ग्रोमोव सीमा

File:F2 Cayley Graph.png

दो जनरेटर के साथ एक मुक्त समूह का केली ग्राफ। यह एक अतिपरवलिक समूह है जिसकी ग्रोमोव सीमा एक कैंटर सेट है। अतिपरवलिक समूह और उनकी सीमाएं ज्यामितीय समूह सिद्धांत में महत्वपूर्ण विषय है, जैसा कि केली ग्राफ है।

File:Hyperbolic domains 642.png

(6,4,2) त्रिकोणीय अतिपरवलिक टाइलिंग। इस टाइलिंग से संबंधित त्रिभुज समूह की ग्रोमोव सीमा के रूप में एक चक्र है।

गणित में, δ-अतिपरवलिक स्थान (विशेष रूप से एक अतिपरवलिक समूह) की ग्रोमोव सीमा अतिपरवलिक स्थान के सीमा क्षेत्र को सामान्यीकृत करने वाली एक अमूर्त अवधारणा है। संकल्पनात्मक रूप से, ग्रोमोव सीमा अनंत पर सभी बिन्दुओं का समुच्चय है। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा की ग्रोमोव सीमा सकारात्मक और नकारात्मक अनंतता के अनुरूप दो बिंदु है।

परिभाषा

एक जियोडेसिक और उचित δ-अतिपरवलिक स्थान की ग्रोमोव सीमा की कई समान परिभाषाएँ है। जियोडेसिक किरणों के सबसे उपयोग समकक्ष वर्गों में से एक है।

कोई बिंदु उठाओ $O$ एक अतिपरवलिक मीट्रिक स्थान का $X$ उत्पत्ति होता है। एक जियोडेसिक किरण एक सममितीय द्वारा दिया गया मार्ग है $\gamma :[0,\infty )\rightarrow X$ ऐसा है कि प्रत्येक खंड $\gamma ([0,t])$ से सबसे कम लंबाई का पथ है $O$ को $\gamma (t)$.

दो जियोडेसिक $\gamma _{1},\gamma _{2}$ स्थिरांक होने पर समकक्ष के रूप में परिभाषित किया जाता है $K$ ऐसा है कि $d(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))\leq K$ सभी के लिए $t$. का समतुल्य वर्ग $\gamma$ निरूपित किया जाता है $[\gamma ]$.

जियोडेसिक और उचित अतिपरवलिक मीट्रिक स्थान की ग्रोमोव सीमा $X$ सेट है $\partial X=\{[\gamma ]|\gamma$ में एक जियोडेसिक किरण है $X\}$.

टोपोलॉजी

तीन बिंदुओं के ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग करना उपयोगी होता है। तीन बिंदुओं का ग्रोमोव उत्पाद $x,y,z$ एक मीट्रिक स्थान में होता है $(x,y)_{z}=1/2(d(x,z)+d(y,z)-d(x,y))$. एक पेड़ (ग्राफ सिद्धांत), यह मापता है कि रास्ते कितने लंबे है $z$ को $x$ और $y$ अलग होने से पहले एक साथ रहते है। चूँकि अतिपरवलिक स्थान पेड़ की तरह होते है, ग्रोमोव उत्पाद मापता है कि भू-भौतिकी कितनी लंबी है $z$ को $x$ और $y$ अलग होने से पहले करीब रहते है।

एक बिंदु दिया $p$ ग्रोमोव सीमा में, हम सेट को परिभाषित करते है $V(p,r)=\{q\in \partial X|$ जियोडेसिक किरणें है $\gamma _{1},\gamma _{2}$ साथ $[\gamma _{1}]=p,[\gamma _{2}]=q$ और $\lim \inf _{s,t\rightarrow \infty }(\gamma _{1}(s),\gamma _{2}(t))_{O}\geq r\}$. ये खुले सेट ग्रोमोव सीमा के टोपोलॉजी के लिए एक आधार (टोपोलॉजी) बनाते है।

ये खुले सेट केवल जियोडेसिक किरणों के सेट है जो एक निश्चित जियोडेसिक किरण का कुछ दूरी तक अनुसरण करते है $r$ के अलग होने से पहले तक करते है।

यह टोपोलॉजी ग्रोमोव सीमा को सघन स्थान को मेट्रिजेशन प्रमेय स्थान बनाती है।

अतिपरवलिक समूह के अंत (टोपोलॉजी) की संख्या ग्रोमोव सीमा के घटकों की संख्या होती है।

ग्रोमोव सीमा के गुण

ग्रोमोव सीमा में कई महत्वपूर्ण गुण होते है। समूह सिद्धांत में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले गुणों में से एक निम्नलिखित है: यदि एक समूह $G$ एक δ-अतिपरवलिक स्थान पर ज्यामितीय समूह क्रिया है, फिर $G$ अतिपरवलिक समूह होता है और $G$ और $X$ होमियोमॉर्फिक ग्रोमोव सीमाएँ होती है।

सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक यह है कि यह अर्ध-सममिति अपरिवर्तनीय है, अर्थात्, यदि दो अतिपरवलिक मीट्रिक रिक्त स्थान अर्ध-सममितीय है, तो उनके बीच अर्ध-सममिति उनकी सीमाओं के बीच एक समरूपता प्रदान करती है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि रिक्त स्थान के अर्ध-समरूपता की तुलना में कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के समरूपता को समझना बहुत आसान होता है।

उदाहरण

• एक पेड़ की ग्रोमोव सीमा (ग्राफ सिद्धांत) एक कैंटर स्थान है।
• अतिपरवलिक स्थान की ग्रोमोव सीमा|अतिपरवलिक एन-स्थान एक (एन-1)-आयामी क्षेत्र है।
• संहत रीमैन सतह के मूलभूत समूह की ग्रोमोव सीमा इकाई वृत्त है।
• अधिकांश अतिपरवलिक समूहों की ग्रोमोव सीमा मेन्जर स्पंज है।

सामान्यीकरण

CAT(0) स्थान की दृश्य सीमा

एक पूर्ण स्थान CAT(0) X के लिए, X की दृश्य सीमा, δ-अतिपरवलिक स्थान की ग्रोमोव सीमा की तरह, स्पर्शोन्मुख जियोडेसिक किरणों के समतुल्य वर्ग के होते है। चूंकि, ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग उस पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक सपाट विमान के स्थिति में, विपरीत दिशाओं में नहीं जाने वाले बिंदु से जारी होने वाली किसी भी दो जियोडेसिक किरणों का उस बिंदु के संबंध में अनंत ग्रोमोव उत्पाद होता है। इसके अतिरिक्त दृश्य सीमा 'शंकु टोपोलॉजी' से संपन्न होता है। X में एक बिंदु o को ठीक करता है। किसी भी सीमा बिंदु को o से जारी होने वाली एक अद्वितीय जियोडेसिक किरण द्वारा दर्शाया जा सकता है। एक किरण दी $\gamma$ ओ से जारी, और सकारात्मक संख्या टी > 0 और आर > 0, सीमा बिंदु पर एक निकट के आधार $[\gamma ]$ फॉर्म के सेट द्वारा दिया गया है

$U(\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->},t,r)=\{[{\mathrm{\gamma <!--\; \gamma \; -->}}_1]\in <!--\; \in \; -->\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}X$