प्रतिलोम वक्र

धराशायी घेरा में लाल परवलय को उल्टा करके हरा कारडायोड प्राप्त किया जाता है।

प्रतिलोम ज्यामिति में दिए गए वक्र का प्रतिलोम वक्र C व्युत्क्रम ज्यामिति संक्रिया को सचालित करने का परिणाम है। विशेष रूप से केंद्र C के साथ एक निश्चित वृत्त O के संबंध में और त्रिज्या k बिंदु Q का व्युत्क्रम बिंदु है। P जिसके लिए किरण OQ पर स्थित है और OP·OQ = k²। वक्र C का व्युत्क्रम तब P का स्थान है क्योंकि Q, C पर चलता है। बिंदु O इस निर्माण में व्युत्क्रम का केंद्र कहा जाता है। वृत्त को व्युत्क्रम का वृत्त कहा जाता है और k व्युत्क्रम की त्रिज्या है।

एक व्युत्क्रम दो बार संचालित किया गया पहचान परिवर्तन है। इसलिए एक ही वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम वक्र का व्युत्क्रम मूल वक्र है। व्युत्क्रम के वृत्त पर बिंदु व्युत्क्रम द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इसलिए इसका व्युत्क्रम स्वयं है।

समीकरण

बिंदु (x, y) का उलटा इकाई वृत्त के संबंध में (X, Y) है। जहाँ-

$X={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},\qquad Y={\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},$

या समकक्ष

$x={\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},\qquad y={\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}.$

तो वक्र का व्युत्क्रम f(x, y) = 0 द्वारा निर्धारित इकाई वृत्त के संबंध में है

$f\left({\frac {X}{X^{2}+Y^{2}}},{\frac {Y}{X^{2}+Y^{2}}}\right)=0.$

इससे स्पष्ट है कि n डिग्री के एक बीजगणितीय वक्र का उलटा होना वृत्त के संबंध में अधिक से अधिक 2n डिग्री का बीजगणितीय वक्र उत्पन्न करता है।

इसी प्रकार वक्र के व्युत्क्रम को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

$x=x(t),\qquad y=y(t)$

यूनिट सर्कल के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है।

${\begin{aligned}X=X(t)&={\frac {x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}},\\Y=Y(t)&={\frac {y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}}.\end{aligned}}$

इसका अर्थ यह है कि परिमेय वक्र का वर्तुल व्युत्क्रम भी परिमेय होता है।

अधिक सामान्यतः द्वारा निर्धारित वक्र का व्युत्क्रम f(x, y) = 0 केंद्र (a, b) वाले वृत्त के संबंध में और त्रिज्या k है।

$f\left(a+{\frac {k^{2}(X-a)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}},b+{\frac {k^{2}(Y-b)}{(X-a)^{2}+(Y-b)^{2}}}\right)=0.$

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र का व्युत्क्रम-

$x=x(t),\qquad y=y(t)$

उसी सर्कल के संबंध में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है।

$\begin{array}{rl}X=X(t)& =a+\frac{k^2(x(t)-<!--\; -\; -->a)}{}\end{array}$