समान कण: Difference between revisions

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[[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] [[मेसन|प्रक्रिया]], समान [[कण]] (जिन्हें अप्रभेद्य या अविवेकी कण भी कहा जाता है) ऐसे कण होते हैं जिन्हें सिद्धांत रूप में भी एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है। समान कणों की प्रजातियों में [[प्राथमिक कण]] (जैसे [[इलेक्ट्रॉन|विद्युदअणु]]), समग्र उप-परमाणु कण (जैसे [[परमाणु नाभिक]]), साथ ही परमाणु और [[अणु]] शामिल हैं, लेकिन इन तक सीमित नहीं हैं।अर्ध कण भी इसी प्रकार का व्यवहार करते हैं। हालांकि सभी ज्ञात अप्रभेद्य कण केवल परिमाण दायरे में मौजूद हैं, कणों के सभी संभावित प्रकारों की कोई विस्तृत सूची नहीं है और न ही प्रयोज्यता की स्पष्ट सीमा है, जैसा कि कण सांख्यिकी परिमाण सांख्यिकी में पता लगाया गया है।
[[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] [[मेसन|प्रक्रिया]], समान [[कण]] (जिन्हें अप्रभेद्य या अविवेकी कण भी कहा जाता है) ऐसे कण होते हैं जिन्हें सिद्धांत रूप में भी एक दूसरे से अलग नहीं किया जा सकता है। समान कणों की प्रजातियों में [[प्राथमिक कण]] (जैसे [[इलेक्ट्रॉन|विद्युदअणु]]), समग्र उप-परमाणु कण (जैसे [[परमाणु नाभिक]]), साथ ही परमाणु और [[अणु]] शामिल हैं, लेकिन इन तक सीमित नहीं हैं।अर्ध कण भी इसी प्रकार का व्यवहार करते हैं। हालांकि सभी ज्ञात अप्रभेद्य कण केवल परिमाण दायरे में मौजूद हैं, कणों के सभी संभावित प्रकारों की कोई विस्तृत सूची नहीं है और न ही प्रयोज्यता की स्पष्ट सीमा है, जैसा कि कण सांख्यिकी परिमाण सांख्यिकी में पता लगाया गया है।


समान कणों की दो मुख्य श्रेणियां हैं: बोसोन, जो परिमाण अवस्थाओं को साझा कर सकते हैं, और [[फर्मियन]], जो नहीं कर सकते (जैसा कि [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] द्वारा वर्णित है)। फोटॉन, ग्लूऑन, [[फोनन]], [[हीलियम -4]] नाभिक और सभी मेसॉन [[बोसॉन]] के उदाहरण हैं। विद्युदअणु, [[ न्युट्रीनो ]], [[क्वार्क]], [[प्रोटॉन]], [[न्यूट्रॉन]] और [[हीलियम -3]] नाभिक फ़र्मियन के उदाहरण हैं।
समान कणों की दो मुख्य श्रेणियां हैं: बोसोन, जो परिमाण अवस्थाओं को साझा कर सकते हैं, और [[फर्मियन]], जो नहीं कर सकते (जैसा कि [[पाउली अपवर्जन सिद्धांत]] द्वारा वर्णित है)। फोटॉन, ग्लूऑन, [[फोनन]], [[हीलियम -4]] (गंधहीन वाष्प) नाभिक और सभी मेसॉन [[बोसॉन]] के उदाहरण हैं। विद्युदअणु, [[ न्युट्रीनो ]], [[क्वार्क]], [[प्रोटॉन]], [[न्यूट्रॉन]] और [[हीलियम -3]] (गंधहीन वाष्प) नाभिक फ़र्मियन के उदाहरण हैं।


तथ्य यह है कि कण समान हो सकते हैं, [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जहां गणना संभाव्यता सिद्धांत तर्कों पर निर्भर करती है, जो इस बात के प्रति संवेदनशील हैं कि अध्ययन की जा रही वस्तुएं समान हैं या नहीं। नतीजतन, समान कण अलग-अलग कणों से स्पष्ट रूप से भिन्न सांख्यिकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, गिब्स के गिब्स विरोधाभास मिश्रण विरोधाभास के समाधान के रूप में कणों की अविभाज्यता को प्रस्तावित किया गया है।
तथ्य यह है कि कण समान हो सकते हैं, [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जहां गणना संभाव्यता सिद्धांत तर्कों पर निर्भर करती है, जो इस बात के प्रति संवेदनशील हैं कि अध्ययन की जा रही वस्तुएं समान हैं या नहीं। नतीजतन, समान कण अलग-अलग कणों से स्पष्ट रूप से भिन्न सांख्यिकीय व्यवहार प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, गिब्स के गिब्स विरोधाभास मिश्रण विरोधाभास के समाधान के रूप में कणों की अविभाज्यता को प्रस्तावित किया गया है।
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:<math> |n_1, n_2; A\rang \equiv \mbox{constant} \times \bigg( |n_1\rang |n_2\rang - |n_2\rang |n_1\rang \bigg) </math>
:<math> |n_1, n_2; A\rang \equiv \mbox{constant} \times \bigg( |n_1\rang |n_2\rang - |n_2\rang |n_1\rang \bigg) </math>
ध्यान दें कि यदि एन<sub>1</sub> और n<sub>2</sub> समान हैं,  प्रतिसममित अभिव्यक्ति शून्य देता है, जो एक पद संवाहक  नहीं हो सकता क्योंकि इसे सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक से अधिक समान कण एक  प्रतिसममित स्थिति पर अधिकृत नहीं कर सकते (एक  प्रतिसममित पद केवल एक कण द्वारा अधिकृत कर लिया जा सकता है)। इसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, और यह परमाणुओं के रासायनिक गुणों और पदार्थ की स्थिरता के पीछे मूलभूत कारण है।
ध्यान दें कि यदि n<sub>1</sub> और n<sub>2</sub> समान हैं,  प्रतिसममित अभिव्यक्ति शून्य देता है, जो एक पद संवाहक  नहीं हो सकता क्योंकि इसे सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक से अधिक समान कण एक  प्रतिसममित स्थिति पर अधिकृत नहीं कर सकते (एक  प्रतिसममित पद केवल एक कण द्वारा अधिकृत कर लिया जा सकता है)। इसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, और यह परमाणुओं के रासायनिक गुणों और पदार्थ की स्थिरता के पीछे मूलभूत कारण है।


=== विनिमय समरूपता ===
=== विनिमय समरूपता ===
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[[हाइजेनबर्ग चित्र]] के अनुसार, इसका अर्थ है कि P का मान गति का एक स्थिरांक है। यदि परिमाण पद प्रारंभिक रूप से सममित ( प्रतिसममित) है, तो सिस्टम विकसित होने पर यह सममित ( प्रतिसममित) रहेगा। गणितीय रूप से, यह कहता है कि पद संवाहक  पी के दो  अतिलक्षणिक अंतराल में से एक तक ही सीमित है, और पूरे हिल्बर्ट अंतराल में रेंज करने की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, उस  अतिलक्षणिक अंतराल को सिस्टम के वास्तविक हिल्बर्ट अंतराल के रूप में भी माना जा सकता है। [[फॉक स्पेस|फॉक अंतराल]] की परिभाषा के पीछे यही विचार है।
[[हाइजेनबर्ग चित्र]] के अनुसार, इसका अर्थ है कि P का मान गति का एक स्थिरांक है। यदि परिमाण पद प्रारंभिक रूप से सममित ( प्रतिसममित) है, तो सिस्टम विकसित होने पर यह सममित ( प्रतिसममित) रहेगा। गणितीय रूप से, यह कहता है कि पद संवाहक  पी के दो  अतिलक्षणिक अंतराल में से एक तक ही सीमित है, और पूरे हिल्बर्ट अंतराल में रेंज करने की अनुमति नहीं है। इस प्रकार, उस  अतिलक्षणिक अंतराल को सिस्टम के वास्तविक हिल्बर्ट अंतराल के रूप में भी माना जा सकता है। [[फॉक स्पेस|फॉक अंतराल]] की परिभाषा के पीछे यही विचार है।


=== फर्मियंस और बोसोन ===
=== फर्मियंस (उप-परमाणु कण) और बोसोन ===


समरूपता या एंटीसिमेट्री का चुनाव कण की प्रजातियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फोटॉनों या हीलियम-4 परमाणुओं का वर्णन करते समय सममित अवस्थाओं का हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए, और विद्युदअणुों या प्रोटॉनों का वर्णन करते समय प्रतिसममित अवस्थाओं का उपयोग किया जाना चाहिए।
समरूपता या विषमता का चुनाव कण की प्रजातियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए, फोटॉनों या हीलियम (गंधहीन वाष्प)-4 परमाणुओं का वर्णन करते समय सममित अवस्थाओं का हमेशा उपयोग किया जाना चाहिए, और विद्युदअणुों या प्रोटॉनों का वर्णन करते समय प्रतिसममित अवस्थाओं का उपयोग किया जाना चाहिए।


सममित अवस्था प्रदर्शित करने वाले कण बोसोन कहलाते हैं। कई समान बोसोन से बनी प्रणालियों के सांख्यिकीय गुणों के लिए सममित पदों की प्रकृति के महत्वपूर्ण परिणाम हैं। इन सांख्यिकीय गुणों को बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के रूप में वर्णित किया गया है।
सममित अवस्था प्रदर्शित करने वाले कण बोसोन कहलाते हैं। कई समान बोसोन से बनी प्रणालियों के सांख्यिकीय गुणों के लिए सममित पदों की प्रकृति के महत्वपूर्ण परिणाम हैं। इन सांख्यिकीय गुणों को बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के रूप में वर्णित किया गया है।


वे कण जो प्रतिसममित अवस्थाएँ प्रदर्शित करते हैं, फ़र्मियन कहलाते हैं। प्रतिसममिति पाउली बहिष्करण सिद्धांत को जन्म देती है, जो समान परिमाण अवस्था को साझा करने से समान फर्मों को मना करती है। फर्मी-डिराक सांख्यिकी द्वारा कई समान फर्मों की प्रणालियों का वर्णन किया गया है।
वे कण जो प्रतिसममित अवस्थाएँ प्रदर्शित करते हैं, उप-परमाणु कण कहलाते हैं। प्रति सममिति पाउली बहिष्करण सिद्धांत को जन्म देती है, जो समान परिमाण अवस्था को साझा करने से समान फर्मों को मना करती है। फर्मी-डिराक सांख्यिकी द्वारा कई समान उप-परमाणु कण की प्रणालियों का वर्णन किया गया है।


[[पैरास्टैटिस्टिक्स]] भी संभव हैं।
[[पैरास्टैटिस्टिक्स]] अनुवृत्त सांख्यिकी) भी संभव हैं।


कुछ द्वि-आयामी प्रणालियों में, मिश्रित समरूपता हो सकती है। इन विदेशी कणों को किसी के रूप में जाना जाता है, और वे भिन्नात्मक आँकड़ों का पालन करते हैं। किसी भी प्रकार के अस्तित्व के लिए प्रायोगिक साक्ष्य [[क्वांटम हॉल प्रभाव|परिमाण हॉल प्रभाव]] में मौजूद है, एक घटना जो द्वि-आयामी विद्युदअणु गैसों में देखी गई है जो [[MOSFET]]s की व्युत्क्रम परत बनाती है। एक [[ऋणायन]] प्रकार का आँकड़ा है, जिसे चोटी के आँकड़ों के रूप में जाना जाता है, जो [[ निटवेअर ]] के रूप में जाने जाने वाले कणों से जुड़े होते हैं।
कुछ द्वि-आयामी प्रणालियों में, मिश्रित समरूपता हो सकती है। इन अन्यस्थानबद्ध कणों को किसी के रूप में जाना जाता है, और वे भिन्नात्मक आँकड़ों का पालन करते हैं। किसी भी प्रकार के अस्तित्व के लिए प्रायोगिक साक्ष्य [[क्वांटम हॉल प्रभाव|परिमाण महाकक्ष प्रभाव]] में मौजूद है, एक घटना जो द्वि-आयामी विद्युदअणु वाष्पों में देखी गई है जो [[मॉसफेट]] (धातु ऑक्साइड अर्धचालक क्षेत्र प्रभाव ट्रांजिस्टर) की व्युत्क्रम परत बनाती है। एक [[ऋणायन]] प्रकार का आँकड़ा है, जिसे चोटी के आँकड़ों के रूप में जाना जाता है, जो [[प्लवक]] के रूप में जाने जाने वाले कणों से जुड़े होते हैं।


[[स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय]] समान कणों के विनिमय समरूपता को उनके स्पिन (भौतिकी) से संबंधित करता है। इसमें कहा गया है कि बोसोन में पूर्णांक स्पिन होता है, और फ़र्मियन में आधा-पूर्णांक स्पिन होता है। किसी के पास भिन्नात्मक स्पिन होती है।
[[स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय|चक्रण-सांख्यिकी प्रमेय]] समान कणों के विनिमय समरूपता को उनके स्पिन (भौतिकी) से संबंधित करता है। इसमें कहा गया है कि बोसोन में पूर्णांक स्पिन होता है, और फ़र्मियन में आधा-पूर्णांक स्पिन होता है। किसी के पास भिन्नात्मक स्पिन होती है।


=== एन कण ===
=== एन (n) कण ===


उपरोक्त चर्चा एन कणों के मामले में आसानी से सामान्यीकृत होती है। मान लीजिए कि परिमाण संख्या n वाले N कण हैं<sub>1</sub>, एन<sub>2</sub>, ..., एन<sub>N</sub>. यदि कण बोसोन हैं, तो वे पूरी तरह से सममित स्थिति पर अधिकृत कर लेते हैं, जो ''किसी भी दो'' कण नामपत्र के आदान-प्रदान के तहत सममित है:
उपरोक्त चर्चा n कणों के मामले में आसानी से सामान्यीकृत होती है। मान लीजिए कि परिमाण संख्या n वाले N कण हैं<sub>1</sub>, n<sub>2</sub>, ..., n<sub>N</sub>. यदि कण बोसोन हैं, तो वे पूरी तरह से सममित स्थिति पर अधिकृत कर लेते हैं, जो ''किसी भी दो'' कण नामपत्र के आदान-प्रदान के तहत सममित है:


:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; S\rang = \sqrt{\frac{\prod_n m_n!}{N!}} \sum_p \left|n_{p(1)}\right\rang \left|n_{p(2)}\right\rang \cdots \left|n_{p(N)}\right\rang </math>
:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; S\rang = \sqrt{\frac{\prod_n m_n!}{N!}} \sum_p \left|n_{p(1)}\right\rang \left|n_{p(2)}\right\rang \cdots \left|n_{p(N)}\right\rang </math>
यहां, एन तत्वों पर अभिनय करने वाले क्रम[[परिवर्तन]] पी के तहत सभी अलग-अलग पदों में योग लिया जाता है। योग के लिए छोड़ा गया वर्गमूल एक [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है। मात्रा एम<sub>n</sub>N-कण अवस्था में प्रत्येक एकल-कण अवस्था n प्रकट होने की संख्या के लिए खड़ा है। ध्यान दें कि Σ<sub>n</sub> m<sub>n</sub> = एन।
यहां, n तत्वों पर अभिनय करने वाले क्रम [[परिवर्तन]] पी के तहत सभी अलग-अलग पदों में योग लिया जाता है। योग के लिए छोड़ा गया वर्गमूल एक [[सामान्यीकरण स्थिरांक]] है। मात्रा M<sub>n</sub>N-कण अवस्था में प्रत्येक एकल-कण अवस्था n प्रकट होने की संख्या के लिए खड़ा है। ध्यान दें कि Σ<sub>n</sub> m<sub>n</sub> = n।


एक ही नस में, 'पूरी तरह से  प्रतिसममित स्टेट्स' पर अधिकृत कर लेते हैं:
एक ही शैली में, 'पूरी तरह से  प्रतिसममित क्षेत्रों' पर अधिकृत कर लेते हैं:


:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; A\rang = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_p \operatorname{sgn}(p) \left|n_{p(1)}\right\rang \left|n_{p(2)}\right\rang \cdots \left|n_{p(N)}\right\rang\ </math>
:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; A\rang = \frac{1}{\sqrt{N!}} \sum_p \operatorname{sgn}(p) \left|n_{p(1)}\right\rang \left|n_{p(2)}\right\rang \cdots \left|n_{p(N)}\right\rang\ </math>
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=== माप ===
=== माप ===


मान लीजिए कि सममित ( प्रतिसममित) अवस्था में एन बोसोन (फर्मियन) की एक प्रणाली है
मान लीजिए कि सममित ( प्रतिसममित) अवस्था में n बोसोन (फर्मियन) की एक प्रणाली है


:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; S/A \rang</math>
:<math>|n_1 n_2 \cdots n_N; S/A \rang</math>
और असतत वेधशालाओं के किसी अन्य सेट पर माप किया जाता है, मी। सामान्य तौर पर, यह कुछ परिणाम m देता है<sub>1</sub>एक कण के लिए, एम<sub>2</sub>दूसरे कण के लिए, और आगे। यदि कण बोसोन (फर्मियन) हैं, तो माप के बाद की स्थिति सममित ( प्रतिसममित) होनी चाहिए, अर्थात।
और असतत अवलोकनीय के किसी अन्य समुच्चय पर माप किया जाता है, मी। सामान्य तौर पर, यह कुछ परिणाम m देता है<sub>1</sub>एक कण के लिए, m<sub>2</sub> दूसरे कण के लिए, और आगे। यदि कण बोसोन (फर्मियन) हैं, तो माप के बाद की स्थिति सममित ( प्रतिसममित) होनी चाहिए, अर्थात।


:<math>|m_1 m_2 \cdots m_N; S/A \rang</math>
:<math>|m_1 m_2 \cdots m_N; S/A \rang</math>
एम माप के लिए एक विशेष परिणाम प्राप्त करने की संभावना है
m माप के लिए एक विशेष परिणाम प्राप्त करने की संभावना है


:<math>P_{S/A}\left(n_1, \ldots, n_N \rightarrow m_1, \ldots, m_N\right) \equiv \big|\left\lang m_1 \cdots m_N; S/A \,|\, n_1 \cdots n_N; S/A \right\rang \big|^2 </math>
:<math>P_{S/A}\left(n_1, \ldots, n_N \rightarrow m_1, \ldots, m_N\right) \equiv \big|\left\lang m_1 \cdots m_N; S/A \,|\, n_1 \cdots n_N; S/A \right\rang \big|^2 </math>
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:<math>\sum_{m_1 \le m_2 \le \dots \le m_N} P_{S/A}(n_1, \ldots, n_N \rightarrow m_1, \ldots, m_N) = 1</math>
:<math>\sum_{m_1 \le m_2 \le \dots \le m_N} P_{S/A}(n_1, \ldots, n_N \rightarrow m_1, \ldots, m_N) = 1</math>
जो सत्यापित करता है कि कुल प्रायिकता 1 है। योग को m के क्रमित मानों तक सीमित रखना होगा<sub>1</sub>, ..., एम<sub>N</sub>यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक बहु-कण अवस्था को एक से अधिक बार नहीं गिना जाता है।
जो सत्यापित करता है कि कुल प्रायिकता 1 है। योग को m के क्रमित मानों तक सीमित रखना होगा<sub>1</sub>, ..., m<sub>N</sub> यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक बहु-कण अवस्था को एक से अधिक बार नहीं गिना जाता है।


=== तरंग कार्य प्रतिनिधित्व ===
=== तरंग कार्य प्रतिनिधित्व ===


अब तक, चर्चा में केवल असतत वेधशालाओं को शामिल किया गया है। इसे निरंतर अवलोकनीयों तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे स्थिति (संवाहक ) x।
अब तक, चर्चा में केवल असतत अवलोकनीय को शामिल किया गया है। इसे निरंतर अवलोकनीयों तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे स्थिति (संवाहक ) x है।


याद रखें कि एक निरंतर अवलोकनीय का ईजेनस्टेट अवलोकन योग्य के मूल्यों की एक असीम श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है, अलग-अलग अवलोकनों के साथ एक मान नहीं। उदाहरण के लिए, यदि कोई कण |ψ⟩ अवस्था में है, तो उसके आयतन d के क्षेत्र में पाए जाने की संभावना<sup>3</sup>x किसी स्थिति x के आस-पास है
याद रखें कि एक निरंतर अवलोकनीय का अतिलक्षणिक परिस्थिति अवलोकन योग्य के मूल्यों की एक असीम श्रेणी का प्रतिनिधित्व करता है, अलग-अलग अवलोकनों के साथ एक मान नहीं। उदाहरण के लिए, यदि कोई कण |ψ⟩ अवस्था में है, तो उसके आयतन d<sup>3</sup> x के क्षेत्र में पाए जाने की संभावना किसी स्थिति x के आस-पास है


:<math> |\lang x | \psi \rang|^2 \; d^3 x </math>
:<math> |\lang x | \psi \rang|^2 \; d^3 x </math>
नतीजतन, निरंतर eigenstates |x⟩ एकता के बजाय [[डायराक डेल्टा समारोह]] के लिए सामान्यीकृत होते हैं:
नतीजतन, निरंतर अतिलक्षणिक परिस्थिति |x⟩ एकता के बजाय [[डायराक डेल्टा समारोह]] के लिए सामान्यीकृत होते हैं:


:<math> \lang x | x' \rang = \delta^3 (x - x') </math>
:<math> \lang x | x' \rang = \delta^3 (x - x') </math>
सममित और  प्रतिसममित मल्टी-पार्टिकल स्टेट्स का निर्माण पहले की तरह निरंतर ईजेनस्टेट्स से किया जा सकता है। हालाँकि, यह एक अलग सामान्यीकरण स्थिरांक का उपयोग करने के लिए प्रथागत है:
सममित और  प्रतिसममित बहु-कण  क्षेत्रों का निर्माण पहले की तरह निरंतर अतिलक्षणिक परिस्थिति्स से किया जा सकता है। हालाँकि, यह एक अलग सामान्यीकरण स्थिरांक का उपयोग करने के लिए प्रथागत है:


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 127: Line 127:
   |x_1 x_2 \cdots x_N; A\rang &= \frac{1}{N!} \sum_p \mathrm{sgn}(p) \left|x_{p(1)}\right\rang \left|x_{p(2)}\right\rang \cdots \left|x_{p(N)}\right\rang
   |x_1 x_2 \cdots x_N; A\rang &= \frac{1}{N!} \sum_p \mathrm{sgn}(p) \left|x_{p(1)}\right\rang \left|x_{p(2)}\right\rang \cdots \left|x_{p(N)}\right\rang
\end{align}</math>
\end{align}</math>
एक बहु-पिंड तरंग कार्य लिखा जा सकता है,
एक बहु-निकाय तरंग कार्य लिखा जा सकता है,


: <math>\begin{align}
: <math>\begin{align}
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:<math>\psi_n(x) \equiv \lang x | n \rang </math>
:<math>\psi_n(x) \equiv \lang x | n \rang </math>
इन तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि किसी भी दो समन्वयित चर का आदान-प्रदान करने से तरंग फ़ंक्शन केवल प्लस या माइनस चिह्न से बदल जाता है। यह  तरंग कार्य प्रतिनिधित्व में समरूपता और एंटीसिमेट्री की अभिव्यक्ति है:
इन तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि किसी भी दो समन्वयित चर का आदान-प्रदान करने से तरंग कार्य केवल धनात्‍मक  या ऋणात्मक चिह्न से बदल जाता है। यह  तरंग कार्य प्रतिनिधित्व में समरूपता और विषमता की अभिव्यक्ति है:


:<math>\begin{align}
:<math>\begin{align}
Line 148: Line 148:
     -\Psi^{(A)}_{n_1 \cdots n_N} (\cdots x_j \cdots x_i \cdots)
     -\Psi^{(A)}_{n_1 \cdots n_N} (\cdots x_j \cdots x_i \cdots)
\end{align}</math>
\end{align}</math>
मल्टी-बॉडी तरंग कार्य का निम्नलिखित महत्व है: यदि सिस्टम प्रारंभ में परिमाण संख्या n के साथ एक अवस्था में है<sub>1</sub>, ..., एन<sub>N</sub>, और एक स्थिति मापन किया जाता है, x के निकट अतिसूक्ष्म मात्रा में कणों को खोजने की संभावना<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ..., एक्स<sub>N</sub> है
बहु-निकाय तरंग कार्य का निम्नलिखित महत्व है: यदि सिस्टम प्रारंभ में परिमाण संख्या n के साथ एक अवस्था में है<sub>1</sub>, ..., n<sub>N</sub>, और एक स्थिति मापन किया जाता है, x के निकट अतिसूक्ष्म मात्रा में कणों को खोजने की संभावना<sub>1</sub>, एक्स<sub>2</sub>, ..., एक्स<sub>N</sub> है


:<math> N! \; \left|\Psi^{(S/A)}_{n_1 n_2 \cdots n_N} (x_1, x_2, \ldots, x_N) \right|^2 \; d^{3N}\!x </math>
:<math> N! \; \left|\Psi^{(S/A)}_{n_1 n_2 \cdots n_N} (x_1, x_2, \ldots, x_N) \right|^2 \; d^{3N}\!x </math>
एन का कारक! हमारे सामान्यीकरण स्थिरांक से आता है, जिसे चुना गया है ताकि, एकल-कण तरंगों के अनुरूप,
n का कारक! हमारे सामान्यीकरण स्थिरांक से आता है, जिसे चुना गया है ताकि, एकल-कण तरंगों के अनुरूप,


:<math> \int\!\int\!\cdots\!\int\; \left|\Psi^{(S/A)}_{n_1 n_2 \cdots n_N} (x_1, x_2, \ldots, x_N)\right|^2 d^3\!x_1 d^3\!x_2 \cdots d^3\!x_N = 1 </math>
:<math> \int\!\int\!\cdots\!\int\; \left|\Psi^{(S/A)}_{n_1 n_2 \cdots n_N} (x_1, x_2, \ldots, x_N)\right|^2 d^3\!x_1 d^3\!x_2 \cdots d^3\!x_N = 1 </math>
क्योंकि प्रत्येक समाकल x के सभी संभावित मानों पर चलता है, प्रत्येक बहु-कण अवस्था N दिखाई देती है! अभिन्न में बार। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक घटना से जुड़ी संभावना समान रूप से एन में वितरित की जाती है! अभिन्न स्थान में समतुल्य बिंदु। क्योंकि यह आमतौर पर प्रतिबंधित लोगों की तुलना में अप्रतिबंधित इंटीग्रल के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है, इसे दर्शाने के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक को चुना गया है।
क्योंकि प्रत्येक समाकल x के सभी संभावित मानों पर चलता है, प्रत्येक बहु-कण अवस्था N दिखाई देती है! अभिन्न में बार। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक घटना से जुड़ी संभावना समान रूप से n में वितरित की जाती है! अभिन्न स्थान में समतुल्य बिंदु। क्योंकि यह आमतौर पर प्रतिबंधित लोगों की तुलना में अप्रतिबंधित अभिन्न के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है, इसे दर्शाने के लिए सामान्यीकरण स्थिरांक को चुना गया है।


अंत में,  प्रतिसममित  तरंग कार्य को [[मैट्रिक्स (गणित)]] के निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे [[स्लेटर निर्धारक]] के रूप में जाना जाता है:
अंत में,  प्रतिसममित  तरंग कार्य को [[मैट्रिक्स (गणित)]] के निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे [[स्लेटर निर्धारक]] के रूप में जाना जाता है:
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=== संक्रियक दृष्टिकोण और पैरास्टैटिस्टिक्स ===
=== संक्रियक दृष्टिकोण और अनुवृत्त सांख्यिकी ===


के लिए हिल्बर्ट स्थान <math>n</math> कण टेंसर उत्पाद द्वारा दिए गए हैं <math display="inline"> \bigotimes_n H </math>. का क्रमपरिवर्तन समूह <math> S_n </math> प्रविष्टियों को अनुमति देकर इस स्थान पर कार्य करता है। परिभाषा के अनुसार एक अवलोकनीय के लिए अपेक्षा मूल्य <math>a</math> का <math>n</math> इन क्रमपरिवर्तन के तहत अप्रभेद्य कणों को अपरिवर्तनीय होना चाहिए। इसका मतलब है कि सभी के लिए <math> \psi \in H </math> और <math> \sigma \in S_n </math>
के लिए हिल्बर्ट स्थान <math>n</math> कण प्रदिश उत्पाद द्वारा दिए गए हैं <math display="inline"> \bigotimes_n H </math>. का क्रमपरिवर्तन समूह <math> S_n </math> प्रविष्टियों को अनुमति देकर इस स्थान पर कार्य करता है। परिभाषा के अनुसार एक अवलोकनीय के लिए अपेक्षा मूल्य <math>a</math> का <math>n</math> इन क्रम परिवर्तन के तहत अप्रभेद्य कणों को अपरिवर्तनीय होना चाहिए। इसका मतलब है कि सभी के लिए <math> \psi \in H </math> और <math> \sigma \in S_n </math>
:<math>
:<math>
  (\sigma \Psi )^t a  (\sigma \Psi)  = \Psi^t a \Psi,
  (\sigma \Psi )^t a  (\sigma \Psi)  = \Psi^t a \Psi,
Line 186: Line 186:
तुल्यता वर्ग के अलघुकरणीय उपसमष्टि के साथ [[विशेषण संबंध]] में हैं <math display="inline"> \bigotimes_n H </math> अंतर्गत <math> S_n </math>.
तुल्यता वर्ग के अलघुकरणीय उपसमष्टि के साथ [[विशेषण संबंध]] में हैं <math display="inline"> \bigotimes_n H </math> अंतर्गत <math> S_n </math>.


दो स्पष्ट अप्रासंगिक उप-स्थान एक आयामी सममित/बोसोनिक उप-स्थान और विरोधी-सममित/फर्मियोनिक उप-स्थान हैं। हालाँकि अधिक प्रकार के इरेड्यूसिबल सबअंतराल हैं। इन अन्य अप्रासंगिक उप-स्थानों से जुड़े पदों को पैरास्टैटिस्टिक्स कहा जाता है।<ref>{{Cite journal|last=Bach|first=Alexaner|date=1993|title=अप्रभेद्य कणों का वर्गीकरण|journal=[[Europhysics Letters]]|volume=21|issue=5|pages=515–520|doi=10.1209/0295-5075/21/5/002|bibcode=1993EL.....21..515B|s2cid=250835341 }}</ref> युवा झाँकी # प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अनुप्रयोग इन सभी अप्रासंगिक उप-स्थानों को वर्गीकृत करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।
दो स्पष्ट अप्रासंगिक उप-स्थान एक आयामी सममित/बोसोनिक उप-स्थान और विरोधी-सममित/फर्मियोनिक उप-स्थान हैं। हालाँकि अधिक प्रकार के अलघुकरणीय उप-स्थान हैं। इन अन्य अप्रासंगिक उप-स्थानों से जुड़े पदों को अनुवृत्त सांख्यिकी कहा जाता है।<ref>{{Cite journal|last=Bach|first=Alexaner|date=1993|title=अप्रभेद्य कणों का वर्गीकरण|journal=[[Europhysics Letters]]|volume=21|issue=5|pages=515–520|doi=10.1209/0295-5075/21/5/002|bibcode=1993EL.....21..515B|s2cid=250835341 }}</ref> युवा दृश्य  प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अनुप्रयोग इन सभी अप्रासंगिक उप-स्थानों को वर्गीकृत करने का एक तरीका प्रदान करते हैं।


== सांख्यिकीय गुण ==
== सांख्यिकीय गुण ==
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=== अप्रभेद्यता के सांख्यिकीय प्रभाव ===
=== अप्रभेद्यता के सांख्यिकीय प्रभाव ===


कणों की अप्रभेद्यता का उनके सांख्यिकीय गुणों पर गहरा प्रभाव पड़ता है। इसे स्पष्ट करने के लिए, N विभेदनीय, गैर-अंतःक्रियात्मक कणों की एक प्रणाली पर विचार करें। एक बार फिर, चलो एन<sub>''j''</sub> कण जे की स्थिति (अर्थात परिमाण संख्या) को निरूपित करें। यदि कणों में समान भौतिक गुण हैं, तो n<sub>''j''</sub>मानों की समान श्रेणी पर चलाया जाता है। चलो ε(n) स्थिति n में एक कण की [[ऊर्जा]] को निरूपित करते हैं। चूंकि कण परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, सिस्टम की कुल ऊर्जा एकल-कण ऊर्जाओं का योग है। सिस्टम का विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है
कणों की अप्रभेद्यता का उनके सांख्यिकीय गुणों पर गहरा प्रभाव पड़ता है। इसे स्पष्ट करने के लिए, N विभेदनीय, गैर-अंतःक्रियात्मक कणों की एक प्रणाली पर विचार करें। एक बार फिर, चलो n<sub>''j''</sub> कण जे की स्थिति (अर्थात परिमाण संख्या) को निरूपित करें। यदि कणों में समान भौतिक गुण हैं, तो n<sub>''j''</sub>मानों की समान श्रेणी पर चलाया जाता है। चलो ε(n) स्थिति n में एक कण की [[ऊर्जा]] को निरूपित करते हैं। चूंकि कण परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, कार्य की कुल ऊर्जा एकल-कण ऊर्जाओं का योग है। कार्य का विभाजन कार्य (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है


:<math> Z = \sum_{n_1, n_2, \ldots, n_N} \exp\left\{ -\frac{1}{kT} \left[ \varepsilon(n_1) + \varepsilon(n_2) + \cdots + \varepsilon(n_N) \right] \right\} </math>
:<math> Z = \sum_{n_1, n_2, \ldots, n_N} \exp\left\{ -\frac{1}{kT} \left[ \varepsilon(n_1) + \varepsilon(n_2) + \cdots + \varepsilon(n_N) \right] \right\} </math>
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:<math> \xi = \sum_n \exp\left[ - \frac{\varepsilon(n)}{kT} \right].</math>
:<math> \xi = \sum_n \exp\left[ - \frac{\varepsilon(n)}{kT} \right].</math>
यदि कण समान हैं, तो यह समीकरण गलत है। सिस्टम की एक स्थिति पर विचार करें, जिसे एकल कण पदों द्वारा वर्णित किया गया है [एन<sub>1</sub>, ..., एन<sub>''N''</sub>]। Z के लिए समीकरण में, n का प्रत्येक संभव क्रमचय योग में एक बार होता है, भले ही इनमें से प्रत्येक क्रमपरिवर्तन एक ही बहु-कण अवस्था का वर्णन कर रहा हो। इस प्रकार, पदों की संख्या अधिक गिना गया है।
यदि कण समान हैं, तो यह समीकरण गलत है। कार्य की एक स्थिति पर विचार करें, जिसे एकल कण पदों द्वारा वर्णित किया गया है [ n<sub>1</sub>, ..., n<sub>''N''</sub>]। Z के लिए समीकरण में, n का प्रत्येक संभव क्रमचय योग में एक बार होता है, भले ही इनमें से प्रत्येक क्रमपरिवर्तन एक ही बहु-कण अवस्था का वर्णन कर रहा हो। इस प्रकार, पदों की संख्या अधिक गिना गया है।


यदि अतिव्यापी पदों की संभावना की उपेक्षा की जाती है, जो तापमान अधिक होने पर मान्य है, तो प्रत्येक पद की गणना की जाने वाली संख्या लगभग N<nowiki>!</nowiki> है। सही विभाजन कार्य है
यदि अतिव्यापी पदों की संभावना की उपेक्षा की जाती है, जो तापमान अधिक होने पर मान्य है, तो प्रत्येक पद की गणना की जाने वाली संख्या लगभग N<nowiki>!</nowiki> है। सही विभाजन कार्य है


:<math> Z = \frac{\xi^N}{N!}.</math>
:<math> Z = \frac{\xi^N}{N!}.</math>
ध्यान दें कि यह उच्च तापमान सन्निकटन fermions और bosons के बीच अंतर नहीं करता है।
ध्यान दें कि यह उच्च तापमान सन्निकटन फर्मिऑन और बोसॉन के बीच अंतर नहीं करता है।


अलग-अलग और अप्रभेद्य कणों के विभाजन कार्यों में विसंगति को परिमाण यांत्रिकी के आगमन से पहले 19वीं शताब्दी तक जाना जाता था। यह [[गिब्स विरोधाभास]] के रूप में जानी जाने वाली कठिनाई की ओर ले जाता है। [[विलार्ड गिब्स]] ने दिखाया कि समीकरण Z = ξ में<sup>N</sup>, शास्त्रीय [[आदर्श गैस]] की एंट्रॉपी (थर्मोडायनामिक्स) है
अलग-अलग और अप्रभेद्य कणों के विभाजन कार्यों में विसंगति को परिमाण यांत्रिकी के आगमन से पहले 19वीं शताब्दी तक जाना जाता था। यह [[गिब्स विरोधाभास]] के रूप में जानी जाने वाली कठिनाई की ओर ले जाता है। [[विलार्ड गिब्स]] ने दिखाया कि समीकरण Z = ξ में<sup>N</sup>, शास्त्रीय [[आदर्श गैस|आदर्श वाष्प]] की एंट्रॉपी (ऊष्मप्रवैगिकी) है


:<math>S = N k \ln \left(V\right) + N f(T)</math>
:<math>S = N k \ln \left(V\right) + N f(T)</math>
जहाँ V गैस का [[आयतन]] है और f अकेले T का कुछ कार्य है। इस परिणाम के साथ समस्या यह है कि S [[व्यापक चर]] नहीं है - यदि N और V दोगुने हैं, तो S तदनुसार दोगुना नहीं होता है। ऐसी प्रणाली [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांतों का पालन नहीं करती है।
जहाँ V वाष्प का [[आयतन]] है और f अकेले T का कुछ कार्य है। इस परिणाम के साथ समस्या यह है कि S [[व्यापक चर]] नहीं है - यदि N और V दोगुने हैं, तो S तदनुसार दोगुना नहीं होता है। ऐसी प्रणाली [[ऊष्मप्रवैगिकी]] के सिद्धांतों का पालन नहीं करती है।


गिब्स ने यह भी दिखाया कि Z = ξ का उपयोग करना<sup>एन</sup>/और! परिणाम में परिवर्तन करें
गिब्स ने यह भी दिखाया कि Z = ξ का उपयोग करना <sup>n</sup>/और! परिणाम में परिवर्तन करें
:<math>S = N k \ln \left(\frac{V}{N}\right) + N f(T)</math>
:<math>S = N k \ln \left(\frac{V}{N}\right) + N f(T)</math>
जो बिल्कुल व्यापक है। हालाँकि, विभाजन कार्य में इस सुधार का कारण परिमाण यांत्रिकी की खोज तक अस्पष्ट रहा
जो बिल्कुल व्यापक है। हालाँकि, विभाजन कार्य में इस सुधार का कारण परिमाण यांत्रिकी की खोज तक अस्पष्ट रहा है।


=== बोसॉन और फर्मिऑन के सांख्यिकीय गुण ===
=== बोसॉन और फर्मिऑन के सांख्यिकीय गुण ===


बोसोन और फ़र्मियन के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं, जो क्रमशः बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी और फर्मी-डिराक सांख्यिकी द्वारा वर्णित हैं। मोटे तौर पर कहा जाए तो, बोसोन में एक ही परिमाण अवस्था में टकराने की प्रवृत्ति होती है, जो [[लेज़र]], बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट|बोस-आइंस्टीन संघनन, और अतिप्रवाह जैसी घटनाओं को रेखांकित करती है। दूसरी ओर, फर्मीन्स को परिमाण पदों को साझा करने से मना किया जाता है, जिससे [[फर्मी गैस]] जैसी प्रणालियों को जन्म मिलता है। इसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, और अधिकांश रसायन विज्ञान के लिए जिम्मेदार है, क्योंकि एक परमाणु (फर्मियन) में विद्युदअणु क्रमिक रूप से एक ही निम्नतम ऊर्जा अवस्था में पड़े सभी पदों के बजाय [[इलेक्ट्रॉन कवच|विद्युदअणु कवच]] के भीतर कई पदों को भरते हैं।
बोसोन और फ़र्मियन के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच महत्वपूर्ण अंतर हैं, जो क्रमशः बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी और फर्मी-डिराक सांख्यिकी द्वारा वर्णित हैं। मोटे तौर पर कहा जाए तो, बोसोन में एक ही परिमाण अवस्था में टकराने की प्रवृत्ति होती है, जो [[लेज़र]] (विकिरण के उत्तेजित उत्सर्जन का प्रकाश प्रवर्धन), बोस-आइंस्टीन वाष्पीकरण,|बोस-आइंस्टीन संघनन, और अतिप्रवाह जैसी घटनाओं को रेखांकित करती है। दूसरी ओर, फर्मीन्स को परिमाण पदों को साझा करने से मना किया जाता है, जिससे [[फर्मी गैस|फर्मी वाष्प]] जैसी प्रणालियों को जन्म मिलता है। इसे पाउली अपवर्जन सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, और अधिकांश रसायन विज्ञान के लिए जिम्मेदार है, क्योंकि एक परमाणु (फर्मियन) में विद्युदअणु क्रमिक रूप से एक ही निम्नतम ऊर्जा अवस्था में पड़े सभी पदों के बजाय [[इलेक्ट्रॉन कवच|विद्युदअणु कवच]] के भीतर कई पदों को भरते हैं।


दो कणों की एक प्रणाली का उपयोग करके फ़र्मियन, बोसोन और अलग-अलग कणों के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच के अंतर को चित्रित किया जा सकता है। कणों को ए और बी नामित किया गया है। प्रत्येक कण दो संभावित अवस्थाओं में मौजूद हो सकता है, जिन्हें नामपत्र किया गया है <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math>, जिनमें समान ऊर्जा होती है।
दो कणों की एक प्रणाली का उपयोग करके फ़र्मियन, बोसोन और अलग-अलग कणों के सांख्यिकीय व्यवहार के बीच के अंतर को चित्रित किया जा सकता है। कणों को ए और बी नामित किया गया है। प्रत्येक कण दो संभावित अवस्थाओं में मौजूद हो सकता है, जिन्हें नामपत्र किया गया है <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math>, जिनमें समान ऊर्जा होती है।


समग्र प्रणाली समय के साथ विकसित हो सकती है, एक शोर वातावरण के साथ बातचीत कर सकती है। क्योंकि <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> पद ऊर्जावान रूप से समतुल्य हैं, न तो पद का पक्ष लिया जाता है, इसलिए इस प्रक्रिया का पदों को यादृच्छिक बनाने का प्रभाव है। (परिमाण उलझाव पर लेख में इस पर चर्चा की गई है।) कुछ समय बाद, समग्र प्रणाली में इसके लिए उपलब्ध प्रत्येक पद पर अधिकृत करने की समान संभावना होगी। कण पदों को तब मापा जाता है।
समग्र प्रणाली समय के साथ विकसित हो सकती है, एक मुखर परिस्थिति के साथ बातचीत कर सकती है। क्योंकि <math>|0\rangle</math> और <math>|1\rangle</math> पद ऊर्जावान रूप से समतुल्य हैं, न तो पद का पक्ष लिया जाता है, इसलिए इस प्रक्रिया का पदों को यादृच्छिक बनाने का प्रभाव है। (परिमाण उलझाव पर लेख में इस पर चर्चा की गई है।) कुछ समय बाद, समग्र प्रणाली में इसके लिए उपलब्ध प्रत्येक पद पर अधिकृत करने की समान संभावना होगी। कण पदों को तब मापा जाता है।


यदि ए और बी अलग-अलग कण हैं, तो समग्र प्रणाली में चार अलग-अलग पद हैं: <math>|0\rangle|0\rangle</math>, <math>|1\rangle|1\rangle</math>, <math>|0\