संयोजन: Difference between revisions

Revision as of 14:05, 6 April 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है, जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा इत्यादि अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे भाज्य का उपयोग करके

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

लिखा जा सकता है। जब कभी भी

k\leq n

और

k>n

कौन सा कब शून्य है। यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय:

\textstyle {\binom {S}{k}}

द्वारा निरूपित किया जाता है।

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में अतिरिक्त दोहराव k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-बहु समुच्चय,^[2] K-चयन,^[3] अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, दो सेब, दो संतरे, और दो नाशपाती, तो 3 और 2-चयन होंगे।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था। यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 टिकट डेक (n = 52) से टिकट के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 टिकट अलग-अलग हैं और हाथ में टिकट का क्रम मतलब नहीं रखता हैं। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

K-संयोजनों की संख्या

5-तत्व समूह के 3-तत्व बहुसमूह

N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है। $C(n,k)$ , भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ और भी $C_{n}^{k}$ अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ। वही संख्या चूंकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है ${\tbinom {n}{k}}$ अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है। विशेष रूप से यह द्विपद सूत्र में गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है।कलन विधि ${\tbinom {n}{k}}$ सभी प्राकृत संख्याओं k के साथ संबंध द्वारा परिभाषित कर सकता है,

(1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},

जिससे यह स्पष्ट होता है,

{\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,

और आगे,

{\binom {n}{k}}=0

K > N के लिए इस प्रकार प्रकट कर सकते हैं।

यह देखने के लिए कि ये गुणांक S से K-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले N विशिष्ट चर X_s के संग्रह पर विचार कर सकते हैं S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें।

\prod _{s\in S}(1+X_{s});

इसमें 2ⁿ है S के सभी उपसमुच्चय के अनुरूप विशिष्ट शब्द, प्रत्येक उपसमुच्चय संगत चर X_s का गुणनफल देता है। अब सभी X_s को समूह कर दिया जाता हैं, इसके अतिरिक्त लेबल वाले चर X के बराबर, जिससे कि उत्पाद बन जाए (1 + X)ⁿ, S से प्रत्येक k-संयोजन के लिए शब्द X^k बन जाता है, जिससे कि परिणाम में उस घात का गुणांक ऐसे k-संयोजनों की संख्या के बराबर रहता हैं।

द्विपद गुणांकों की स्पष्ट रूप से विभिन्न विधियों से गणना की जा सकती है। विस्तार के लिए उन सभी को प्राप्त करने के लिए (1 + X)ⁿ, कोई पहले से दिए गए मूलभूत स्थितियों के अतिरिक्त पुनरावर्तन संबंध का उपयोग कर सकता है।

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{}

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

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 संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में अतिरिक्त दोहराव k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-[[multiset|बहु समुच्चय]],<ref>{{harvnb|Mazur|2010|loc=p. 10}}</ref> K-चयन,<ref>{{harvnb|Ryser|1963|loc=p. 7}} also referred to as an ''unordered selection''.</ref> अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं।<ref>When the term ''combination'' is used to refer to either situation (as in {{harv|Brualdi|2010}}) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.</ref> यदि, उपरोक्त उदाहरण में किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, दो सेब, दो संतरे, और दो नाशपाती, तो 3 और 2-चयन होंगे।
-यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था। यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, [[हाथ (पोकर)]] को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता हैं। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।
+यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था। यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, [[हाथ (पोकर)]] को 52 टिकट डेक (n = 52) से टिकट के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 टिकट अलग-अलग हैं और हाथ में टिकट का क्रम मतलब नहीं रखता हैं। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।
 == K-संयोजनों की संख्या ==
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 === गिनती संयोजनों का उदाहरण ===
-विशिष्ट उदाहरण के रूप में, मानक बावन कार्ड डेक से संभव पांच-कार्ड हाथों की संख्या की गणना कर सकते हैं।<ref>{{harvnb|Mazur|2010|loc=p. 21}}</ref><math display="block"> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} =
+विशिष्ट उदाहरण के रूप में, मानक बावन टिकट डेक से संभव पांच-टिकट हाथों की संख्या की गणना कर सकते हैं।<ref>{{harvnb|Mazur|2010|loc=p. 21}}</ref><math display="block"> {52 \choose 5} = \frac{52\times51\times50\times49\times48}{5\times4\times3\times2\times1} = \frac{311{,}875{,}200}{120} =
 {,}598{,}960.</math>वैकल्पिक रूप से कोई फैक्टोरियल के संदर्भ में सूत्र का उपयोग कर सकता है और प्रत्येक में कारकों के भागों के विरुद्ध अंश में कारकों को निरसित कर सकता है, जिसके बाद केवल शेष कारकों का गुणन आवश्यक है।<math display="block">\begin{alignat}{2}
    {52 \choose 5}
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 सभी k के लिए k-संयोजनों की संख्या n तत्वों के समूह के उपसमूह की संख्या है। यह देखने के कई विधियाँ हैं कि यह संख्या 2<sup>N</sup> है। संयोजनों के संदर्भ में, <math display="inline">\sum_{0\leq{k}\leq{n}}\binom n k = 2^n</math>, जो द्विपद गुणांक की n वीं पंक्ति 0 से गिनती का योग है। पास्कल के त्रिकोण में गुणांक पंक्ति का योग। इन संयोजनों उपसमुच्चय को 0 से 2 तक गिने जाने वाले [[आधार 2]] संख्याओं के समूह के 1<sup>n</sup> − 1 अंकों द्वारा गिना जाता है, जहां प्रत्येक अंक स्थिति n के समूह से विषय है।
-से 3 तक की संख्या वाले 3 कार्ड दिए गए हैं, [[खाली सेट|खाली समूह]] सहित 8 अलग-अलग संयोजन उपसमुच्चय हैं।<math display="block">| \{ \{\}  ;  \{1\}  ;  \{2\}  ;  \{1, 2\} ; \{3\}  ;  \{1, 3\}  ;  \{2, 3\}  ;  \{1, 2, 3\} \}| = 2^3 = 8</math>आधार 2 अंकों के रूप में इन उपसमूह (उसी क्रम में) का प्रतिनिधित्व करना।
+से 3 तक की संख्या वाले 3 टिकट दिए गए हैं, [[खाली सेट|खाली समूह]] सहित 8 अलग-अलग संयोजन उपसमुच्चय हैं।<math display="block">| \{ \{\}  ;  \{1\}  ;  \{2\}  ;  \{1, 2\} ; \{3\}  ;  \{1, 3\}  ;  \{2, 3\}  ;  \{1, 2, 3\} \}| = 2^3 = 8</math>आधार 2 अंकों के रूप में इन उपसमूह (उसी क्रम में) का प्रतिनिधित्व करना।
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