टॉर्क: Difference between revisions

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[[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए एक बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह एक रैखिक बल एक धक्का या एक खिंचाव है, उसी तरह एक टॉर्क को एक विशिष्ट अक्ष के चारों ओर एक वस्तु के लिए एक मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी को [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |रोटेशन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]] । जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है।

[[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह रैखिक बल धक्का या खिंचाव है, उसी तरह टॉर्क को विशिष्ट अक्ष के चारों ओर वस्तु के लिए मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी को [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |रोटेशन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]]। जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है।

तीन आयामों में, टॉर्क [[ स्यूडोवेक्टर |स्यूडोवेक्टर]] है; [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] के लिए, यह स्थिति वेक्टर के [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] ( [[ यूक्लिडियन वेक्टर |दूरी वेक्टर]] ) और बल वेक्टर द्वारा दिया गया है। [[ कठोर शरीर |कठोर बॉडी]] के बल आघूर्ण का परिमाण तीन मात्राओं पर निर्भर करता है: प्रयुक्त बल, लीवर आर्म वेक्टर<ref>{{cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> उस बिंदु को जोड़ना जिसके बारे में बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर टॉर्क को मापा जा रहा है, और बल और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण। प्रतीकों में:

:<math qid=Q104177819>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math><math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math>

जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से एक वेक्टर जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल वेक्टर है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो एक वेक्टर उत्पन्न करता है जो दोनों के लिए [[ लंबवत |लंबवत]] है {{mvar|r}} और {{mvar|F}} [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए, <math> \theta</math> बल वेक्टर और लीवर आर्म वेक्टर के बीच का कोण है।

जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से वेक्टर जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल वेक्टर है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो वेक्टर उत्पन्न करता है जो दोनों के लिए [[ लंबवत |लंबवत]] है {{mvar|r}} और {{mvar|F}} [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए, <math> \theta</math> बल वेक्टर और लीवर आर्म वेक्टर के बीच का कोण है।

टॉर्क के लिए [[ एसआई यूनिट |एसआई यूनिट]] [[ न्यूटन-मीटर |न्यूटन-मीटर]] (N⋅m) है। टॉर्क की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें {{slink||Units}}.

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=== यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग शब्दावली में टॉर्क और क्षण ===

यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से एक वस्तु के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टॉर्क की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] या [[ जड़ता |जड़ता]] में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण एक सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक [[ बल |बल]] एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को एक अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे टॉर्क कहा जाता है'')''घूमता है।<ref name=Kane>केन, टी.आर. केन और डी.ए. लेविंसन (1985)। ''गतिकी, सिद्धांत और अनुप्रयोग'' पीपी. 90-99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 मुफ्त डाउनलोड]</ref>

यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से वस्तु के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टॉर्क की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] या [[ जड़ता |जड़ता]] में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक [[ बल |बल]] एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे टॉर्क कहा जाता है'')''घूमता है।<ref name=Kane>केन, टी.आर. केन और डी.ए. लेविंसन (1985)। ''गतिकी, सिद्धांत और अनुप्रयोग'' पीपी. 90-99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 मुफ्त डाउनलोड]</ref>

उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया एक घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि एक ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक पल में ''टॉर्क'' कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर एक पार्श्व बल एक क्षण उत्पन्न करता है (जिसे [[ झुकने वाला क्षण |झुकने वाला क्षण]] कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टॉर्क नहीं कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप पल में ''टॉर्क'' कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर पार्श्व बल क्षण उत्पन्न करता है (जिसे [[ झुकने वाला क्षण |झुकने वाला क्षण]] कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टॉर्क नहीं कहा जाता है।

== परिभाषा और कोणीय गति से संबंध ==

[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|एक कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब एक बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''⊥ टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>| |</nowiki>'''F'''⊥<nowiki>|</nowiki> = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>| |</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki> sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]]

[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''⊥ टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>| |</nowiki>'''F'''⊥<nowiki>|</nowiki> = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>| |</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki> sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]]

[[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, एक न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref>

[[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref>

सामान्यतः, एक बिंदु कण पर टॉर्क (जिसकी स्थिति '''r''' कुछ संदर्भ फ्रेम में होती है) को [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] <math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:

Line 109:

संवेग का क्रॉस गुणांक <math>\mathbf{p}</math> with its associated velocity <math>\mathbf{v}</math> शून्य है क्योंकि वेग और संवेग समानांतर हैं, इसलिए दूसरा पद लुप्त हो जाता है।

परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F'''। इसलिए, एक कण पर टॉर्क के बराबर होता है

परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F'''। इसलिए, कण पर टॉर्क के बराबर होता है

[[ अवकलज#अवकलन के लिए अंकन | समय के संबंध में इसके कोणीय संवेग का प्रथम अवकलज]] ।

Line 115:

<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ बार \ गणित {एफ} _ {\ गणित {नेट}} = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}.</math>

यह बिंदु कणों के लिए एक सामान्य प्रमाण है।

यह बिंदु कणों के लिए सामान्य प्रमाण है।

उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की एक प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के भीतर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है।

उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के भीतर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है।

== इकाइयां ==

टॉर्क में [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम]] बल समय [[ दूरी |दूरी]] , प्रतीकात्मक रूप से है {{dimanalysis|length=2|mass=1|time=−2}}. ~~हालांकि~~ वे मौलिक आयाम [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] या [[ यांत्रिक कार्य |कार्य]] के लिए समान हैं, आधिकारिक [[ एसआई |एसआई]] साहित्य इकाई [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] (N⋅m) का उपयोग करने का सुझाव देता है और [[ जूल |जूल]] कभी नहीं<ref name=BIPM222>[https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/ आधिकारिक एसआई वेबसाइट] से, द इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स - 9वां संस्करण - अंग्रेजी में टेक्स्ट सेक्शन 2.3.4: ...के लिए

टॉर्क में [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम]] बल समय [[ दूरी |दूरी]] , प्रतीकात्मक रूप से है {{dimanalysis|length=2|mass=1|time=−2}}. चूंकि वे मौलिक आयाम [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] या [[ यांत्रिक कार्य |कार्य]] के लिए समान हैं, आधिकारिक [[ एसआई |एसआई]] साहित्य इकाई [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] (N⋅m) का उपयोग करने का सुझाव देता है और [[ जूल |जूल]] कभी नहीं<ref name=BIPM222>[https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/ आधिकारिक एसआई वेबसाइट] से, द इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स - 9वां संस्करण - अंग्रेजी में टेक्स्ट सेक्शन 2.3.4: ...के लिए

उदाहरण के लिए, मात्रा टोक़ स्थिति वेक्टर और बल वेक्टर का क्रॉस उत्पाद है।

SI मात्रक न्यूटन मीटर है। यद्यपि बलाघूर्ण का आयाम ऊर्जा के समान है (SI मात्रक .)

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टॉर्क के लिए पारंपरिक इंपीरियल और यू.एस. प्रथागत इकाइयां [[ पाउंड-फुट (टॉर्क) |पाउंड फुट]] (एलबीएफ-फीट), या छोटे मूल्यों के लिए पाउंड इंच (एलबीएफ-इन) हैं। अमेरिका में, टॉर्क को सामान्यतः फुट-पाउंड (एलबी-फीट या फीट-एलबी के रूप में चिह्नित) और '''इंच-पाउंड''' (इन-एलबी के रूप में चिह्नित) के रूप में जाना जाता है।<ref name=GRAINGER>{{cite web | title=Dial Torque Wrenches from Grainger | publisher=Grainger| year=2020 | url=https://www.grainger.com/category/tools/hand-tools/wrenches/torque-wrenches-accessories/dial-torque-wrenches}} प्रदर्शन है कि, जैसा कि अधिकांश अमेरिकी औद्योगिक सेटिंग्स में, टोक़ पर्वतमाला lbf-ft के बजाय ft-lb में दी जाती है</ref><ref>{{cite book | last1 = Erjavec | first1 = Jack | title = Manual Transmissions & Transaxles: Classroom manual | date = 22 January 2010 | pages = 38 | isbn = 978-1-4354-3933-7 }}</ref> प्रैक्टिशनर यह जानने के लिए संदर्भ और संक्षिप्त नाम में हाइफ़न पर निर्भर करते हैं कि ये टॉर्क को संदर्भित करते हैं न कि ऊर्जा या द्रव्यमान के क्षण को (जैसा कि प्रतीकवाद ft-lb ठीक से इंगित करेगा)।

== विशेष ~~मामले~~ और अन्य तथ्य ==

== विशेष स्थिति और अन्य तथ्य ==

=== पल हाथ सूत्र ===

[[File:moment arm.svg|thumb|right|मोमेंट आर्म डायग्राम ]]

एक बहुत ही उपयोगी विशेष ~~मामला~~, जिसे ~~अक्सर~~ भौतिकी के ~~अलावा~~ अन्य क्षेत्रों में टॉर्क की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:<math>\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).</math>

बहुत ही उपयोगी विशेष स्थिति, जिसे अधिकांशतः भौतिकी के अतिरिक्त अन्य क्षेत्रों में टॉर्क की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:<math>\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).</math>

आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश '''r''' और '''F''' के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टॉर्क की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी ~~मामलों~~ में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश '''r''' के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। एक लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टॉर्क के परिमाण के लिए समीकरण:

आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश '''r''' और '''F''' के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टॉर्क की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी स्थितियों में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश '''r''' के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टॉर्क के परिमाण के लिए समीकरण:

<math>\tau = (\text{distance to centre}) (\text{force}).</math>

उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 एन का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 एन का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 N का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 N का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है।

[[File:PrecessionOfATop.svg|thumb|right|दो विरोधी बलों '''F'''g और −'''F'''g के कारण उत्पन्न बलाघूर्ण उस बलाघूर्ण की दिशा में कोणीय संवेग '''L''' में परिवर्तन का कारण बनता है। यह शीर्ष को [[ पूर्व |पूर्व]] का कारण बनता है। ]]

=== स्थिर संतुलन ===

किसी वस्तु के [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टॉर्क (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: ''H'' = 0 और Σ''V'' = 0, और टॉर्क एक तीसरा समीकरण: Σ = 0. अर्थात्, [[ को स्थिर रूप से निर्धारित |को स्थिर रूप से निर्धारित]] संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

किसी वस्तु के [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टॉर्क (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: ''H'' = 0 और Σ''V'' = 0, और टॉर्क का तीसरा समीकरण: Σ = 0. अर्थात्, [[ को स्थिर रूप से निर्धारित |को स्थिर रूप से निर्धारित]] संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

=== शुद्ध बल के विपरीत बलाघूर्ण ===

जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टॉर्क संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल <math>\mathbf{F}</math> शून्य नहीं है, और <math>\boldsymbol{\tau}_1</math>, <math>\mathbf{r}_1</math> टॉर्क से मापा जाता है, तब <math>\mathbf{r}_2</math>से टॉर्क मापा जाता है

जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टॉर्क संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल <math>\mathbf{F}</math> शून्य नहीं है, और <math>\boldsymbol{\tau}_1</math>, <math>\mathbf{r}_1</math> टॉर्क से मापा जाता है, तब <math>\mathbf{r}_2</math>से टॉर्क मापा जाता है

<गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_1 + (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \times \mathbf{F}<nowiki></math></nowiki>

== मशीन टॉर्क ==

[[File:Torque Curve.svg|thumb|मोटरसाइकिल का टॉर्क कर्व (बीएमडब्लू के 1200 आर 2005)। क्षैतिज अक्ष गति दिखाता है ( [[ क्रांति प्रति मिनट |आरपीएम]] में) कि [[ क्रैंकशाफ्ट |क्रैंकशाफ्ट]] मुड़ रहा है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष टॉर्क है ( [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड में) जो इंजन उस गति से प्रदान करने में सक्षम है। ]]

[[File:Torque Curve.svg|thumb|मोटरसाइकिल का टॉर्क कर्व (बीएमडब्लू के 1200 आर 2005)। क्षैतिज अक्ष गति दिखाता है ([[ क्रांति प्रति मिनट |आरपीएम]] में) कि [[ क्रैंकशाफ्ट |क्रैंकशाफ्ट]] मुड़ रहा है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष टॉर्क है ([[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड में) जो इंजन उस गति से प्रदान करने में सक्षम है। ]]

टॉर्क [[ इंजन |इंजन]] के ~~बुनियादी~~ विनिर्देश का हिस्सा है: [[ पावर (भौतिकी) |पावर]] इंजन के आउटपुट को इसके टॉर्क को धुरी की घूर्णी गति से गुणा करके व्यक्त किया जाता है। [[ आंतरिक दहन |आंतरिक-दहन]] इंजन केवल सीमित घूर्णन गति (सामान्यतः एक छोटी कार के लिए लगभग 1,000-6,000 आरपीएम से) पर उपयोगी टॉर्क का गुणांकन करते हैं। एक [[ डायनेमोमीटर |डायनेमोमीटर]] के साथ उस सीमा पर अलग-अलग टॉर्क आउटपुट को माप सकता है, और इसे टॉर्क वक्र के रूप में दिखा सकता है।

टॉर्क [[ इंजन |इंजन]] के मूलभूत विनिर्देश का हिस्सा है: [[ पावर (भौतिकी) |पावर]] इंजन के आउटपुट को इसके टॉर्क को धुरी की घूर्णी गति से गुणा करके व्यक्त किया जाता है। [[ आंतरिक दहन |आंतरिक-दहन]] इंजन केवल सीमित घूर्णन गति (सामान्यतः छोटी कार के लिए लगभग 1,000-6,000 आरपीएम से) पर उपयोगी टॉर्क का गुणांकन करते हैं। [[ डायनेमोमीटर |डायनेमोमीटर]] के साथ उस सीमा पर अलग-अलग टॉर्क आउटपुट को माप सकता है, और इसे टॉर्क वक्र के रूप में दिखा सकता है।

[[ स्टीम इंजन | स्टीम इंजन]] एस और [[ इलेक्ट्रिक मोटर |इलेक्ट्रिक मोटर]] एस शून्य आरपीएम के करीब अधिकतम टॉर्क का गुणांकन करते हैं, साथ ही घूर्णी गति बढ़ने (बढ़ते घर्षण और अन्य बाधाओं के कारण) के साथ टॉर्क कम हो जाता है। पारस्परिक भाप-इंजन और इलेक्ट्रिक मोटर बिना [[ क्लच |क्लच]] के शून्य आरपीएम से भारी भार शुरू कर सकते हैं।

[[ स्टीम इंजन |स्टीम इंजन]] एस और [[ इलेक्ट्रिक मोटर |इलेक्ट्रिक मोटर]] एस शून्य आरपीएम के करीब अधिकतम टॉर्क का गुणांकन करते हैं, साथ ही घूर्णी गति बढ़ने (बढ़ते घर्षण और अन्य बाधाओं के कारण) के साथ टॉर्क कम हो जाता है। पारस्परिक भाप-इंजन और इलेक्ट्रिक मोटर बिना [[ क्लच |क्लच]] के शून्य आरपीएम से भारी भार शुरू कर सकते हैं।

== टॉर्क, शक्ति और ऊर्जा के बीच संबंध ==

यदि एक [[ बल |बल]] को दूर से कार्य करने की अनुमति दी जाती है, तो यह [[ यांत्रिक कार्य |यांत्रिक कार्य]] कर रहा है। इसी तरह, यदि टॉर्क को घूर्णी दूरी के माध्यम से कार्य करने की अनुमति है, तो यह काम कर रहा है। गणितीय रूप से, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कार्य ''W'' को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

यदि [[ बल |बल]] को दूर से कार्य करने की अनुमति दी जाती है, तो यह [[ यांत्रिक कार्य |यांत्रिक कार्य]] कर रहा है। इसी तरह, यदि टॉर्क को घूर्णी दूरी के माध्यम से कार्य करने की अनुमति है, तो यह काम कर रहा है। गणितीय रूप से, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कार्य ''W'' को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

:<math qid=Q104145165> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta,</math>

Line 171:

काम के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापन देता है<math>W = \int_{s_1}^{s_2} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r}</math>

अभिव्यक्ति <math>\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{r}</math> द्वारा दिया गया एक [[scalar triple product|स्केलर ट्रिपल गुणांक]] <math>\left[\mathbf{F}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right]</math> दिया गया है, समान अदिश त्रिगुण गुणांक के लिए एक वैकल्पिक व्यंजक है<math>\left[\mathbf{F} \, \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right] = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>

अभिव्यक्ति <math>\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{r}</math> द्वारा दिया गया [[scalar triple product|स्केलर ट्रिपल गुणांक]] <math>\left[\mathbf{F}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right]</math> दिया गया है, समान अदिश त्रिगुण गुणांक के लिए वैकल्पिक व्यंजक है

<math>\left[\mathbf{F} \, \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right] = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>

लेकिन टॉर्क की परिभाषा के अनुसार,<math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}</math>

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जहां ''I'' बॉडी की जड़ता का क्षण है और ''ω'' इसकी [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] है<ref name="kleppner_267-68" />

[[ शक्ति (भौतिकी) | शक्ति]] प्रति इकाई कार्य है [[ गुणा |गुणा]] , द्वारा दिया गया है

[[ शक्ति (भौतिकी) | शक्ति]] प्रति इकाई कार्य है [[ गुणा |गुणा]], द्वारा दिया गया है

:<math qid=Q104145185>P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega},</math>

जहाँ ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, ''ω'' [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] है, और [[ अदिश उत्पाद |अदिश गुणांक]] का प्रतिनिधित्व करता है।

बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और बिजली गुणांकन के लिए टॉर्क की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टॉर्क द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टॉर्क प्रयुक्त होने के दौरान कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक ~~मामले~~ के बराबर है जहां शक्ति एक बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।

बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और बिजली गुणांकन के लिए टॉर्क की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टॉर्क द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टॉर्क प्रयुक्त होने के दौरान कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक स्थिति के बराबर है जहां शक्ति बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।

व्यवहार में, यह संबंध [[ साइकिल |साइकिल]] सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें सामान्यतः दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर ( [[ स्प्रोकेट |स्प्रोकेट]] के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो एक गोलाकार [[ साइकिल श्रृंखला |श्रृंखला]] और एक [[ डिरेलियर के साथ जाली होती हैं। गियर्स |डिरेलियर मैकेनिज्म]] यदि साइकिल का ट्रांसमिशन सिस्टम कई गियर अनुपातों का उपयोग करने की अनुमति देता है (~~यानी~~ [[ सिंगल-स्पीड साइकिल#फायदे और नुकसान बनाम मल्टी-स्पीड साइकिल |मल्टी-स्पीड साइकिल]] ), जो सभी [[ साइकिल फ्रेम से जुड़े हैं |फ्रेम]] । एक [[ साइकिल चालक |साइकिल चालक]] , जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे [[ क्रैंक (तंत्र) |क्रैंकिंग]] फ्रंट स्प्रोकेट (सामान्यतः [[ क्रैंक के रूप में जाना जाता है)सेट # चेनिंग |चेनिंग]] )। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति [[ ताल (साइकिल चलाना) |ताल]] (~~यानी~~ प्रति मिनट पेडल रेवोलुशन की संख्या) के गुणांक के बराबर है और साइकिल के [[ क्रैंकसेट |क्रैंकसेट]] के [[ एक्सल |स्पिंडल]] पर टॉर्क है। साइकिल की [[ साइकिल ड्राइवट्रेन सिस्टम |ड्राइवट्रेन]] इनपुट पावर को [[ व्हील |व्हील]] तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट पावर के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के [[ गियर अनुपात |गियर अनुपात]] के आधार पर, एक (टॉर्क, आरपीएम)<उप>इनपुट</उप> जोड़ी को (टॉर्क, आरपीएम)<उप>आउटपुट</उप> जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की [[ कोणीय आवृत्ति |कोणीय गति]] कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका गुणांक (~~यानी~~ पावर) नहीं बदलता है।

व्यवहार में, यह संबंध [[ साइकिल |साइकिल]] सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें सामान्यतः दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर ( [[ स्प्रोकेट |स्प्रोकेट]] के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो गोलाकार [[ साइकिल श्रृंखला |श्रृंखला]] और [[ डिरेलियर के साथ जाली होती हैं। गियर्स |डिरेलियर मैकेनिज्म]] यदि साइकिल का ट्रांसमिशन सिस्टम कई गियर अनुपातों का उपयोग करने की अनुमति देता है (अर्थात् [[ सिंगल-स्पीड साइकिल#फायदे और नुकसान बनाम मल्टी-स्पीड साइकिल |मल्टी-स्पीड साइकिल]] ), जो सभी [[ साइकिल फ्रेम से जुड़े हैं |फ्रेम]] । [[ साइकिल चालक |साइकिल चालक]] , जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे [[ क्रैंक (तंत्र) |क्रैंकिंग]] फ्रंट स्प्रोकेट (सामान्यतः [[ क्रैंक के रूप में जाना जाता है)सेट # चेनिंग |चेनिंग]] )। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति [[ ताल (साइकिल चलाना) |ताल]] (अर्थात् प्रति मिनट पेडल रेवोलुशन की संख्या) के गुणांक के बराबर है और साइकिल के [[ क्रैंकसेट |क्रैंकसेट]] के [[ एक्सल |स्पिंडल]] पर टॉर्क है। साइकिल की [[ साइकिल ड्राइवट्रेन सिस्टम |ड्राइवट्रेन]] इनपुट पावर को [[ व्हील |व्हील]] तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट पावर के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के [[ गियर अनुपात |गियर अनुपात]] के आधार पर, (टॉर्क, आरपीएम)<उप>इनपुट</उप> जोड़ी को (टॉर्क, आरपीएम)<उप>आउटपुट</उप> जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की [[ कोणीय आवृत्ति |कोणीय गति]] कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका गुणांक (अर्थात् पावर) नहीं बदलता है।

संगत इकाइयों का उपयोग किया जाना चाहिए। मीट्रिक एसआई इकाइयों के लिए, शक्ति [[ वाट |वाट]] सेकेंड है, टॉर्क [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड है और कोणीय गति [[ रेडियन |रेडियन]] सेकेंड प्रति सेकेंड है (आरपीएम नहीं और प्रति सेकेंड क्रांति नहीं)।

इसके ~~अलावा~~, यूनिट न्यूटन मीटर [[ आयामी विश्लेषण |आयामी]] से [[ जूल |जूल]] के बराबर है, जो ऊर्जा की इकाई है। ~~हालांकि~~, टॉर्क ~~के मामले~~ में, इकाई को [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |वेक्टर]] को सौंपा गया है, जबकि [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] के लिए, इसे [[ स्केलर (भौतिकी) |स्केलर]] को सौंपा गया है। इसका अर्थ है कि न्यूटन मीटर और जूल की विमीय तुल्यता पूर्व में प्रयुक्त की जा सकती है, लेकिन बाद ~~के मामले~~ में नहीं। इस समस्या को [[ आयामी विश्लेषण # सियानो के विस्तार में संबोधित किया गया है: ओरिएंटेशनल विश्लेषण |ओरिएंटेशनल विश्लेषण]] जो रेडियंस को एक आयाम रहित इकाई के अतिरिक्त आधार इकाई के रूप में मानता है<ref>{{cite journal |last=Page |first=Chester H. |year=1979 |title=Rebuttal to de Boer's "Group properties of quantities and units" |journal=American Journal of Physics |volume=47 |issue=9 |page=820 |doi=10.1119/1.11704|bibcode=1979AmJPh..47..820P }}</ref>

इसके अतिरिक्त, यूनिट न्यूटन मीटर [[ आयामी विश्लेषण |आयामी]] से [[ जूल |जूल]] के बराबर है, जो ऊर्जा की इकाई है। चूंकि, टॉर्क की स्थिति में, इकाई को [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |वेक्टर]] को सौंपा गया है, जबकि [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] के लिए, इसे [[ स्केलर (भौतिकी) |स्केलर]] को सौंपा गया है। इसका अर्थ है कि न्यूटन मीटर और जूल की विमीय तुल्यता पूर्व में प्रयुक्त की जा सकती है, लेकिन बाद की स्थिति में नहीं। इस समस्या को [[ आयामी विश्लेषण # सियानो के विस्तार में संबोधित किया गया है: ओरिएंटेशनल विश्लेषण |ओरिएंटेशनल विश्लेषण]] जो रेडियंस को आयाम रहित इकाई के अतिरिक्त आधार इकाई के रूप में मानता है<ref>{{cite journal |last=Page |first=Chester H. |year=1979 |title=Rebuttal to de Boer's "Group properties of quantities and units" |journal=American Journal of Physics |volume=47 |issue=9 |page=820 |doi=10.1119/1.11704|bibcode=1979AmJPh..47..820P }}</ref>

=== अन्य इकाइयों में रूपांतरण ===

शक्ति या टॉर्क की विभिन्न इकाइयों का उपयोग करते समय एक रूपांतरण कारक आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोणीय गति (प्रति समय रेडियन) के स्थान पर [[ घूर्णी गति |घूर्णी गति]] (प्रति समय क्रांति) का उपयोग किया जाता है, तो हम एक कारक ~~से गुणा करते हैं~~{{pi}} प्रति क्रांति ~~रेडियन।~~ निम्नलिखित सूत्रों में, ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, और ''ν'' ( [[ Nu (अक्षर) |ग्रीक अक्षर nu]] ) घूर्णन गति है।<math>P = \tau \cdot 2 \pi \cdot \nu</math>

शक्ति या टॉर्क की विभिन्न इकाइयों का उपयोग करते समय रूपांतरण कारक आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोणीय गति (प्रति समय रेडियन) के स्थान पर [[ घूर्णी गति |घूर्णी गति]] (प्रति समय क्रांति) का उपयोग किया जाता है, तो हम कारक {{pi}} प्रति क्रांति रेडियन से गुणा करते हैं। निम्नलिखित सूत्रों में, ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, और ''ν'' ( [[ Nu (अक्षर) |ग्रीक अक्षर nu]] ) घूर्णन गति है।<math>P = \tau \cdot 2 \pi \cdot \nu</math>

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 {{Classical mechanics|cTopic=Fundamental concepts}}
-  [[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए एक बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह एक रैखिक बल एक धक्का या एक खिंचाव है, उसी तरह एक टॉर्क को एक विशिष्ट अक्ष के चारों ओर एक वस्तु के लिए एक मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी को [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |रोटेशन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]] । जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है।
+  [[ भौतिकी |भौतिकी]] और [[ यांत्रिकी |यांत्रिकी]] में, टॉर्क रैखिक [[ बल |बल]] के घूर्णी समकक्ष है<ref>सेरवे, आर.ए. और ज्वेट, जूनियर जे.डब्ल्यू. (2003)। ''वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए भौतिकी''। 6 वां एड। ब्रूक्स कोल। {{ISBN|0-534-40842-7}}</ref> इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रअभिव्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है। यह बॉडी की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति [[ आर्किमिडीज |आर्किमिडीज]] द्वारा [[ लीवर |लीवर]] एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह रैखिक बल धक्का या खिंचाव है, उसी तरह टॉर्क को विशिष्ट अक्ष के चारों ओर वस्तु के लिए मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और [[ लाइन ऑफ एक्शन |लाइन ऑफ एक्शन]] की लंबवत दूरी को [[ रोटेशन से एक निश्चित अक्ष |रोटेशन]] अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टॉर्क के लिए <math>\boldsymbol\tau</math> प्रतीक सामान्यतः है, लोअरकेस [[ ग्रीक वर्णमाला |ग्रीक अक्षर]] [[ ताऊ |ताऊ]]। जब [[ पल (भौतिकी) |पल]] बल के रूप में संदर्भित किया जाता है,तो इसे सामान्यतः {{mvar|M}} द्वारा दर्शाया जाता है।
 तीन आयामों में, टॉर्क [[ स्यूडोवेक्टर |स्यूडोवेक्टर]] है; [[ बिंदु कण |बिंदु कण]] के लिए, यह स्थिति वेक्टर के [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] ( [[ यूक्लिडियन वेक्टर |दूरी वेक्टर]] ) और बल वेक्टर द्वारा दिया गया है। [[ कठोर शरीर |कठोर बॉडी]] के बल आघूर्ण का परिमाण तीन मात्राओं पर निर्भर करता है: प्रयुक्त बल, लीवर आर्म वेक्टर<ref>{{cite book|author=Tipler, Paul|title=Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillations and Waves, Thermodynamics (5th ed.)|publisher=W. H. Freeman|year=2004|isbn=0-7167-0809-4}}</ref> उस बिंदु को जोड़ना जिसके बारे में बल के अनुप्रयोग के बिंदु पर टॉर्क को मापा जा रहा है, और बल और लीवर आर्म सदिश के बीच का कोण। प्रतीकों में:
 :<math qid=Q104177819>\boldsymbol \tau = \mathbf{r}\times \mathbf{F}\,\!</math><math>\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!</math>
-जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और  <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से एक वेक्टर जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल वेक्टर है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो एक वेक्टर उत्पन्न करता है जो दोनों के लिए [[ लंबवत |लंबवत]] है {{mvar|r}} और {{mvar|F}} [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए, <math> \theta</math> बल वेक्टर और लीवर आर्म वेक्टर के बीच का कोण है।
+जहाँ पर, <math>\boldsymbol\tau</math> टॉर्क सदिश है और <math>\tau</math> टॉर्क का परिमाण है, <math> \mathbf{r} </math> स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से वेक्टर जिसके बारे में टॉर्क को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है), <math> \mathbf{F} </math> बल वेक्टर है, <math> \times </math> [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] को दर्शाता है, जो वेक्टर उत्पन्न करता है जो दोनों के लिए [[ लंबवत |लंबवत]] है {{mvar|r}} और {{mvar|F}} [[ दाहिने हाथ के नियम |दाहिने हाथ के नियम]] का पालन करते हुए, <math> \theta</math> बल वेक्टर और लीवर आर्म वेक्टर के बीच का कोण है।
 टॉर्क के लिए [[ एसआई यूनिट |एसआई यूनिट]] [[ न्यूटन-मीटर |न्यूटन-मीटर]] (N⋅m) है। टॉर्क की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें {{slink||Units}}.
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 === यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग शब्दावली में टॉर्क और क्षण ===
-यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से एक वस्तु के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टॉर्क की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] या [[ जड़ता |जड़ता]] में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण एक सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक [[ बल |बल]] एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को एक अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे टॉर्क कहा जाता है'')''घूमता है।<ref name=Kane>केन, टी.आर. केन और डी.ए. लेविंसन (1985)। ''गतिकी, सिद्धांत और अनुप्रयोग'' पीपी. 90-99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 मुफ्त डाउनलोड]</ref>
+यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से वस्तु के [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टॉर्क की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] या [[ जड़ता |जड़ता]] में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक [[ बल |बल]] एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन आवश्यक नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे टॉर्क कहा जाता है'')''घूमता है।<ref name=Kane>केन, टी.आर. केन और डी.ए. लेविंसन (1985)। ''गतिकी, सिद्धांत और अनुप्रयोग'' पीपी. 90-99: [http://ecommons.library.cornell.edu/handle/1813/638 मुफ्त डाउनलोड]</ref>
-उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया एक घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि एक ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक पल में ''टॉर्क'' कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर एक पार्श्व बल एक क्षण उत्पन्न करता है (जिसे [[ झुकने वाला क्षण |झुकने वाला क्षण]] कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टॉर्क नहीं कहा जाता है।
+उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप पल में ''टॉर्क'' कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर पार्श्व बल क्षण उत्पन्न करता है (जिसे [[ झुकने वाला क्षण |झुकने वाला क्षण]] कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टॉर्क नहीं कहा जाता है।
 == परिभाषा और कोणीय गति से संबंध ==
-[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|एक कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब एक बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''<sub>⊥</sub> टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<sub>⊥</sub><nowiki>|</nowiki> = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki> sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]]
+[[File:Torque, position, and force.svg|thumb|right|कण अपने घूर्णन अक्ष के सापेक्ष '''r''' स्थिति में स्थित होता है। जब बल '''F''' कण पर लगाया जाता है, तो केवल लंबवत घटक '''F'''<sub>⊥</sub> टॉर्क उत्पन्न करता है। यह टॉर्क {{math|1='''τ''' = '''r''' × '''F'''}} परिमाण है {{math|1=''τ'' = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<sub>⊥</sub><nowiki>|</nowiki> = <nowiki>|</nowiki>'''r'''<nowiki>|&thinsp;|</nowiki>'''F'''<nowiki>|</nowiki> sin ''θ''}} और पृष्ठ से बाहर की ओर निर्देशित है। ]]
-  [[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, एक न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref>
+  [[ लीवर |लीवर के फुलक्रम]] ([[ लीवर आर्म |लीवर आर्म]] की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन [[ न्यूटन (इकाई) |न्यूटन]] के बल ने फुलक्रम से दो [[ मीटर |मीटर]] सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, न्यूटन के बल के रूप में एक ही टॉर्क को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा [[ राइट हैंड ग्रिप नियम |राइट हैंड ग्रिप नियम]] का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः<ref>{{cite web|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/tord.html|title=Right Hand Rule for Torque|access-date=2007-09-08}}</ref>
 सामान्यतः, एक बिंदु कण पर टॉर्क (जिसकी स्थिति '''r''' कुछ संदर्भ फ्रेम में होती है) को [[ क्रॉस उत्पाद |क्रॉस गुणांक]] <math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},</math> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
@@ Line 109: / Line 109: @@
 संवेग का क्रॉस गुणांक <math>\mathbf{p}</math> with its associated velocity <math>\mathbf{v}</math> शून्य है क्योंकि वेग और संवेग समानांतर हैं, इसलिए दूसरा पद लुप्त हो जाता है।
-परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F'''। इसलिए, एक कण पर टॉर्क के बराबर होता है
+परिभाषा के अनुसार, टॉर्क '''τ''' = '''r''' × '''F'''। इसलिए, कण पर टॉर्क के बराबर होता है
   [[ अवकलज#अवकलन के लिए अंकन | समय के संबंध में इसके कोणीय संवेग का प्रथम अवकलज]] ।
@@ Line 115: / Line 115: @@
 <गणित प्रदर्शन = ब्लॉक> \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ बार \ गणित {एफ} _ {\ गणित {नेट}} = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}.</math>
-यह बिंदु कणों के लिए एक सामान्य प्रमाण है।
+यह बिंदु कणों के लिए सामान्य प्रमाण है।
-उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की एक प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के भीतर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है।
+उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर प्रयुक्त करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर प्रमाण को बिंदु कणों की प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के भीतर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को प्रयुक्त करके प्रमाण को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर [[ इंटीग्रल कैलकुस |पूरे द्रव्यमान पर]] को एकीकृत कर सकता है।
 == इकाइयां ==
-टॉर्क में [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम]] बल समय [[ दूरी |दूरी]] , प्रतीकात्मक रूप से है {{dimanalysis|length=2|mass=1|time=−2}}. हालांकि वे मौलिक आयाम [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] या [[ यांत्रिक कार्य |कार्य]] के लिए समान हैं, आधिकारिक [[ एसआई |एसआई]] साहित्य इकाई [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] (N⋅m) का उपयोग करने का सुझाव देता है और [[ जूल |जूल]] कभी नहीं<ref name=BIPM222>[https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/ आधिकारिक एसआई वेबसाइट] से, द इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स - 9वां संस्करण - अंग्रेजी में टेक्स्ट सेक्शन 2.3.4: ...के लिए
+टॉर्क में [[ आयाम (भौतिकी) |आयाम]] बल समय [[ दूरी |दूरी]] , प्रतीकात्मक रूप से है {{dimanalysis|length=2|mass=1|time=−2}}. चूंकि वे मौलिक आयाम [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] या [[ यांत्रिक कार्य |कार्य]] के लिए समान हैं, आधिकारिक [[ एसआई |एसआई]] साहित्य इकाई [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] (N⋅m) का उपयोग करने का सुझाव देता है और [[ जूल |जूल]] कभी नहीं<ref name=BIPM222>[https://www.bipm.org/en/publications/si-brochure/ आधिकारिक एसआई वेबसाइट] से, द इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स - 9वां संस्करण - अंग्रेजी में टेक्स्ट सेक्शन 2.3.4: ...के लिए
 उदाहरण के लिए, मात्रा टोक़ स्थिति वेक्टर और बल वेक्टर का क्रॉस उत्पाद है।
 SI मात्रक न्यूटन मीटर है। यद्यपि बलाघूर्ण का आयाम ऊर्जा के समान है (SI मात्रक .)
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 टॉर्क के लिए पारंपरिक इंपीरियल और यू.एस. प्रथागत इकाइयां [[ पाउंड-फुट (टॉर्क) |पाउंड फुट]] (एलबीएफ-फीट), या छोटे मूल्यों के लिए पाउंड इंच (एलबीएफ-इन) हैं। अमेरिका में, टॉर्क को सामान्यतः फुट-पाउंड (एलबी-फीट या फीट-एलबी के रूप में चिह्नित) और '''इंच-पाउंड''' (इन-एलबी के रूप में चिह्नित) के रूप में जाना जाता है।<ref name=GRAINGER>{{cite web | title=Dial Torque Wrenches from Grainger | publisher=Grainger| year=2020 | url=https://www.grainger.com/category/tools/hand-tools/wrenches/torque-wrenches-accessories/dial-torque-wrenches}} प्रदर्शन है कि, जैसा कि अधिकांश अमेरिकी औद्योगिक सेटिंग्स में, टोक़ पर्वतमाला lbf-ft के बजाय ft-lb में दी जाती है</ref><ref>{{cite book | last1 = Erjavec | first1 = Jack | title = Manual Transmissions & Transaxles: Classroom manual | date = 22 January 2010 | pages = 38 | isbn = 978-1-4354-3933-7 }}</ref> प्रैक्टिशनर यह जानने के लिए संदर्भ और संक्षिप्त नाम में हाइफ़न पर निर्भर करते हैं कि ये टॉर्क को संदर्भित करते हैं न कि ऊर्जा या द्रव्यमान के क्षण को (जैसा कि प्रतीकवाद ft-lb ठीक से इंगित करेगा)।
-== विशेष मामले और अन्य तथ्य ==
+== विशेष स्थिति और अन्य तथ्य ==
 === पल हाथ सूत्र ===
 [[File:moment arm.svg|thumb|right|मोमेंट आर्म डायग्राम ]]
-एक बहुत ही उपयोगी विशेष मामला, जिसे अक्सर भौतिकी के अलावा अन्य क्षेत्रों में टॉर्क की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:<math>\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).</math>
+बहुत ही उपयोगी विशेष स्थिति, जिसे अधिकांशतः भौतिकी के अतिरिक्त अन्य क्षेत्रों में टॉर्क की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:<math>\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).</math>
-आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश '''r''' और '''F''' के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टॉर्क की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी मामलों में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश '''r''' के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। एक लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टॉर्क के परिमाण के लिए समीकरण:
+आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश '''r''' और '''F''' के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टॉर्क की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी स्थितियों में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश '''r''' के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टॉर्क के परिमाण के लिए समीकरण:
 <math>\tau = (\text{distance to centre}) (\text{force}).</math>
-उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 एन का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 एन का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है।
+उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 N का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 N का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है।
 [[File:PrecessionOfATop.svg|thumb|right|दो विरोधी बलों '''F'''<sub>g</sub> और −'''F'''<sub>g</sub> के कारण उत्पन्न बलाघूर्ण उस बलाघूर्ण की दिशा में कोणीय संवेग '''L''' में परिवर्तन का कारण बनता है। यह शीर्ष को [[ पूर्व |पूर्व]] का कारण बनता है। ]]
 === स्थिर संतुलन ===
-किसी वस्तु के [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टॉर्क (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: ''H'' = 0 और Σ''V'' = 0, और टॉर्क एक तीसरा समीकरण: Σ = 0. अर्थात्, [[ को स्थिर रूप से निर्धारित |को स्थिर रूप से निर्धारित]] संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है।
+किसी वस्तु के [[ स्थिर संतुलन |स्थिर संतुलन]] में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टॉर्क (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: ''H'' = 0 और Σ''V'' = 0, और टॉर्क का तीसरा समीकरण: Σ = 0. अर्थात्, [[ को स्थिर रूप से निर्धारित |को स्थिर रूप से निर्धारित]] संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है।
 === शुद्ध बल के विपरीत बलाघूर्ण ===
-जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टॉर्क संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल <math>\mathbf{F}</math> शून्य नहीं है, और <math>\boldsymbol{\tau}_1</math>, <math>\mathbf{r}_1</math> टॉर्क से मापा जाता है, तब <math>\mathbf{r}_2</math>से टॉर्क मापा जाता है
+जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टॉर्क संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल <math>\mathbf{F}</math> शून्य नहीं है, और <math>\boldsymbol{\tau}_1</math>, <math>\mathbf{r}_1</math> टॉर्क से मापा जाता है, तब <math>\mathbf{r}_2</math>से टॉर्क मापा जाता है
 <गणित प्रदर्शन = ब्लॉक>\boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_1 + (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \times \mathbf{F}<nowiki></math></nowiki>
 == मशीन टॉर्क ==
-[[File:Torque Curve.svg|thumb|मोटरसाइकिल का टॉर्क कर्व (बीएमडब्लू के 1200 आर 2005)। क्षैतिज अक्ष गति दिखाता है ( [[ क्रांति प्रति मिनट |आरपीएम]] में) कि [[ क्रैंकशाफ्ट |क्रैंकशाफ्ट]] मुड़ रहा है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष टॉर्क है ( [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड में) जो इंजन उस गति से प्रदान करने में सक्षम है। ]]
+[[File:Torque Curve.svg|thumb|मोटरसाइकिल का टॉर्क कर्व (बीएमडब्लू के 1200 आर 2005)। क्षैतिज अक्ष गति दिखाता है ([[ क्रांति प्रति मिनट |आरपीएम]] में) कि [[ क्रैंकशाफ्ट |क्रैंकशाफ्ट]] मुड़ रहा है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष टॉर्क है ([[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड में) जो इंजन उस गति से प्रदान करने में सक्षम है। ]]
-टॉर्क [[ इंजन |इंजन]] के बुनियादी विनिर्देश का हिस्सा है: [[ पावर (भौतिकी) |पावर]] इंजन के आउटपुट को इसके टॉर्क को धुरी की घूर्णी गति से गुणा करके व्यक्त किया जाता है। [[ आंतरिक दहन |आंतरिक-दहन]] इंजन केवल सीमित घूर्णन गति (सामान्यतः एक छोटी कार के लिए लगभग 1,000-6,000 आरपीएम से) पर उपयोगी टॉर्क का गुणांकन करते हैं। एक [[ डायनेमोमीटर |डायनेमोमीटर]] के साथ उस सीमा पर अलग-अलग टॉर्क आउटपुट को माप सकता है, और इसे टॉर्क वक्र के रूप में दिखा सकता है।
+टॉर्क [[ इंजन |इंजन]] के मूलभूत विनिर्देश का हिस्सा है: [[ पावर (भौतिकी) |पावर]] इंजन के आउटपुट को इसके टॉर्क को धुरी की घूर्णी गति से गुणा करके व्यक्त किया जाता है। [[ आंतरिक दहन |आंतरिक-दहन]] इंजन केवल सीमित घूर्णन गति (सामान्यतः छोटी कार के लिए लगभग 1,000-6,000 आरपीएम से) पर उपयोगी टॉर्क का गुणांकन करते हैं। [[ डायनेमोमीटर |डायनेमोमीटर]] के साथ उस सीमा पर अलग-अलग टॉर्क आउटपुट को माप सकता है, और इसे टॉर्क वक्र के रूप में दिखा सकता है।
-  [[ स्टीम इंजन | स्टीम इंजन]] एस और [[ इलेक्ट्रिक मोटर |इलेक्ट्रिक मोटर]] एस शून्य आरपीएम के करीब अधिकतम टॉर्क का गुणांकन करते हैं, साथ ही घूर्णी गति बढ़ने (बढ़ते घर्षण और अन्य बाधाओं के कारण) के साथ टॉर्क कम हो जाता है। पारस्परिक भाप-इंजन और इलेक्ट्रिक मोटर बिना [[ क्लच |क्लच]] के शून्य आरपीएम से भारी भार शुरू कर सकते हैं।
+  [[ स्टीम इंजन |स्टीम इंजन]] एस और [[ इलेक्ट्रिक मोटर |इलेक्ट्रिक मोटर]] एस शून्य आरपीएम के करीब अधिकतम टॉर्क का गुणांकन करते हैं, साथ ही घूर्णी गति बढ़ने (बढ़ते घर्षण और अन्य बाधाओं के कारण) के साथ टॉर्क कम हो जाता है। पारस्परिक भाप-इंजन और इलेक्ट्रिक मोटर बिना [[ क्लच |क्लच]] के शून्य आरपीएम से भारी भार शुरू कर सकते हैं।
 == टॉर्क, शक्ति और ऊर्जा के बीच संबंध ==
-यदि एक [[ बल |बल]] को दूर से कार्य करने की अनुमति दी जाती है, तो यह [[ यांत्रिक कार्य |यांत्रिक कार्य]] कर रहा है। इसी तरह, यदि टॉर्क को घूर्णी दूरी के माध्यम से कार्य करने की अनुमति है, तो यह काम कर रहा है। गणितीय रूप से, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कार्य ''W'' को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
+यदि [[ बल |बल]] को दूर से कार्य करने की अनुमति दी जाती है, तो यह [[ यांत्रिक कार्य |यांत्रिक कार्य]] कर रहा है। इसी तरह, यदि टॉर्क को घूर्णी दूरी के माध्यम से कार्य करने की अनुमति है, तो यह काम कर रहा है। गणितीय रूप से, द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कार्य ''W'' को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 :<math qid=Q104145165> W = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \tau\ \mathrm{d}\theta,</math>
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 काम के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापन देता है<math>W = \int_{s_1}^{s_2} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r}</math>
-अभिव्यक्ति <math>\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{r}</math> द्वारा दिया गया एक  [[scalar triple product|स्केलर ट्रिपल गुणांक]] <math>\left[\mathbf{F}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right]</math> दिया गया है, समान अदिश त्रिगुण गुणांक के लिए एक वैकल्पिक व्यंजक है<math>\left[\mathbf{F} \, \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right] = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>
+अभिव्यक्ति <math>\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{r}</math> द्वारा दिया गया [[scalar triple product|स्केलर ट्रिपल गुणांक]] <math>\left[\mathbf{F}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right]</math> दिया गया है, समान अदिश त्रिगुण गुणांक के लिए वैकल्पिक व्यंजक है
+<math>\left[\mathbf{F} \, \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right] = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}</math>
 लेकिन टॉर्क की परिभाषा के अनुसार,<math>\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}</math>
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 जहां ''I'' बॉडी की जड़ता का क्षण है और ''ω'' इसकी [[ कोणीय गति |कोणीय गति]] है<ref name="kleppner_267-68" />
-  [[ शक्ति (भौतिकी) | शक्ति]] प्रति इकाई कार्य है [[ गुणा |गुणा]] , द्वारा दिया गया है
+  [[ शक्ति (भौतिकी) | शक्ति]] प्रति इकाई कार्य है [[ गुणा |गुणा]], द्वारा दिया गया है
 :<math qid=Q104145185>P = \boldsymbol{\tau} \cdot \boldsymbol{\omega},</math>
 जहाँ ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, ''ω'' [[ कोणीय वेग |कोणीय वेग]] है, और [[ अदिश उत्पाद |अदिश गुणांक]] का प्रतिनिधित्व करता है।
-बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और बिजली गुणांकन के लिए टॉर्क की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टॉर्क द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टॉर्क प्रयुक्त होने के दौरान कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक मामले के बराबर है जहां शक्ति एक बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।
+बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और बिजली गुणांकन के लिए टॉर्क की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टॉर्क द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टॉर्क प्रयुक्त होने के दौरान कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक स्थिति के बराबर है जहां शक्ति बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।
-व्यवहार में, यह संबंध [[ साइकिल |साइकिल]] सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें सामान्यतः दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर ( [[ स्प्रोकेट |स्प्रोकेट]] के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो एक गोलाकार [[ साइकिल श्रृंखला |श्रृंखला]] और एक [[ डिरेलियर के साथ जाली होती हैं। गियर्स |डिरेलियर मैकेनिज्म]] यदि साइकिल का ट्रांसमिशन सिस्टम कई गियर अनुपातों का उपयोग करने की अनुमति देता है (यानी [[ सिंगल-स्पीड साइकिल#फायदे और नुकसान बनाम मल्टी-स्पीड साइकिल |मल्टी-स्पीड साइकिल]] ), जो सभी [[ साइकिल फ्रेम से जुड़े हैं |फ्रेम]] । एक [[ साइकिल चालक |साइकिल चालक]] , जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे [[ क्रैंक (तंत्र) |क्रैंकिंग]] फ्रंट स्प्रोकेट (सामान्यतः [[ क्रैंक के रूप में जाना जाता है)सेट # चेनिंग |चेनिंग]] )। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति [[ ताल (साइकिल चलाना) |ताल]] (यानी प्रति मिनट पेडल रेवोलुशन की संख्या) के गुणांक के बराबर है और साइकिल के [[ क्रैंकसेट |क्रैंकसेट]] के [[ एक्सल |स्पिंडल]] पर टॉर्क है। साइकिल की [[ साइकिल ड्राइवट्रेन सिस्टम |ड्राइवट्रेन]] इनपुट पावर को [[ व्हील |व्हील]] तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट पावर के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के [[ गियर अनुपात |गियर अनुपात]] के आधार पर, एक (टॉर्क, आरपीएम)<उप>इनपुट</उप> जोड़ी को (टॉर्क, आरपीएम)<उप>आउटपुट</उप> जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की [[ कोणीय आवृत्ति |कोणीय गति]] कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका गुणांक (यानी पावर) नहीं बदलता है।
+व्यवहार में, यह संबंध [[ साइकिल |साइकिल]] सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें सामान्यतः दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर ( [[ स्प्रोकेट |स्प्रोकेट]] के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो गोलाकार [[ साइकिल श्रृंखला |श्रृंखला]] और [[ डिरेलियर के साथ जाली होती हैं। गियर्स |डिरेलियर मैकेनिज्म]] यदि साइकिल का ट्रांसमिशन सिस्टम कई गियर अनुपातों का उपयोग करने की अनुमति देता है (अर्थात् [[ सिंगल-स्पीड साइकिल#फायदे और नुकसान बनाम मल्टी-स्पीड साइकिल |मल्टी-स्पीड साइकिल]] ), जो सभी [[ साइकिल फ्रेम से जुड़े हैं |फ्रेम]] । [[ साइकिल चालक |साइकिल चालक]] , जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे [[ क्रैंक (तंत्र) |क्रैंकिंग]] फ्रंट स्प्रोकेट (सामान्यतः [[ क्रैंक के रूप में जाना जाता है)सेट # चेनिंग |चेनिंग]] )। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति [[ ताल (साइकिल चलाना) |ताल]] (अर्थात् प्रति मिनट पेडल रेवोलुशन की संख्या) के गुणांक के बराबर है और साइकिल के [[ क्रैंकसेट |क्रैंकसेट]] के [[ एक्सल |स्पिंडल]] पर टॉर्क है। साइकिल की [[ साइकिल ड्राइवट्रेन सिस्टम |ड्राइवट्रेन]] इनपुट पावर को [[ व्हील |व्हील]] तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट पावर के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के [[ गियर अनुपात |गियर अनुपात]] के आधार पर, (टॉर्क, आरपीएम)<उप>इनपुट</उप> जोड़ी को (टॉर्क, आरपीएम)<उप>आउटपुट</उप> जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की [[ कोणीय आवृत्ति |कोणीय गति]] कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका गुणांक (अर्थात् पावर) नहीं बदलता है।
 संगत इकाइयों का उपयोग किया जाना चाहिए। मीट्रिक एसआई इकाइयों के लिए, शक्ति [[ वाट |वाट]] सेकेंड है, टॉर्क [[ न्यूटन मीटर |न्यूटन मीटर]] सेकेंड है और कोणीय गति [[ रेडियन |रेडियन]] सेकेंड प्रति सेकेंड है (आरपीएम नहीं और प्रति सेकेंड क्रांति नहीं)।
-इसके अलावा, यूनिट न्यूटन मीटर [[ आयामी विश्लेषण |आयामी]] से [[ जूल |जूल]] के बराबर है, जो ऊर्जा की इकाई है। हालांकि, टॉर्क के मामले में, इकाई को [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |वेक्टर]] को सौंपा गया है, जबकि [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] के लिए, इसे [[ स्केलर (भौतिकी) |स्केलर]] को सौंपा गया है। इसका अर्थ है कि न्यूटन मीटर और जूल की विमीय तुल्यता पूर्व में प्रयुक्त की जा सकती है, लेकिन बाद के मामले में नहीं। इस समस्या को [[ आयामी विश्लेषण # सियानो के विस्तार में संबोधित किया गया है: ओरिएंटेशनल विश्लेषण |ओरिएंटेशनल विश्लेषण]] जो रेडियंस को एक आयाम रहित इकाई के अतिरिक्त आधार इकाई के रूप में मानता है<ref>{{cite journal |last=Page |first=Chester H. |year=1979 |title=Rebuttal to de Boer's "Group properties of quantities and units" |journal=American Journal of Physics |volume=47 |issue=9 |page=820 |doi=10.1119/1.11704|bibcode=1979AmJPh..47..820P }}</ref>
+इसके अतिरिक्त, यूनिट न्यूटन मीटर [[ आयामी विश्लेषण |आयामी]] से [[ जूल |जूल]] के बराबर है, जो ऊर्जा की इकाई है। चूंकि, टॉर्क की स्थिति में, इकाई को [[ वेक्टर (ज्यामितीय) |वेक्टर]] को सौंपा गया है, जबकि [[ ऊर्जा |ऊर्जा]] के लिए, इसे [[ स्केलर (भौतिकी) |स्केलर]] को सौंपा गया है। इसका अर्थ है कि न्यूटन मीटर और जूल की विमीय तुल्यता पूर्व में प्रयुक्त की जा सकती है, लेकिन बाद की स्थिति में नहीं। इस समस्या को [[ आयामी विश्लेषण # सियानो के विस्तार में संबोधित किया गया है: ओरिएंटेशनल विश्लेषण |ओरिएंटेशनल विश्लेषण]] जो रेडियंस को आयाम रहित इकाई के अतिरिक्त आधार इकाई के रूप में मानता है<ref>{{cite journal |last=Page |first=Chester H. |year=1979 |title=Rebuttal to de Boer's "Group properties of quantities and units" |journal=American Journal of Physics |volume=47 |issue=9 |page=820 |doi=10.1119/1.11704|bibcode=1979AmJPh..47..820P }}</ref>
 === अन्य इकाइयों में रूपांतरण ===
-शक्ति या टॉर्क की विभिन्न इकाइयों का उपयोग करते समय एक रूपांतरण कारक आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोणीय गति (प्रति समय रेडियन) के स्थान पर [[ घूर्णी गति |घूर्णी गति]] (प्रति समय क्रांति) का उपयोग किया जाता है, तो हम एक कारक से गुणा करते हैं{{pi}} प्रति क्रांति रेडियन। निम्नलिखित सूत्रों में, ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, और ''ν'' ( [[ Nu (अक्षर) |ग्रीक अक्षर nu]] ) घूर्णन गति है।<math>P = \tau \cdot 2 \pi \cdot \nu</math>
+शक्ति या टॉर्क की विभिन्न इकाइयों का उपयोग करते समय रूपांतरण कारक आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोणीय गति (प्रति समय रेडियन) के स्थान पर [[ घूर्णी गति |घूर्णी गति]] (प्रति समय क्रांति) का उपयोग किया जाता है, तो हम कारक {{pi}} प्रति क्रांति रेडियन से गुणा करते हैं। निम्नलिखित सूत्रों में, ''P'' शक्ति है, ''τ'' टॉर्क है, और ''ν'' ( [[ Nu (अक्षर) |ग्रीक अक्षर nu]] ) घूर्णन गति है।<math>P = \tau \cdot 2 \pi \cdot \nu</math>
-इकाइयाँ दिखा रहा है:<m