संयोजन: Difference between revisions

Revision as of 05:56, 25 March 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा। अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे भाज्य का उपयोग करके

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

लिखा जा सकता है। जब कभी भी

k\leq n

और कौन सा कब शून्य है

k>n

. यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

.^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है

\textstyle {\binom {S}{k}}

.

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में अतिरिक्त दोहराव k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-बहु समुच्चय,^[2] या K-चयन,^[3] अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, दो सेब, दो संतरे, और दो नाशपाती, तो 3 और 2-चयन होंगे।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था, यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता। इस प्रकार के 2,598,960 संयोजन हैं और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

K-संयोजनों की संख्या

5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह

N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है। $C(n,k)$ , भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ और भी $C_{n}^{k}$ अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ। वही संख्या चूंकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है ${\tbinom {n}{k}}$ अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है। विशेष रूप से यह द्विपद सूत्र में गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है ${\tbinom {n}{k}}$ सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए साथ संबंध द्वारा

(1+X)^{n}=\sum _{k\geq 0}{\binom {n}{k}}X^{k},

जिससे यह स्पष्ट होता है

{\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1,

और आगे,

StartBinomialOrMatrix n Choose k EndBinomialOrMatrix equals 0

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 9: / Line 9: @@
 == K-संयोजनों की संख्या ==
-{{main|Binomial coefficient}}
+{{main|द्विपद गुणांक}}
-[[File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg|thumb|5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह]]N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है <math>C(n,k)</math>, या भिन्नरूप द्वारा जैसे <math>C^n_k</math>,  <math>{}_nC_k</math>, <math>{}^nC_k</math>, <math>C_{n,k}</math> या और भी <math>C_n^k</math> (अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है<ref>{{cite book |title = पूर्णकालिक छात्र के लिए हाई स्कूल पाठ्यपुस्तक (आवश्यक) गणित पुस्तक II बी| edition=2nd | location = China|language = zh |date=June 2006| publisher = People's Education Press| pages = 107–116 | isbn = 978-7-107-19616-4 }}</ref><ref>{{cite book |url=http://www.shuxue9.com/pep/gzxuanxiu23/ebook/31.html|title=人教版高中数学选修2-3 (Mathematics textbook, volume 2-3, for senior high school, People's Education Press)| publisher =People's Education Press | page=21 }}</ref> और पोलिश ग्रंथ). वही संख्या हालांकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\tbinom nk</math> (अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है); विशेष रूप से यह [[द्विपद सूत्र]] में  गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है <math>\tbinom nk</math> सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए  साथ संबंध द्वारा
+[[File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg|thumb|5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह]]N तत्वों के दिए गए समूह एस से K-संयोजनों की संख्या को अधिकांशतः प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है। <math>C(n,k)</math>, भिन्नरूप द्वारा जैसे <math>C^n_k</math>,  <math>{}_nC_k</math>, <math>{}^nC_k</math>, <math>C_{n,k}</math> और भी <math>C_n^k</math> अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है<ref>{{cite book |title = पूर्णकालिक छात्र के लिए हाई स्कूल पाठ्यपुस्तक (आवश्यक) गणित पुस्तक II बी| edition=2nd | location = China|language = zh |date=June 2006| publisher = People's Education Press| pages = 107–116 | isbn = 978-7-107-19616-4 }}</ref><ref>{{cite book |url=http://www.shuxue9.com/pep/gzxuanxiu23/ebook/31.html|title=人教版高中数学选修2-3 (Mathematics textbook, volume 2-3, for senior high school, People's Education Press)| publisher =People's Education Press | page=21 }}</ref> और पोलिश ग्रंथ। वही संख्या चूंकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\tbinom nk</math> अधिकांशतः n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है। विशेष रूप से यह [[द्विपद सूत्र]] में  गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है <math>\tbinom nk</math> सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए  साथ संबंध द्वारा
 <math display="block">(1 + X)^n = \sum_{k\geq0}\binom{n}{k} X^k,</math>
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 <math display="block">\binom{n}{k} = 0</math>
-क > N के लिए।
+K > N के लिए।
-यह देखने के लिए कि ये गुणांक एस से K-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले N विशिष्ट चर एक्स के संग्रह पर विचार कर सकते हैं<sub>''s''</sub> S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है, और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें:
+यह देखने के लिए कि ये गुणांक S से K-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले N विशिष्ट चर X<sub>''s''</sub> के संग्रह पर विचार कर सकते हैं S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें।
 <math display="block">\prod_{s\in S}(1+X_s);</math>
-इसमें 2 है<sup>n</sup> S के सभी उपसमुच्चयों के अनुरूप विशिष्ट शब्द, प्रत्येक उपसमुच्चय संगत चर X का गुणनफल देता है<sub>''s''</sub>. अब सभी X को समूह कर रहा हूँ<sub>''s''</sub> अतिरिक्त लेबल वाले चर X के बराबर, ताकि उत्पाद बन जाए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, S से प्रत्येक k-संयोजन के लिए शब्द X बन जाता है<sup>k</sup>, ताकि परिणाम में उस घात का गुणांक ऐसे k-संयोजनों की संख्या के बराबर हो।
+इसमें 2<sup>n</sup> है S के सभी उपसमुच्चयों के अनुरूप विशिष्ट शब्द, प्रत्येक उपसमुच्चय संगत चर X<sub>''s''</sub> का गुणनफल देता है। अब सभी X<sub>''s''</sub> को समूह कर रहा हूँ अतिरिक्त लेबल वाले चर X के बराबर, जिससे कि उत्पाद बन जाए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, S से प्रत्येक k-संयोजन के लिए शब्द X<sup>k</sup> बन जाता है, जिससे कि परिणाम में उस घात का गुणांक ऐसे k-संयोजनों की संख्या के बराबर हो।
-द्विपद गुणांकों की स्पष्ट रूप से विभिन्न तरीकों से गणना की जा सकती है। तक के विस्तार के लिए उन सभी को प्राप्त करने के लिए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, कोई (पहले से दिए गए बुनियादी मामलों के अलावा) पुनरावर्तन संबंध का उपयोग कर सकता है
+द्विपद गुणांकों की स्पष्ट रूप से विभिन्न विधियों से गणना की जा सकती है। विस्तार के लिए उन सभी को प्राप्त करने के लिए {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup>}}, कोई पहले से दिए गए बुनियादी मामलों के अलावा) पुनरावर्तन संबंध का उपयोग कर सकता है
 <math display="block">\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k},</math>
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 यह पहचान उपरोक्त प्रतिनिधित्व में तारों और बारों के आदान-प्रदान से होती है।<ref>{{harvnb|Benjamin|Quinn|2003|loc=p. 72 (identity 145)}}</ref>
 === बहुउपसमुच्चयों की गिनती का उदाहरण ===
-उदाहरण के लिए, यदि आपके पास चुनने के लिए मेनू में चार प्रकार के डोनट्स (n = 4) हैं और आप तीन डोनट्स (k = 3) चाहते हैं, तो पुनरावृत्ति के साथ डोनट्स चुनने के तरीकों की संख्या की गणना इस प्रकार की जा सकती है
+उदाहरण के लिए, यदि आपके पास चुनने के लिए मेनू में चार प्रकार के डोनट्स (n = 4) हैं और आप तीन डोनट्स (k = 3) चाहते हैं, तो पुनरावृत्ति के साथ डोनट्स चुनने के विधियों की संख्या की गणना इस प्रकार की जा सकती है
 <math display="block">\left(\!\!\binom{4}{3}\!\!\right) = \binom{4+3-1}3 = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20.</math>
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 किसी दिए गए समूह या सूची से  यादृच्छिक संयोजन चुनने के लिए विभिन्न [[एल्गोरिदम]] हैं। बड़े नमूना आकारों के लिए [[अस्वीकृति नमूनाकरण]] बेहद धीमा है। आकार N की आबादी से कुशलता से K-संयोजन का चयन करने का  तरीका आबादी के प्रत्येक तत्व में पुन: प्रयास करना है, और प्रत्येक चरण में उस तत्व को गतिशील रूप से बदलती संभावना के साथ चुनें <math display="inline">\frac{k-\#\text{samples chosen}}{n- \#\text{samples visited}}</math> (जलाशय नमूना देखें)। दूसरा  यादृच्छिक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक से कम चुनना है <math>\textstyle\binom nk</math> और संयोजन संख्या प्रणाली का उपयोग करके इसे  संयोजन में परिवर्तित करें।
-== वस्तुओं को डिब्बे में डालने के तरीकों की संख्या ==
+== वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधियों की संख्या ==
-संयोजन को वस्तुओं के दो समूहों के चयन के रूप में भी माना जा सकता है: वे जो चुने हुए बिन में जाते हैं और वे जो अनचाहे बिन में जाते हैं। इसे किसी भी संख्या में डिब्बे के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें यह बाधा है कि प्रत्येक वस्तु को ठीक  बिन में जाना चाहिए। वस्तुओं को डिब्बे में डालने के तरीकों की संख्या बहुराष्ट्रीय प्रमेय द्वारा दी गई है#वस्तुओं को डिब्बे में डालने के तरीके
+संयोजन को वस्तुओं के दो समूहों के चयन के रूप में भी माना जा सकता है: वे जो चुने हुए बिन में जाते हैं और वे जो अनचाहे बिन में जाते हैं। इसे किसी भी संख्या में डिब्बे के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें यह बाधा है कि प्रत्येक वस्तु को ठीक  बिन में जाना चाहिए। वस्तुओं को डिब्बे में डालने के विधियों की संख्या बहुराष्ट्रीय प्रमेय द्वारा दी गई है#वस्तुओं को डिब्बे में डालने के तरीके
 <math display="block"> {n \choose k_1, k_2, \ldots, k_m} = \frac{n!}{k_1!\, k_2! \cdots k_m!},</math>

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