एकरूपता: Difference between revisions

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== यूनिमोडल संभाव्यता वितरण ==
== यूनिमोडल संभाव्यता वितरण ==
[[File:Normal distribution pdf.svg|thumb|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का उदाहरण है।]]
[[File:Normal distribution pdf.svg|thumb|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व फलन, एकरूप वितरण का उदाहरण है।]]
[[File:Bimodal.png|thumb|चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण।]]
[[File:Bimodal.png|thumb|चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण]]
[[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में मोड के अनुरूप होगी]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।
[[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में मोड के अनुरूप होती है।]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।


यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld|urlname=Mode|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण है | छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] और घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] और प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।
यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।<ref>{{MathWorld|urlname=Mode|title=Mode}}</ref> चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में [[कॉची वितरण]], छात्र का टी-वितरण है | छात्र का टी-वितरण, [[ची-वर्ग वितरण]] एवं घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, [[द्विपद वितरण]] एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।


चित्रा 2 और चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।
चित्रा 2 एवं चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।


===अन्य परिभाषाएं===
===अन्य परिभाषाएं===
वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।
वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।


निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) के व्यवहार के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=Khinchin>{{cite journal|author=A.Ya. Khinchin|title=एकमॉडल वितरण पर|journal=Trams. Res. Inst. Math. Mech.|publisher=University of Tomsk|volume=2|issue=2|year=1938|pages=1–7|language=ru}}</ref> यदि सीडीएफ  x < m के लिए उत्तल फलन और x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण (सतत) एकरूप है,<ref>{{Springer|title=Unimodal distribution|id=U/u095330|first=N.G.|last=Ushakov}}</ref>कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।
निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=Khinchin>{{cite journal|author=A.Ya. Khinchin|title=एकमॉडल वितरण पर|journal=Trams. Res. Inst. Math. Mech.|publisher=University of Tomsk|volume=2|issue=2|year=1938|pages=1–7|language=ru}}</ref> यदि सीडीएफ  x < m के लिए उत्तल फलन एवं x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण सतत एकरूप है,<ref>{{Springer|title=Unimodal distribution|id=U/u095330|first=N.G.|last=Ushakov}}</ref>कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।


एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के<ref name=Khinchin/>या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=Random summation: limit theorems and applications|author=Vladimirovich Gnedenko and Victor Yu Korolev|isbn=0-8493-2875-6|publisher=CRC-Press|year=1996}} p.&nbsp;31</ref>असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।<ref>{{cite journal|title=असतत वितरण की एकरूपता पर|journal=Periodica Mathematica Hungarica|first=P. |last=Medgyessy|volume= 2| issue = 1–4 |pages=245–257|date=March 1972|url=http://www.akademiai.com/content/j5012306777g764n/ |doi=10.1007/bf02018665|s2cid=119817256 }}</ref> संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ असतत वितरण, <math>\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}</math>, को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम <math>\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots</math> ठीक संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।
एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य संभाव्यता सिद्धांत के<ref name=Khinchin/>या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=Random summation: limit theorems and applications|author=Vladimirovich Gnedenko and Victor Yu Korolev|isbn=0-8493-2875-6|publisher=CRC-Press|year=1996}} p.&nbsp;31</ref>असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।<ref>{{cite journal|title=असतत वितरण की एकरूपता पर|journal=Periodica Mathematica Hungarica|first=P. |last=Medgyessy|volume= 2| issue = 1–4 |pages=245–257|date=March 1972|url=http://www.akademiai.com/content/j5012306777g764n/ |doi=10.1007/bf02018665|s2cid=119817256 }}</ref> संभाव्यता द्रव्यमान फलन के साथ असतत वितरण, <math>\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}</math>, को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम <math>\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots</math> उचित संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।


=== उपयोग और परिणाम ===
=== उपयोग एवं परिणाम ===
वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एकरूप वितरण से आता है या नहीं। [[बहुविध वितरण]] पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।
वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एकरूप वितरण से आता है या नहीं। [[बहुविध वितरण]] पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।


===असमानताएं===
===असमानताएं===
{{See also|Chebychev's inequality#Unimodal distributions}}
{{See also|चेबिशेव की असमानता एकरूप वितरण}}


==== गॉस की असमानता ====
==== गॉस की असमानता ====


प्रथम महत्वपूर्ण परिणाम गॉस की असमानता है।<ref>{{cite journal|last=Gauss|first=C. F.|author-link=Carl Friedrich Gauss|year=1823|title=न्यूनतम त्रुटियों के अधीन टिप्पणियों के संयोजन का सिद्धांत, भाग एक|journal=Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores|volume=5}}</ref> गॉस की असमानता इस संभावना पर ऊपरी सीमा प्रदान करती है कि कोई मान अपने मोड से किसी भी दूरी से अधिक है। यह असमानता एकरूपता पर निर्भर करती है।
प्रथम महत्वपूर्ण परिणाम गॉस की असमानता है।<ref>{{cite journal|last=Gauss|first=C. F.|author-link=Carl Friedrich Gauss|year=1823|title=न्यूनतम त्रुटियों के अधीन टिप्पणियों के संयोजन का सिद्धांत, भाग एक|journal=Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores|volume=5}}</ref> गॉस की असमानता इस संभावना पर सीमा प्रदान करती है कि कोई मान अपने मोड से किसी भी दूरी से अधिक है। यह असमानता एकरूपता पर निर्भर करती है।


==== वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता ====
==== वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता ====


सेकंड वैसोचन्स्की–पेटुनिन असमानता,<ref>{{cite journal |author=D. F. Vysochanskij, Y. I. Petunin |year=1980 |title=Justification of the 3σ rule for unimodal distributions |journal=Theory of Probability and Mathematical Statistics |volume=21 |pages=25–36}}</ref> [[चेबिशेव असमानता]] का शोधन है। चेबीशेव असमानता गारंटी देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, लगभग सभी मान माध्य मान के करीब हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे और भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, बशर्ते कि वितरण कार्य निरंतर और एकरूप है। आगे के परिणाम सेलके और सेलके द्वारा दिखाए गए।<ref>{{Cite journal
सेकंड वैसोचन्स्की पेटुनिन असमानता,<ref>{{cite journal |author=D. F. Vysochanskij, Y. I. Petunin |year=1980 |title=Justification of the 3σ rule for unimodal distributions |journal=Theory of Probability and Mathematical Statistics |volume=21 |pages=25–36}}</ref> [[चेबिशेव असमानता]] का शोधन है। चेबीशेव असमानता गारंटी देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, सभी मान माध्य मान के करीब हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे एवं भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, इसलिए वितरण कार्य निरंतर एवं एकरूप है। आगे के परिणाम सेलके एवं सेलके द्वारा दिखाए गए है।<ref>{{Cite journal
  | last1 = Sellke | first1 =  T.M.
  | last1 = Sellke | first1 =  T.M.
  | last2 =  Sellke | first2 =  S.H.
  | last2 =  Sellke | first2 =  S.H.
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==== बहुलक, माध्यिका और माध्य ====
==== बहुलक, माध्यिका एवं माध्य ====


गॉस ने 1823 में असमान वितरण के लिए भी दिखाया<ref name=Gauss1823>Gauss C.F. Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Pars Posterior. Supplementum. Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One. Part Two. Supplement. 1995. Translated by G.W. Stewart. Classics in Applied Mathematics Series, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia</ref>
गॉस ने 1823 में असमान वितरण के लिए भी प्रदर्शित किया गया है,<ref name=Gauss1823>Gauss C.F. Theoria Combinationis Observationum Erroribus Minimis Obnoxiae. Pars Prior. Pars Posterior. Supplementum. Theory of the Combination of Observations Least Subject to Errors. Part One. Part Two. Supplement. 1995. Translated by G.W. Stewart. Classics in Applied Mathematics Series, Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia</ref>
: <math>\sigma \le \omega \le 2 \sigma</math>
: <math>\sigma \le \omega \le 2 \sigma</math>
और
एवं


: <math>|\nu - \mu| \le \sqrt{\frac{3}{4}} \omega ,</math>
: <math>|\nu - \mu| \le \sqrt{\frac{3}{4}} \omega ,</math>
जहां माध्य ν है, माध्य μ है और ω मोड से [[मूल माध्य वर्ग विचलन]] है।
जहां माध्य ν एवं μ है एवं ω मोड से [[मूल माध्य वर्ग विचलन]] है।


यह असमान वितरण के लिए प्रदर्शित किया जाता है कि औसत ν और माध्य μ (3/5) के अंदर स्थित है<sup>1/2</sup> ≈ 0.7746 दूसरे के [[मानक विचलन]]।<ref name="unimodal">{{cite journal | url=http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/S0040585X97975447 | doi=10.1137/S0040585X97975447 | title=The Mean, Median, and Mode of Unimodal Distributions: A Characterization | year=1997 | last1=Basu | first1=S. | last2=Dasgupta | first2=A. | journal=Theory of Probability & Its Applications | volume=41 | issue=2 | pages=210–223 }}</ref> प्रतीकों में,
यह असमान वितरण के लिए प्रदर्शित किया जाता है कि औसत ν एवं माध्य μ (3/5)<sup>1/2</sup> ≈ 0.7746 दूसरे के [[मानक विचलन]] के अंदर स्थित है है।<ref name="unimodal">{{cite journal | url=http://epubs.siam.org/doi/pdf/10.1137/S0040585X97975447 | doi=10.1137/S0040585X97975447 | title=The Mean, Median, and Mode of Unimodal Distributions: A Characterization | year=1997 | last1=Basu | first1=S. | last2=Dasgupta | first2=A. | journal=Theory of Probability & Its Applications | volume=41 | issue=2 | pages=210–223 }}</ref> प्रतीकों में,


: <math>\frac{|\nu - \mu|}{\sigma} \le \sqrt{\frac{3}{5}}</math>
: <math>\frac{|\nu - \mu|}{\sigma} \le \sqrt{\frac{3}{5}}</math>
जहाँ | . .
जहाँ . .


2020 में, बर्नार्ड, काज़ी और वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके पिछली असमानता को सामान्यीकृत किया <math>\frac{ q_\alpha  + q_{(1-\alpha)} }{ 2 } </math> और तात्पर्य,<ref name="unimodalbounds">{{cite journal | doi=10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 | title=आंशिक जानकारी के तहत एकरूप वितरण के लिए रेंज वैल्यू-पर-जोखिम सीमा| year=2020 | last1=Bernard | first1=Carole | last2=Kazzi | first2=Rodrigue | last3=Vanduffel | first3=Steven | journal=Insurance: Mathematics and Economics | volume=94 | pages=9–24 | doi-access=free }}</ref>
2020 में, बर्नार्ड, काज़ी एवं वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके पिछली असमानता को सामान्यीकृत किया <math>\frac{ q_\alpha  + q_{(1-\alpha)} }{ 2 } </math> एवं तात्पर्य,<ref name="unimodalbounds">{{cite journal | doi=10.1016/j.insmatheco.2020.05.013 | title=आंशिक जानकारी के तहत एकरूप वितरण के लिए रेंज वैल्यू-पर-जोखिम सीमा| year=2020 | last1=Bernard | first1=Carole | last2=Kazzi | first2=Rodrigue | last3=Vanduffel | first3=Steven | journal=Insurance: Mathematics and Economics | volume=94 | pages=9–24 | doi-access=free }}</ref>
: <math>\frac{ \left| \frac{ q_\alpha  + q_{(1-\alpha)} }{2}  - \mu \right| }{ \sigma } \le \left\{
: <math>\frac{ \left| \frac{ q_\alpha  + q_{(1-\alpha)} }{2}  - \mu \right| }{ \sigma } \le \left\{
\begin{array}{cl}
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\right.</math>
\right.</math>
यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकतम दूरी कम से कम है <math>\alpha=0.5</math> (यानी, जब सममित क्वांटाइल औसत के बराबर होता है <math>q_{0.5} = \nu</math>), जो वास्तव में माध्यिका की आम पसंद को माध्य के लिए मजबूत अनुमानक के रूप में प्रेरित करता है। इसके अलावा, कब <math>\alpha = 0.5</math>, सीमा के बराबर है <math>\sqrt{3/5}</math>, जो माध्यिका और एकरूप वितरण के माध्य के मध्य की अधिकतम दूरी है।
यह ध्यान देने योग्य है कि अधिकतम दूरी <math>\alpha=0.5</math> कम से कम है, जब सममित क्वांटाइल औसत के समान होता है ( <math>q_{0.5} = \nu</math>), जो वास्तव में माध्यिका की सामान्य रूचि को माध्य के लिए शक्तिशाली अनुमानक के रूप में प्रेरित करता है। इसके अतिरिक्त, जब <math>\alpha = 0.5</math>, सीमा के समान है, <math>\sqrt{3/5}</math>, जो माध्यिका एवं एकरूप वितरण के माध्य के मध्य की अधिकतम दूरी है।


माध्यिका और बहुलक θ के मध्य समान संबंध होता है: वे 3 के भीतर स्थित होते हैं<sup>1/2</sup> ≈ 1.732 एक दूसरे के मानक विचलन:
माध्यिका एवं बहुलक θ के मध्य समान संबंध है, वे 3<sup>1/2</sup> ≈ 1.732 दूसरे के मानक विचलन अंदर स्थित होते हैं


: <math>\frac{|\nu - \theta|}{\sigma} \le \sqrt{3}.</math>
: <math>\frac{|\nu - \theta|}{\sigma} \le \sqrt{3}.</math>
यह भी दिखाया जा सकता है कि माध्य और बहुलक 3 के भीतर हैं<sup>एक दूसरे का 1/2</sup>:
यह भी दिखाया जा सकता है कि माध्य एवं बहुलक 3 के भीतर हैं<sup>एक दूसरे का 1/2</sup>:


: <math>\frac{|\mu - \theta|}{\sigma} \le \sqrt{3}.</math>
: <math>\frac{|\mu - \theta|}{\sigma} \le \sqrt{3}.</math>




==== [[तिरछापन]] और [[ कुकुदता ]] ====
==== [[तिरछापन]] एवं [[ कुकुदता ]] ====


रोहतगी और ज़ेकेली ने दावा किया कि असमान वितरण का विषमता और कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:<ref name=Rohatgi1989>{{cite journal | doi=10.1016/0167-7152(89)90035-7 | title=तिरछापन और कर्टोसिस के बीच तीव्र असमानताएँ| year=1989 | last1=Rohatgi | first1=Vijay K. | last2=Székely | first2=Gábor J. | journal=Statistics & Probability Letters | volume=8 | issue=4 | pages=297–299 }}</ref>
रोहतगी एवं ज़ेकेली ने दावा किया कि असमान वितरण का विषमता एवं कुर्तोसिस असमानता से संबंधित हैं:<ref name=Rohatgi1989>{{cite journal | doi=10.1016/0167-7152(89)90035-7 | title=तिरछापन और कर्टोसिस के बीच तीव्र असमानताएँ| year=1989 | last1=Rohatgi | first1=Vijay K. | last2=Székely | first2=Gábor J. | journal=Statistics & Probability Letters | volume=8 | issue=4 | pages=297–299 }}</ref>
: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2 </math>
: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 6 }{ 5 } = 1.2 </math>
जहां κ ककुदता है और γ तिरछापन है। क्लासेन, मोकवेल्ड और वैन ईएस ने दिखाया कि यह केवल कुछ सेटिंग्स में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का सेट जहां मोड और माध्य मेल खाते हैं।<ref name=Klaassen2000>{{cite journal | doi=10.1016/S0167-7152(00)00090-0 | title=Squared skewness minus kurtosis bounded by 186/125 for unimodal distributions | year=2000 | last1=Klaassen | first1=Chris A.J. | last2=Mokveld | first2=Philip J. | last3=Van Es | first3=Bert | journal=Statistics & Probability Letters | volume=50 | issue=2 | pages=131–135 }}</ref>
जहां κ ककुदता है एवं γ तिरछापन है। क्लासेन, मोकवेल्ड एवं वैन ईएस ने दिखाया कि यह केवल कुछ सेटिंग्स में प्रस्तावित होता है, जैसे कि एकरूप वितरण का सेट जहां मोड एवं माध्य मेल खाते हैं।<ref name=Klaassen2000>{{cite journal | doi=10.1016/S0167-7152(00)00090-0 | title=Squared skewness minus kurtosis bounded by 186/125 for unimodal distributions | year=2000 | last1=Klaassen | first1=Chris A.J. | last2=Mokveld | first2=Philip J. | last3=Van Es | first3=Bert | journal=Statistics & Probability Letters | volume=50 | issue=2 | pages=131–135 }}</ref>
उन्होंने कमजोर असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:<ref name=Klaassen2000 />
उन्होंने कमजोर असमानता प्राप्त की जो सभी असमान वितरणों पर प्रस्तावित होती है:<ref name=Klaassen2000 />


: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488 </math>
: <math> \gamma^2 - \kappa \le \frac{ 186 }{ 125 } = 1.488 </math>
यह सीमा तीक्ष्ण है, क्योंकि यह [0,1] पर समान वितरण के समान भार मिश्रण और {0} पर असतत वितरण द्वारा पहुँचा जाता है।
यह सीमा तीक्ष्ण है, क्योंकि यह [0,1] पर समान वितरण के समान भार मिश्रण एवं {0} पर असतत वितरण द्वारा पहुँचा जाता है।


== यूनिमोडल फलन ==
== यूनिमोडल फलन ==
जैसा कि मोडल शब्द डेटा सेट और संभाव्यता वितरण पर प्रस्तावित होता है, और सामान्य रूप से कार्य (गणित) के लिए नहीं, उपरोक्त परिभाषाएँ प्रस्तावित नहीं होती हैं। यूनिमोडल की परिभाषा को [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के फलनों तक भी विस्तारित किया गया था।
जैसा कि मोडल शब्द डेटा सेट एवं संभाव्यता वितरण पर प्रस्तावित होता है, एवं सामान्य रूप से कार्य (गणित) के लिए नहीं, उपरोक्त परिभाषाएँ प्रस्तावित नहीं होती हैं। यूनिमोडल की परिभाषा को [[वास्तविक संख्या|वास्तविक संख्याओं]] के फलनों तक भी विस्तारित किया गया था।


सामान्य परिभाषा इस प्रकार है फलन f(x) 'यूनिमोडल फलन' है, यदि कुछ मान m के लिए, यह x ≤ m के लिए [[मोनोटोनिक]] रूप से बढ़ रहा है और x ≥ m के लिए मोनोटोनिक रूप से घट रहा है। उस स्थिति में, f(x) का [[अधिकतम]] मान f(m) है और कोई अन्य स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं हैं।
सामान्य परिभाषा इस प्रकार है फलन f(x) 'यूनिमोडल फलन' है, यदि कुछ मान m के लिए, यह x ≤ m के लिए [[मोनोटोनिक]] रूप से बढ़ रहा है एवं x ≥ m के लिए मोनोटोनिक रूप से घट रहा है। उस स्थिति में, f(x) का [[अधिकतम]] मान f(m) है एवं कोई अन्य स्थानीय उच्चिष्ठ नहीं हैं।


एकरूपता साबित करना प्रायः कठिन होता है। उस संपत्ति की परिभाषा का उपयोग करना है, लेकिन यह केवल साधारण कार्यों के लिए उपयुक्त है। [[ यौगिक |यौगिक]] पर आधारित सामान्य विधि सम्मिलित है,<ref>{{cite web|url=http://homepage.univie.ac.at/thibaut.barthelemy/METRIC.pdf|title=सामान्य रूप से वितरित मांगों के अधीन मेट्रिक सन्निकटन की एकरूपता पर।|work=Method in appendix D, Example in theorem 2 page 5|access-date=2013-08-28}}</ref> पर यह अपनी सरलता के बावजूद प्रत्येक कार्य के लिए सफल नहीं होता।
एकरूपता साबित करना प्रायः कठिन होता है। उस संपत्ति की परिभाषा का उपयोग करना है, लेकिन यह केवल साधारण कार्यों के लिए उपयुक्त है। [[ यौगिक |यौगिक]] पर आधारित सामान्य विधि सम्मिलित है,<ref>{{cite web|url=http://homepage.univie.ac.at/thibaut.barthelemy/METRIC.pdf|title=सामान्य रूप से वितरित मांगों के अधीन मेट्रिक सन्निकटन की एकरूपता पर।|work=Method in appendix D, Example in theorem 2 page 5|access-date=2013-08-28}}</ref> पर यह अपनी सरलता के बावजूद प्रत्येक कार्य के लिए सफल नहीं होता।


एकरूप कार्यों के उदाहरणों में ऋणात्मक द्विघात गुणांक वाले [[द्विघात बहुपद]] फलन, टेंट मानचित्र फलन, और बहुत कुछ सम्मिलित हैं।
एकरूप कार्यों के उदाहरणों में ऋणात्मक द्विघात गुणांक वाले [[द्विघात बहुपद]] फलन, टेंट मानचित्र फलन, एवं बहुत कुछ सम्मिलित हैं।


उपरोक्त कभी-कभी as से संबंधित होता है{{visible anchor|strong unimodality}}, इस तथ्य से कि निहित एकरसता ''मजबूत एकस्वरता'' है। फलन ''f''(''x'') कमजोर यूनिमॉडल फलन है यदि कोई मान ''m'' सम्मिलित है जिसके लिए यह ''x'' ≤ ''m'' के लिए कमजोर नीरस रूप से बढ़ रहा है और कमजोर रूप से ''x'' ≥ ''m'' के लिए नीरस रूप से कम रहा है। उस स्थिति में, ''x'' के मानों की निरंतर श्रेणी के लिए अधिकतम मूल्य ''f''(''m'') तक पहुँचा जा सकता है। पास्कल के त्रिकोण में हर दूसरी पंक्ति कमजोर एकरूप समारोह का उदाहरण है जो दृढ़ता से एकरूप नहीं है।
उपरोक्त कभी-कभी as से संबंधित होता है{{visible anchor|strong unimodality}}, इस तथ्य से कि निहित एकरसता ''मजबूत एकस्वरता'' है। फलन ''f''(''x'') कमजोर यूनिमॉडल फलन है यदि कोई मान ''m'' सम्मिलित है जिसके लिए यह ''x'' ≤ ''m'' के लिए कमजोर नीरस रूप से बढ़ रहा है एवं कमजोर रूप से ''x'' ≥ ''m'' के लिए नीरस रूप से कम रहा है। उस स्थिति में, ''x'' के मानों की निरंतर श्रेणी के लिए अधिकतम मूल्य ''f''(''m'') तक पहुँचा जा सकता है। पास्कल के त्रिकोण में हर दूसरी पंक्ति कमजोर एकरूप फलन का उदाहरण है जो दृढ़ता से एकरूप नहीं है।


संदर्भ के आधार पर, अनिमॉडल फलन उस फलन को भी संदर्भित कर सकता है जिसमें अधिकतम के अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम है।<ref>{{cite web|url=https://glossary.informs.org/indexVer1.php?page=U.html|title=गणितीय प्रोग्रामिंग शब्दावली।|access-date=2020-03-29}}</ref> उदाहरण के लिए, [[स्थानीय अनिमॉडल नमूनाकरण]], संख्यात्मक अनुकूलन करने की विधि, प्रायः ऐसे फलन के साथ प्रदर्शित की जाती है। यह कहा जा सकता है कि इस विस्तार के अंतर्गत अनिमॉडल कार्य एकल स्थानीय चरम के साथ कार्य है।
संदर्भ के आधार पर, अनिमॉडल फलन उस फलन को भी संदर्भित कर सकता है जिसमें अधिकतम के अतिरिक्त स्थानीय न्यूनतम है।<ref>{{cite web|url=https://glossary.informs.org/indexVer1.php?page=U.html|title=गणितीय प्रोग्रामिंग शब्दावली।|access-date=2020-03-29}}</ref> उदाहरण के लिए, [[स्थानीय अनिमॉडल नमूनाकरण]], संख्यात्मक अनुकूलन करने की विधि, प्रायः ऐसे फलन के साथ प्रदर्शित की जाती है। यह कहा जा सकता है कि इस विस्तार के अंतर्गत अनिमॉडल कार्य एकल स्थानीय चरम के साथ कार्य है।
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सदिश चर X के फलन f(X) पर प्रस्तावित होने वाली अधिक सामान्य परिभाषा यह है कि यदि फलन | अवकलनीय मानचित्रण X = G(Z) ऐसा है कि f एकरूपी है। (जी (जेड)) उत्तल है। सामान्यतः कोई चाहता है कि जी (जेड) नॉनसिंगुलर जैकोबियन मैट्रिक्स के साथ लगातार भिन्न है।
सदिश चर X के फलन f(X) पर प्रस्तावित होने वाली अधिक सामान्य परिभाषा यह है कि यदि फलन | अवकलनीय मानचित्रण X = G(Z) ऐसा है कि f एकरूपी है। (जी (जेड)) उत्तल है। सामान्यतः कोई चाहता है कि जी (जेड) नॉनसिंगुलर जैकोबियन मैट्रिक्स के साथ लगातार भिन्न है।


[[क्वासिकॉनवेक्स फ़ंक्शन|क्वासिकॉनवेक्स फलन]] और क्वासिकोनकेव फ़ंक्शंस एकरूपता की अवधारणा को उन कार्यों तक विस्तारित करते हैं जिनके तर्क उच्च-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] स्थान से संबंधित हैं।
[[क्वासिकॉनवेक्स फ़ंक्शन|क्वासिकॉनवेक्स फलन]] एवं क्वासिकोनकेव फ़ंक्शंस एकरूपता की अवधारणा को उन कार्यों तक विस्तारित करते हैं जिनके तर्क उच्च-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] स्थान से संबंधित हैं।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==

Revision as of 11:27, 29 March 2023

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गणित में, एकरूपता का अर्थ अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) रखना है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी गणितीय वस्तु का केवल उच्चतम मूल्य जो परिभाषित है।[1]


यूनिमोडल संभाव्यता वितरण

File:Normal distribution pdf.svg
चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व फलन, एकरूप वितरण का उदाहरण है।
File:Bimodal.png
चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण
चित्रा 3. द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में मोड के अनुरूप होती है।

आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण ऐसा वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) को सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।

यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।[2] चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में कॉची वितरण, छात्र का टी-वितरण है | छात्र का टी-वितरण, ची-वर्ग वितरण एवं घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, द्विपद वितरण एवं प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान होते हैं।

चित्रा 2 एवं चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।

अन्य परिभाषाएं

वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।

निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण फलन (सीडीएफ) के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।[3] यदि सीडीएफ x < m के लिए उत्तल फलन एवं x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण सतत एकरूप है,[4]कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।

एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य संभाव्यता सिद्धांत के[3]या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।[5]असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।[6] संभाव्यता द्रव्यमान फलन के साथ असतत वितरण, , को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम उचित संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।

उपयोग एवं परिणाम

वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एकरूप वितरण से आता है या नहीं। बहुविध वितरण पर लेख में एकरूपता