सहवाद: Difference between revisions

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[[File:Cobordism.svg|thumb|सहवाद (डब्ल्यू; एम, एन)।]]गणित में, सहवाद एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सहवाद दे रहा है) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका  असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।
[[File:Cobordism.svg|thumb|सहवाद (डब्ल्यू; एम, एन)।]]गणित में, सहवाद एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सहवाद) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका  असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।


एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सहवाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।
एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सहवाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।
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=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===
[[File:Circle-surgery.svg|thumb|right|चित्र .1]]ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, वृत्त पर एक शल्य चिकित्सा में एक प्रतिलिपि काटनी होती है <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^1</math> और चिपकाना <math>\mathbb{D}^1 \times \mathbb{S}^0.</math> चित्र 1 में चित्र दिखाते हैं कि ऐसा करने का परिणाम या तो (i) है <math>\mathbb{S}^1</math> दोबारा, या (ii) की दो प्रतियां <math>\mathbb{S}^1</math>
[[File:Circle-surgery.svg|thumb|right|चित्र .1]]ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, वृत्त पर एक शल्य चिकित्सा में एक प्रतिलिपि कर्तन  <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^1</math> और संश्लिष्ट <math>\mathbb{D}^1 \times \mathbb{S}^0</math> होती है। चित्र 1 में चित्र दिखाते हैं कि ऐसा करने का परिणाम या तो (i) <math>\mathbb{S}^1</math> दोबारा, या (ii) की दो प्रतियां <math>\mathbb{S}^1</math>है।


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[[File:Sphere-surgery2.png|thumb|right|अंजीर. 2बी]]2-गोले पर प्रसमष्टि के लिए, अधिक संभावनाएँ हैं, क्योंकि हम या तो काट कर शुरू कर सकते हैं <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2</math> या <math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1.</math>
[[File:Sphere-surgery2.png|thumb|right|चित्र 2b ]]2-गोले पर प्रसमष्टि के लिए, अधिक संभावनाएँ हैं, क्योंकि हम या <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2</math> या <math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1</math> तो प्रतिच्छेद कर  प्रारंभ कर सकते हैं।


{{ordered list
{{ordered list
| list-style-type = lower-alpha|<math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1</math>: If we remove a cylinder from the 2-sphere, we are left with two disks. We have to glue back in <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2</math> – that is, two disks - and it's clear that the result of doing so is to give us two disjoint spheres. (Fig. 2a)|[[File:Sphere-surgery4.png|thumb|right|Fig. 2c. This shape cannot be embedded in 3-space.]]
| list-style-type = lower-alpha|<math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1</math>: If we remove a cylinder from the 2-sphere, we are left with two disks. We have to glue back in <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2</math> – that is, two disks - and it's clear that the result of doing so is to give us two disjoint spheres. (Fig. 2a)|[[File:Sphere-surgery4.png|thumb|right|चित्र 2c इस आकृति को 3-समष्टि में अन्तः स्थापित नहीं किया जा सकता है।]]
<math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2</math>: Having cut out two disks <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2,</math> we glue back in the cylinder <math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1.</math> There are two possible outcomes, depending on whether our gluing maps have the same or opposite orientation on the two boundary circles. If the orientations are the same (Fig. 2b), the resulting manifold is the [[torus]] <math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1</math> but if they are different, we obtain the [[Klein bottle]] (Fig. 2c).
<math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2</math>: Having cut out two disks <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2,</math> we glue back in the cylinder <math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^1.</math> There are two possible outcomes, depending on whether our gluing maps have the same or opposite orientation on the two boundary circles. If the orientations are the same (Fig. 2b), the resulting manifold is the [[torus]] <math>\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1</math> but if they are different, we obtain the [[Klein bottle]] (Fig. 2c).
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== मोर्स फ़ंक्शंस ==
== मोर्स फलन ==
मान लीजिए कि f एक (n + 1)-विमीय प्रसमष्‍टि पर एक [[मोर्स समारोह]] है, और मान लीजिए कि c एक महत्वपूर्ण मान है, जिसकी पूर्व छवि में ठीक एक महत्वपूर्ण बिंदु है। यदि इस महत्वपूर्ण बिंदु का सूचकांक p+1 है, तो स्तर-सेट N := f<sup>−1</sup>(c + ε) M := f से प्राप्त होता है<sup>−1</sup>(c − ε) एक पी-प्रसमष्टि द्वारा। प्रतिलोम प्रतिबिम्ब W := f<sup>−1</sup>([c − ε, c + ε]) एक सहवाद (W; M, N) को परिभाषित करता है जिसे इस प्रसमष्टि के निशान से पहचाना जा सकता है।
मान लीजिए कि f एक (n + 1)-विमीय प्रसमष्‍टि पर एक [[मोर्स समारोह|मोर्स फलन]] है, और मान लीजिए कि c एक महत्वपूर्ण मान है, जिसकी पूर्व छवि में ठीक एक महत्वपूर्ण बिंदु है। यदि इस महत्वपूर्ण बिंदु का सूचकांक p+1 है, तो स्तर-समुच्चय N := f<sup>−1</sup>(c + ε) M := f<sup>−1</sup>(c − ε) एक p-प्रसमष्टि द्वारा से प्राप्त होता है। प्रतिलोम प्रतिबिम्ब W := f<sup>−1</sup>([c − ε, c + ε]) एक सहवाद (W; M, N) को परिभाषित करता है जिसे इस प्रसमष्टि के चिन्ह से पहचाना जा सकता है।


===ज्यामिति, और मोर्स सिद्धांत और हैंडलबॉडी === के साथ संबंध
==== ज्यामिति, और मोर्स सिद्धांत और हैंडलबॉडीके साथ संबंध ====
एक सह सीमवाद (डब्ल्यू; एम, एन) को देखते हुए एक चिकनी कार्य सम्मिलित है: डब्ल्यू → [0, -1] ऐसा है कि एफ<sup>−1</sup>(0) = एम, एफ<sup>−1</sup>(1) = N. सामान्य स्थिति से, कोई मान सकता है कि f मोर्स है और ऐसा है कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु W के इंटीरियर में होते हैं। इस सेटिंग में f को कोबोरिज्म पर मोर्स फ़ंक्शन कहा जाता है। सहवाद (डब्ल्यू; एम, एन) एम पर प्रसमष्टि के अनुक्रम के निशान का एक संघ है, एफ के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक। एफ के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक संभाल अपघटन संलग्न करके प्रसमष्‍टि डब्ल्यू एम × [0, -1] से प्राप्त किया जाता है।
एक सह सीमवाद (W; M, N) को देखते हुए एक सामान्य फलन :W → [0, -1] जैसे कि f<sup>−1</sup>(0) = M, F<sup>−1</sup>(1) = N सम्मिलित है। सामान्य स्थिति से, कोई मान सकता है कि f मोर्स है और ऐसा है कि सभी महत्वपूर्ण बिंदु W के आंतरिक भाग में होते हैं। इस समुच्चयन में f को सह-सीमवाद पर मोर्स फलन कहा जाता है। सहवाद (W; M, N) M पर प्रसमष्टि के अनुक्रम के संकेत का एक संघ है, F के प्रत्येक महत्वपूर्ण बिंदु के लिए एक नियंत्रण अपघटन संलग्न करके प्रसमष्‍टि W, M × [0, -1] से प्राप्त किया जाता है।


[[File:Cobordism.svg|thumb|3-आयामी सह-वाद <math>W = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^2 - \mathbb{D}^3</math> 2-गोले के बीच <math>M = \mathbb{S}^2</math> और 2-[[ टोरस्र्स ]] <math>N = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1,</math> प्रसमष्टि द्वारा एम से प्राप्त एन के साथ <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2 \subset M,</math>और W ने M × I से 1-हैंडल संलग्न करके प्राप्त किया <math>\mathbb{D}^1 \times \mathbb{D}^2.</math>]]मोर्स/स्मेल प्रमेय कहता है कि सह-बोर्डवाद पर मोर्स फ़ंक्शन के लिए, f' की प्रवाह रेखाएं ट्रिपल (W; M, N) के एक हैंडल अपघटन को जन्म देती हैं। इसके विपरीत, एक सह-बोर्डवाद के हैंडल अपघटन को देखते हुए, यह एक उपयुक्त मोर्स फ़ंक्शन से आता है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत सेटिंग में यह प्रक्रिया संभाल अपघटन और मोर्स कार्यों के बीच एक सहवाद के बीच एक पत्राचार देती है।
[[File:Cobordism.svg|thumb|3-आयामी सह-वाद <math>W = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{D}^2 - \mathbb{D}^3</math> 2-गोले के बीच <math>M = \mathbb{S}^2</math> और 2-[[ टोरस्र्स | टोरस्र्स]] <math>N = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1,</math> प्रसमष्टि द्वारा m से प्राप्त n के साथ <math>\mathbb{S}^0 \times \mathbb{D}^2 \subset M,</math>और W ने M × I से 1-नियंत्रण संलग्न करके <math>\mathbb{D}^1 \times \mathbb{D}^2</math> प्राप्त किया]]मोर्स/स्मेल प्रमेय कहता है कि सह-बोर्डवाद पर मोर्स फलन के लिए, f' की प्रवाह रेखाएं ट्रिपल (W; M, N) के एक निर्धारित अपघटन को उत्पन्न करती हैं। इसके विपरीत, एक सह-सीमवाद के नियंत्रण अपघटन को देखते हुए, यह एक उपयुक्त मोर्स फलन से आता है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत संस्थापन में यह प्रक्रिया प्रबंध अपघटन और मोर्स फलनों के बीच एक सहवाद के बीच समानता होती है।


== इतिहास ==
== इतिहास ==
1895 में हेनरी पोनकारे द्वारा सहवाद की जड़ें (विफल) प्रयास में होमोलॉजी (गणित) को विशुद्ध रूप से प्रसमष्‍टि के संदर्भ में परिभाषित करने के लिए थीं। {{harv|Dieudonné|1989|loc=[https://archive.org/details/historyofalgebra0000dieu_g9a3/page/290 p. 289]}}. पोंकारे ने एक साथ होमोलॉजी और सहवाद दोनों को परिभाषित किया, जो सामान्य रूप से समान नहीं हैं। सीमावाद और समरूपता के बीच संबंध के लिए #Coboardism को एक [[असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत|असाधारण सह समरूपता सिद्धांत]] के रूप में देखें।
सह-सीमवाद मूल 1895 में हेनरी पोनकारे द्वारा (असफल) प्रयास में थीं, जो होमोलॉजी को विशुद्ध रूप से प्रसमष्टि के संदर्भ में परिभाषित (ड्यूडोने 1989, पृष्ठ 289) करने के लिए था। पोंकारे ने एक साथ होमोलॉजी और सह-सीमावाद दोनों को परिभाषित किया, जो सामान्य रूप से समान नहीं हैं। सीमवाद और होमोलॉजी के बीच संबंधों के लिए सह-सीमावाद को एक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के रूप में देखें।


प्रसमष्‍टि पर ज्यामितीय कार्य में [[लेव पोंट्रीगिन]] द्वारा सीमवाद को स्पष्ट रूप से पेश किया गया था। यह तब प्रमुखता में आया जब रेने थॉम ने दिखाया कि थॉम जटिल निर्माण के माध्यम से, [[होमोटॉपी सिद्धांत]] के माध्यम से सहवाद समूहों की गणना की जा सकती है। कोबर्डिज़्म सिद्धांत के-सिद्धांत के साथ-साथ असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के तंत्र का हिस्सा बन गया। 1950 के दशक और 1960 के दशक की शुरुआत में, विशेष रूप से हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय में, और अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के पहले प्रमाणों में, इसने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, ऐतिहासिक रूप से, सांस्थिति के विकास में।
प्रसमष्‍टि पर ज्यामितीय फलन में [[लेव पोंट्रीगिन]] द्वारा सीमवाद को स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था। यह तब प्रमुखता में आया जब रेने थॉम ने दिखाया कि थॉम जटिल निर्माण के माध्यम से, [[होमोटॉपी सिद्धांत]] के माध्यम से सहवाद समूहों की गणना की जा सकती है। सह-सीमवाद सिद्धांत के-सिद्धांत के साथ-साथ असाधारण सह समरूपता सिद्धांत के तंत्र का भाग बन गया। 1950 के दशक और 1960 के दशक के प्रारंभ में, विशेष रूप से हिर्ज़ब्रुक-रीमैन-रोच प्रमेय में, और अतियाह-सिंगर सुचकांक प्रमेय के पहले प्रमाणों में, इसने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।


1980 के दशक में ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सुसंहत प्रसमष्‍टि के साथ [[श्रेणी (गणित)]] और इन दोनों के बीच आकारिकी के रूप में सहवाद ने सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र [[कश्मीर सिद्धांत]] के लिए अतियाह-सेगल स्वयंसिद्धों में एक मौलिक भूमिका निभाई, जो [[क्वांटम टोपोलॉजी|क्वांटम सांस्थिति]] का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।
1980 के दशक में वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सुसंहत प्रसमष्‍टि के साथ [[श्रेणी (गणित)]] और इन दोनों के बीच आकारिकी के रूप में सहवाद ने सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र [[कश्मीर सिद्धांत|k सिद्धांत]] के लिए अतियाह-सेगल स्वयंसिद्धों में एक मौलिक भूमिका निभाई, जो [[क्वांटम टोपोलॉजी|क्वांटम सांस्थिति]] का एक महत्वपूर्ण भाग है।


== श्रेणीबद्ध पहलू ==
== श्रेणीबद्ध स्वरूप ==
सह-बोर्डवाद वर्गों के अतिरिक्त, सह-बोर्डवाद अपने आप में अध्ययन की वस्तुएं हैं। सहवाद एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, जिनकी वस्तुएं प्रसमष्‍टि संवृत होती हैं और जिनकी आकृतियां सहवाद होती हैं। सामान्य रूप से, रचना को अंत-से-अंत तक एक साथ जोड़कर दिया जाता है: (W; M, N) और (W ′; N, P) की रचना को पहले के दाहिने सिरे को बायें छोर से जोड़कर परिभाषित किया जाता है। दूसरा, उपज (W ′ ∪<sub>''N''</sub> डब्ल्यू; एमपी)। एक कोबर्डिज्म एक प्रकार का [[cospan]] है:<ref>While every cobordism is a cospan, the category of cobordisms is ''not'' a "cospan category": it is not the category of all cospans in "the category of manifolds with inclusions on the boundary", but rather a subcategory thereof, as the requirement that ''M'' and ''N'' form a partition of the boundary of ''W'' is a global constraint.</ref> एम → डब्ल्यू ← एन श्रेणी एक [[डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी|डैगर सुसंहत श्रेणी]] है।
सह-बोर्डवाद वर्गों के अतिरिक्त, सह-बोर्डवाद अपने आप में अध्ययन की वस्तुएं हैं। सहवाद एक श्रेणी (गणित) बनाते हैं, जिनकी वस्तुएं प्रसमष्‍टि संवृत होती हैं और जिनकी आकृतियां सहवाद होती हैं। सामान्य रूप से, रचना को सिरे-से-सिरे तक एक साथ जोड़कर दिया जाता है: (W; M, N) और (W ′; N, P) की रचना को पहले के दाहिने सिरे को बायें सिरे से जोड़कर परिभाषित किया जाता है। दूसरा, उत्पादन (''W'' ′ ∪<sub>''N''</sub> ''W''; ''M'', ''P'') होता है। एक कोबर्डिज्म एक प्रकार का [[cospan]] है:<ref>While every cobordism is a cospan, the category of cobordisms is ''not'' a "cospan category": it is not the category of all cospans in "the category of manifolds with inclusions on the boundary", but rather a subcategory thereof, as the requirement that ''M'' and ''N'' form a partition of the boundary of ''W'' is a global constraint.</ref> M → W ← N श्रेणी एक [[डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी|डैगर सुसंहत श्रेणी]] है।


एक सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र थ्योरी सहवाद की एक श्रेणी से सदिश स्थानों की एक श्रेणी के लिए एक मोनोइडल [[ऑपरेटर]] है। यही है, यह एक फ़ंक्टर है जिसका मान प्रसमष्‍टि के असंबद्ध संघ पर प्रत्येक घटक प्रसमष्‍टि पर इसके मूल्यों के टेंसर गुणनफल के बराबर है।
एक सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सहवाद की एक श्रेणी से सदिश समष्टि की एक श्रेणी के लिए एकपदीय  [[ऑपरेटर|फलननिर्धारक]] है। यही है, यह फलननिर्धारक है जिसका मान प्रसमष्‍टि के असंबद्ध सम्मिलन पर प्रत्येक घटक प्रसमष्‍टि पर इसके मानो के प्रदिश गुणनफल के बराबर है।


निम्न आयामों में, सीमावाद का प्रश्न अपेक्षाकृत तुच्छ है, लेकिन सह-बोर्डवाद की श्रेणी नहीं है। उदाहरण के लिए, सर्कल को घेरने वाली डिस्क एक नलरी (0-एरी) ऑपरेशन से अनुरूप है, जबकि सिलेंडर 1-एरी ऑपरेशन और पैंट की जोड़ी एक बाइनरी ऑपरेशन से अनुरूप है।
निम्न आयामों में, सीमावाद का प्रश्न अपेक्षाकृत सामान्य है, लेकिन सह-सीमावाद की श्रेणी नहीं है। उदाहरण के लिए, वृत्त को घेरने वाली बिम्ब एक अशक्त (0-एरी) संक्रियक से अनुरूप है, जबकि सिलेंडर 1-एरी संक्रियक और पैंट के युग्म एक बाइनरी संक्रियक से अनुरूप है।


== असंबद्ध सहवाद ==
== असंबद्ध सहवाद ==
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यह दिखाता है, उदाहरण के लिए, प्रत्येक 3-आयामी संवृत प्रसमष्‍टि 4-प्रसमष्‍टि (सीमा के साथ) की सीमा है।
यह दिखाता है, उदाहरण के लिए, प्रत्येक 3-आयामी संवृत प्रसमष्‍टि 4-प्रसमष्‍टि (सीमा के साथ) की सीमा है।


[[यूलर विशेषता]] <math>\chi(M) \in \Z</math> एक अनियंत्रित प्रसमष्‍टि एम का मोडुलो 2 एक गैर-उन्मुख कोबोरिज्म इनवेरिएंट है। यह समीकरण द्वारा निहित है
[[यूलर विशेषता]] <math>\chi(M) \in \Z</math> एक अनियंत्रित प्रसमष्‍टि एम का मोडुलो 2 एक गैर-उन्मुख सह-सीमवाद इनवेरिएंट है। यह समीकरण द्वारा निहित है


:<math>\chi_{\partial W} = \left(1 - (-1)^{\dim W} \right)\chi_W</math>
:<math>\chi_{\partial W} = \left(1 - (-1)^{\dim W} \right)\chi_W</math>
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== अतिरिक्त संरचना के साथ प्रसमष्‍टि सहकारिता ==
== अतिरिक्त संरचना के साथ प्रसमष्‍टि सहकारिता ==
कोबर्डिज़्म को प्रसमष्‍टि के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें अतिरिक्त संरचना होती है, विशेष रूप से एक अभिविन्यास। यह एक्स-संरचना (या जी-संरचना) की धारणा का उपयोग करके सामान्य तरीके से औपचारिक बना दिया गया है।<ref>{{Citation | last1=Switzer | first1=Robert M. | title=Algebraic topology—homotopy and homology | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-42750-6 | mr=1886843  | year=2002}}, chapter 12</ref> बहुत संक्षेप में, पर्याप्त उच्च-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में M के विसर्जन का [[सामान्य बंडल]] ν <math>\R^{n+k}</math> एम से [[ग्रासमानियन]] तक एक मानचित्र को जन्म देता है, जो बदले में [[ऑर्थोगोनल समूह]] के वर्गीकरण स्थान का उप-स्थान है: ν: एम → 'जीआर' (एन, एन + के) → बीओ (के)। रिक्त स्थान और मानचित्र X के संग्रह को देखते हुए<sub>k</sub>→ एक्स<sub>k</sub><sub>+1</sub> नक्शे के साथ एक्स<sub>k</sub>→ बीओ (के) (बीओ (के) → बीओ (के + 1) के समावेशन के साथ संगत, एक एक्स-संरचना एक मानचित्र के लिए ν की लिफ्ट है <math>\tilde \nu: M \to X_k</math>. एक्स-संरचना के साथ केवल प्रसमष्‍टि और सहवाद को ध्यान में रखते हुए कोबोरवाद की अधिक सामान्य धारणा को जन्म देता है। विशेष रूप से, एक्स<sub>k</sub>बीजी (के) द्वारा दिया जा सकता है, जहां जी (के) → ओ (के) कुछ समूह समरूपता है। इसे जी-संरचना के रूप में जाना जाता है। उदाहरणों में जी = ओ, ऑर्थोगोनल समूह सम्मिलित है, जो गैर-उन्मुख सहवाद को वापस दे रहा है, लेकिन उपसमूह विशेष रैखिक समूह भी है। एसओ (के), उन्मुख कोबोरवाद को जन्म दे रहा है, [[स्पिन समूह]], एकात्मक समूह | एकात्मक समूह यू (के), और तुच्छ समूह, फ़्रेमयुक्त सहवाद को जन्म दे रहा है।
सह-सीमवाद को प्रसमष्‍टि के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें अतिरिक्त संरचना होती है, विशेष रूप से एक अभिविन्यास। यह एक्स-संरचना (या जी-संरचना) की धारणा का उपयोग करके सामान्य तरीके से औपचारिक बना दिया गया है।<ref>{{Citation | last1=Switzer | first1=Robert M. | title=Algebraic topology—homotopy and homology | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Classics in Mathematics | isbn=978-3-540-42750-6 | mr=1886843  | year=2002}}, chapter 12</ref> बहुत संक्षेप में, पर्याप्त उच्च-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में M के विसर्जन का [[सामान्य बंडल]] ν <math>\R^{n+k}</math> एम से [[ग्रासमानियन]] तक एक मानचित्र को जन्म देता है, जो बदले में [[ऑर्थोगोनल समूह]] के वर्गीकरण स्थान का उप-स्थान है: ν: एम → 'जीआर' (एन, एन + के) → बीओ (के)। रिक्त स्थान और मानचित्र X के संग्रह को देखते हुए<sub>k</sub>→ एक्स<sub>k</sub><sub>+1</sub> नक्शे के साथ एक्स<sub>k</sub>→ बीओ (के) (बीओ (के) → बीओ (के + 1) के समावेशन के साथ संगत, एक एक्स-संरचना एक मानचित्र के लिए ν की लिफ्ट है <math>\tilde \nu: M \to X_k</math>. एक्स-संरचना के साथ केवल प्रसमष्‍टि और सहवाद को ध्यान में रखते हुए कोबोरवाद की अधिक सामान्य धारणा को जन्म देता है। विशेष रूप से, एक्स<sub>k</sub>बीजी (के) द्वारा दिया जा सकता है, जहां जी (के) → ओ (के) कुछ समूह समरूपता है। इसे जी-संरचना के रूप में जाना जाता है। उदाहरणों में जी = ओ, ऑर्थोगोनल समूह सम्मिलित है, जो गैर-उन्मुख सहवाद को वापस दे रहा है, लेकिन उपसमूह विशेष रैखिक समूह भी है। एसओ (के), उन्मुख कोबोरवाद को जन्म दे रहा है, [[स्पिन समूह]], एकात्मक समूह | एकात्मक समूह यू (के), और तुच्छ समूह, फ़्रेमयुक्त सहवाद को जन्म दे रहा है।


परिणामी सहवाद समूहों को फिर से असम्बद्ध स्थिति के अनुरूप परिभाषित किया जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\Omega^G_*</math>.
परिणामी सहवाद समूहों को फिर से असम्बद्ध स्थिति के अनुरूप परिभाषित किया जाता है। द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\Omega^G_*</math>.

Revision as of 15:03, 28 April 2023

File:Cobordism.svg
सहवाद (डब्ल्यू; एम, एन)।

गणित में, सहवाद एक समान आयाम के सुसंहत प्रसमष्‍टि के वर्ग पर एक मौलिक तुल्यता संबंध है, जो कि प्रसमष्‍टि की सीमा (फ्रेंच बोर्ड, सहवाद) की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किया गया है। समान आयाम के दो प्रसमष्‍टि समरूप होते हैं यदि उनका असंयुक्‍त सम्मिलन एक सुसंहत प्रसमष्‍टि एक आयाम की सीमा है।

एक (n + 1)-आयामी प्रसमष्‍टि W की सीमा एक n-आयामी प्रसमष्‍टि ∂W है जो कि रिक्त सीमा के साथ संवृत है। सामान्य रूप से, एक संवृत प्रसमष्‍टि को सीमा सहवाद सिद्धांत नहीं होना चाहिए, सभी संवृत प्रसमष्‍टि और जो सीमाएं हैं, के बीच अंतर का अध्ययन है। सिद्धांत मूल रूप से रेने थॉम द्वारा सामान्य प्रसमष्‍टि (अर्थात, अलग-अलग) के लिए विकसित किया गया था, लेकिन अब भागों के रैखिक और सांंस्थितिक प्रसमष्‍टि के संस्करण भी हैं।

प्रसमष्‍टि M और N के बीच एक सहवाद एक सुसंहत प्रसमष्‍टि W है, जिसकी सीमा M और N का असंयुक्‍त सम्मिलन है।

सहवाद का अध्ययन उनके द्वारा उत्पन्न समतुल्यता संबंध के लिए और अपने आप में वस्तुओं के रूप में किया जाता है। सहवाद अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी की तुलना में बहुत स्थूल तुल्यता संबंध है, और इसका अध्ययन और गणना करना काफी आसान है। आयाम ≥ 4 में अवकलनीय तद्वता या सम-आकारिकी तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव नहीं है - क्योंकि समूहों के लिए पद समस्या को संशोधित नहीं किया जा सकता है - लेकिन सहवाद तक प्रसमष्टि वर्गीकृत करना संभव है। सहवाद ज्यामितीय सांस्थिति और बीजगणितीय सांस्थिति में अध्ययन की केंद्रीय वस्तुएं हैं। ज्यामितीय सांस्थिति में, सहवाद मोर्स सिद्धांत के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं, और h-सहवाद उच्च-आयामी प्रसमष्टि, अर्थात् प्रसमष्टि सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक हैं। बीजगणितीय सांस्थिति में, सहवाद सिद्धांत मौलिक असाधारण सह समरूपता सिद्धांत हैं, और सहवाद की श्रेणियां सांंस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों के प्रक्षेत्र हैं।

परिभाषा

प्रसमष्‍टि

सामान्य रूप से, एक n-आयाम प्रसमष्‍टि (गणित) M एक स्थलीय सांस्थितिक समष्टि प्रतिवेश (गणित) है (अर्थात, प्रत्येक बिंदु के पास) सम-आकारिकी यूक्लिडियन समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय के लिए होमियोमॉर्फिक है। सीमा के साथ प्रसमष्टि समान है, इसके अतिरिक्त कि M के एक बिंदु को एक प्रतिवेश रखने की अनुमति है जो अर्धसमष्‍टि(ज्यामिति) के विवृत उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है

यूक्लिडियन समष्टि के एक विवृत उपसमुच्चय के बिना पड़ोस होमियोमॉर्फिक के बिना वे बिंदु M के सीमा बिंदु हैं; M की सीमा द्वारा दर्शाया गया है। अंत में, परिभाषा के अनुसार, एक संवृत प्रसमष्टि सीमा के बिना एक सुसंहत समष्टि () होता है।

सहवाद

एक -आयाम सहवाद एक पंचगुण है। जिसमे एक आयामी सुसंहत अवकल प्रसमष्‍टि संवृत किया हुआ और -प्रसमष्‍टि , और अन्तः स्थापित