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है)। ''GL''(''n'') के लिए, ये चिह्नक प्रकार हैं, दिए गए विमाओं ''a''<sub>1</sub>,...,a<sub>''i''</sub> के रैखिक उप-स्थानों के प्राचलीकरण अनुक्रम विमा n: | ||
:<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V</math> के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है | :<math>0\subset S_{a_1}\subset \cdots \subset S_{a_i}\subset V</math> के एक निश्चित सदिश समष्टि V में समाहित है | ||
लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि चिह्नक की प्रकार के रूप में | लंब कोणीय समूह या सममिती समूह के लिए, प्रक्षेप्य सजातीय प्रकारों का एक समान विवरण होता है, जो किसी दिए गए द्विघात रूप या सममिती रूप के संबंध में समानुवर्ती उप-समष्टि चिह्नक की प्रकार के रूप में होते है। बोरेल उपसमूह B के साथ किसी भी अपचायक समूह G के लिए, G/B को 'चिह्नक प्रकार' या 'चिह्नक कई गुना' कहा जाता है। | ||
== विभाजित अपचायक समूह का वर्गीकरण == | == विभाजित अपचायक समूह का वर्गीकरण == | ||
| Line 104: | Line 104: | ||
*D<sub>''n''</sub>: चक्रण समूह चक्रण (2n) विट सूचकांक n के साथ विमा 2n पर k के द्विघात रूप से सम्बद्ध है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: | *D<sub>''n''</sub>: चक्रण समूह चक्रण (2n) विट सूचकांक n के साथ विमा 2n पर k के द्विघात रूप से सम्बद्ध है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: | ||
::<math>q(x_1,\ldots,x_{2n})=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2n-1}x_{2n}.</math> | ::<math>q(x_1,\ldots,x_{2n})=x_1x_2+x_3x_4+\cdots+x_{2n-1}x_{2n}.</math> | ||
एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G का बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह, G के मूल आधार के स्वसमाकृतिकता समूह के लिए समरूपी है। इसके अतिरिक्त , G का स्वसमाकृतिकता समूह एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] के रूप में विभाजित | एक क्षेत्र k पर विभाजित अपचायक समूह G का बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह, G के मूल आधार के स्वसमाकृतिकता समूह के लिए समरूपी है। इसके अतिरिक्त, G का स्वसमाकृतिकता समूह एक [[अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद]] के रूप में विभाजित होते है: | ||
:<math>\operatorname{Aut}(G)\cong \operatorname{Out}(G)\ltimes (G/Z)(k),</math> | :<math>\operatorname{Aut}(G)\cong \operatorname{Out}(G)\ltimes (G/Z)(k),</math> | ||
जहाँ Z, G का केंद्र है।<ref>Milne (2017), Corollary 23.47.</ref> एक विभाजित अर्ध-सरल के लिए एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित समूह G के लिए, G के बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह का एक सरल विवरण है: यह G के डायनकिन आरेख का स्वसमाकृतिकता समूह है। | जहाँ Z, G का केंद्र है।<ref>Milne (2017), Corollary 23.47.</ref> एक विभाजित अर्ध-सरल के लिए एक क्षेत्र पर पूर्णतः संयोजित समूह G के लिए, G के बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह का एक सरल विवरण है: यह G के डायनकिन आरेख का स्वसमाकृतिकता समूह है। | ||
| Line 112: | Line 112: | ||
== वास्तविक अपचायक समूह == | == वास्तविक अपचायक समूह == | ||
बीजगणितीय समूहों के अतिरिक्त [[झूठ समूह|लाई समूहों]] के संदर्भ में, एक वास्तविक अपचायक समूह एक लाई समूह G है, जैसे कि R पर एक रैखिक बीजीय समूह ''L'' है जिसका तत्समक घटक ([[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]] में) अपचायक है , और एक समरूपता ''G'' → ''L''(R) जिसका आधार परिमित है और जिसका प्रतिरूप ''L''(R) (शास्त्रीय सांस्थिति में) में विवृत है। यह मानने के लिए भी मानक है कि आसन्न निरूपण Ad(''G'') का प्रतिरूप Int(''g''<sub>'''C'''</sub> = Ad (L<sup>0</sup>(C)) में निहित है (जो ''G'' संयोजित के लिए स्वचालित है)।<ref>Springer (1979), section 5.1.</ref> | बीजगणितीय समूहों के अतिरिक्त [[झूठ समूह|लाई समूहों]] के संदर्भ में, एक वास्तविक अपचायक समूह एक लाई समूह G है, जैसे कि R पर एक रैखिक बीजीय समूह ''L'' है जिसका तत्समक घटक ([[जरिस्की टोपोलॉजी|जरिस्की सांस्थिति]] में) अपचायक है, और एक समरूपता ''G'' → ''L''(R) जिसका आधार परिमित है और जिसका प्रतिरूप ''L''(R) (शास्त्रीय सांस्थिति में) में विवृत है। यह मानने के लिए भी मानक है कि आसन्न निरूपण Ad(''G'') का प्रतिरूप Int(''g''<sub>'''C'''</sub> = Ad (L<sup>0</sup>(C)) में निहित है (जो ''G'' संयोजित के लिए स्वचालित है)।<ref>Springer (1979), section 5.1.</ref> | ||
विशेष रूप से, प्रत्येक संयोजित अर्ध-सरल लाई समूह (जिसका अर्थ है कि इसका लाई बीजगणित अर्ध-सरल है) अपचायक है। इसके अतिरिक्त , लाई समूह R इस अर्थ में अपचायक है, क्योंकि इसे ''GL'' (1, R) ≅ R * के तत्समक घटक के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या व्यापक रूप से साधारण लाई समूहों को वर्गीकृत करने के लिए कम हो जाती है। इन्हें उनके सैटेक आरेख द्वारा वर्गीकृत किया गया है; या कोई साधारण लाई समूहों (परिमित आवरण तक) की सूची का उल्लेख कर सकता है। | विशेष रूप से, प्रत्येक संयोजित अर्ध-सरल लाई समूह (जिसका अर्थ है कि इसका लाई बीजगणित अर्ध-सरल है) अपचायक है। इसके अतिरिक्त, लाई समूह R इस अर्थ में अपचायक है, क्योंकि इसे ''GL'' (1, R) ≅ R * के तत्समक घटक के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक अपचायक समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या व्यापक रूप से साधारण लाई समूहों को वर्गीकृत करने के लिए कम हो जाती है। इन्हें उनके सैटेक आरेख द्वारा वर्गीकृत किया गया है; या कोई साधारण लाई समूहों (परिमित आवरण तक) की सूची का उल्लेख कर सकता है। | ||
इस व्यापकता में वास्तविक अपचायक समूहों के लिए [[स्वीकार्य प्रतिनिधित्व|स्वीकार्य निरूपण]] और एकात्मक निरूपण के उपयोगी सिद्धांत विकसित किए गए हैं। इस परिभाषा और | |||