भौगोलिक दूरी: Difference between revisions
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===अक्षांश/देशांतर की विलक्षणताएं और असंततता=== | ===अक्षांश/देशांतर की विलक्षणताएं और असंततता=== | ||
देशांतर में [[भौगोलिक ध्रुव|भौगोलिक ध्रुवों]] पर [[गणितीय विलक्षणता]] अपरिभाषित होती है और ±180° मध्याह्न रेखा पर एक | देशांतर में [[भौगोलिक ध्रुव|भौगोलिक ध्रुवों]] पर [[गणितीय विलक्षणता]] अपरिभाषित होती है और ±180° मध्याह्न रेखा पर एक निरंतरता होती है। साथ ही, ध्रुवों के निकट स्थिर अक्षांश के वृत्तों के तलीय प्रक्षेपण अत्यधिक वृत्ताकार होते हैं इसलिए, डेल्टा अक्षांश/देशांतर (<math>\Delta\phi\!</math>, <math>\Delta\lambda\!</math>) और औसत अक्षांश <math>\phi_m\!</math> के लिए उपरोक्त समीकरण ध्रुवों या ±180° मध्याह्न के पास की स्थितियों के लिए अपेक्षित उत्तर नहीं दे सकते हैं उदाहरण पर विचार करें कि <math>\Delta\lambda\!</math> (पूर्व विस्थापन) का मान जब <math>\lambda_1\!</math> और <math>\lambda_2\!</math> ±180° मध्याह्न के दोनों ओर होता हैं तब <math>\phi_m\!</math> का मान (अर्थात अक्षांश) दो स्थितियों के लिए (<math>\phi_1\!</math>=89°, <math>\lambda_1\!</math>=45°) और (<math>\phi_2\!</math>=89°, <math>\lambda_2\!</math>=−135°) होता है। | ||
यदि अक्षांश/देशांतर पर आधारित गणना पृथ्वी की सभी स्थितियों के लिए मान्य होती है तब यह सत्यापित किया जा सकता है कि विच्छिन्नता और ध्रुवों को अपेक्षाकृत रूप से नियंत्रित किया गया है एक अन्य समाधान अक्षांश/देशांतर के अतिरिक्त | यदि अक्षांश/देशांतर पर आधारित गणना पृथ्वी की सभी स्थितियों के लिए मान्य होती है तब यह सत्यापित किया जा सकता है कि विच्छिन्नता और ध्रुवों को अपेक्षाकृत रूप से नियंत्रित किया गया है एक अन्य समाधान अक्षांश/देशांतर के अतिरिक्त N-सदिश का उपयोग करना है क्योंकि इस प्रतिनिधित्व में कोई निरंतरता या विशिष्टता नहीं होती है। | ||
== समतल-सतह सूत्र == | == समतल-सतह सूत्र == | ||
पृथ्वी की सतह के लिए समतल सन्निकटन छोटी दूरियों के लिए उपयोगी हो सकता है इस सन्निकटन का उपयोग | पृथ्वी की सतह के लिए समतल सन्निकटन छोटी दूरियों के लिए उपयोगी हो सकता है इस सन्निकटन का उपयोग करने से दूरी की गणना की शुद्धता गलत हो जाती है: | ||
* बिंदुओं के बीच की दूरी अधिक हो जाती है। | * बिंदुओं के बीच की दूरी अधिक हो जाती है। | ||
* बिंदु एक भौगोलिक ध्रुव के निकट हो जाता है। | * बिंदु एक भौगोलिक ध्रुव के निकट हो जाता है। | ||
समतल में दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक रेखा होती है पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग समतल में बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है कम दूरी पर भी, भौगोलिक दूरी की गणनाओं की शुद्धता जो एक समतल पृथ्वी को स्वीकृत करती है यह उस विधि पर निर्भर करती है जिसके द्वारा अक्षांश और देशांतर निर्देशांक का समतल पर मानचित्र प्रक्षेपण किया गया है अक्षांश और देशांतर का प्रक्षेपण एक समतल निर्देशांक पर होता है जो एक | समतल में दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक रेखा होती है पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग समतल में बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है कम दूरी पर भी, भौगोलिक दूरी की गणनाओं की शुद्धता जो एक समतल पृथ्वी को स्वीकृत करती है यह उस विधि पर निर्भर करती है जिसके द्वारा अक्षांश और देशांतर निर्देशांक का समतल पर मानचित्र प्रक्षेपण किया गया है अक्षांश और देशांतर का प्रक्षेपण एक समतल निर्देशांक पर होता है जो एक मानचित्र विज्ञान क्षेत्र है। | ||
इस | इस क्षेत्र में प्रस्तुत सूत्र शुद्धता की अलग-अलग डिग्री प्रदान करते हैं। | ||
===समतल के लिए प्रक्षेपित गोलाकार पृथ्वी === | ===समतल के लिए प्रक्षेपित गोलाकार पृथ्वी === | ||
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:<math>D=R\sqrt{(\Delta\phi)^2+(\cos(\phi_m)\Delta\lambda)^2},</math> | :<math>D=R\sqrt{(\Delta\phi)^2+(\cos(\phi_m)\Delta\lambda)^2},</math> | ||
:जहाँ: | :जहाँ: | ||
::<math>\Delta\phi\,\!</math> और <math>\Delta\lambda\,\!</math> रेडियन में | ::<math>\Delta\phi\,\!</math> और <math>\Delta\lambda\,\!</math> रेडियन में हैं। | ||
::यह सन्निकटन बहुत तीव्र है | ::<math>\phi_m\,\!</math> निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के अनुकूल इकाइयों में होना चाहिए और <math>\cos(\phi_m)\,\!</math> अक्षांश या देशांतर को रेडियन में परिवर्तित करने के लिए <math> 1^\circ = (\pi/180)\,\mathrm{radians}</math> का उपयोग करें। | ||
::यह सन्निकटन बहुत तीव्र होता है जो छोटी दूरियों के लिए अत्यधिक शुद्ध परिणाम देता है {{Citation needed|date=October 2010}} इसके अतिरिक्त जब दूरी के आधार पर स्थानों को निर्धारित किया जाता है जैसे कि डेटाबेस क्वेरी में, वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता को समाप्त करते हुए, वर्ग दूरी के आधार पर निर्धारित करना अधिक होता है। | |||
=== एक समतल से प्रक्षेपित दीर्घवृत्ताकार पृथ्वी === | === एक समतल से प्रक्षेपित दीर्घवृत्ताकार पृथ्वी === | ||
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::जहां <math>M\,\!</math> और <math>N\,\!</math> 'मध्याह्न और इसके लंबवत या "सामान्य" वक्रता की त्रिज्या हैं एफसीसी सूत्र में अभिव्यक्तियां <math>M\,\!</math> और <math>N\,\!</math> समूह के [[द्विपद श्रृंखला]] विस्तार रूप से क्लार्क 1866 संदर्भ दीर्घवृत्त पर आधारित हैं। | ::जहां <math>M\,\!</math> और <math>N\,\!</math> 'मध्याह्न और इसके लंबवत या "सामान्य" वक्रता की त्रिज्या हैं एफसीसी सूत्र में अभिव्यक्तियां <math>M\,\!</math> और <math>N\,\!</math> समूह के [[द्विपद श्रृंखला]] विस्तार रूप से क्लार्क 1866 संदर्भ दीर्घवृत्त पर आधारित हैं। | ||
उपरोक्त सूत्र के अधिक | उपरोक्त सूत्र के अधिक अभिकलनीयतः कुशल कार्यान्वयन के लिए कोसाइन के कई अनुप्रयोगों को एक ही अनुप्रयोग के साथ रूपांतरित किया जा सकता है और चेबीशेव बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग किया जा सकता है। | ||
===ध्रुवीय निर्देशांक समतल-पृथ्वी सूत्र=== | ===ध्रुवीय निर्देशांक समतल-पृथ्वी सूत्र=== | ||
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&C_h=\sqrt{(\Delta{X})^2 + (\Delta{Y})^2 + (\Delta{Z})^2}.\end{align} | &C_h=\sqrt{(\Delta{X})^2 + (\Delta{Y})^2 + (\Delta{Z})^2}.\end{align} | ||
</math> | </math> | ||
गोलाकार पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के बीच सुरंग की दूरी <math>D = R C_h</math> है कम दूरी के लिए (<math>D\ll R</math>) दूरी द्वारा बृहत् वृत्त की दूरी को <math>D(D/R)^2/24</math> तक कम करके गणना की | गोलाकार पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के बीच सुरंग की दूरी <math>D = R C_h</math> है अपेक्षाकृत कम दूरी के लिए (<math>D\ll R</math>) दूरी द्वारा बृहत् वृत्त की दूरी को <math>D(D/R)^2/24</math> तक कम करके गणना की जाती है। | ||
== दीर्घवृत्त-सतह सूत्र == | == दीर्घवृत्त-सतह सूत्र == | ||
{{Main|एक दीर्घवृत्त पर जिओडेसिक्स}} | {{Main|एक दीर्घवृत्त पर जिओडेसिक्स}} | ||
[[File:Long geodesic on an oblate ellipsoid.svg|thumb|समतल दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक]] | [[File:Long geodesic on an oblate ellipsoid.svg|thumb|समतल दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक]]दीर्घवृत्त पृथ्वी की सतह मे अपेक्षाकृत रूप से अनुमानित है दीर्घवृत्त पृथ्वी की सतह को एक गोले या समतल सतह की तुलना में बहुत अच्छा बनाता है सतह पर दो बिंदुओं के बीच दीर्घवृत्त की सतह के साथ सबसे छोटी दूरी जियोडेसिक के साथ होती है जिओडेसिक्स बड़े वृत्तों की तुलना में अधिक जटिल पथों का अनुसरण करता है और विशेष रूप से वे सामान्यतः पृथ्वी के एक परिपथ के बाद अपनी प्रारम्भिक स्थिति में वापस नहीं आते हैं यह दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है जहां प्रभाव को बढ़ाने के लिए f को 1/50 लिया जाता है 18वीं और 19वीं शताब्दी के समय पृथ्वी पर दो बिंदुओं के बीच जियोडेसिक खोजने तथा कथित व्युत्क्रम भूगणितीय समस्या, कई गणितज्ञों और जियोडेसिस्टों का ध्यान था जिसमें क्लेराट<ref> | ||
{{cite journal | {{cite journal | ||
|last = Clairaut | |last = Clairaut | ||
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}}</ref> जो एक श्रृंखला का उपयोग करता है और दीर्घवृत्त के आधार पर तीसरे क्रम के लिए उपयुक्त है अर्थात लगभग 0.5 मिमी हालाँकि, एल्गोरिथ्म उन बिंदुओं के लिए अभिसरण करने में विफल रहता है जो लगभग एंटीपोडल होते हैं विवरण के लिए, विन्सेंटी के सूत्र देखें। यह दोष कार्नी द्वारा दिए गए एल्गोरिथम में सही हो गया है<ref> | }}</ref> जो एक श्रृंखला का उपयोग करता है और दीर्घवृत्त के आधार पर तीसरे क्रम के लिए उपयुक्त है अर्थात लगभग 0.5 मिमी हालाँकि, एल्गोरिथ्म उन बिंदुओं के लिए अभिसरण करने में विफल रहता है जो लगभग एंटीपोडल होते हैं विवरण के लिए, विन्सेंटी के सूत्र देखें। यह दोष कार्नी द्वारा दिए गए एल्गोरिथम में सही हो गया है<ref> | ||
{{Cite journal | last1 = Karney | first1 = C. F. F. | doi = 10.1007/s00190-012-0578-z | title = Algorithms for geodesics | journal = Journal of Geodesy | volume = 87 | pages = 43–55| year = 2013| issue = 1| postscript = (open access). [https://geographiclib.sourceforge.io/geod-addenda.html Addenda].|arxiv = 1109.4448 |bibcode = 2013JGeod..87...43K | s2cid = 119310141 }} | {{Cite journal | last1 = Karney | first1 = C. F. F. | doi = 10.1007/s00190-012-0578-z | title = Algorithms for geodesics | journal = Journal of Geodesy | volume = 87 | pages = 43–55| year = 2013| issue = 1| postscript = (open access). [https://geographiclib.sourceforge.io/geod-addenda.html Addenda].|arxiv = 1109.4448 |bibcode = 2013JGeod..87...43K | s2cid = 119310141 }} | ||
</ref> जो श्रृंखला को नियोजित करता है और समतल में छठे क्रम के लिए शुद्ध है इसका परिणाम एक एल्गोरिथ्म में होता है जो पूरी तरह से दोहरी शुद्धता के लिए प्रयुक्त होता है और जो पृथ्वी पर बिंदुओं के अपेक्षाकृत जोड़े के लिए अभिसरण करता है यह एल्गोरिद्म भौगोलिक | </ref> जो श्रृंखला को नियोजित करता है और समतल में छठे क्रम के लिए शुद्ध है इसका परिणाम एक एल्गोरिथ्म में होता है जो पूरी तरह से दोहरी शुद्धता के लिए प्रयुक्त होता है और जो पृथ्वी पर बिंदुओं के अपेक्षाकृत जोड़े के लिए अभिसरण करता है यह एल्गोरिद्म भौगोलिक प्रयोगशाला में प्रयुक्त किया गया है।<ref> | ||
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गोलाकार त्रिज्या है: | गोलाकार त्रिज्या है: | ||
:<math>R' = \frac{\sqrt{1 + e'^2 }}{B^2} a.</math> | :<math>R' = \frac{\sqrt{1 + e'^2 }}{B^2} a.</math> | ||
φ1 पर दीर्घवृत्त की गाऊसी वक्रता 1/''R′''<sup>2</sup> है और गोलीय निर्देशांक इस प्रकार दिए गए हैं: | |||
:<math>\begin{align} | :<math>\begin{align} | ||
\tan\phi_1' &= \frac{\tan\phi}B,\\ | \tan\phi_1' &= \frac{\tan\phi}B,\\ | ||
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स्थलाकृतिक या सतह स्तर से गोलाकार या दीर्घवृत्त की सतह तक ऊंचाई में भिन्नता भी दूरी माप के पैमाने को परिवर्तित किया जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.tech.mtu.edu/courses/su3150/Reference%20Material/Vincenty.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2014-08-26 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20140827072956/http://www.tech.mtu.edu/courses/su3150/Reference%20Material/Vincenty.pdf |archive-date=2014-08-27 }}</ref> दो बिंदुओं के बीच की तिर्यक दूरी s जीवा (ज्यामिति) लंबाई को दीर्घवृत्त की सतह S पर चाप की लंबाई तक कम किया जा सकता है:<ref name="T&G">Torge & Müller (2012) Geodesy, De Gruyter, p.249</ref> | स्थलाकृतिक या सतह स्तर से गोलाकार या दीर्घवृत्त की सतह तक ऊंचाई में भिन्नता भी दूरी माप के पैमाने को परिवर्तित किया जाता है।<ref>{{cite web |url=http://www.tech.mtu.edu/courses/su3150/Reference%20Material/Vincenty.pdf |title=संग्रहीत प्रति|access-date=2014-08-26 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20140827072956/http://www.tech.mtu.edu/courses/su3150/Reference%20Material/Vincenty.pdf |archive-date=2014-08-27 }}</ref> दो बिंदुओं के बीच की तिर्यक दूरी s जीवा (ज्यामिति) लंबाई को दीर्घवृत्त की सतह S पर चाप की लंबाई तक कम किया जा सकता है:<ref name="T&G">Torge & Müller (2012) Geodesy, De Gruyter, p.249</ref> | ||
:<math>S-s=-0.5(h_1+h_2)s/R-0.5(h_1-h_2)^2/s</math> | :<math>S-s=-0.5(h_1+h_2)s/R-0.5(h_1-h_2)^2/s</math> | ||
जहाँ R का मूल्यांकन पृथ्वी की वक्रता की दिगंशीय त्रिज्या से किया जाता है और h प्रत्येक बिंदु पर [[दीर्घवृत्ताकार ऊँचाई]] हैं समीकरण के दायीं ओर का पहला पद माध्य उन्नयन के लिए और दूसरा पद झुकाव के लिए है उपरोक्त गणना पृथ्वी की सामान्य लंबाई को दीर्घवृत्त भूगर्भीय लंबाई में और कम करना प्रायः नगण्य होता है।<ref name="T&G" /> | जहाँ R का मूल्यांकन पृथ्वी की वक्रता की दिगंशीय त्रिज्या से किया जाता है और h प्रत्येक बिंदु पर [[दीर्घवृत्ताकार ऊँचाई]] हैं समीकरण के दायीं ओर का पहला पद माध्य उन्नयन के लिए और दूसरा पद झुकाव के लिए है उपरोक्त गणना पृथ्वी की सामान्य लंबाई को दीर्घवृत्त भूगर्भीय लंबाई में और कम करना प्रायः नगण्य होता है।<ref name="T&G" /> | ||
Revision as of 11:32, 24 April 2023
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भौगोलिक दूरी या भूगणितीय दूरी पृथ्वी की सतह के साथ मापी गई दूरी है इस लेख के सूत्र अक्षांश और देशांतर दूरी के संदर्भ में भौगोलिक निर्देशांक द्वारा परिभाषित बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं यह दूसरी दूरी की भूगणितीय समस्या को हल करने के लिए मुख्य घटक है।
परिचय
भौगोलिक निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना अमूर्तता के कुछ स्तर पर आधारित है यह शुद्ध दूरी नहीं प्रदान करता है जो पृथ्वी की सतह में प्रत्येक अनियमितता के स्पष्टीकरण के लिए प्रयास करने पर अप्राप्य है[1] जो दो भौगोलिक बिंदुओं के बीच की सतह के लिए सामान्य अमूर्त हैं:
- समतल सतह
- गोलाकार सतह
- दीर्घवृत्ताकार सतह
ऊपर दी गई सभी अमूर्त ऊंचाई में परिवर्तन की उपेक्षा करते हैं और दूरियों की गणना जो आदर्श सतह की सापेक्ष ऊंचाई में परिवर्तन के कारण होती है जिसकी इस लेख में कोई भी चर्चा नहीं की गई है।
नामकरण
दूरी की गणना दो बिंदुओं और के बीच की जाती है दो बिंदुओं के भौगोलिक निर्देशांक (अक्षांश, देशांतर) जोड़े के रूप में क्रमश और है दो बिंदुओं में से कौन सा दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।
मानचित्रों पर अक्षांश और देशांतर निर्देशांक सामान्यतः डिग्री में व्यक्त किए जाते हैं नीचे दिए गए सूत्रों के दिए गए रूपों में सही परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्दिष्ट इकाइयों में एक या अधिक मान व्यक्त किए जाने चाहिए। जहां भौगोलिक निर्देशांक त्रिकोणमितीय फलन के तर्क के रूप में उपयोग किए जाते हैं त्रिकोणमितीय फलन के मान को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के साथ संगत किसी भी कोणीय इकाइयों में मान व्यक्त किए जा सकते हैं कई इलेक्ट्रॉनिक गणना किसी भी डिग्री या रेडियन में त्रिकोणमितीय फलनों की गणना की स्वीकृति देते हैं इलेक्ट्रॉनिक गणना को ज्यामितीय निर्देशांकों के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों के साथ संगत होना चाहिए।
अक्षांश और देशांतर में अंतर की निम्नानुसार गणना की जाती है:
यह महत्वपूर्ण नहीं है कि नीचे दिए गए सूत्रों में उपयोग किए जाने पर परिणाम धनात्मक या ऋणात्मक है माध्य अक्षांश को निम्न प्रकार से वर्गीकृत किया जाता है: