एकरूपता: Difference between revisions

Revision as of 10:10, 29 March 2023

गणित में, एकरूपता का अर्थ है अद्वितीय विधा (सांख्यिकी) रखना है। सामान्यतः, एकरूपता का तात्पर्य है कि किसी गणितीय वस्तु का केवल उच्चतम मूल्य है, किसी तरह परिभाषित है।^[1]

यूनिमोडल संभाव्यता वितरण

चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का उदाहरण है।

चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण।

चित्रा 3. एक द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में एक मोड के अनुरूप होगी

आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण या एकरूप वितरण संभाव्यता वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) की सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।

यदि एकल बहुलक है, तो वितरण फलन को एकरूपी कहा जाता है। यदि इसके अधिक मोड हैं तो यह बिमोडल (2), ट्राइमोडल (3) आदि, या सामान्य रूप से मल्टीमॉडल है।^[2] चित्र 1 सामान्य बंटनों को प्रदर्शित करता है, जो एकरूपी हैं। एकरूप वितरण के अन्य उदाहरणों में कॉची वितरण, छात्र का टी-वितरण | छात्र का टी-वितरण, ची-वर्ग वितरण और घातीय वितरण सम्मिलित हैं। असतत वितरणों के मध्य, द्विपद वितरण और प्वासों वितरण को एकरूपी के रूप में देखा जा सकता है, चूँकि कुछ मापदंडों के लिए उनके समीप समान संभावना वाले दो आसन्न मान हो सकते हैं।

चित्रा 2 और चित्रा 3 बिमॉडल वितरण को प्रदर्शित करता है।

अन्य परिभाषाएं

वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।

निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) के व्यवहार के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।^[3] यदि सीडीएफ x < m के लिए उत्तल फलन और x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण (सतत) एकरूप है,^[4]कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।

एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के^[3]या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।^[5]असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।^[6] संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ असतत वितरण, $\{p_{n}:n=\dots ,-1,0,1,\dots \}$ , को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम $\dots ,p_{-2}-p_{-1},p_{-1}-p_{0},p_{0}-p_{1},p_{1}-p_{2},\dots$ ठीक संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।

उपयोग और परिणाम

वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एक एकरूप वितरण से आता है या नहीं। बहुविध वितरण पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।

असमानताएं

गॉस की असमानता

पहला महत्वपूर्ण परिणाम गॉस की असमानता है।^[7] गॉस की असमानता इस संभावना पर एक ऊपरी सीमा देती है कि कोई मान अपने मोड से किसी भी दूरी से अधिक है। यह असमानता एकरूपता पर निर्भर करती है।

वायसोचान्स्की-पेटुनिन असमानता

एक सेकंड वैसोचन्स्की–पेटुनिन असमानता है,^[8] चेबिशेव असमानता का शोधन। चेबीशेव असमानता गारंटी देती है कि किसी भी संभाव्यता वितरण में, लगभग सभी मान माध्य मान के करीब हैं। वायसोचन्स्की-पेटुनिन असमानता इसे और भी निकट मूल्यों तक परिष्कृत करती है, बशर्ते कि वितरण कार्य निरंतर और एकरूप हो। आगे के परिणाम सेलके और सेलके द्वारा दिखाए गए।^[9]

बहुलक, माध्यिका और माध्य

गॉस ने 1823 में एक असमान वितरण के लिए भी दिखाया^[10]

\sigma \leq \omega \leq 2\sigma

और

|\nu -\mu |\leq {\sqrt {\frac {3}{4}}}\omega ,

जहां माध्य ν है, माध्य μ है और ω मोड से मूल माध्य वर्ग विचलन है।

यह एक असमान वितरण के लिए दिखाया जा सकता है कि औसत ν और माध्य μ (3/5) के भीतर स्थित है^1/2 ≈ 0.7746 एक दूसरे के मानक विचलन।^[11] प्रतीकों में,

{\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {\frac {3}{5}}}

कहाँ | . .

2020 में, बर्नार्ड, काज़ी और वंडफेल ने सममित क्वांटाइल औसत के मध्य अधिकतम दूरी प्राप्त करके पिछली असमानता को सामान्यीकृत किया ${\frac {q_{\alpha }+q_{(1-\alpha )}}{2}}$ और मतलब,^[12]

\frac{| \frac{q_{α} + q_{(1 - α)}}{2} - μ |}{σ} \leq {\begin{array}{cl} \frac{\sqrt[]{\frac{4}{9 (1 - α)} - 1} + \sqrt[]{\frac{1 - α}{1 / 3 + α}}}{2} & for α \in [\frac{5}{6}, 1), \\ \frac{\sqrt[]{\frac{3 α}{4 - 3 α}} + \sqrt[]{\frac{1 - α}{1 / 3 + α}}}{2} & for α \in (\frac{1}{6}, \frac{5}{6}), \\ \sqrt[]{\frac{3 α}{4 - 3 α}} \end{array}

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 == यूनिमोडल संभाव्यता वितरण ==
-[[File:Normal distribution pdf.svg|thumb|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का एक उदाहरण।]]
+[[File:Normal distribution pdf.svg|thumb|चित्रा 1. सामान्य वितरण की संभावना घनत्व समारोह, एकरूप वितरण का उदाहरण है।]]
-[[File:Bimodal.png|thumb|चित्र 2. एक साधारण द्विपाद वितरण।]]
+[[File:Bimodal.png|thumb|चित्र 2. साधारण द्विपाद वितरण।]]
 [[File:Bimodal geological.PNG|thumb|चित्रा 3. एक द्विपक्षीय वितरण। ध्यान दें कि केवल सबसे बड़ी चोटी मोड की परिभाषा के सख्त अर्थों में एक मोड के अनुरूप होगी]]आँकड़ों में, एकरूप संभाव्यता वितरण या एकरूप वितरण संभाव्यता वितरण है जिसमें शिखर होता है। इस संदर्भ में मोड शब्द वितरण के किसी भी शिखर को संदर्भित करता है, न कि केवल मोड (सांख्यिकी) की सख्त परिभाषा के लिए जो आंकड़ों में सामान्य है।
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 ===अन्य परिभाषाएं===
-वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी मौजूद हैं।
+वितरण कार्यों में एकरूपता की अन्य परिभाषाएँ भी सम्मिलित हैं।
-निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) के व्यवहार के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=Khinchin>{{cite journal|author=A.Ya. Khinchin|title=एकमॉडल वितरण पर|journal=Trams. Res. Inst. Math. Mech.|publisher=University of Tomsk|volume=2|issue=2|year=1938|pages=1–7|language=ru}}</ref> यदि cdf x < m के लिए उत्तल फलन और x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के तहत समान वितरण (सतत) एकरूप है,<ref>{{Springer|title=Unimodal distribution|id=U/u095330|first=N.G.|last=Ushakov}}</ref> साथ ही साथ कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदा। ट्रेपेज़ॉइडल वितरण। आमतौर पर यह परिभाषा मोड में एक विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः एक सतत वितरण में किसी एक मूल्य की संभावना शून्य होती है, जबकि यह परिभाषा मोड में एक गैर-शून्य संभावना, या प्रायिकता के एक परमाणु की अनुमति देती है।
+निरंतर वितरण में, एकरूपता को संचयी वितरण समारोह (सीडीएफ) के व्यवहार के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है।<ref name=Khinchin>{{cite journal|author=A.Ya. Khinchin|title=एकमॉडल वितरण पर|journal=Trams. Res. Inst. Math. Mech.|publisher=University of Tomsk|volume=2|issue=2|year=1938|pages=1–7|language=ru}}</ref> यदि सीडीएफ  x < m के लिए उत्तल फलन और x > m के लिए अवतल फलन है, तो वितरण असमान है, m मोड है। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अंतर्गत समान वितरण (सतत) एकरूप है,<ref>{{Springer|title=Unimodal distribution|id=U/u095330|first=N.G.|last=Ushakov}}</ref>कोई भी अन्य वितरण जिसमें मूल्यों की श्रेणी के लिए अधिकतम वितरण प्राप्त किया जाता है, उदहारण ट्रेपेज़ॉइडल वितरण है। सामान्यतः यह परिभाषा मोड में विच्छिन्नता की अनुमति देती है; सामान्यतः सतत वितरण में किसी मूल्य की संभावना शून्य होती है, परन्तु यह परिभाषा मोड में अन्य-शून्य संभावना, या प्रायिकता के परमाणु की अनुमति देती है।
-एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है<ref name=Khinchin/>या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से।<ref>{{cite book|title=Random summation: limit theorems and applications|author=Vladimirovich Gnedenko and Victor Yu Korolev|isbn=0-8493-2875-6|publisher=CRC-Press|year=1996}} p.&nbsp;31</ref>
+एकरूपता के मानदंड को वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) के<ref name=Khinchin/>या इसके लाप्लास-स्टील्टजेस रूपांतरण के माध्यम से भी परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{cite book|title=Random summation: limit theorems and applications|author=Vladimirovich Gnedenko and Victor Yu Korolev|isbn=0-8493-2875-6|publisher=CRC-Press|year=1996}} p.&nbsp;31</ref>असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का अन्य उपाय संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।<ref>{{cite journal|title=असतत वितरण की एकरूपता पर|journal=Periodica Mathematica Hungarica|first=P. |last=Medgyessy|volume= 2| issue = 1–4 |pages=245–257|date=March 1972|url=http://www.akademiai.com/content/j5012306777g764n/ |doi=10.1007/bf02018665|s2cid=119817256 }}</ref> संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ असतत वितरण, <math>\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}</math>, को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम <math>\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots</math> ठीक संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।
-एक असमान असतत वितरण को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका संभावनाओं के अंतर के अनुक्रम में संकेत परिवर्तन की घटना है।<ref>{{cite journal|title=असतत वितरण की एकरूपता पर|journal=Periodica Mathematica Hungarica|first=P. |last=Medgyessy|volume= 2| issue = 1–4 |pages=245–257|date=March 1972|url=http://www.akademiai.com/content/j5012306777g764n/ |doi=10.1007/bf02018665|s2cid=119817256 }}</ref> संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ एक असतत वितरण, <math>\{p_n : n = \dots, -1, 0, 1, \dots\}</math>, को अनिमॉडल कहा जाता है यदि अनुक्रम <math>\dots, p_{-2} - p_{-1}, p_{-1} - p_0, p_0 - p_1, p_1 - p_2, \dots</math> ठीक एक संकेत परिवर्तन होता है (जब शून्य की गिनती नहीं होती है)।
 === उपयोग और परिणाम ===
-वितरण की एकरूपता के महत्व का एक कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एक एकरूप वितरण से आता है या नहीं। [[बहुविध वितरण]] पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।
+वितरण की एकरूपता के महत्व का कारण यह है कि यह कई महत्वपूर्ण परिणामों की अनुमति देता है। नीचे कई असमानताएं (गणित) दी गई हैं जो केवल एकरूपी वितरण के लिए मान्य हैं। इस प्रकार, यह आकलन करना महत्वपूर्ण है कि दिया गया डेटा सेट एक एकरूप वितरण से आता है या नहीं। [[बहुविध वितरण]] पर लेख में एकरूपता के लिए कई परीक्षण दिए गए हैं।
 ===असमानताएं===

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