संबद्ध बंडल: Difference between revisions
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होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह ''G'' और विशिष्ट फाइबर ''F'' के साथ एक सामयिक स्पेस ''X'' पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर ''F'' पर ''G'' (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) या क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref> समूह ''E'' का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर ''U''<sub>i</sub> of ''X'', होता है और समूह मानचित्र का संग्रह सम्मिलित है | होने देना <math display="inline">\pi:E\to X</math> संरचना समूह ''G'' और विशिष्ट फाइबर ''F'' के साथ एक सामयिक स्पेस ''X'' पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर ''F'' पर ''G'' (एक [[परिवर्तन समूह]] के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) या क्रियाओं के प्रकार।<ref>Effectiveness is a common requirement for fibre bundles; see Steenrod (1951). In particular, this condition is necessary to ensure the existence and uniqueness of the principal bundle associated with ''E''.</ref> समूह ''E'' का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर ''U''<sub>i</sub> of ''X'', होता है और समूह मानचित्र का संग्रह सम्मिलित है | ||
<math display="block">\varphi_i : \pi^{-1}(U_i) \to U_i \times F</math> | |||
जैसे कि [[संक्रमण मानचित्र]] G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, निरंतर कार्य ''g''<sub>ij</sub> : (Ui ∩ Uj) → G ऐसा हैं कि<math display="block">\psi_{ij}(u,f) := \varphi_i \circ \varphi_j ^{-1}(u,f) = \big(u, g_{ij}(u) f \big),\quad | |||
\text{for each } (u,f)\in (U_i \cap U_j)\times F\, .</math> अब F' को एक निर्दिष्ट सामयिक स्पेस होने दें, जो G की निरंतर बाईं क्रिया से सुसज्जित है। फिर फाइबर F' के साथ E से जुड़ा समूह 'एक समूह E' है, जो कवर ''U''<sub>i</sub> के अधीन एक स्थानीय तुच्छीकरण के साथ है। जिसका संक्रमण कार्य द्वारा दिया गया है | |||
<math display="block">\psi'_{ij}(u,f') = \big(u, g_{ij}(u) f' \big),\quad | |||
\text{for each } (u,f')\in (U_i \cap U_j)\times F'\,,</math>जहां ''G''-मूल्यवान कार्य ''g''<sub>ij</sub>(''u'') वही हैं जो मूल समूह ''E'' के स्थानीय तुच्छीकरण से प्राप्त हुए हैं।यह परिभाषा संक्रमण कार्यों पर चक्रीय स्थिति का स्पष्ट रूप से सम्मान करती है, क्योंकि प्रत्येक स्थितियों में वे ''G''-मूल्यवान कार्यों की एक ही प्रणाली द्वारा दी जाती हैं। (एक अन्य स्थानीय तुच्छीकरण का उपयोग करना, और यदि आवश्यक हो तो एक सामान्य परिशोधन के लिए जाना, g<sub>ij</sub> उसी कोबाउंड्री के माध्यम से रूपांतरित करें।) इसलिए, [[फाइबर बंडल निर्माण प्रमेय|फाइबर समूह निर्माण प्रमेय]] द्वारा, यह '''दावा किए गए अनुसार''' फाइबर ''F''<nowiki/>' के साथ एक फाइबर समूह ''E''<nowiki/>' का उत्पादन करता है। जैसा कि दावा किया गया है। | |||
=== फाइबर समूह से जुड़ा प्रिंसिपल समूह === | === फाइबर समूह से जुड़ा प्रिंसिपल समूह === | ||
पहले की तरह, मान लें कि E संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। विशेष स्थितियों में जब G में एक समूह क्रिया (गणित) है या क्रियाओं के प्रकार F' पर कार्रवाई छोड़ दी जाती है, ताकि F' बाईं ओर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो G की क्रिया स्वयं पर होती है, तो संबंधित समूह E' को फाइबर समूह E से जुड़ा प्रमुख G-समूह कहा जाता है। साथ ही एक बाईं क्रिया), तो F′ पर G की दाहिनी क्रिया E′ पर G की दाहिनी क्रिया को प्रेरित करती है। पहचान के इस विकल्प के साथ, E' सामान्य अर्थों में एक प्रमुख समूह बन जाता है। ध्यान दें कि, हालांकि जी के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान पर एक सही कार्रवाई निर्दिष्ट करने के लिए कोई वैधानिक तरीका नहीं है, ऐसी कोई भी दो कार्रवाइयाँ प्रमुख बंडलों का उत्पादन करेंगी जिनमें संरचना समूह जी के साथ समान अंतर्निहित फाइबर समूह होता है (चूंकि यह बाईं कार्रवाई से आता है) जी), और आइसोमॉर्फिक जी-स्पेस के रूप में इस अर्थ में कि दोनों से संबंधित बंडलों का जी-समतुल्य समरूपता है। | पहले की तरह, मान लें कि E संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह है। विशेष स्थितियों में जब G में एक समूह क्रिया (गणित) है या क्रियाओं के प्रकार F' पर कार्रवाई छोड़ दी जाती है, ताकि F' बाईं ओर एक प्रमुख सजातीय स्थान हो G की क्रिया स्वयं पर होती है, तो संबंधित समूह E' को फाइबर समूह E से जुड़ा प्रमुख G-समूह कहा जाता है। साथ ही एक बाईं क्रिया), तो F′ पर G की दाहिनी क्रिया E′ पर G की दाहिनी क्रिया को प्रेरित करती है। पहचान के इस विकल्प के साथ, E' सामान्य अर्थों में एक प्रमुख समूह बन जाता है। ध्यान दें कि, हालांकि जी के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान पर एक सही कार्रवाई निर्दिष्ट करने के लिए कोई वैधानिक तरीका नहीं है, ऐसी कोई भी दो कार्रवाइयाँ प्रमुख बंडलों का उत्पादन करेंगी जिनमें संरचना समूह जी के साथ समान अंतर्निहित फाइबर समूह होता है (चूंकि यह बाईं कार्रवाई से आता है) जी), और आइसोमॉर्फिक जी-स्पेस के रूप में इस अर्थ में कि दोनों से संबंधित बंडलों का जी-समतुल्य समरूपता है। | ||
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इस निर्माण को [[श्रेणी सिद्धांत]] भी देखा जा सकता है। | इस निर्माण को [[श्रेणी सिद्धांत]] भी देखा जा सकता है। | ||
अधिक | अधिक स्पष्ट रूप से, दो सतत मानचित्र हैं <math>P \times G \times F \to P \times F</math>, P पर दाईं ओर G के साथ और F पर बाईं ओर अभिनय करके दिया गया है। | ||
संबंधित वेक्टर समूह <math>P \times_\rho F</math> तब इन नक्शों का [[समतुल्य]] है। | संबंधित वेक्टर समूह <math>P \times_\rho F</math> तब इन नक्शों का [[समतुल्य]] है। | ||
Revision as of 12:56, 10 April 2023
गणित में, संरचना समूह (एक सामयिक समूह) के साथ फाइबर बंडलों का सिद्धांत एक संबद्ध समूह बनाने के संचालन की अनुमति देता है, जिसमें समूह के विशिष्ट फाइबर से परिवर्तन होता है को में बदलता है , जो दोनों सामयिक रिक्त स्थान हैं . की एक समूह क्रिया। संरचना समूह G के साथ एक फाइबर समूह F के लिए, दो समन्वय प्रणाली Uα और Uβ के अतिव्यापन में फाइबर के संक्रमण कार्य ( जिससे , कोसायकल (बीजगणितीय टोपोलॉजी)) Uα∩Uβ पर G-मूल्यवान कार्य gαβ के रूप में दिया जाता है तब एक फाइबर समूह F' का निर्माण एक नए फाइबर समूह के रूप में किया जा सकता है जिसमें समान संक्रमण कार्य होते हैं, किंतु संभवतः एक अलग फाइबर होता है।।
एक उदाहरण
मोबियस पट्टी के साथ एक साधारण स्थितिया आता है, जिसके लिए क्रम 2 का चक्रीय समूह है, . हम के रूप में ले सकते हैं इनमें से कोई भी ले सकते हैं: वास्तविक संख्या रेखा , अंतराल , वास्तविक संख्या रेखा कम बिंदु 0, या दो-बिंदु समूह . इन पर की क्रिया (प्रत्येक स्थितियों में के रूप में कार्य करने वाला गैर-पहचान तत्व) एक सहज अर्थ में तुलनीय है। हम कह सकते हैं कि अधिक औपचारिक रूप से दो आयतों को चिपकाने के संदर्भ में और की पहचान करने के लिए हमें वास्तव में जिस चीज की जरूरत है, वह है पहचान करने के लिए डेटा सीधे एक छोर पर, और दूसरे छोर पर मोड़ के साथ। इस डेटा को एक पैचिंग कार्य के रूप में नीचे लिखा जा सकता है, G में मान के साथ। 'संबंधित समूह ' निर्माण केवल अवलोकन है कि यह डेटा के लिए उतना ही अच्छा करता है जितना कि .के लिए है|
निर्माण
सामान्यतः यह फाइबर के समूह से संक्रमण की व्याख्या करने के लिए पर्याप्त है , जिस पर संबंधित प्रमुख समूह के लिए कार्य करता है (अर्थात् वह समूह जहां फाइबर होता है , स्वयं पर अनुवाद द्वारा कार्य करने के लिए माना जाता है)। इसके लिए हम मुख्य समूह के माध्यम से को , तक जा सकते हैं एक खुले आवरण के लिए डेटा के संदर्भ में विवरण वंश (श्रेणी सिद्धांत) के स्थितियों के रूप में दिए गए हैं।
यह खंड का इस प्रकार से आयोजन किया जाता है। पहले हम किसी दिए गए फाइबर समूह से, निर्दिष्ट फाइबर के साथ, संबद्ध समूह के उत्पादन के लिए सामान्य प्रक्रिया का परिचय देते हैं। यह तब स्थितियों में माहिर होता है जब निर्दिष्ट फाइबर समूह की बाईं कार्रवाई के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान होता है, जो संबंधित प्रिंसिपल समूह को उत्पन्न करता है। यदि, इसके अतिरिक्त , प्रमुख समूह के फाइबर पर एक सही क्रिया दी जाती है, तो हम वर्णन करते हैं कि फाइबर उत्पाद निर्माण के माध्यम से किसी संबद्ध समूह का निर्माण कैसे किया जाए।[1]
सामान्य रूप से संबद्ध समूह
होने देना संरचना समूह G और विशिष्ट फाइबर F के साथ एक सामयिक स्पेस X पर एक फाइबर समूह हो। परिभाषा के अनुसार, फाइबर F पर G (एक परिवर्तन समूह के रूप में) की एक समूह क्रिया (गणित) है। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि यह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) या क्रियाओं के प्रकार।[2] समूह E का एक स्थानीय रूप से तुच्छ है जिसमें एक खुला कवर Ui of X, होता है और समूह मानचित्र का संग्रह सम्मिलित है
जैसे कि संक्रमण मानचित्र G के तत्वों द्वारा दिए गए हैं। अधिक स्पष्ट रूप से, निरंतर कार्य gij : (Ui ∩ Uj) → G ऐसा हैं कि