टेंसर संकुचन: Difference between revisions

Revision as of 21:36, 29 April 2023

बहुरेखीय बीजगणित में, टेन्सर संकुचन टेन्सर पर ऑपरेशन है जो परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष और इसकी दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष की प्राकृतिक जोड़ी से उत्पन्न होता है। घटकों में, यह टेन्सर (एस) के स्केलर घटकों के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो डमी इंडेक्स की जोड़ी के लिए योग सम्मेलन को प्रारम्भ करने के कारण होता है जो अभिव्यक्ति में दूसरे से बंधे होते हैं। ल मिश्रित टेन्सर का संकुचन तब होता है जब टेन्सर के शाब्दिक सूचकांकों ( सबस्क्रिप्ट, दूसरा सुपरस्क्रिप्ट) की जोड़ी दूसरे के बराबर सेट की जाती है और इसका योग किया जाता है। आइंस्टीन संकेतन में इस योग को नोटेशन में बनाया गया है। परिणाम 2 से घटाए गए क्रम के साथ और टेन्सर है।

टेंसर संकुचन को ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

सार सूत्रीकरण

मान लीजिए कि V क्षेत्र (गणित) k पर सदिश समष्टि है। संकुचन ऑपरेशन का मूल, और सबसे सरल स्थितियां , वी की दोहरी जगह वी के साथ प्राकृतिक परिवर्तन जोड़ी है^∗. युग्मन टेंसर के घटक-मुक्त उपचार से रैखिक परिवर्तन है # परिभाषा: इन दो स्थानों के वेक्टर रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद k:

C:V\otimes V^{*}\rightarrow k

द्विरेखीय रूप के अनुरूप

\langle f,v\rangle =f(v)

जहाँ f, V में है^∗ और v, V में है। मानचित्र C प्रकार के टेन्सर पर संकुचन संचालन को परिभाषित करता है (1, 1), जो का तत्व है $V^{*}\otimes V$ . ध्यान दें कि परिणाम अदिश (गणित) (k का तत्व) है। के बीच प्राकृतिक समरूपता का उपयोग करना $V\otimes V^{*}$ और वी से वी तक रैखिक परिवर्तनों का स्थान,^[1] ट्रेस (रैखिक बीजगणित) की आधार-मुक्त परिभाषा प्राप्त करता है।

सामान्य तौर पर, प्रकार का टेंसर (m, n) (साथ m ≥ 1 और n ≥ 1) सदिश स्थान का तत्व है

V\otimes \cdots \otimes V\otimes V^{*}\otimes \cdots \otimes V^{*}

(जहां एम कारक वी और एन कारक वी हैं^∗).^[2]^[3] kवें V कारक और lवें V के लिए प्राकृतिक युग्मन प्रारम्भ करना^∗ कारक, और अन्य सभी कारकों पर पहचान का उपयोग करते हुए, (k, l) संकुचन संक्रिया को परिभाषित करता है, जो रेखीय मानचित्र है जो प्रकार का टेन्सर उत्पन्न करता है (m − 1, n − 1).^[2]के साथ समानता से (1, 1) केस, सामान्य संकुचन ऑपरेशन को कभी-कभी ट्रेस कहा जाता है।

इंडेक्स नोटेशन में संकुचन

टेंसर इंडेक्स नोटेशन में, वेक्टर और डुअल वेक्टर के मूल संकुचन को किसके द्वारा दर्शाया जाता है

{\tilde {f}}({\vec {v}})=f_{\gamma }v^{\gamma }

जो स्पष्ट समन्वय योग के लिए आशुलिपि है^[4]

f_{\gamma }v^{\gamma }=f_{1}v^{1}+f_{2}v^{2}+\cdots +f_{n}v^{n}

(कहाँ $v i$ के घटक हैं $v$ विशेष आधार पर और $f i$ के घटक हैं $f$ इसी दोहरे आधार पर)।

चूंकि सामान्य मिश्रित डायडिक टेंसर फॉर्म के विघटनीय टेन्सर का रैखिक संयोजन है $f\otimes v$ , डायडिक स्थिति के लिए स्पष्ट सूत्र इस प्रकार है: चलो

T =

[1]

[2]

[3]

[4]

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 {{for|the module-theoretic construction of tensor fields and their contractions|tensor product of modules#Example from differential geometry: tensor field}}
-[[बहुरेखीय बीजगणित]] में,  [[टेन्सर]] संकुचन  टेन्सर पर  ऑपरेशन है जो  परिमित-[[आयाम]]ी वेक्टर अंतरिक्ष और इसकी [[दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष]] की [[प्राकृतिक जोड़ी]] से उत्पन्न होता है। घटकों में, यह टेन्सर (एस) के स्केलर घटकों के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो डमी इंडेक्स की  जोड़ी के लिए [[योग सम्मेलन]] को लागू करने के कारण होता है जो  अभिव्यक्ति में  दूसरे से बंधे होते हैं। ल मिश्रित टेन्सर का संकुचन तब होता है जब टेन्सर के शाब्दिक सूचकांकों ( सबस्क्रिप्ट, दूसरा सुपरस्क्रिप्ट) की  जोड़ी  दूसरे के बराबर सेट की जाती है और इसका योग किया जाता है। [[आइंस्टीन संकेतन]] में इस योग को नोटेशन में बनाया गया है। परिणाम 2 से घटाए गए क्रम के साथ  और टेन्सर है।
+[[बहुरेखीय बीजगणित]] में,  [[टेन्सर]] संकुचन टेन्सर पर ऑपरेशन है जो  परिमित-[[आयाम|आयामी]] वेक्टर अंतरिक्ष और इसकी [[दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष]] की [[प्राकृतिक जोड़ी]] से उत्पन्न होता है। घटकों में, यह टेन्सर (एस) के स्केलर घटकों के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो डमी इंडेक्स की  जोड़ी के लिए [[योग सम्मेलन]] को प्रारम्भ करने के कारण होता है जो  अभिव्यक्ति में  दूसरे से बंधे होते हैं। ल मिश्रित टेन्सर का संकुचन तब होता है जब टेन्सर के शाब्दिक सूचकांकों ( सबस्क्रिप्ट, दूसरा सुपरस्क्रिप्ट) की  जोड़ी  दूसरे के बराबर सेट की जाती है और इसका योग किया जाता है। [[आइंस्टीन संकेतन]] में इस योग को नोटेशन में बनाया गया है। परिणाम 2 से घटाए गए क्रम के साथ  और टेन्सर है।
 टेंसर संकुचन को [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
 == सार सूत्रीकरण ==
-मान लीजिए कि V [[क्षेत्र (गणित)]] k पर  सदिश समष्टि है। संकुचन ऑपरेशन का मूल, और सबसे सरल मामला, वी की [[दोहरी जगह]] वी के साथ [[प्राकृतिक परिवर्तन]] जोड़ी है<sup>∗</sup>. युग्मन टेंसर के घटक-मुक्त उपचार से [[रैखिक परिवर्तन]] है # परिभाषा: इन दो स्थानों के वेक्टर रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद k:
+मान लीजिए कि V [[क्षेत्र (गणित)]] k पर  सदिश समष्टि है। संकुचन ऑपरेशन का मूल, और सबसे सरल स्थितियां , वी की [[दोहरी जगह]] वी के साथ [[प्राकृतिक परिवर्तन]] जोड़ी है<sup>∗</sup>. युग्मन टेंसर के घटक-मुक्त उपचार से [[रैखिक परिवर्तन]] है # परिभाषा: इन दो स्थानों के वेक्टर रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद k:
 : <math> C : V \otimes V^* \rightarrow k </math>
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 : <math>V \otimes \cdots \otimes V \otimes V^{*} \otimes \cdots \otimes V^{*}</math>
-(जहां एम कारक वी और एन कारक वी हैं<sup>∗</sup>).<ref name="fulton_harris">{{cite book |first=William |last=Fulton |author-link=William Fulton (mathematician) |first2=Joe |last2=Harris |author-link2=Joe Harris (mathematician) |title=प्रतिनिधित्व सिद्धांत: एक पहला कोर्स|series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |volume=129 |publisher=Springer |location=New York |year=1991 |isbn=0-387-97495-4 |pages=471–476 }}</ref><ref name="warner">{{cite book |first=Frank |last=Warner |title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव|series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |volume=94 |publisher=Springer |location=New York |year=1993 |isbn=0-387-90894-3 |pages=54–56 }}</ref> kवें V कारक और lवें V के लिए प्राकृतिक युग्मन लागू करना<sup>∗</sup> कारक, और अन्य सभी कारकों पर पहचान का उपयोग करते हुए, (k, l) संकुचन संक्रिया को परिभाषित करता है, जो  रेखीय मानचित्र है जो प्रकार का टेन्सर उत्पन्न करता है {{nowrap|(''m'' − 1, ''n'' − 1)}}.<ref name="fulton_harris"/>के साथ समानता से {{nowrap|(1, 1)}} केस, सामान्य संकुचन ऑपरेशन को कभी-कभी ट्रेस कहा जाता है।
+(जहां एम कारक वी और एन कारक वी हैं<sup>∗</sup>).<ref name="fulton_harris">{{cite book |first=William |last=Fulton |author-link=William Fulton (mathematician) |first2=Joe |last2=Harris |author-link2=Joe Harris (mathematician) |title=प्रतिनिधित्व सिद्धांत: एक पहला कोर्स|series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |volume=129 |publisher=Springer |location=New York |year=1991 |isbn=0-387-97495-4 |pages=471–476 }}</ref><ref name="warner">{{cite book |first=Frank |last=Warner |title=डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स और लाई ग्रुप्स की नींव|series=[[Graduate Texts in Mathematics|GTM]] |volume=94 |publisher=Springer |location=New York |year=1993 |isbn=0-387-90894-3 |pages=54–56 }}</ref> kवें V कारक और lवें V के लिए प्राकृतिक युग्मन प्रारम्भ करना<sup>∗</sup> कारक, और अन्य सभी कारकों पर पहचान का उपयोग करते हुए, (k, l) संकुचन संक्रिया को परिभाषित करता है, जो  रेखीय मानचित्र है जो प्रकार का टेन्सर उत्पन्न करता है {{nowrap|(''m'' − 1, ''n'' − 1)}}.<ref name="fulton_harris"/>के साथ समानता से {{nowrap|(1, 1)}} केस, सामान्य संकुचन ऑपरेशन को कभी-कभी ट्रेस कहा जाता है।
 == इंडेक्स नोटेशन में संकुचन ==
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 (कहाँ {{math|''v''<sup>''i''</sup>}} के घटक हैं {{math|''v''}}  विशेष आधार पर और {{math|''f''<sub>''i''</sub>}} के घटक हैं {{math|''f''}} इसी दोहरे आधार पर)।
-चूंकि  सामान्य मिश्रित [[डायडिक टेंसर]] फॉर्म के विघटनीय टेन्सर का  रैखिक संयोजन है <math>f \otimes v</math>, डायडिक मामले के लिए स्पष्ट सूत्र इस प्रकार है: चलो
+चूंकि  सामान्य मिश्रित [[डायडिक टेंसर]] फॉर्म के विघटनीय टेन्सर का  रैखिक संयोजन है <math>f \otimes v</math>, डायडिक स्थिति के लिए स्पष्ट सूत्र इस प्रकार है: चलो
 : <math> \mathbf{T} = T_{j}^i \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}^j </math>
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-== [[टेंसर फ़ील्ड]]्स के लिए आवेदन ==
+== [[टेंसर फ़ील्ड|टेंसर क्षेत्र]] के लिए आवेदन ==
-संकुचन अक्सर रिक्त स्थान पर टेंसर फ़ील्ड पर लागू होता है (उदाहरण के लिए [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]], [[कई गुना]], या स्कीम (गणित){{fact|date=April 2015}}). चूंकि संकुचन  विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संक्रिया है, इसे बिंदुवार  टेन्सर क्षेत्र में लागू किया जा सकता है, उदा. यदि टी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर  (1,1) टेंसर फ़ील्ड है, तो किसी भी निर्देशांक में, इसका संकुचन ( स्केलर फ़ील्ड) यू बिंदु ्स पर दिया जाता है
+संकुचन अधिकांशतः रिक्त स्थान पर टेंसर क्षेत्र पर प्रारम्भ होता है (उदाहरण के लिए [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]], [[कई गुना|मैनिफोल्ड्स]], या स्कीम (गणित)){{fact|date=April 2015}} चूंकि संकुचन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय संक्रिया है, इसे बिंदुवार टेन्सर क्षेत्र में प्रारम्भ किया जा सकता है, उदाहरण. यदि ''T''  यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर  (1,1) टेंसर क्षेत्र है, तो किसी भी निर्देशांक में, इसका संकुचन (स्केलर क्षेत्र) ''U''  बिंदु ''x'' पर दिया जाता है
 : <math>U(x) = \sum_{i} T^{i}_{i}(x)</math>
 चूँकि x की भूमिका यहाँ जटिल नहीं है, इसे अक्सर दबा दिया जाता है, और टेन्सर क्षेत्रों के लिए संकेतन विशुद्ध रूप से बीजगणितीय टेन्सरों के समान हो जाता है।
-[[रीमैनियन कई गुना]] पर,  मीट्रिक (आंतरिक उत्पादों का क्षेत्र) उपलब्ध है, और सिद्धांत के लिए मीट्रिक और गैर-मीट्रिक संकुचन दोनों महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, रिक्की टेन्सर [[रीमैन वक्रता टेन्सर]] का  गैर-मीट्रिक संकुचन है, और स्केलर वक्रता [[रिक्की टेंसर]] का अद्वितीय मीट्रिक संकुचन है।
+[[रीमैनियन कई गुना|रीमैनियन]] [[कई गुना|मैनिफोल्ड्स]] पर, मीट्रिक (आंतरिक उत्पादों का क्षेत्र) उपलब्ध है, और सिद्धांत के लिए मीट्रिक और गैर-मीट्रिक संकुचन दोनों महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, रिक्की टेन्सर [[रीमैन वक्रता टेन्सर]] का  गैर-मीट्रिक संकुचन है, और स्केलर वक्रता [[रिक्की टेंसर]] का अद्वितीय मीट्रिक संकुचन है।
-कई गुना पर कार्यों की उपयुक्त अंगूठी पर मॉड्यूल के संदर्भ में  टेन्सर क्षेत्र का संकुचन भी देख सकता है<ref name="o'neill"/>या संरचना शीफ पर मॉड्यूल के ढेरों का संदर्भ;<ref name="hartshorne">{{cite book |first=Robin |last=Hartshorne |author-link=Robin Hartshorne |title=बीजगणितीय ज्यामिति|location=New York |publisher=Springer |year=1977 |isbn=0-387-90244-9 }}</ref> इस लेख के अंत में चर्चा देखें।
+मैनिफोल्ड्स पर कार्यों की उपयुक्त वलय पर मॉड्यूल के संदर्भ में  टेन्सर क्षेत्र का संकुचन भी देख सकता है<ref name="o'neill"/>या संरचना शीफ पर मॉड्यूल के ढेरों का संदर्भ;<ref name="hartshorne">{{cite book |first=Robin |last=Hartshorne |author-link=Robin Hartshorne |title=बीजगणितीय ज्यामिति|location=New York |publisher=Springer |year=1977 |isbn=0-387-90244-9 }}</ref> इस लेख के अंत में चर्चा देखें।
 === टेंसर विचलन ===
-टेंसर क्षेत्र के संकुचन के  अनुप्रयोग के रूप में, V को  रिमेंनियन मैनिफोल्ड (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस) पर  [[वेक्टर क्षेत्र]] होने दें। होने देना <math> V^\alpha {}_{\beta}</math> V का सहसंयोजक व्युत्पन्न हो (निर्देशांक के कुछ विकल्प में)। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कार्टेशियन निर्देशांक के मामले में, कोई लिख सकता है
+टेंसर क्षेत्र के संकुचन के अनुप्रयोग के रूप में, V को  रिमेंनियन मैनिफोल्ड (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन स्पेस) पर [[वेक्टर क्षेत्र]] होता है । मान लो <math> V^\alpha {}_{\beta}</math> V का सहसंयोजक व्युत्पन्न हो (निर्देशांक के कुछ विकल्प में)। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कार्टेशियन निर्देशांक के स्थिति में, कोई लिख सकता है
 : <math> V^\alpha {}_{\beta} = {\partial V^\alpha \over \partial x^\beta}. </math>
-फिर सूचकांक β को α में बदलने से सूचकांकों की जोड़ी -दूसरे से बंधी हो जाती है, ताकि निम्नलिखित योग प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न अनुबंध स्वयं के साथ हो:
+सूचकांक β को α में बदलने से सूचकांकों की जोड़ी एक-दूसरे से बंधी हो जाती है, जिससे कि निम्नलिखित योग प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न अनुबंध स्वयं के साथ हो:
 : <math> V^\alpha {}_{\alpha} = V^0 {}_{0} + \cdots + V^n {}_{n} </math>
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 V के लिए  निरंतरता समीकरण है।
-सामान्य तौर पर, उच्च-श्रेणी के टेंसर क्षेत्रों पर विभिन्न विचलन संचालन को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। यदि T कम से कम  प्रतिपरिवर्ती सूचकांक वाला  टेन्सर क्षेत्र है, तो सहपरिवर्ती अंतर को लेते हुए और चुने हुए प्रतिपरिवर्ती सूचकांक को नए सहपरिवर्ती सूचकांक के साथ अनुबंधित करते हुए अंतर के परिणामस्वरूप T की तुलना में  कम रैंक के  नए टेंसर का परिणाम होता है।<ref name="o'neill"/>
+सामान्यतः, उच्च-श्रेणी के टेंसर क्षेत्रों पर विभिन्न विचलन संचालन को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। यदि T   प्रतिपरिवर्ती सूचकांक वाला टेन्सर क्षेत्र है, सहपरिवर्ती अंतर को लेते हुए और चुने हुए प्रतिपरिवर्ती सूचकांक को नए सहपरिवर्ती सूचकांक के साथ अनुबंधित करते हुए अंतर के परिणामस्वरूप T की तुलना में  कम रैंक के  नए टेंसर का परिणाम होता है।<ref name="o'neill"/>
 == टेंसरों की  जोड़ी का संकुचन ==
-टेंसर टी और यू की  जोड़ी पर विचार करके कोर संकुचन ऑपरेशन (दोहरी वेक्टर वाला वेक्टर) को थोड़ा अलग तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। [[टेंसर उत्पाद]] <math>T \otimes U</math>  नया टेन्सर है, जिसमें कम से कम  कोवैरिएंट और  कॉन्ट्रावैरिएंट इंडेक्स हो तो उसे कम किया जा सकता है। वह मामला जहां T  सदिश है और U  दोहरा सदिश है, इस लेख में सबसे पहले पेश किया गया कोर ऑपरेशन है।
+टेंसर T और U की  जोड़ी पर विचार करके कोर संकुचन ऑपरेशन (दोहरी वेक्टर वाला वेक्टर) को अल्प भिन्न विधि से सामान्यीकृत किया जा सकता है। [[टेंसर उत्पाद]] <math>T \otimes U</math>  नया टेन्सर होता है, जिसे, यदि उसके निकट सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती सूचकांक हो, तो उसे अनुबंधित किया जा सकता है। वह स्थितियां  जहां T सदिश है और U दोहरा सदिश है, इस लेख में सबसे पूर्व प्रस्तुत किया गया कोर ऑपरेशन है।
-टेंसर इंडेक्स नोटेशन में,  दूसरे के साथ दो टेंसरों को अनुबंधित करने के लिए,  ही शब्द के कारकों के रूप में उन्हें साथ-साथ रखा जाता है। यह टेंसर उत्पाद को लागू करता है,  समग्र टेंसर उत्पन्न करता है। इस समग्र टेंसर में दो सूचकांकों को अनुबंधित करना दो टेंसरों के वांछित संकुचन को लागू करता है।
+टेंसर इंडेक्स नोटेशन में, एक दूसरे के साथ दो टेंसरों को अनुबंधित करने के लिए, एक ही शब्द के कारकों के रूप में उन्हें साथ-साथ रखा जाता है। यह टेंसर उत्पाद को प्रारम्भ करता है, समग्र टेंसर उत्पन्न करता है। इस समग्र टेंसर में दो सूचकांकों को अनुबंधित करना दो टेंसरों के वांछित संकुचन को प्रारम्भ करता है।
-उदाहरण के लिए, आव्यूहों को प्रकार (1,1) के टेन्सर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें पहला सूचकांक प्रतिपरिवर्ती और दूसरा सूचकांक सहपरिवर्ती होता है। होने देना <math> \Lambda^\alpha {}_\beta </math>  मैट्रिक्स के घटक बनें और दें <math> \Mu^\beta {}_\gamma </math> दूसरे मैट्रिक्स के घटक बनें। फिर उनका गुणन निम्नलिखित संकुचन द्वारा दिया जाता है, टेंसरों की  जोड़ी के संकुचन का  उदाहरण:
+उदाहरण के लिए, आव्यूहों को प्रकार (1,1) के टेन्सर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें प्रथम सूचकांक प्रतिपरिवर्ती और दूसरा सूचकांक सहपरिवर्ती होता है। मान <math> \Lambda^\alpha {}_\beta </math>  मैट्रिक्स के घटक बनें और  <math> \Mu^\beta {}_\gamma </math> दूसरे मैट्रिक्स के घटक बनें है।  उनका गुणन निम्नलिखित संकुचन द्वारा दिया जाता है, टेंसरों के संकुचन का उदाहरण:
 : <math> \Lambda^\alpha {}_\beta \Mu^\beta {}_\gamma = \Nu^\alpha {}_\gamma </math>.
-इसके अलावा,  अंतर रूप वाले वेक्टर का [[आंतरिक उत्पाद]]  दूसरे के साथ दो टेंसरों के संकुचन का  विशेष मामला है।
+इसके अतिरिक्त, वेक्टर का [[आंतरिक उत्पाद]] के साथ दो टेंसरों के संकुचन की  विशेष स्थितियां  है।
 == अधिक सामान्य बीजगणितीय संदर्भ ==
-आर को  क्रमविनिमेय वलय होने दें और एम को आर के ऊपर  परिमित मुक्त [[मॉड्यूल (गणित)]] होने दें। फिर संकुचन एम के पूर्ण (मिश्रित) टेन्सर बीजगणित पर ठीक उसी तरह से संचालित होता है जैसा कि  क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में होता है। . (महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि इस मामले में प्राकृतिक जोड़ी अभी भी सही है।)
+''R''  क्रमविनिमेय वलय होता है और M को R पर परिमित मुक्त [[मॉड्यूल (गणित)]] होता है। संकुचन M के पूर्ण (मिश्रित) टेन्सर बीजगणित पर उचित उसी प्रकार से संचालित होता है जैसा कि क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान के स्थिति में होता है। (महत्वपूर्ण तथ्य यह है कि इस स्थिति  में प्राकृतिक जोड़ी अभी भी सही है।)
-अधिक आम तौर पर, चलो O<sub>X</sub>  [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] ्स पर कम्यूटेटिव रिंग्स का  [[शीफ (गणित)]] हो, उदा। हे<sub>X</sub>  जटिल मैनिफोल्ड, [[विश्लेषणात्मक स्थान]], या योजना (गणित) का [[संरचना शीफ]] हो सकता है। एम को ओ पर मॉड्यूल का [[स्थानीय रूप से मुक्त शीफ]] होने दें<sub>X</sub> परिमित रैंक का। तब M का दोहरा अभी भी अच्छा व्यवहार करता है<ref name="hartshorne"/>और संकुचन संचालन इस संदर्भ में समझ में आता है।
+सामान्यतः, O<sub>X</sub> को [[टोपोलॉजिकल स्पेस|स्थलीय स्थान]] ''X''  पर  [[शीफ (गणित)|क्रमविनिमेय]] वलयों का समूह होता है। ''O''<sub>X</sub>  जटिल मैनिफोल्ड, [[विश्लेषणात्मक स्थान]], या योजना (गणित) का [[संरचना शीफ]] हो सकता है। ''M'' को ''O''<sub>X</sub>  पर मॉड्यूल का [[स्थानीय रूप से मुक्त शीफ]] होता है।  तब M का दोहरा उत्तम व्यवहार करता है<ref name="hartshorne"/>और संकुचन संचालन इस संदर्भ में समझ में आता है।
 == यह भी देखें ==

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सार सूत्रीकरण

इंडेक्स नोटेशन में संकुचन