यूलर ईंट: Difference between revisions

Revision as of 22:50, 23 March 2023

गणित में, एक यूलर ईंट, जिसका नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, एक आयताकार घनाभ है जिसके किनारों और फलक विकर्णों की लंबाई पूर्णांक होती है। एक अभाज्य यूलर ईंट एक ऑयलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई सापेक्षतः अभाज्य होती है। एक पूर्ण यूलर ईंट वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।

परिभाषा

ज्यामितीय पदों में ऑयलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित पद्धति के समाधान के बराबर है:

{\begin{cases}a^{2}+b^{2}=d^{2}\\a^{2}+c^{2}=e^{2}\\b^{2}+c^{2}=f^{2}\end{cases}}

जहाँ $a, b, c$ किनारे हैं और $d, e, f$ विकर्ण हैं।

गुण

यदि $(a, b, c)$ एक समाधान है, तो $(ka, kb, kc)$ भी किसी भी (k)का एक समाधान है। अतः,परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई $(a, b, c)$ के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक $(bc, ac, ab)$ भी एक यूलर ईंट बनाता है।^[1]^{: p. 106}

अभाज्य ऑयलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।

यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।^[1]^{: p. 106}

यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।^[1]^{: p. 106}

यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।^[1]^{: p. 106}

उदाहरण

1719 में पॉल हाल्के द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ और फलक विकर्ण $(d, e, f) = (125, 244, 267)$ हैं।^[2] किनारे $(a, b, c)$ - फलक विकर्ण $(d, e, f)$ के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे प्राथमिक समाधान नीचे हैं:

1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य ऑयलर ईंटें

:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"

|(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||) |- |(||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||) |- |(||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||) |- |(||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||) |- |(||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||) |- |(||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||) |- |(||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||) |- |(||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||) |- |(||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||) |}

सूत्र बनाना

यूलर ने समस्या के कम से कम दो प्राचलिक समाधान खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता।^[3]

सौंडरसन के प्राचलिक सूत्र से यूलर ईंटों की अनंतता उत्पन्न की जा सकती है।^[4] मान लीजिए $(u, v, w)$ एक पायथागॉरियन त्रिक है (यानी, $u 2 + v 2 = w 2$ ) तो^[1]^: 105 किनारे

a=u|4v^{2}-w^{2}|,\quad b=v|4u^{2}-w^{2}|,\quad c=4uvw

दिया गया फलक विकर्ण

d=w^{3},\quad e=u(4v^{2}+w^{2}),\quad f=v(4u^{2}+w^{2}).

कई यूलर ईंटें हैं जो ऊपर की तरह प्राचलीकरण नहीं हैं, उदाहरण के लिए किनारों $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ और फलक विकर्ण $(d, e, f) = (348, 365, 373)$ के साथ यूलर ईंटें।

परिपूर्ण घनाभ

Unsolved problem in mathematics:

Does a perfect cuboid exist?

(more unsolved problems in mathematics)

एक परिपूर्ण घनाभ (जिसे एक पूर्ण यूलर ईंट या परिपूर्ण वर्ग भी कहा जाता है) एक यूलर ईंट है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी पूर्णांक लंबाई का होता है। दूसरे शब्दों में, यूलर ईंट को परिभाषित करने वाले डायोफैंटाइन समीकरणों की पद्धति में निम्नलिखित समीकरण जोड़ा गया है:

a^{2}+b^{2}+c^{2}=g^{2},

जहाँ $g$ अंतरिक्ष विकर्ण है। As of September 2020^[update], एक परिपूर्ण घनाभ का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने यह सिद्ध नहीं किया है कि कोई अस्तित्व में नहीं है।^[5]

किनारों

a, b, c

और फलक विकर्ण

d, e, f

के साथ यूलर ईंट

संपूर्ण कंप्यूटर खोजों से पता चलता है कि, यदि एक परिपूर्ण घनाभ मौजूद है,

विषम किनारा 2.5 × 10¹³ से अधिक होना चाहिए¹³,^[5]
सबसे छोटा किनारा 5×10¹¹ से बड़ा होना चाहिए।^[5] *अंतरिक्ष विकर्ण 9 × 10¹⁵ से अधिक होना चाहिए¹⁵.^[6]

मापांक अंकगणित के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक अभाज्य पूर्ण घन द्वारा संतुष्ट होना चाहिए, यदि कुछ मौजूद है:^[7]

एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 5 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 7 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 11 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारे की लंबाई 19 से विभाज्य होनी चाहिए।
एक किनारा या अंतरिक्ष विकर्ण 13 से विभाज्य होना चाहिए।
एक किनारा, फलक विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 17 से विभाज्य होना चाहिए।
एक किनारा, फलक विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 29 से विभाज्य होना चाहिए।
एक किनारा, फलक विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 37 से विभाज्य होना चाहिए।

इसके साथ ही:

अंतरिक्ष का विकर्ण न तो प्रधान शक्ति है और न ही अर्धप्राइम।^[8]^{: p. 579}
अंतरिक्ष विकर्ण में केवल अभाज्य विभाजक ≡ 1(mod 4) हो सकते हैं।^[8]^{: p. 566}^[9]

यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है और $a,b,c$ उसके किनारे हैं, $d,e,f$ - संबंधित चेहरा विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण $g$ , तब

भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज $(d^{2},e^{2},f^{2})$ एक हेरोनियन त्रिभुज एक क्षेत्र है $abcg$ तर्कसंगत कोण द्विभाजक के साथ।^[10]
पक्ष की लंबाई के साथ तीव्र त्रिभुज $(af,be,cd)$ , भुजाओं की लंबाई के साथ अधिक त्रिभुज $(b f, a e, g d), (a d, c f, g e), ($

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 {{short description|Cuboid whose edges and face diagonals have integer lengths}}
-[[गणित]] में, एक '''ऑयलर ईंट''', जिसका नाम '''<small>[[लियोनहार्ड ऑयलर]]</small>''' के नाम पर रखा गया है, एक [[आयताकार घनाभ]] है जिसके [[किनारों]] और [[फलक विकर्णों]] की लंबाई पूर्णांक होती है। एक '''अभाज्य ऑयलर ईंट''' एक ऑयलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई [[सापेक्षतः अभाज्य]] होती है। एक '''<small>[[पूर्ण ऑयलर ईंट]]</small>''' वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।
+[[गणित]] में, एक '''यूलर ईंट''', जिसका नाम '''<small>[[लियोनहार्ड ऑयलर|लियोनहार्ड यूलर]]</small>''' के नाम पर रखा गया है, एक [[आयताकार घनाभ]] है जिसके [[किनारों]] और [[फलक विकर्णों]] की लंबाई पूर्णांक होती है। एक '''अभाज्य यूलर ईंट''' एक ऑयलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई [[सापेक्षतः अभाज्य]] होती है। एक '''<small>[[पूर्ण ऑयलर ईंट|पूर्ण यूलर ईंट]]</small>''' वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक हो, लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।
 [[File:Euler_brick.svg|right|399x199px|अंगूठा|किनारे वाली यूलर ईंट {{math|''a'', ''b'', ''c''}} और विकर्णों का सामना करें {{math|''d'', ''e'', ''f''}}]]
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 == गुण ==
-* यदि {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,[[परिमेय संख्याओं]] में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}के साथ एक ऑयलर ईंट को देखते हुए, त्रिक {{math|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} भी एक ऑयलर ईंट बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|p. 106}}
+* यदि {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} एक समाधान है, तो {{math|(''ka'', ''kb'', ''kc'')}} भी किसी भी (''k'')का एक समाधान है। अतः,[[परिमेय संख्याओं]] में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}के साथ एक यूलर ईंट को देखते हुए, त्रिक {{math|(''bc'', ''ac'', ''ab'')}} भी एक यूलर ईंट बनाता है।<ref name=Sierpinski>[[Wacław Sierpiński]], ''[[Pythagorean Triangles]]'', Dover Publications, 2003 (orig. ed. 1962).</ref>{{rp|p. 106}}
 * ''अभाज्य'' ऑयलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।
-* ऑयलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
+* यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
-* ऑयलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
+* यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
-* ऑयलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
+* यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।<ref name=Sierpinski/>{{rp|p. 106}}
 == उदाहरण ==
-में [[पॉल हल्के|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी ऑयलर ईंट के किनारे {{math|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:
+में [[पॉल हल्के|पॉल हाल्के]] द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट के किनारे {{math|(''a'', ''b'', ''c'') <nowiki>=</nowiki> (44, 117, 240)}} और फलक विकर्ण {{math|(''d'', ''e'', ''f'' ) <nowiki>=</nowiki> (125, 244, 267)}} हैं।<ref>''[https://books.google.com/books?id=S8SBBRNbj6cC&dq=smallest+Euler+brick%2C+discovered+by+Paul+Halcke&pg=PT219 Visions of Infinity: The Great Mathematical Problems]'' By Ian Stewart, Chapter 17</ref> किनारे {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}} - फलक विकर्ण {{math|(''d'', ''e'', ''f'')}} के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे ''प्राथमिक'' समाधान नीचे हैं:
 [[File:Euler_brick_examples.svg|thumb|400px|1000 से कम आयामों वाली सभी पांच अभाज्य ऑयलर ईंटें]]:{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
 |(|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||)

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