हॉसडॉर्फ दूरी: Difference between revisions

Revision as of 08:46, 1 May 2023

गणित में हॉसडॉर्फ दूरी या हॉसडॉर्फ मीट्रिक को पोम्पेउ-हॉउसडॉर्फ दूरी भी कहा जाता है^[1]^[2] यह एक मीट्रिक स्थान के दो उपसमुच्चयों की एक दूसरे से दूरी मापता हैं। यह गैर-रिक्त समुच्चय के समुच्चय को परिवर्तित कर देता है | मीट्रिक स्पेस के गैर-रिक्त सघन स्थान उपसमुच्चयअपने आप को मीट्रिक स्थान में परिवर्तित कर देता है। इसका नाम फेलिक्स हॉसडॉर्फ और डेमेट्रियस पॉम्पी के नाम पर रखा गया है।

अनौपचारिक रूप से हॉसडॉर्फ दूरी में दो समुच्चय निकट होते हैं यदि समुच्चय के प्रत्येक बिंदु दूसरे समुच्चय के किसी बिंदु के निकट है। हॉसडॉर्फ दूरी वह सबसे लंबी दूरी है जहाँ आपको विपक्षी द्वारा जाने के लिए प्रेरित किया जाता है जो दो समुच्चयों में से एक में बिंदु का चुनाव करता है जहां से आपको दूसरे समुच्चय की ओर जाना चाहिये। दूसरे शब्दों में यह दूरी समुच्चय में एक बिंदु से दूसरे समुच्चय में निकटतम बिंदु तक की सभी दूरियों में से सबसे बड़ी है।

इस दूरी को हॉसडॉर्फ ने पहली बार 1914 में प्रथम बार प्रकाशित अपनी पुस्तक ग्रंडजुगे डेर मेंजेनलेह्रे में प्रस्तुत किया था जबकि मौरिस रेने फ्रेचेट के डॉक्टरेट थीसिस में एक बहुत निकटतम सम्बन्धी $[0,1]\to \mathbb {R} ^{3}$ सम्मुख आया था।

परिभाषा

ग्रीन कर्व X और ब्लू कर्व Y के बीच हॉसडॉर्फ दूरी की गणना के घटक।

माना कि X और Y मीट्रिक स्पेस के दो गैर-रिक्त उपसमुच्चय $(M,d)$ हैं, हम उनकी हॉसडॉर्फ दूरी को $d_{\mathrm {H} }(X,Y)$ द्वारा

परिभाषित करते हैं,

$d_{\mathrm {H} }(X,Y)=\max \left\{\,\sup _{x\in X}d(x,Y),\,\sup _{y\in Y}d(X,y)\,\right\},\!$

जहाँ sup सर्वोच्चता का प्रतिनिधित्व करता है, इन्फ़ीमुम का प्रतिनिधित्व करता है और जहाँ $d(a,B)=\inf _{b\in B}d(a,b)$ एक बिंदु $a\in X$ उपसमुच्चय की $B\subseteq X$ से दूरी की गणना करता है।

समान रूप से,

d_{H}(X,Y)=\inf\{\varepsilon \geq 0\,;\ X\subseteq Y_{\varepsilon }{\text{ and }}Y\subseteq X_{\varepsilon }\},\quad

^[3]

जहाँ

X_{\varepsilon }:=\bigcup _{x\in X}\{z\in M\,;\ d(z,x)\leq \varepsilon \},

अर्थात् भीतर सभी बिंदुओं का समुच्चय $\varepsilon$ समुच्चय $X$ का (कभी-कभी $X$

[1]

[2]

[3]

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 {{Short description|Distance between two metric-space subsets}}
 गणित में हॉसडॉर्फ दूरी या हॉसडॉर्फ मीट्रिक को पोम्पेउ-हॉउसडॉर्फ दूरी भी कहा जाता है<ref name="rock">{{cite book |author-link=R. Tyrrell Rockafellar |first1=R. Tyrrell |last1=Rockafellar |author-link2=Roger J-B Wets |first2=Roger J-B |last2=Wets |title=परिवर्तनशील विश्लेषण|publisher=Springer-Verlag |year=2005 |isbn=3-540-62772-3 |page=117 }}</ref><ref>{{Citation|last1=Bîrsan|first1=Temistocle|contribution=One hundred years since the introduction of the set distance by Dimitrie Pompeiu| year=2006|title=System Modeling and Optimization|volume=199|pages=35–39|editor-last=Ceragioli|editor-first=Francesca|place=Boston|publisher=[[Springer Science+Business Media|Kluwer Academic Publishers]]|language=en|doi=10.1007/0-387-33006-2_4|isbn=978-0-387-32774-7|last2=Tiba|first2=Dan|editor2-last=Dontchev|editor2-first=Asen|editor3-last=Futura|editor3-first=Hitoshi|editor4-last=Marti|editor4-first=Kurt|editor5-last=Pandolfi|editor5-first=Luciano|mr=2249320|doi-access=free}}
-</ref> यह एक [[मीट्रिक स्थान]] के दो उपसमुच्चयों की एक दूसरे से दूरी मापता हैं। यह [[गैर-खाली सेट|गैर-रिक्त समुच्चय]] के समुच्चय को परिवर्तित कर देता है | मीट्रिक स्पेस के गैर-रिक्त[[ कॉम्पैक्ट जगह ]] [[सबसेट|उपसमुच्चय]] को अपने आप को मीट्रिक स्थान में परिवर्तित कर देता है। इसका नाम [[फेलिक्स हॉसडॉर्फ]] और [[डेमेट्रियस पॉम्पी]] के नाम पर रखा गया है।
+</ref> यह एक [[मीट्रिक स्थान]] के दो उपसमुच्चयों की एक दूसरे से दूरी मापता हैं। यह [[गैर-खाली सेट|गैर-रिक्त समुच्चय]] के समुच्चय को परिवर्तित कर देता है | मीट्रिक स्पेस के गैर-रिक्त [[ कॉम्पैक्ट जगह |सघन स्थान]] [[सबसेट|उपसमुच्चय]]अपने आप को मीट्रिक स्थान में परिवर्तित कर देता है। इसका नाम [[फेलिक्स हॉसडॉर्फ]] और [[डेमेट्रियस पॉम्पी]] के नाम पर रखा गया है।
 अनौपचारिक रूप से हॉसडॉर्फ दूरी में दो समुच्चय निकट होते हैं यदि समुच्चय के प्रत्येक बिंदु दूसरे समुच्चय के किसी बिंदु के निकट है। हॉसडॉर्फ दूरी वह सबसे लंबी दूरी है जहाँ आपको विपक्षी द्वारा जाने के लिए प्रेरित किया जाता है जो दो समुच्चयों में से एक में बिंदु का चुनाव करता है जहां से आपको दूसरे समुच्चय की ओर जाना चाहिये। दूसरे शब्दों में यह दूरी समुच्चय में एक बिंदु से दूसरे समुच्चय में निकटतम बिंदु तक की सभी दूरियों में से सबसे बड़ी है।
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 <math> d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\left\{\,\sup_{x \in X} d(x,Y),\, \sup_{y \in Y} d(X,y) \,\right\}, \! </math>
-जहाँ sup सर्वोच्चता का प्रतिनिधित्व करता है, [[infimum]] का प्रतिनिधित्व करता है और जहाँ <math>d(a, B) = \inf_{b \in B} d(a,b)</math> एक बिंदु <math>a \in X</math> उपसमुच्चय की <math>B\subseteq X</math> से दूरी की गणना करता है।
+जहाँ sup सर्वोच्चता का प्रतिनिधित्व करता है, [[infimum|इन्फ़ीमुम]] का प्रतिनिधित्व करता है और जहाँ <math>d(a, B) = \inf_{b \in B} d(a,b)</math> एक बिंदु <math>a \in X</math> उपसमुच्चय की <math>B\subseteq X</math> से दूरी की गणना करता है।
 समान रूप से,
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 :<math>d(x,y) := |y - x|, \quad x,y \in \R.</math>
-लेते हैं
+लिया,
 :<math>X := (0, 1] \quad \mbox{and} \quad Y := [-1,0). </math>
-तब <math>d_{\mathrm H}(X,Y) = 1\ </math>जबकि <math>X \nsubseteq Y_1</math> क्योंकि <math>Y_1 = [-2,1)\ </math>, परन्तु <math>1 \in X</math>.
+तब <math>d_{\mathrm H}(X,Y) = 1\ </math>जबकि <math>X \nsubseteq Y_1</math> क्योंकि <math>Y_1 = [-2,1)\ </math>, परन्तु <math>1 \in X</math>
-परन्तु यह सत्य है <math> X\subseteq \overline{Y_\varepsilon} </math> और <math> Y\subseteq \overline{X_\varepsilon}</math>; विशेष रूप से यह सच है यदि <math>X, Y</math> बंद हो जाते हैं।
+परन्तु यह सत्य है कि <math> X\subseteq \overline{Y_\varepsilon} </math> और <math> Y\subseteq \overline{X_\varepsilon}</math> विशेष रूप से सत्य है यदि <math>X, Y</math> बंद हो जाते हैं।
 == गुण ==
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 *M के प्रत्येक बिंदु x के लिए और किसी भी गैर-रिक्त समुच्चय Y, M के Z के लिए: d(x,Y) ≤ d(x,Z) + d<sub>H</sub>(वाई, जेड), जहां D (X, Y) बिंदु X और समुच्चय Y में निकटतम बिंदु के मध्य की दूरी है।
 *|व्यास(Y)-व्यास(X)| ≤ 2 d<sub>H</sub>(X, Y)।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/375296 Diameter and Hausdorff Distance], Math.SE</ref>
-*यदि प्रतिच्छेदन X ∩ Y का आंतरिक भाग रिक्त नहीं है तो स्थिरांक r > 0 उपस्थित है जैसे कि प्रत्येक समुच्चय X' जिसकी हॉसडॉर्फ की दूरी X से कम है, Y को भी प्रतिच्छेद करता है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/732850 Hausdorff Distance and Intersection], Math.SE</ref>
+*यदि प्रतिच्छेदन X ∩ Y का आंतरिक भाग रिक्त नहीं है तो स्थिरांक r > 0 उपस्थित होता है जैसे कि प्रत्येक समुच्चय X' जिसकी हॉसडॉर्फ की दूरी X से कम है Y को भी प्रतिच्छेद करता है।<ref>[https://math.stackexchange.com/q/732850 Hausdorff Distance and Intersection], Math.SE</ref>
 *M के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय पर, d<sub>H</sub> एक विस्तारित [[स्यूडोमेट्रिक स्पेस]] देता है।
 * M, D<sub>H</sub> के सभी गैर-रिक्त सघन उपसमुच्चय के समुच्चय F(M) पर एक पैमाना है।
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 ::<math>d(X,Y)=\sup \{ d(x,Y) \mid x \in X \}.\ </math>
 :उदाहरण के लिए <math display="inline"> d(\{1,7\},\{3,6\}) = \sup\{ d(1,\{3,6\}), d(7,\{3,6\})\} = \sup\{ d(1,3),d(7,6) \} = 2. </math>
-*यदि X और Y सघन हैं तो d (X, Y) परिमित होगा; d (X, X) = 0; और d त्रिभुज असमानता संपत्ति को M में दूरी फंक्शन से प्राप्त करता है। जैसा कि स्थित है कि d (X, Y) मीट्रिक नहीं है क्योंकि d (X, Y) सदैव सममित नहीं है और {{nowrap|1=''d''(''X'',''Y'') = 0}} का अर्थ {{nowrap|1=''X'' = ''Y''}} (इसका मतलब यह है  <math> X \subseteq Y</math>) नहीं है उदाहरण के लिए, {{nowrap|1=''d''({1,3,6,7}, {3,6}) = 2}} किन्तु {{nowrap|1=''d''({3,6}, {1,3,6,7}) = 0}}, जबकि हम हॉसडॉर्फ दूरी को परिभाषित करके मीट्रिक बना सकते हैं:
+*यदि X और Y सघन हैं तो d (X, Y) परिमित होगा; d (X, X) = 0; और d त्रिभुज असमानता गुणों को M में दूरी फंक्शन से प्राप्त करता है। जैसा कि स्थित है कि d (X, Y) मीट्रिक नहीं है क्योंकि d (X, Y) सदैव सममित नहीं है और {{nowrap|1=''d''(''X'',''Y'') = 0}} का अर्थ {{nowrap|1=''X'' = ''Y''}} (इसका अर्थ यह है  <math> X \subseteq Y</math>) नहीं है उदाहरण के लिए {{nowrap|1=''d''({1,3,6,7}, {3,6}) = 2}} किन्तु {{nowrap|1=''d''({3,6}, {1,3,6,7}) = 0}} जबकि हम हॉसडॉर्फ दूरी को परिभाषित करके मीट्रिक बना सकते हैं:
 ::<math>d_{\mathrm H}(X,Y) = \max\{d(X,Y),d(Y,X) \} \, .</math>
 == अनुप्रयोग ==
-[[कंप्यूटर दृष्टि]] में हॉसडॉर्फ दूरी का उपयोग एकपक्षीय लक्ष्य छवि में दिए गए टेम्पलेट को खोजने के लिए किया जा सकता है। नमूना और छवि को अधिकतर [[किनारे का पता लगाना|सीमा सूचकांक]] के माध्यम से पूर्व-प्रक्रमक किया जाता है जिससे [[ द्विआधारी छवि ]] मिलती है। टेम्पलेट की बाइनरी छवि में प्रत्येक 1 (सक्रिय) बिंदु को समुच्चय में एक बिंदु टेम्पलेट का आकार के रूप में माना जाता है। इसी प्रकार बाइनरी लक्ष्य छवि के क्षेत्र को बिंदुओं के समूह के रूप में माना जाता है। एल्गोरिथ्म तब टेम्पलेट और लक्ष्य छवि के कुछ क्षेत्र के बीच हॉसडॉर्फ की दूरी को कम करने की कोशिश करता है। लक्ष्य छवि में टेम्पलेट के लिए न्यूनतम हॉसडॉर्फ दूरी वाले क्षेत्र को लक्ष्य में टेम्पलेट का पता लगाने के लिए सबसे अच्छा उम्मीदवार माना जा सकता है।
+[[कंप्यूटर दृष्टि]] में हॉसडॉर्फ दूरी का उपयोग एकपक्षीय लक्ष्य छवि में दिए गए टेम्पलेट को खोजने के लिए किया जा सकता है। नमूना और छवि को अधिकतर [[किनारे का पता लगाना|सीमा सूचकांक]] के माध्यम से पूर्व-प्रक्रमक किया जाता है जिससे [[ द्विआधारी छवि ]] मिलती है। टेम्पलेट की बाइनरी छवि में प्रत्येक 1 (सक्रिय) बिंदु को समुच्चय में एक बिंदु टेम्पलेट के आकार के रूप में माना जाता है। इसी प्रकार बाइनरी लक्ष्य छवि के क्षेत्र को बिंदुओं के समूह के रूप में माना जाता है। एल्गोरिथ्म तब टेम्पलेट और लक्ष्य छवि के कुछ क्षेत्र के मध्य हॉसडॉर्फ की दूरी को कम करने का प्रयत्न करता है। लक्ष्य छवि में टेम्पलेट के लिए न्यूनतम हॉसडॉर्फ दूरी वाले क्षेत्र को लक्ष्य में टेम्पलेट को ज्ञात करने के लिए सबसे अच्छा उम्मीदवार माना जा सकता है।
-[[कंप्यूटर चित्रलेख]] में हॉसडॉर्फ दूरी का उपयोग एक ही 3डी ऑब्जेक्ट के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्वों के बीच अंतर को मापने के लिए किया जाता है<ref>{{cite journal |first1=P. |last1=Cignoni |first2=C. |last2=Rocchini |first3=R. |last3=Scopigno |title=Metro: Measuring Error on Simplified Surfaces |journal=Computer Graphics Forum |volume=17 |issue=2 |year=1998 |pages=167–174 |doi=10.1111/1467-8659.00236 |citeseerx=10.1.1.95.9740 |s2cid=17783159 }}</ref> विशेष रूप से जटिल 3डी मॉडल के कुशल प्रदर्शन के लिए विस्तार का स्तर (कंप्यूटर ग्राफिक्स) उत्पन्न करते समय।
-अगर <math>X</math> पृथ्वी की सतह है, और <math>Y</math> पृथ्वी की भूमि-सतह है, तो निमो बिंदु खोजने पर, हम देखते हैं <math>d_H(X, Y)</math> लगभग 2,704.8 किमी है।
+[[कंप्यूटर चित्रलेख]] में हॉसडॉर्फ दूरी का उपयोग एक ही 3डी ऑब्जेक्ट के दो अलग-अलग प्रतिनिधित्वों के मध्य अंतर को मापने के लिए किया जाता है<ref>{{cite journal |first1=P. |last1=Cignoni |first2=C. |last2=Rocchini |first3=R. |last3=Scopigno |title=Metro: Measuring Error on Simplified Surfaces |journal=Computer Graphics Forum |volume=17 |issue=2 |year=1998 |pages=167–174 |doi=10.1111/1467-8659.00236 |citeseerx=10.1.1.95.9740 |s2cid=17783159 }}</ref> विशेष रूप से जटिल 3D प्रारूप के कुशल प्रदर्शन के लिए विस्तार का स्तर (कंप्यूटर ग्राफिक्स) उत्पन्न करते समय।
+अगर <math>X</math> पृथ्वी की सतह है, और <math>Y</math> पृथ्वी की भूमि-सतह है तो निमो बिंदु खोजने पर हम देखते हैं <math>d_H(X, Y)</math> लगभग 2,704.8 किमी है।
 [[File:Oceanic_pole_of_inaccessibility.png|thumb|दुर्गमता का महासागरीय ध्रुव {{Coord|49.0273|S|123.4345|W|name=Oceanic Pole of Inaccessibility}}]]
 == संबंधित अवधारणाएं ==
-आइसोमेट्री तक हॉसडॉर्फ दूरी द्वारा दो आकृतियों की असमानता के लिए एक उपाय दिया गया है, जिसे डी निरूपित किया गया है<sub>H</sub>. अर्थात्, X और Y को मीट्रिक स्पेस M (आमतौर पर एक [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष ]]) में दो कॉम्पैक्ट आंकड़े होने दें; तब डी<sub>H</sub>(एक्स, वाई) डी का न्यूनतम है<sub>H</sub>(I(X),Y) मीट्रिक स्पेस M के सभी [[आइसोमेट्री]] I के साथ ही। यह दूरी मापती है कि आकार X और Y सममितीय होने से कितनी दूर हैं।
+आइसोमेट्री तक हॉसडॉर्फ दूरी द्वारा दो आकृतियों की असमानता के लिए एक उपाय दिया गया है जिसे D<sub>H</sub> द्वारा निरूपित किया गया है अर्थात् X और Y को मीट्रिक स्पेस M (सामान्य रूप से [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन अंतरिक्ष]]) में दो कॉम्पैक्ट आंकड़े होने दें तब D<sub>H</sub>(X, Y) का न्यूनतम d<sub>H</sub>(I(X),Y) है जहां मीट्रिक स्पेस M के सभी [[आइसोमेट्री]] I के साथ आते हैं। यह दूरी मापती है कि आकार X और Y सममितीय होने से कितनी दूर हैं।
-ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ अभिसरण एक संबंधित विचार है: हम दो मीट्रिक रिक्त स्थान एम और एन की दूरी को कम से कम लेते हुए मापते हैं <math>d_{\mathrm H}(I(M),J(N))</math> सभी आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग के साथ <math>I\colon M\to L</math> और <math>J\colon N\to L</math> कुछ सामान्य मीट्रिक स्थान एल में।
+ग्रोमोव-हॉसडॉर्फ अभिसरण एक संबंधित विचार है: हम दो मीट्रिक रिक्त स्थान M और N की दूरी को कम से कम  <math>d_{\mathrm H}(I(M),J(N))</math> लेते हुए कुछ सामान्य मीट्रिक स्थान L में सभी आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग के साथ <math>I\colon M\to L</math> और <math>J\colon N\to L</math> मापते हैं
 == यह भी देखें ==

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