संयोजन: Difference between revisions

Revision as of 05:40, 25 March 2023

गणित में संयोजन समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम परिवर्तन के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे सेब, संतरा और नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और नाशपाती, सेब और संतरा, नाशपाती और संतरा। अधिक औपचारिक रूप से, K- समूह (गणित) S का संयोजन S के K विशिष्ट तत्वों का उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित $C(n,k)$ या $C_{k}^{n}$ , द्विपद गुणांक के बराबर है।

{\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\dotsb (n-k+1)}{k(k-1)\dotsb 1}},

जिसे भाज्य का उपयोग करके

\textstyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}

लिखा जा सकता है। जब कभी भी

k\leq n

और कौन सा कब शून्य है

k>n

. यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है

k!

क्रमपरिवर्तन तो

P_{k}^{n}=C_{k}^{n}\times k!

या

C_{k}^{n}=P_{k}^{n}/k!

.^[1] समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है

\textstyle {\binom {S}{k}}

.

संयोजन n चीजों का संयोजन है जिसे बार में बिना दोहराव के k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-multiset,^[2] या के-चयन,^[3] अक्सर उपयोग किए जाते हैं।^[4] यदि, उपरोक्त उदाहरण में, किसी प्रकार के दो फलों का होना संभव था, तो 3 और 2-चयन होंगे: में दो सेब, में दो संतरे, और में दो नाशपाती।

यद्यपि संयोजनों की पूरी सूची लिखने के लिए तीन फलों का समूह काफी छोटा था, यह अव्यावहारिक हो जाता है क्योंकि समूह का आकार बढ़ जाता है। उदाहरण के लिए, हाथ (पोकर) को 52 कार्ड डेक (n = 52) से कार्ड के 5-संयोजन (k = 5) के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हाथ के 5 कार्ड अलग-अलग हैं, और हाथ में कार्ड का क्रम मतलब नहीं रखता। इस तरह के 2,598,960 संयोजन हैं, और यादृच्छिक रूप से किसी हाथ को खींचने की संभावना 1 / 2,598,960 है।

के-संयोजनों की संख्या

5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह

N तत्वों के दिए गए समूह एस से के-संयोजनों की संख्या को अक्सर प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है $C(n,k)$ , या भिन्नरूप द्वारा जैसे $C_{k}^{n}$ , ${}_{n}C_{k}$ , ${}^{n}C_{k}$ , $C_{n,k}$ या और भी $C_{n}^{k}$ (अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है^[5]^[6] और पोलिश ग्रंथ

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-गणित में  '''संयोजन'''  समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम [[परिवर्तन]] के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे  सेब,  संतरा और  नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और  नाशपाती,  सेब और  संतरा,  नाशपाती और  संतरा। अधिक औपचारिक रूप से,  ''K''- [[सेट (गणित)|समूह (गणित)]] ''S'' का संयोजन ''S'' के ''K'' विशिष्ट तत्वों का  उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'एन' तत्व हैं, तो 'के'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित <math>C(n,k)</math> या <math>C^n_k</math>, [[द्विपद गुणांक]] के बराबर है।
+गणित में  '''संयोजन'''  समूह से वस्तुओं का चयन होता है। जिसमें अलग-अलग सदस्य होते हैं, जैसे कि चयन का क्रम मतलब नहीं रखता क्रम [[परिवर्तन]] के विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, तीन फल दिए गए हैं, जैसे  सेब,  संतरा और  नाशपाती, दो के तीन संयोजन हैं जिन्हें इस समूह से निकाला जा सकता है। सेब और  नाशपाती,  सेब और  संतरा,  नाशपाती और  संतरा। अधिक औपचारिक रूप से,  ''K''- [[सेट (गणित)|समूह (गणित)]] ''S'' का संयोजन ''S'' के ''K'' विशिष्ट तत्वों का  उपसमूह है। इसलिए, दो संयोजन समान हैं यदि और केवल यदि प्रत्येक संयोजन में समान सदस्य हैं। प्रत्येक समूह में सदस्यों की व्यवस्था कोई मतलब नहीं रखती है। यदि समूह में 'N' तत्व हैं, तो 'K'-संयोजन की संख्या, द्वारा निरूपित <math>C(n,k)</math> या <math>C^n_k</math>, [[द्विपद गुणांक]] के बराबर है।
 <math display="block"> \binom nk = \frac{n(n-1)\dotsb(n-k+1)}{k(k-1)\dotsb1},</math>
-जिसे [[ कारख़ाने का ]] का उपयोग करके लिखा जा सकता है <math>\textstyle\frac{n!}{k!(n-k)!}</math> जब कभी भी <math>k\leq n</math>, और कौन सा कब शून्य है <math>k>n</math>. यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है <math>k!</math> क्रमपरिवर्तन तो <math>P^n_k = C^n_k \times k!</math> या <math>C^n_k = P^n_k / k!</math>.<ref>{{Cite book|last=Reichl|first=Linda E.|title=सांख्यिकीय भौतिकी में एक आधुनिक पाठ्यक्रम|publisher=WILEY-VCH|year=2016|isbn=978-3-527-69048-0|pages=30|chapter=2.2. Counting Microscopic States}}</ref> समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है <math>\textstyle\binom Sk</math>.
+जिसे [[ कारख़ाने का | भाज्य]] का उपयोग करके <math>\textstyle\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>  लिखा जा सकता है। जब कभी भी <math>k\leq n</math> और कौन सा कब शून्य है <math>k>n</math>. यह सूत्र इस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है कि n सदस्यों के समुच्चय S के प्रत्येक k-संयोजन में है <math>k!</math> क्रमपरिवर्तन तो <math>P^n_k = C^n_k \times k!</math> या <math>C^n_k = P^n_k / k!</math>.<ref>{{Cite book|last=Reichl|first=Linda E.|title=सांख्यिकीय भौतिकी में एक आधुनिक पाठ्यक्रम|publisher=WILEY-VCH|year=2016|isbn=978-3-527-69048-0|pages=30|chapter=2.2. Counting Microscopic States}}</ref> समुच्चय S के सभी k-संयोजनों के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है <math>\textstyle\binom Sk</math>.
 संयोजन n चीजों का  संयोजन है जिसे  बार में बिना दोहराव के k लिया जाता है। उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ k-संयोजन, k-[[multiset]],<ref>{{harvnb|Mazur|2010|loc=p. 10}}</ref> या के-चयन,<ref>{{harvnb|Ryser|1963|loc=p. 7}} also referred to as an ''unordered selection''.</ref> अक्सर उपयोग किए जाते हैं।<ref>When the term ''combination'' is used to refer to either situation (as in {{harv|Brualdi|2010}}) care must be taken to clarify whether sets or multisets are being discussed.</ref> यदि, उपरोक्त उदाहरण में, किसी  प्रकार के दो फलों का होना संभव था, तो 3 और 2-चयन होंगे:  में दो सेब,  में दो संतरे, और  में दो नाशपाती।
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 == के-संयोजनों की संख्या ==
 {{main|Binomial coefficient}}
-[[File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg|thumb|5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह]]एन तत्वों के दिए गए समूह एस से के-संयोजनों की संख्या को अक्सर प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है <math>C(n,k)</math>, या भिन्नरूप द्वारा जैसे <math>C^n_k</math>,  <math>{}_nC_k</math>, <math>{}^nC_k</math>, <math>C_{n,k}</math> या और भी <math>C_n^k</math> (अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है<ref>{{cite book |title = पूर्णकालिक छात्र के लिए हाई स्कूल पाठ्यपुस्तक (आवश्यक) गणित पुस्तक II बी| edition=2nd | location = China|language = zh |date=June 2006| publisher = People's Education Press| pages = 107–116 | isbn = 978-7-107-19616-4 }}</ref><ref>{{cite book |url=http://www.shuxue9.com/pep/gzxuanxiu23/ebook/31.html|title=人教版高中数学选修2-3 (Mathematics textbook, volume 2-3, for senior high school, People's Education Press)| publisher =People's Education Press | page=21 }}</ref> और पोलिश ग्रंथ{{citation needed|date=April 2012}}). वही संख्या हालांकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\tbinom nk</math> (अक्सर n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है); विशेष रूप से यह [[द्विपद सूत्र]] में  गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है <math>\tbinom nk</math> सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए  साथ संबंध द्वारा
+[[File:Combinations without repetition; 5 choose 3.svg|thumb|5-तत्व समूह के 3-तत्व सबसमूह]]N तत्वों के दिए गए समूह एस से के-संयोजनों की संख्या को अक्सर प्राथमिक संयोजक ग्रंथों में दर्शाया जाता है <math>C(n,k)</math>, या भिन्नरूप द्वारा जैसे <math>C^n_k</math>,  <math>{}_nC_k</math>, <math>{}^nC_k</math>, <math>C_{n,k}</math> या और भी <math>C_n^k</math> (अंतिम रूप फ्रेंच, रोमानियाई, रूसी, चीनी में मानक है<ref>{{cite book |title = पूर्णकालिक छात्र के लिए हाई स्कूल पाठ्यपुस्तक (आवश्यक) गणित पुस्तक II बी| edition=2nd | location = China|language = zh |date=June 2006| publisher = People's Education Press| pages = 107–116 | isbn = 978-7-107-19616-4 }}</ref><ref>{{cite book |url=http://www.shuxue9.com/pep/gzxuanxiu23/ebook/31.html|title=人教版高中数学选修2-3 (Mathematics textbook, volume 2-3, for senior high school, People's Education Press)| publisher =People's Education Press | page=21 }}</ref> और पोलिश ग्रंथ{{citation needed|date=April 2012}}). वही संख्या हालांकि कई अन्य गणितीय संदर्भों में होती है, जहां इसे द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\tbinom nk</math> (अक्सर n चुनें k के रूप में पढ़ा जाता है); विशेष रूप से यह [[द्विपद सूत्र]] में  गुणांक के रूप में होता है, इसलिए इसका नाम 'द्विपद गुणांक' है। कोई परिभाषित कर सकता है <math>\tbinom nk</math> सभी प्राकृत संख्याओं k के लिए  साथ संबंध द्वारा
 <math display="block">(1 + X)^n = \sum_{k\geq0}\binom{n}{k} X^k,</math>
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 <math display="block">\binom{n}{k} = 0</math>
-क > एन के लिए।
+क > N के लिए।
-यह देखने के लिए कि ये गुणांक एस से के-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले एन विशिष्ट चर एक्स के संग्रह पर विचार कर सकते हैं<sub>''s''</sub> S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है, और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें:
+यह देखने के लिए कि ये गुणांक एस से के-संयोजनों की गणना करते हैं, पहले N विशिष्ट चर एक्स के संग्रह पर विचार कर सकते हैं<sub>''s''</sub> S के तत्वों द्वारा लेबल किया गया है, और S के सभी तत्वों पर गुणन का विस्तार करें:
 <math display="block">\prod_{s\in S}(1+X_s);</math>
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 <math display="block">\binom{n}{k} = \binom{n - 1}{k - 1} + \binom{n - 1}{k},</math>
-<के <एन के लिए, जो इस प्रकार है {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup> }}={{nowrap| (1 + ''X'')<sup>''n'' − 1</sup>(1 + ''X'')}}; इससे पास्कल के त्रिभुज का निर्माण होता है।
+<के <N के लिए, जो इस प्रकार है {{nowrap|(1 + ''X'')<sup>''n''</sup> }}={{nowrap| (1 + ''X'')<sup>''n'' − 1</sup>(1 + ''X'')}}; इससे पास्कल के त्रिभुज का निर्माण होता है।
 व्यक्तिगत द्विपद गुणांक निर्धारित करने के लिए, सूत्र का उपयोग करना अधिक व्यावहारिक है
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 कोई निश्चित क्रम में n तत्वों के दिए गए समूह S के सभी k-संयोजनों की गणना कर सकता है, जो  अंतराल से  आक्षेप स्थापित करता है <math>\tbinom nk</math> उन के-संयोजनों के समूह के साथ पूर्णांक। यह मानते हुए कि S को स्वयं ऑर्डर किया गया है, उदाहरण के लिए S = { 1, 2, ..., n }, इसके k-संयोजनों को ऑर्डर करने की दो स्वाभाविक संभावनाएँ हैं: पहले उनके सबसे छोटे तत्वों की तुलना करके (जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में है) या तुलना करके उनके सबसे बड़े तत्व पहले। बाद वाले विकल्प का लाभ यह है कि एस में  नया सबसे बड़ा तत्व जोड़ने से गणना के शुरुआती हिस्से में बदलाव नहीं आएगा, लेकिन पिछले वाले के बाद बड़े समूह के नए के-संयोजन जोड़ें। इस प्रक्रिया को दोहराते हुए, कभी भी बड़े समूहों के k-संयोजनों के साथ गणना को अनिश्चित काल तक बढ़ाया जा सकता है। यदि इसके अलावा पूर्णांकों के अंतराल को 0 से शुरू करने के लिए लिया जाता है, तो गणना में किसी दिए गए स्थान i पर k-संयोजन की गणना i से आसानी से की जा सकती है, और इस प्रकार प्राप्त होने वाली आपत्ति [[संयोजन संख्या प्रणाली]] के रूप में जानी जाती है। इसे कम्प्यूटेशनल गणित में रैंक/रैंकिंग और अनरैंकिंग के रूप में भी जाना जाता है।<ref>{{cite web|url=http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/http://www.site.uottawa.ca/~lucia/courses/5165-09/GenCombObj.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live |title=प्राथमिक मिश्रित वस्तुओं का निर्माण|author=Lucia Moura |website=Site.uottawa.ca |access-date=2017-04-10}}</ref><ref>{{cite web|url=http://www.sagemath.org/doc/reference/sage/combinat/subset.html |format=PDF |title=SAGE : Subsets |website=Sagemath.org |access-date=2017-04-10}}</ref>
-K संयोजनों की गणना करने के कई तरीके हैं।  तरीका है 2 से कम सभी बाइनरी नंबरों पर जाना<sup>एन</sup>. उन संख्याओं को चुनें जिनमें k नॉनज़रो बिट्स हों, हालाँकि यह छोटे n के लिए भी बहुत अक्षम है (उदाहरण के लिए n = 20 को लगभग  मिलियन नंबरों पर जाने की आवश्यकता होगी जबकि k = 10 के लिए अनुमत k संयोजनों की अधिकतम संख्या लगभग 186 हजार है)। ऐसी संख्या में इन 1 बिट्स की स्थिति समूह {1, ..., n} का  विशिष्ट k-संयोजन है।<ref>{{cite web|url=http://rosettacode.org/wiki/Combinations|title=संयोजन - रोसेटा कोड|date=23 October 2022 }}{{ugc|date=April 2017}}</ref>  और सरल, तेज़ तरीका चयनित तत्वों के k इंडेक्स नंबरों को ट्रैक करना है, {0 .. k−1} (शून्य-आधारित) या {1 .. k} (एक-आधारित) से शुरू होकर पहले अनुमत k-संयोजन के रूप में और फिर बार-बार अंतिम अनुक्रमणिका संख्या में वृद्धि करके अगले अनुमत k-संयोजन पर जाना यदि यह n-1 (शून्य-आधारित) या n (एक-आधारित) या अंतिम अनुक्रमणिका संख्या x से कम है जो अनुक्रमणिका संख्या से कम है यदि ऐसा कोई इंडेक्स मौजूद है तो इसके बाद माइनस  और इंडेक्स नंबर को x के बाद {x+1, x+2, ...} पर रीसमूह करना।
+K संयोजनों की गणना करने के कई तरीके हैं।  तरीका है 2 से कम सभी बाइनरी नंबरों पर जाना<sup>N</sup>. उन संख्याओं को चुनें जिनमें k नॉनज़रो बिट्स हों, हालाँकि यह छोटे n के लिए भी बहुत अक्षम है (उदाहरण के लिए n = 20 को लगभग  मिलियन नंबरों पर जाने की आवश्यकता होगी जबकि k = 10 के लिए अनुमत k संयोजनों की अधिकतम संख्या लगभग 186 हजार है)। ऐसी संख्या में इन 1 बिट्स की स्थिति समूह {1, ..., n} का  विशिष्ट k-संयोजन है।<ref>{{cite web|url=http://rosettacode.org/wiki/Combinations|title=संयोजन - रोसेटा कोड|date=23 October 2022 }}{{ugc|date=April 2017}}</ref>  और सरल, तेज़ तरीका चयनित तत्वों के k इंडेक्स नंबरों को ट्रैक करना है, {0 .. k−1} (शून्य-आधारित) या {1 .. k} (एक-आधारित) से शुरू होकर पहले अनुमत k-संयोजन के रूप में और फिर बार-बार अंतिम अनुक्रमणिका संख्या में वृद्धि करके अगले अनुमत k-संयोजन पर जाना यदि यह n-1 (शून्य-आधारित) या n (एक-आधारित) या अंतिम अनुक्रमणिका संख्या x से कम है जो अनुक्रमणिका संख्या से कम है यदि ऐसा कोई इंडेक्स मौजूद है तो इसके बाद माइनस  और इंडेक्स नंबर को x के बाद {x+1, x+2, ...} पर रीसमूह करना।
 == पुनरावृत्ति के साथ संयोजनों की संख्या ==
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 {{See also|Binomial coefficient#Sum of coefficients row}}
-सभी k के लिए k-संयोजनों की संख्या n तत्वों के  समूह के उपसमूह की संख्या है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह संख्या 2 है<sup>एन</sup>. संयोजनों के संदर्भ में, <math display="inline">\sum_{0\leq{k}\leq{n}}\binom n k = 2^n</math>, जो द्विपद गुणांक की nवीं पंक्ति (0 से गिनती) का योग है # पास्कल के त्रिकोण में गुणांक पंक्ति का योग। इन संयोजनों (उपसमुच्चयों) को 0 से 2 तक गिने जाने वाले [[आधार 2]] संख्याओं के समूह के 1 अंकों द्वारा गिना जाता है<sup>n</sup> − 1, जहां प्रत्येक अंक स्थिति n के समूह से  आइटम है।
+सभी k के लिए k-संयोजनों की संख्या n तत्वों के  समूह के उपसमूह की संख्या है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह संख्या 2 है<sup>N</sup>. संयोजनों के संदर्भ में, <math display="inline">\sum_{0\leq{k}\leq{n}}\binom n k = 2^n</math>, जो द्विपद गुणांक की nवीं पंक्ति (0 से गिनती) का योग है # पास्कल के त्रिकोण में गुणांक पंक्ति का योग। इन संयोजनों (उपसमुच्चयों) को 0 से 2 तक गिने जाने वाले [[आधार 2]] संख्याओं के समूह के 1 अंकों द्वारा गिना जाता है<sup>n</sup> − 1, जहां प्रत्येक अंक स्थिति n के समूह से  आइटम है।
 से 3 तक की संख्या वाले 3 कार्ड दिए गए हैं, [[खाली सेट|खाली समूह]] सहित 8 अलग-अलग संयोजन (उपसमुच्चय) हैं:
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 == संभावना:  यादृच्छिक संयोजन का नमूना लेना ==
-किसी दिए गए समूह या सूची से  यादृच्छिक संयोजन चुनने के लिए विभिन्न [[एल्गोरिदम]] हैं। बड़े नमूना आकारों के लिए [[अस्वीकृति नमूनाकरण]] बेहद धीमा है। आकार एन की आबादी से कुशलता से के-संयोजन का चयन करने का  तरीका आबादी के प्रत्येक तत्व में पुन: प्रयास करना है, और प्रत्येक चरण में उस तत्व को गतिशील रूप से बदलती संभावना के साथ चुनें <math display="inline">\frac{k-\#\text{samples chosen}}{n- \#\text{samples visited}}</math> (जलाशय नमूना देखें)। दूसरा  यादृच्छिक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक से कम चुनना है <math>\textstyle\binom nk</math> और संयोजन संख्या प्रणाली का उपयोग करके इसे  संयोजन में परिवर्तित करें।
+किसी दिए गए समूह या सूची से  यादृच्छिक संयोजन चुनने के लिए विभिन्न [[एल्गोरिदम]] हैं। बड़े नमूना आकारों के लिए [[अस्वीकृति नमूनाकरण]] बेहद धीमा है। आकार N की आबादी से कुशलता से के-संयोजन का चयन करने का  तरीका आबादी के प्रत्येक तत्व में पुन: प्रयास करना है, और प्रत्येक चरण में उस तत्व को गतिशील रूप से बदलती संभावना के साथ चुनें <math display="inline">\frac{k-\#\text{samples chosen}}{n- \#\text{samples visited}}</math> (जलाशय नमूना देखें)। दूसरा  यादृच्छिक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक से कम चुनना है <math>\textstyle\binom nk</math> और संयोजन संख्या प्रणाली का उपयोग करके इसे  संयोजन में परिवर्तित करें।
 == वस्तुओं को डिब्बे में डालने के तरीकों की संख्या ==

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