सम्मिश्रता: Difference between revisions

Revision as of 07:18, 24 April 2023

गणित में वास्तविक संख्या (एक "वास्तविक सदिश स्थान") के क्षेत्र में सदिश स्थान $V$ का जटिलीकरण सम्मिश्र संख्या क्षेत्र (गणित) पर एक सदिश स्थान $V C$ उत्पन्न करता है, जो औपचारिक रूप से सम्मिश्र संख्याओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को सम्मिलित करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। $V$ के लिए कोई आधार (रैखिक बीजगणित) (वास्तविक संख्याओं पर एक स्थान) सम्मिश्र संख्याओं पर $V C$ के आधार के रूप में भी काम कर सकता है।

औपचारिक परिभाषा

मान लीजिए कि $V$ एक वास्तविक सदिश समष्टि है। $V$ की जटिलता को जटिल संख्याओं (वास्तविकताओं पर 2-आयामी वेक्टर स्पेस के रूप में माना जाता है) के साथ $V$ के टेंसर उत्पाद को ले कर परिभाषित किया गया है:

V^{\mathbb {C} }=V\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \,.

टेंसर उत्पाद पर सबस्क्रिप्ट, $\mathbb {R}$ निरुपित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं (चूंकि $V$ वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है) पर ले लिया गया है। जैसा यह प्रतीक होता है, $V^{\mathbb {C} }$ केवल वास्तविक सदिश स्थान है। चूँकि, हम जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके $V^{\mathbb {C} }$ को एक जटिल सदिश स्थान बना सकते हैं:

\alpha (v\otimes \beta )=v\otimes (\alpha \beta )\qquad {\mbox{ for all }}v\in V{\mbox{ and }}\alpha ,\beta \in \mathbb {C} .

सामान्यतः, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - जो अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करता है - जो कि किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में वलयों के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, जटिलता वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक कार्यात्मक $Vect R \to Vect C$ है। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - फॉरगेटफुल फ़ैक्टर $Vect C \to Vect R$ के लिए जो जटिल संरचना को भूल जाता है।

एक जटिल सदिश स्थान $V$ की जटिल संरचना को भूल जाने को विसंकुलीकरण (या कभी-कभी "प्राप्ति") कहा जाता है। आधार $e_{\mu }$ के साथ एक जटिल सदिश स्थान $V$ का अपघटन, अदिशों के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार आधार $\{e_{\mu },ie_{\mu }\}$ के साथ दो बार आयाम का एक वास्तविक सदिश स्थान $W_{\mathbb {R} }$ उत्पन्न करता है।^[1]

मूल गुण

टेंसर उत्पाद की प्रकृति से, प्रत्येक वेक्टर $v$ में $V C$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है

v=v_{1}\otimes 1+v_{2}\otimes i

कहाँ $v 1$ और $v 2$ में सदिश हैं $V$ . टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना आम बात है

v=v_{1}+iv_{2}.\,

सम्मिश्र संख्या से गुणा $a + i b$ तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है

(a+ib)(v_{1}+iv_{2})=(av_{1}-bv_{2})+i(bv_{1}+av_{2}).\,

हम तब सम्मान कर सकते हैं $V C$ की दो प्रतियों के सदिश स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में $V$ :

V^{C} ≅ V

[1]

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 {{Short description|Topic in mathematics}}
 {{for|एक वास्तविक लाइ समूह की जटिलता|जटिलता (लाइ समूह)}}
-गणित में, सदिश स्थान की जटिलता {{math|''V''}} वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में (वास्तविक सदिश स्थान) सदिश स्थान देता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} सम्मिश्र संख्या [[क्षेत्र (गणित)]] पर, औपचारिक रूप से [[जटिल संख्या]]ओं द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को शामिल करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। किसी भी [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] के लिए {{math|''V''}} (वास्तविक संख्याओं पर स्थान) भी आधार के रूप में काम कर सकता है {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} जटिल संख्याओं पर।
+गणित में वास्तविक संख्या (एक "वास्तविक सदिश स्थान") के क्षेत्र में सदिश स्थान {{math|''V''}} का '''जटिलीकरण''' सम्मिश्र संख्या [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक सदिश स्थान {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} उत्पन्न करता है, जो औपचारिक रूप से [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्याओं]] द्वारा उनके स्केलिंग (गुणन) को सम्मिलित करने के लिए वास्तविक संख्याओं द्वारा सदिशों के स्केलिंग का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है। {{math|''V''}} के लिए कोई [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] (वास्तविक संख्याओं पर एक स्थान) सम्मिश्र संख्याओं पर {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} के आधार के रूप में भी काम कर सकता है।
 == औपचारिक परिभाषा ==
-होने देना <math>V</math> वास्तविक सदिश स्थान बनें।{{em|{{visible anchor|complexification}}}} का {{math|''V''}} का [[टेंसर उत्पाद]] लेकर परिभाषित किया गया है <math>V</math> जटिल संख्याओं के साथ (वास्तविकता से अधिक 2-आयामी वेक्टर स्थान के रूप में माना जाता है):
+मान लीजिए कि <math>V</math> एक वास्तविक सदिश समष्टि है। {{math|''V''}} की {{em|{{visible anchor|जटिलता}}}} को जटिल संख्याओं (वास्तविकताओं पर 2-आयामी वेक्टर स्पेस के रूप में माना जाता है) के साथ <math>V</math> के [[टेंसर उत्पाद]] को ले कर परिभाषित किया गया है:
 :<math>V^{\Complex} = V\otimes_{\R} \Complex\,.</math>
-सबस्क्रिप्ट, <math>\R</math>, टेंसर उत्पाद पर इंगित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं पर ले लिया गया है (चूंकि <math>V</math> वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है)। जैसा यह प्रतीक होता है, <math>V^{\Complex}</math> केवल वास्तविक सदिश स्थान है। हालाँकि, हम बना सकते हैं <math>V^{\Complex}</math> जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके जटिल सदिश स्थान में:
+टेंसर उत्पाद पर सबस्क्रिप्ट, <math>\R</math> निरुपित करता है कि टेंसर उत्पाद को वास्तविक संख्याओं (चूंकि <math>V</math> वास्तविक सदिश स्थान है वैसे भी यह एकमात्र समझदार विकल्प है, इसलिए सबस्क्रिप्ट को सुरक्षित रूप से छोड़ा जा सकता है) पर ले लिया गया है। जैसा यह प्रतीक होता है, <math>V^{\Complex}</math> केवल वास्तविक सदिश स्थान है। चूँकि, हम जटिल गुणन को निम्नानुसार परिभाषित करके <math>V^{\Complex}</math> को एक जटिल सदिश स्थान बना सकते हैं:
 :<math>\alpha(v \otimes \beta) = v\otimes(\alpha\beta)\qquad\mbox{ for all } v\in V \mbox{ and }\alpha,\beta \in \Complex.</math>
-आम तौर पर, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - यहाँ अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करना - जो किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में छल्ले के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।
+सामान्यतः, जटिलीकरण अदिशों के विस्तार का उदाहरण है - जो अदिशों को वास्तविक संख्याओं से सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित करता है - जो कि किसी भी क्षेत्र विस्तार के लिए किया जा सकता है, या वास्तव में वलयों के किसी भी आकारिकी के लिए किया जा सकता है।
-औपचारिक रूप से, जटिलता मज़ेदार है {{math|Vect<sub>'''R'''</sub> → Vect<sub>'''C'''</sub>}}, वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी तक। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए {{math|Vect<sub>'''C'''</sub> → Vect<sub>'''R'''</sub>}} जटिल संरचना को भूल जाना।
+औपचारिक रूप से, जटिलता वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से जटिल वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक कार्यात्मक {{math|Vect<sub>'''R'''</sub> → Vect<sub>'''C'''</sub>}} है। यह आसन्न फ़ैक्टर है - विशेष रूप से बाएं आसन्न - फॉरगेटफुल फ़ैक्टर {{math|Vect<sub>'''C'''</sub> → Vect<sub>'''R'''</sub>}} के लिए जो जटिल संरचना को भूल जाता है।
-यह जटिल सदिश स्थान की जटिल संरचना को भूल जाता है <math>V</math> कहा जाता है{{em|{{visible anchor|decomplexification}}}} (या कभी-कभी{{em|{{visible anchor|realification}}}} ). जटिल सदिश स्थान का अपघटन <math>V</math> आधार के साथ <math>e_{\mu}</math> स्केलर्स के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार वास्तविक सदिश स्थान प्रदान करता है <math>W_{\R}</math> आधार के साथ दो गुना आयाम <math>\{e_{\mu}, ie_{\mu}\}.</math><ref>{{cite book|last1=Kostrikin|first1=Alexei I.|last2=Manin|first2=Yu I.|title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|date=July 14, 1989|publisher=CRC Press|isbn=978-2881246838|page=75}}</ref>
+एक जटिल सदिश स्थान <math>V</math> की जटिल संरचना को भूल जाने को {{em|{{visible anchor|विसंकुलीकरण}}}} (या कभी-कभी "{{em|{{visible anchor|प्राप्ति}}}}") कहा जाता है। आधार <math>e_{\mu}</math> के साथ एक जटिल सदिश स्थान <math>V</math> का अपघटन, अदिशों के जटिल गुणन की संभावना को हटा देता है, इस प्रकार आधार <math>\{e_{\mu}, ie_{\mu}\}</math> के साथ दो बार आयाम का एक वास्तविक सदिश स्थान <math>W_{\R}</math> उत्पन्न करता है।<ref>{{cite book|last1=Kostrikin|first1=Alexei I.|last2=Manin|first2=Yu I.|title=रेखीय बीजगणित और ज्यामिति|date=July 14, 1989|publisher=CRC Press|isbn=978-2881246838|page=75}}</ref>
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 कहाँ {{math|''v''<sub>1</sub>}} और {{math|''v''<sub>2</sub>}} में सदिश हैं {{math|''V''}}. टेंसर उत्पाद प्रतीक को छोड़ना और लिखना आम बात है
 :<math>v = v_1 + iv_2.\,</math>
-जटिल संख्या से गुणा {{math|''a'' + ''i b''}} तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है
+सम्मिश्र संख्या से गुणा {{math|''a'' + ''i b''}} तब सामान्य नियम द्वारा दिया जाता है
 :<math>(a+ib)(v_1 + iv_2) = (av_1 - bv_2) + i(bv_1 + av_2).\,</math>
 हम तब सम्मान कर सकते हैं {{math|''V''{{i sup|'''C'''}}}} की दो प्रतियों के सदिश स्थानों के प्रत्यक्ष योग के रूप में {{math|''V''}}:
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 कहाँ <math>V^{\Complex}</math> ऑपरेटर द्वारा [[रैखिक जटिल संरचना]] दी जाती है {{math|''J''}} के रूप में परिभाषित <math>J(v,w) := (-w,v),</math> कहाँ {{math|''J''}} "द्वारा गुणन" के संचालन को कूटबद्ध करता है {{mvar|i}}”। मैट्रिक्स रूप में, {{math|''J''}} द्वारा दिया गया है:
 :<math>J = \begin{bmatrix}0 & -I_V \\ I_V & 0\end{bmatrix}.</math>
-यह समान स्थान उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला वास्तविक वेक्टर स्थान जटिल वेक्टर स्थान के समान डेटा है - हालांकि यह अंतरिक्ष को अलग तरीके से बनाता है। इसलिए, <math>V^{\Complex}</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>V \oplus JV</math> या <math>V \oplus i V,</math> की पहचान {{math|''V''}} पहले सीधे योग के साथ। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से शामिल टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, लेकिन यह तदर्थ है।
+यह समान स्थान उत्पन्न करता है - रैखिक जटिल संरचना वाला वास्तविक वेक्टर स्थान जटिल वेक्टर स्थान के समान डेटा है - हालांकि यह अंतरिक्ष को अलग तरीके से बनाता है। इसलिए, <math>V^{\Complex}</math> रूप में लिखा जा सकता है <math>V \oplus JV</math> या <math>V \oplus i V,</math> की पहचान {{math|''V''}} पहले सीधे योग के साथ। यह दृष्टिकोण अधिक ठोस है, और इसमें तकनीकी रूप से सम्मिलित टेंसर उत्पाद के उपयोग से बचने का लाभ है, लेकिन यह तदर्थ है।
 == उदाहरण ==
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 से हटकर जटिलता की प्रक्रिया {{math|'''R'''}} को {{math|'''C'''}} [[लियोनार्ड डिक्सन]] सहित बीसवीं सदी के गणितज्ञों द्वारा अमूर्त किया गया था। [[ पहचान मानचित्रण ]] के उपयोग से शुरू होता है {{math|1=''x''* = ''x''}} तुच्छ समावेशन (गणित) के रूप में {{math|'''R'''}}. R की अगली दो प्रतियाँ बनाने के लिए उपयोग की जाती हैं {{math|1=''z'' = (''a , b'')}} इनवोल्यूशन के रूप में पेश किए गए [[जटिल संयुग्मन]] के साथ {{math|1=''z''* = (''a'', −''b'')}}. दो तत्व {{mvar|w}} और {{mvar|z}} दोगुने सेट में से गुणा करें
 :<math>w z = (a,b) \times (c,d) = (ac\ - \ d^*b,\ da \ + \ b c^*).</math>
-अंत में, दोगुने सेट को मानदंड दिया जाता है {{math|1=''N''(''z'') = ''z* z''}}. से शुरू करते समय {{math|'''R'''}} पहचान शामिल होने के साथ, दोगुना सेट है {{math|'''C'''}} मानदंड के साथ {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}}.
+अंत में, दोगुने सेट को मानदंड दिया जाता है {{math|1=''N''(''z'') = ''z* z''}}. से शुरू करते समय {{math|'''R'''}} पहचान सम्मिलित होने के साथ, दोगुना सेट है {{math|'''C'''}} मानदंड के साथ {{math|''a''<sup>2</sup> + ''b''<sup>2</sup>}}.
 अगर कोई दोगुना हो जाता है {{math|'''C'''}}, और संयुग्मन (ए, बी) * = (ए *, -बी) का उपयोग करता है, निर्माण उपज चतुष्कोणीय है। दोहरीकरण फिर से [[ऑक्टोनियन]] पैदा करता है, जिसे केली नंबर भी कहा जाता है। यह इस बिंदु पर था कि 1919 में डिक्सन ने बीजगणितीय संरचना को उजागर करने में योगदान दिया।
-प्रक्रिया भी शुरू की जा सकती है {{math|'''C'''}} और तुच्छ समावेशन {{math|1=''z''* = ''z''}}. उत्पादित मानदंड बस है {{math|''z''<sup>2</sup>}}, की पीढ़ी के विपरीत {{math|'''C'''}} दोगुना करके {{math|'''R'''}}. जब यह {{math|'''C'''}} को दुगुना करने पर यह [[द्विजटिल संख्या]] उत्पन्न करता है, और दुगना करने से द्विचतुर्भुज संख्याएँ उत्पन्न होती हैं, और दुगनी करने पर फिर से द्विकणात्मक संख्याएँ उत्पन्न होती हैं। जब आधार बीजगणित साहचर्य होता है, तो इस केली-डिक्सन निर्माण द्वारा निर्मित बीजगणित को [[रचना बीजगणित]] कहा जाता है क्योंकि यह दिखाया जा सकता है कि इसमें संपत्ति है
+प्रक्रिया भी शुरू की जा सकती है {{math|'''C'''}} और तुच्छ समावेशन {{math|1=''z''* = ''z''}}. उत्पादित मानदंड बस है {{math|''z''<sup>2</sup>}}, की पीढ़ी के विपरीत {{math|'''C'''}} दोगुना करके {{math|'''R'''}}. जब यह {{math|'''C'''}} को दुगुना करने पर यह [[द्विजटिल संख्या|द्विसम्मिश्र संख्या]] उत्पन्न करता है, और दुगना करने से द्विचतुर्भुज संख्याएँ उत्पन्न होती हैं, और दुगनी करने पर फिर से द्विकणात्मक संख्याएँ उत्पन्न होती हैं। जब आधार बीजगणित साहचर्य होता है, तो इस केली-डिक्सन निर्माण द्वारा निर्मित बीजगणित को [[रचना बीजगणित]] कहा जाता है क्योंकि यह दिखाया जा सकता है कि इसमें संपत्ति है
 :<math>N(p\,q) = N(p)\,N(q)\,.</math>

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