विभेदक फलन: Difference between revisions

Revision as of 08:22, 23 March 2023

अवकलनीय फलन

गणित में, वास्तविक चर का अवकलनीय फलन एक ऐसा फलन होता है जिसका अवकलज उसके प्रक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर सम्मिलित होता है। दूसरे शब्दों में, अवकलनीय फलन के रेखा-चित्र में अपने प्रक्षेत्र में प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा रेखा होती है। अवकलनीय फलन सरल होता है (फलन स्थानीय रूप से प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक रैखिक फलन के रूप में अनुमानित है) और इसमें कोई वक्र, कोण या शीर्ष नहीं है।

यदि $x 0$ फलन के $f$ प्रक्षेत्र में एक आंतरिक बिंदु है तब अवकलज $f'(x_{0})$ सम्मिलित होने पर $f$ को $x 0$ पर अवकलनीय कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, $f$ के रेखा-चित्र बिन्दु $(x 0, f (x 0))$ पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है। $f$ को $U$ पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह $U$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। तब $f$ को सतत अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका अवकलज भी फलन $f$ के प्रक्षेत्र पर एक सतत फलन है। सामान्य रूप से $f$ को वर्ग $C^{k}$ का अवकलन कहा जाता है यदि इसका पहला $k$ अवकलज $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ सम्मिलित हैं और फलन $f$ के प्रक्षेत्र पर सतत हैं।

चर के वास्तविक फलनों की अवकलनीयता

फलन $f:U\to \mathbb {R}$ , एक विवृत समुच्चय पर परिभाषित $U\subset \mathbb {R}$ को $a\in U$ पर अवकलनीय कहा जाता है। यदि अवकलज

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}

सम्मिलित है।

इसका अर्थ है कि फलन सतत फलन

a

है।

इस फलन $f$ को $U$ पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह $U$ के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। इस स्थिति में, $f$ का अवकल इस प्रकार $U$ से $\mathbb {R}$ में एक फलन है। सतत फलन अनिवार्य रूप से अवकलनीय नहीं है, लेकिन एक अवकलनीय फलन आवश्यक रूप से (प्रत्येक बिंदु पर जहां यह अवकलनीय होता है) सतत फलन है (अनुभाग अवकलनीयता और सातत्यहीनता में) जैसा कि नीचे दिखाया गया है। फलन को सतत अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका अवकलज भी एक सतत फलन है; अतः ऐसा फलन सम्मिलित है जो अवकलनीय है लेकिन सतत अवकलनीय नहीं है (अनुभाग अवकलनीय वर्ग में) जैसा कि नीचे दिखाया जा रहा है।

अवकलनीयता और सातत्यहीनता

File:Absolute value.svg

निरपेक्ष मान फलन सतत है (अर्थात इसमें कोई अंतराल नहीं है)। यह बिंदु

x

= 0 को छोड़कर प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है जहां यह

y

-अक्ष परिच्छेद करते ही एक तीव्र वक्र बनाता है।

File:Cusp at (0,0.5).svg

सतत फलन के रेखाचित्र पर एक शीर्ष (विलक्षणता)। शून्य पर, फलन सतत होता है लेकिन अवकलनीय नहीं होता है।

यदि $f$ एक बिंदु $x 0$ पर अवकलनीय है, तब $f$ पर भी $x 0$ सतत फलन होना चाहिए। विशेष रूप से, कोई भी अवकलनीय फलन अपने प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर सतत होना चाहिए। इसका प्रतिलोम मान्य नहीं है: एक सतत फलन को अवकलनीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, वक्र, शीर्ष (विलक्षणता), या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा वाला एक फलन सतत हो सकता है, लेकिन विसंगति के स्थान पर अवकलन होने में विफल रहता है।

प्रणाली में होने वाले अधिकांश फलनों में सभी बिंदुओं पर या लगभग प्रत्येक जगह बिन्दु पर अवकलज होते हैं। हालांकि, स्टीफन बानाच के परिणाम में कहा गया है कि किसी बिंदु पर अवकलज वाले फलनों का समुच्चय सभी सतत फलनों के स्थान में अपर्याप्त समुच्चय है।^[1] अनौपचारिक रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि सतत फलनों के बीच अवकलनीय फलन बहुत ही असामान्य हैं। फलन का पहला ज्ञात उदाहरण जो प्रत्येक स्थान पर सतत है लेकिन वीयरस्ट्रैस फलन कहीं भी अवकलन नहीं किया जा सकता है।

अवकलनीय वर्ग

File:Approximation of cos with linear functions without numbers.svg

अवकलनीय फलनों को स्थानीय रूप से रैखिक फलनों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

फलन $f$ को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है यदि अवकलज $f^{\prime }(x)$ सम्मिलित है और स्वयं एक सतत फलन है। हालांकि अवकलनीय फलन के अवकल में कभी भी प्लुति असांतत्य नहीं होता है, लेकिन अवकलज के लिए एक अनिवार्य असांतत्य होना संभव है। उदाहरण के लिए, फलन

f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ if }}x\neq 0\\0&{\text{ if }}x=0\end{cases}}

0 पर अवकलनीय है, क्योंकि

f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0

सम्मिलित। हालाँकि, के लिए

x\neq 0,

अवकलनीय नियम का अर्थ है

f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,

जिसकी

x\to 0

के रूप में कोई सीमा नहीं है। इस प्रकार, यह उदाहरण एक ऐसे फलन के स्थिति को दर्शाता है जो अवकलनीय है लेकिन सतत अवकलनीय नहीं है (अर्थात्, अवकलज एक सतत फलन नहीं है)। फिर भी, डार्बौक्स प्रमेय (विश्लेषण) का अर्थ है कि किसी भी फलन का अवकलज मध्यवर्ती मान प्रमेय के निष्कर्ष को पूरा करता है।

इसी प्रकार सतत फलनों class $C^{0}$ का कहा जाता है। सतत अवकलनीय फलन को कभी-कभी class $C^{1}$ का फलन class $C^{2}$ कहा जाता है। यदि फलन का पहला और दूसरा अवकल दोनों सम्मिलित हैं और सतत हैं। अधिक सामान्य रूप से, फलन class $C^{k}$ का अवकल कहा जाता है यदि पहले $k$ अवकलज $f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)$ सभी सम्मिलित हैं और सतत हैं। यदि अवकलज $f^{(n)}$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए सम्मिलित हैं तब फलन class $C^{\infty }$ सरल फलन या समकक्ष है।

उच्च आयामों में अवकलनीयता

कई वास्तविक चरों का एक फलन $f : R m \to R n$ को एक बिंदु $x 0$ पर अवकलनीय कहा जाता है यदि कोई रेखीय मानचित्र $J : R m \to R n$ सम्मिलित है जैसे कि

\lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.

यदि कोई फलन $x 0$ पर अवकलनीय है, तो सभी आंशिक अवकलज $x 0$ सम्मिलित हैं, और रैखिक मानचित्र $J$ जैकबियन आव्यूह द्वारा दिया गया है, इस स्थिति में एक n × m आव्यूह है। उच्च-आयामी अवकल का समान सूत्रीकरण एकल-चर गणना में पाए जाने वाले सिद्धान्त वृद्धि लेम्मा द्वारा प्रदान किया जाता है।

यदि किसी बिंदु के प्रतिवेश (गणित) में फलन के सभी आंशिक अवकलज $x 0$ सम्मिलित हैं और बिंदु $x 0$ पर सतत हैं, तब उस बिंदु $x 0$ पर फलन अवकलनीय होता है।

हालांकि, आंशिक अवकलज (या यहां तक कि सभी दिक्-अवकलज) की स्थिति प्रत्याभूति नहीं देती है कि एक बिंदु पर फलन अवकलन होता है। उदाहरण के लिए, फलन $f : R 2 \to R$ द्वारा परिभाषित

f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}

पर $(0, 0)$ अवकलनीय नहीं है, लेकिन इस बिंदु पर सभी आंशिक अवकलज और दिक्-अवकलज सम्मिलित हैं। सतत उदाहरण के लिए, फलन

f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}

पर $(0, 0)$ अवकलनीय नहीं है, लेकिन पुनः सभी आंशिक अवकलज और दिक्-अवकलज सम्मिलित हैं।

सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता

सम्मिश्र विश्लेषण में, एकल-चर वास्तविक फलनों के समान परिभाषा का उपयोग करके सम्मिश्र-भिन्नता को परिभाषित किया जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करने की संभावना से स्वीकृत है। तब, फलन $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ पर $x=a$ अवकलनीय कहा जाता है जब

f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.

यद्यपि यह परिभाषा एकल-चर वास्तविक फलनों की भिन्नता के समान दिखती है, हालांकि यह अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। फलन $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ , जो एक बिंदु $x=a$ पर सम्मिश्र-अवलकनीय है। फलन के रूप में देखे जाने पर उस बिंदु $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ पर स्वचालित रूप से अवकलनीय होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सम्मिश्र-अवकलन का तात्पर्य है

\lim _{h\to 0}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.

हालाँकि, फलन $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ बहु-चर फलन के रूप में अवकलनीय किया जा सकता है, जबकि सम्मिश्र-अवकलनीय नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बिंदु पर $f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}$ अवकलनीय है, जिसे 2-चर $f(x,y)=x$ वास्तविक फलन के रूप में देखा जाता है लेकिन यह किसी भी बिंदु पर सम्मिश्र-अवकलन नहीं है।

कोई भी फलन जो किसी बिंदु के प्रतिवेश में सम्मिश्र-अवकलज होता है, उस बिंदु पर होलोमॉर्फिक फलन कहलाता है। ऐसा फलन आवश्यक रूप से अधिकतम अवकलन होता है, और वास्तव में विश्लेषणात्मक फलन होता है।

प्रसमष्‍टि पर अवकलनीय फलन

यदि M अवकलनीय प्रसमष्‍टि है, M पर वास्तविक या सम्मिश्र-मान फलन F को एक बिंदु p पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह p के प्रतिवेश मे परिभाषित कुछ (या किसी भी) निर्देशांक रेखाचित्र के संबंध में अवकलनीय है। यदि M और N अवकलनीय प्रसमष्‍टि हैं, तो एक फलन f: M → N को बिंदु p पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह p और f(p) के प्रतिवेश मे परिभाषित कुछ (या किसी भी) निर्देशांक रेखाचित्र के संबंध में अवकलनीय है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.

[1] Banach, S. (1931). "Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen". Studia Math. 3 (1): 174–179. doi:10.4064/sm-3-1-174-179.. Cited by Hewitt, E; Stromberg, K (1963). Real and abstract analysis. Springer-Verlag. Theorem 17.8.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Mathematical function whose derivative exists}}
-[[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|एक अलग करने योग्य कार्य]]गणित में, एक [[वास्तविक संख्या]] चर का एक अवकलनीय फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका व्युत्पन्न फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर मौजूद होता है। दूसरे शब्दों में, एक अवकलनीय फलन के फलन के ग्राफ़ में इसके प्रांत के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा [[स्पर्श रेखा]] होती है। एक अलग करने योग्य फ़ंक्शन सुचारू है (फ़ंक्शन स्थानीय रूप से प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक रैखिक फ़ंक्शन के रूप में अनुमानित है) और इसमें कोई ब्रेक, कोण नहीं है<!--Please, do not link to [[angle]] as this is the common language meaning. A link to [[curvilinear angle]] would be possible if (or when) such an article would (or will) exist. -->, या [[कस्प (विलक्षणता)]]।
+[[File:Polynomialdeg3.svg|thumb|right|अवकलनीय फलन]]गणित में, वास्तविक चर का '''अवकलनीय फलन''' एक ऐसा फलन होता है जिसका अवकलज उसके प्रक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर सम्मिलित होता है। दूसरे शब्दों में, अवकलनीय फलन के रेखा-चित्र में अपने प्रक्षेत्र में प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा रेखा होती है। अवकलनीय फलन सरल होता है (फलन स्थानीय रूप से प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर एक रैखिक फलन के रूप में अनुमानित है) और इसमें कोई वक्र, कोण या शीर्ष नहीं है।
-अगर {{math|''x''<sub>0</sub>}} फ़ंक्शन के डोमेन में एक आंतरिक बिंदु है {{mvar|f}}, तब {{mvar|f}} पर अवकलनीय कहा जाता है {{math|''x''<sub>0</sub>}} यदि व्युत्पन्न <math>f'(x_0)</math> मौजूद। दूसरे शब्दों में, का ग्राफ {{mvar|f}} के बिंदु पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>))}}. {{mvar|f}} पर अवकलनीय कहा जाता है {{mvar|U}} यदि यह प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|U}}. {{mvar|f}} को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न भी फलन के क्षेत्र पर एक सतत फलन है <math>f</math>. आम तौर पर बोलना, {{mvar|f}} श्रेणी का कहा जाता है {{em|<math>C^k</math>}} अगर यह पहले है <math>k</math> डेरिवेटिव <math>f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> मौजूद हैं और फ़ंक्शन के डोमेन पर निरंतर हैं <math>f</math>.
+यदि {{math|''x''<sub>0</sub>}} फलन के {{mvar|f}} प्रक्षेत्र में एक आंतरिक बिंदु है तब अवकलज <math>f'(x_0)</math> सम्मिलित होने पर {{mvar|f}} को {{math|''x''<sub>0</sub>}} पर अवकलनीय कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, {{mvar|f}} के रेखा-चित्र बिन्दु {{math|(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>))}} पर एक गैर-ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा है। {{mvar|f}} को {{mvar|U}} पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह {{mvar|U}} के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। तब {{mvar|f}} को सतत अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका अवकलज भी फलन <math>f</math> के प्रक्षेत्र पर एक सतत फलन है। सामान्य रूप से {{mvar|f}} को वर्ग {{em|<math>C^k</math>}} का अवकलन कहा जाता है यदि इसका पहला <math>k</math> अवकलज <math>f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> सम्मिलित हैं और फलन <math>f</math> के प्रक्षेत्र पर सतत हैं।
-== एक चर के वास्तविक कार्यों की भिन्नता ==
+== चर के वास्तविक फलनों की अवकलनीयता ==
-एक समारोह <math>f:U\to\mathbb{R}</math>, एक खुले सेट पर परिभाषित <math>U\subset\mathbb{R}</math>, पर अवकलनीय कहा जाता है <math>a\in U</math> यदि व्युत्पन्न
+फलन <math>f:U\to\mathbb{R}</math>, एक विवृत समुच्चय पर परिभाषित <math>U\subset\mathbb{R}</math> को <math>a\in U</math> पर अवकलनीय कहा जाता है। यदि अवकलज
-:<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> मौजूद। इसका अर्थ है कि फलन सतत फलन है {{mvar|a}}.
+:<math>f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}</math> सम्मिलित है।
+:इसका अर्थ है कि फलन सतत फलन {{mvar|a}} है।
-यह समारोह {{mvar|f}} पर अवकलनीय कहा जाता है {{mvar|U}} यदि यह प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है {{mvar|U}}. इस मामले में, का व्युत्पन्न {{mvar|f}} इस प्रकार से एक कार्य है {{mvar|U}} में <math>\mathbb R.</math> एक निरंतर कार्य अनिवार्य रूप से अलग-अलग नहीं है, लेकिन एक अलग-अलग कार्य आवश्यक रूप से निरंतर कार्य है (हर बिंदु पर जहां यह अलग-अलग होता है) जैसा कि नीचे दिखाया गया है (विभेदी कार्य # भिन्नता और निरंतरता अनुभाग में)। एक फलन को सतत अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न भी एक सतत फलन है; एक ऐसा फ़ंक्शन मौजूद है जो अलग-अलग है लेकिन लगातार अलग-अलग नहीं है जैसा कि नीचे दिखाया जा रहा है (अनुभाग अलग-अलग फ़ंक्शन # भिन्नता वर्ग में)।
+इस फलन {{mvar|f}} को {{mvar|U}} पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह {{mvar|U}} के प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है। इस स्थिति में, {{mvar|f}} का अवकल इस प्रकार {{mvar|U}} से <math>\mathbb R</math> में एक फलन है। सतत फलन अनिवार्य रूप से अवकलनीय नहीं है, लेकिन एक अवकलनीय फलन आवश्यक रूप से (प्रत्येक बिंदु पर जहां यह अवकलनीय होता है) सतत फलन है (अनुभाग अवकलनीयता और सातत्यहीनता में) जैसा कि नीचे दिखाया गया है। फलन को सतत अवकलनीय कहा जाता है यदि इसका अवकलज भी एक सतत फलन है; अतः ऐसा फलन सम्मिलित है जो अवकलनीय है लेकिन सतत अवकलनीय नहीं है (अनुभाग अवकलनीय वर्ग में) जैसा कि नीचे दिखाया जा रहा है।
-== भिन्नता और निरंतरता ==
+== अवकलनीयता और सातत्यहीनता ==
-{{See also|Continuous function}}
+{{See also|सतत फलन}}
-[[File:Absolute value.svg|left|thumb|निरपेक्ष मान फलन निरंतर है (अर्थात इसमें कोई अंतराल नहीं है)। यह बिंदु को छोड़कर हर जगह अलग-अलग है {{math|''x''}} = 0, जहां यह पार करते ही एक तीव्र मोड़ बनाता है {{math|''y''}}-एक्सिस।]]
+[[File:Absolute value.svg|left|thumb|निरपेक्ष मान फलन सतत है (अर्थात इसमें कोई अंतराल नहीं है)। यह बिंदु {{math|''x''}} = 0 को छोड़कर प्रत्येक स्थान पर अवकलनीय है जहां यह {{math|''y''}}-अक्ष परिच्छेद करते ही एक तीव्र वक्र बनाता है।]]
-[[File:Cusp at (0,0.5).svg|thumb|right|एक सतत समारोह के ग्राफ पर एक कस्प (विलक्षणता)। शून्य पर, फलन निरंतर होता है लेकिन अवकलनीय नहीं होता है।]]अगर {{math|''f''}} एक बिंदु पर अवकलनीय है {{math|''x''<sub>0</sub>}}, तब {{math|''f''}} पर भी निरंतर कार्य होना चाहिए {{math|''x''<sub>0</sub>}}. विशेष रूप से, कोई भी अलग-अलग कार्य अपने डोमेन में हर बिंदु पर निरंतर होना चाहिए। इसका विलोम मान्य नहीं है: एक सतत फलन को अवकलनीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, मोड़, पुच्छल (विलक्षणता), या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा वाला एक कार्य निरंतर हो सकता है, लेकिन विसंगति के स्थान पर भिन्न होने में विफल रहता है।
+[[File:Cusp at (0,0.5).svg|thumb|right|सतत फलन के रेखाचित्र पर एक शीर्ष (विलक्षणता)। शून्य पर, फलन सतत होता है लेकिन अवकलनीय नहीं होता है।]]यदि {{math|''f''}} एक बिंदु {{math|''x''<sub>0</sub>}} पर अवकलनीय है, तब {{math|''f''}} पर भी {{math|''x''<sub>0</sub>}} सतत फलन होना चाहिए। विशेष रूप से, कोई भी अवकलनीय फलन अपने प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर सतत होना चाहिए। इसका प्रतिलोम मान्य नहीं है: एक सतत फलन को अवकलनीय होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, वक्र, शीर्ष (विलक्षणता), या ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा वाला एक फलन सतत हो सकता है, लेकिन विसंगति के स्थान पर अवकलन होने में विफल रहता है।
-अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या [[लगभग हर जगह]] डेरिवेटिव होते हैं। हालांकि, [[स्टीफन बानाच]] के परिणाम में कहा गया है कि किसी बिंदु पर डेरिवेटिव वाले कार्यों का सेट सभी निरंतर कार्यों के स्थान में एक [[अल्प सेट]] है।<ref>{{cite journal |last=Banach |first=S. |title=Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen |journal=[[Studia Mathematica|Studia Math.]] |volume=3 |issue=1 |year=1931 |pages=174–179 |doi=10.4064/sm-3-1-174-179 |doi-access=free }}.  Cited by {{cite book|author1=Hewitt, E  |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका मतलब यह है कि निरंतर कार्यों के बीच अवकलनीय कार्य बहुत ही असामान्य हैं। एक फ़ंक्शन का पहला ज्ञात उदाहरण जो हर जगह निरंतर है लेकिन अलग-अलग कहीं नहीं है, [[वीयरस्ट्रैस समारोह]] है।
+प्रणाली में होने वाले अधिकांश फलनों में सभी बिंदुओं पर या [[लगभग हर जगह|लगभग प्रत्येक जगह बिन्दु]] पर अवकलज होते हैं। हालांकि, [[स्टीफन बानाच]] के परिणाम में कहा गया है कि किसी बिंदु पर अवकलज वाले फलनों का समुच्चय सभी सतत फलनों के स्थान में अपर्याप्त [[अल्प सेट|समुच्चय]] है।<ref>{{cite journal |last=Banach |first=S. |title=Über die Baire'sche Kategorie gewisser Funktionenmengen |journal=[[Studia Mathematica|Studia Math.]] |volume=3 |issue=1 |year=1931 |pages=174–179 |doi=10.4064/sm-3-1-174-179 |doi-access=free }}.  Cited by {{cite book|author1=Hewitt, E  |author2=Stromberg, K|title=Real and abstract analysis|publisher=Springer-Verlag|year=1963|pages=Theorem 17.8|no-pp=true}}</ref> अनौपचारिक रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि सतत फलनों के बीच अवकलनीय फलन बहुत ही असामान्य हैं। फलन का पहला ज्ञात उदाहरण जो प्रत्येक स्थान पर सतत है लेकिन वीयरस्ट्रैस फलन कहीं भी अवकलन नहीं किया जा सकता है।
-{{-}}
+== अवकलनीय वर्ग ==
+[[File:Approximation of cos with linear functions without numbers.svg|300px|thumb|अवकलनीय फलनों को स्थानीय रूप से रैखिक फलनों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।]]{{main|समतलता}}
-== विभेदीकरण वर्ग ==
+फलन <math>f</math> को निरंतर अवकलनीय कहा जाता है यदि अवकलज <math>f^{\prime}(x)</math> सम्मिलित है और स्वयं एक सतत फलन है। हालांकि अवकलनीय फलन के अवकल में कभी भी प्लुति असांतत्य नहीं होता है, लेकिन अवकलज के लिए एक अनिवार्य असांतत्य होना संभव है। उदाहरण के लिए, फलन
-[[File:Approximation of cos with linear functions without numbers.svg|300px|thumb|अलग-अलग कार्यों को स्थानीय रूप से रैखिक कार्यों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।]]फ़ाइल: फ़ंक्शन x^2*sin(1 over x).svg|thumb|300px|कार्यक्रम <math>f : \R \to \R</math> साथ <math>f(x) = x^2\sin\left(\tfrac 1x\right)</math> के लिए <math>x \neq 0</math> और <math>f(0) = 0</math> अवकलनीय है। हालाँकि, यह फ़ंक्शन लगातार भिन्न नहीं होता है।
-{{main|Smoothness}}
-एक समारोह <math>f</math> बताया गया {{em|{{visible anchor|continuously differentiable|Continuous differentiability}}}} यदि व्युत्पन्न <math>f^{\prime}(x)</math> मौजूद है और स्वयं एक सतत कार्य है। हालांकि एक अलग-अलग कार्य के व्युत्पन्न में कभी भी एक कूद असंतोष नहीं होता है, लेकिन व्युत्पन्न के लिए अलगाव का वर्गीकरण # आवश्यक असंतोष होता है। उदाहरण के लिए, समारोह
 <math display="block">f(x) \;=\; \begin{cases} x^2 \sin(1/x) & \text{ if }x \neq 0 \\ 0 & \text{ if } x = 0\end{cases}</math>
 पर अवकलनीय है, क्योंकि
 <math display="block">f'(0) = \lim_{\varepsilon \to 0} \left(\frac{\varepsilon^2\sin(1/\varepsilon)-0}{\varepsilon}\right) = 0</math>
-मौजूद। हालाँकि, के लिए <math>x \neq 0,</math> विभेदीकरण नियम का अर्थ है
+सम्मिलित। हालाँकि, के लिए <math>x \neq 0,</math> अवकलनीय नियम का अर्थ है
 <math display="block">f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)\;,</math>
-जिसकी कोई सीमा नहीं है <math>x \to 0.</math> इस प्रकार, यह उदाहरण एक ऐसे फलन के अस्तित्व को दर्शाता है जो अवकलनीय है लेकिन निरंतर अवकलनीय नहीं है (अर्थात्, अवकलज एक सतत फलन नहीं है)। फिर भी, डार्बौक्स प्रमेय (विश्लेषण) | डार्बौक्स प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी फलन का व्युत्पन्न [[मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय]] के निष्कर्ष को संतुष्ट करता है।
+जिसकी <math>x \to 0</math> के रूप में कोई सीमा नहीं है। इस प्रकार, यह उदाहरण एक ऐसे फलन के स्थिति को दर्शाता है जो अवकलनीय है लेकिन सतत अवकलनीय नहीं है (अर्थात्, अवकलज एक सतत फलन नहीं है)। फिर भी, डार्बौक्स प्रमेय (विश्लेषण) का अर्थ है कि किसी भी फलन का अवकलज मध्यवर्ती मान प्रमेय के निष्कर्ष को पूरा करता है।
-इसी प्रकार निरंतर कार्यों को कैसे कहा जाता है {{em|class <math>C^0,</math>}} निरंतर अवकलनीय फलन को कभी-कभी कहा जाता है {{em|class <math>C^1.</math>}} का एक फलन है {{em|class <math>C^2</math>}} यदि फ़ंक्शन का पहला और [[दूसरा व्युत्पन्न]] दोनों मौजूद हैं और निरंतर हैं। अधिक सामान्यतः, एक समारोह का होना कहा जाता है {{em|class <math>C^k</math>}} यदि पहले <math>k</math> डेरिवेटिव <math>f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> सभी मौजूद हैं और निरंतर हैं। यदि डेरिवेटिव <math>f^{(n)}</math> सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए मौजूद हैं <math>n,</math> कार्य [[चिकना कार्य]] या समकक्ष है {{em|class <math>C^{\infty}.</math>}}
+इसी प्रकार सतत फलनों {{em|class <math>C^0</math>}} का कहा जाता है। सतत अवकलनीय फलन को कभी-कभी {{em|class <math>C^1</math>}} का फलन {{em|class <math>C^2</math>}} कहा जाता है। यदि फलन का पहला और [[दूसरा व्युत्पन्न|दूसरा अवकल]] दोनों सम्मिलित हैं और सतत हैं। अधिक सामान्य रूप से, फलन {{em|class <math>C^k</math>}} का अवकल कहा जाता है यदि पहले <math>k</math> अवकलज <math>f^{\prime}(x), f^{\prime\prime}(x), \ldots, f^{(k)}(x)</math> सभी सम्मिलित हैं और सतत हैं। यदि अवकलज <math>f^{(n)}</math> सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए सम्मिलित हैं तब फलन {{em|class <math>C^{\infty}</math>}} [[चिकना कार्य|सरल फलन]] या समकक्ष है।
-{{-}}
+== उच्च आयामों में अवकलनीयता ==
-== उच्च आयामों में भिन्नता ==
+कई वास्तविक चरों का एक फलन {{math|'''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} को एक बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर अवकलनीय कहा जाता है यदि कोई रेखीय मानचित्र {{math|'''J''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} सम्मिलित है जैसे कि
-कई वास्तविक चरों का एक कार्य {{math|'''f''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} को एक बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} यदि कोई रेखीय नक्शा मौजूद है {{math|'''J''': '''R'''<sup>''m''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>}} ऐसा है कि
 :<math>\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0}} \frac{\|\mathbf{f}(\mathbf{x_0}+\mathbf{h}) - \mathbf{f}(\mathbf{x_0}) - \mathbf{J}\mathbf{(h)}\|_{\mathbf{R}^{n}}}{\| \mathbf{h} \|_{\mathbf{R}^{m}}} = 0.</math>
-यदि कोई फलन पर अवकलनीय है {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}, तो सभी आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}, और रैखिक मानचित्र {{math|'''J'''}} [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] द्वारा दिया गया है, इस मामले में एक n × m मैट्रिक्स। उच्च-आयामी व्युत्पन्न का एक समान सूत्रीकरण एकल-चर कलन में पाए जाने वाले मौलिक वेतन वृद्धि लेम्मा द्वारा प्रदान किया जाता है।
+यदि कोई फलन {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर अवकलनीय है, तो सभी आंशिक अवकलज {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} सम्मिलित हैं, और रैखिक मानचित्र {{math|'''J'''}} [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन आव्यूह]] द्वारा दिया गया है, इस स्थिति में एक n × m आव्यूह है। उच्च-आयामी अवकल का समान सूत्रीकरण एकल-चर गणना में पाए जाने वाले सिद्धान्त वृद्धि लेम्मा द्वारा प्रदान किया जाता है।
-यदि किसी बिंदु के [[पड़ोस (गणित)]] में फ़ंक्शन के सभी आंशिक डेरिवेटिव मौजूद हैं {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} और बिंदु पर निरंतर हैं {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}, तो उस बिंदु पर फ़ंक्शन अलग-अलग होता है {{math|'''x'''<sub>0</sub>}}.
+यदि किसी बिंदु के [[पड़ोस (गणित)|प्रतिवेश (गणित)]] में फलन के सभी आंशिक अवकलज {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} सम्मिलित हैं और बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर सतत हैं, तब उस बिंदु {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} पर फलन अवकलनीय होता है।
-हालांकि, आंशिक डेरिवेटिव (या यहां तक कि सभी दिशात्मक डेरिवेटिव) का अस्तित्व गारंटी नहीं देता है कि एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन भिन्न होता है। उदाहरण के लिए, समारोह {{math|''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}} द्वारा परिभाषित
+हालांकि, आंशिक अवकलज (या यहां तक कि सभी दिक्-अवकलज) की स्थिति प्रत्याभूति नहीं देती है कि एक बिंदु पर फलन अवकलन होता है। उदाहरण के लिए, फलन {{math|''f'': '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''}} द्वारा परिभाषित
 :<math>f(x,y) = \begin{cases}x & \text{if }y \ne x^2 \\ 0 & \text{if }y = x^2\end{cases}</math>
-पर अवकलनीय नहीं है {{math|(0, 0)}}, लेकिन इस बिंदु पर सभी आंशिक डेरिवेटिव और दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं। निरंतर उदाहरण के लिए, function
+पर {{math|(0, 0)}} अवकलनीय नहीं है, लेकिन इस बिंदु पर सभी आंशिक अवकलज और दिक्-अवकलज सम्मिलित हैं। सतत उदाहरण के लिए, फलन
 :<math>f(x,y) = \begin{cases}y^3/(x^2+y^2) & \text{if }(x,y) \ne (0,0) \\ 0 & \text{if }(x,y) = (0,0)\end{cases}</math>
-पर अवकलनीय नहीं है {{math|(0, 0)}}, लेकिन फिर से सभी आंशिक डेरिवेटिव और दिशात्मक डेरिवेटिव मौजूद हैं।
+पर {{math|(0, 0)}}अवकलनीय नहीं है, लेकिन पुनः सभी आंशिक अवकलज और दिक्-अवकलज सम्मिलित हैं।
-{{See also|Multivariable calculus|Smoothness#Multivariate differentiability classes}}
+{{See also|बहुभिन्नरूपी फलन और समतलता § बहुभिन्नरूपी अवकलनीयता वर्ग}}
-== जटिल विश्लेषण में भिन्नता ==
+== सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता ==
-{{main|Holomorphic function}}
+{{main|होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन}}
-[[जटिल विश्लेषण]] में, एकल-चर वास्तविक कार्यों के समान परिभाषा का उपयोग करके जटिल-भिन्नता को परिभाषित किया जाता है। यह जटिल संख्याओं को विभाजित करने की संभावना से अनुमत है। तो, एक समारोह <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> पर अवकलनीय कहा जाता है <math>x=a</math> कब
+[[जटिल विश्लेषण|सम्मिश्र विश्लेषण]] में, एकल-चर वास्तविक फलनों के समान परिभाषा का उपयोग करके सम्मिश्र-भिन्नता को परिभाषित किया जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं को विभाजित करने की संभावना से स्वीकृत है। तब, फलन <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> पर <math>x=a</math> अवकलनीय कहा जाता है जब
 :<math>f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.</math>
-यद्यपि यह परिभाषा एकल-चर वास्तविक कार्यों की भिन्नता के समान दिखती है, हालांकि यह अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। एक समारोह <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>, जो एक बिंदु पर जटिल-विभेदक है <math>x=a</math> फ़ंक्शन के रूप में देखे जाने पर उस बिंदु पर स्वचालित रूप से अलग-अलग होता है <math>f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math>. ऐसा इसलिए है क्योंकि जटिल-भिन्नता का तात्पर्य है
+यद्यपि यह परिभाषा एकल-चर वास्तविक फलनों की भिन्नता के समान दिखती है, हालांकि यह अधिक प्रतिबंधात्मक स्थिति है। फलन <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>, जो एक बिंदु <math>x=a</math> पर सम्मिश्र-अवलकनीय है। फलन के रूप में देखे जाने पर उस बिंदु <math>f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2</math> पर स्वचालित रूप से अवकलनीय होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सम्मिश्र-अवकलन का तात्पर्य है
 :<math>\lim_{h\to0}\frac{|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}=0.</math>
-हालाँकि, एक समारोह <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> एक बहु-चर फ़ंक्शन के रूप में अलग-अलग किया जा सकता है, जबकि जटिल-अलग-अलग नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}</math> प्रत्येक बिंदु पर अवकलनीय है, जिसे 2-चर वास्तविक फलन के रूप में देखा जाता है <math>f(x,y)=x</math>, लेकिन यह किसी भी बिंदु पर जटिल-भिन्न नहीं है।
+हालाँकि, फलन <math>f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}</math> बहु-चर फलन के रूप में अवकलनीय किया जा सकता है, जबकि सम्मिश्र-अवकलनीय नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक बिंदु पर <math>f(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}</math> अवकलनीय है, जिसे 2-चर <math>f(x,y)=x</math> वास्तविक फलन के रूप में देखा जाता है लेकिन यह किसी भी बिंदु पर सम्मिश्र-अवकलन नहीं है।
+कोई भी फलन जो किसी बिंदु के प्रतिवेश में सम्मिश्र-अवकलज होता है, उस बिंदु पर [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक फलन]] कहलाता है। ऐसा फलन आवश्यक रूप से अधिकतम अवकलन होता है, और वास्तव में [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] होता है।
-कोई भी कार्य जो किसी बिंदु के पड़ोस में जटिल-भिन्न होता है, उस बिंदु पर [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] कहलाता है। ऐसा कार्य आवश्यक रूप से असीम रूप से भिन्न होता है, और वास्तव में [[विश्लेषणात्मक कार्य]] होता है।
+== प्रसमष्‍टि पर अवकलनीय फलन ==
+{{See also| अवकलनीय प्रसमष्टि § अवकलनीय फलन}}
-== कई गुना पर अलग-अलग कार्य ==
+यदि ''M'' अवकलनीय प्रसमष्‍टि है, M पर वास्तविक या सम्मिश्र-मान फलन F को एक बिंदु p पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह p के प्रतिवेश मे परिभाषित कुछ (या किसी भी) निर्देशांक रेखाचित्र के संबंध में अवकलनीय है। यदि M और N अवकलनीय प्रसमष्‍टि हैं, तो एक फलन f: M → N को बिंदु p पर अवकलनीय कहा जाता है यदि यह p और f(p) के प्रतिवेश मे परिभाषित कुछ (या किसी भी) निर्देशांक रेखाचित्र के संबंध में अवकलनीय है।
-{{See also|Differentiable manifold#Differentiable functions}}
-यदि एम एक अलग-अलग कई गुना है, एम पर वास्तविक या जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन एफ को एक बिंदु पी पर अलग-अलग कहा जाता है यदि यह पी के आसपास परिभाषित कुछ (या किसी भी) समन्वय चार्ट के संबंध में अलग-अलग है। यदि M और N अलग-अलग कई गुना हैं, तो एक फ़ंक्शन f: M → N को बिंदु p पर अलग-अलग कहा जाता है यदि यह p और f(p) के आसपास परिभाषित कुछ (या किसी भी) समन्वय चार्ट के संबंध में अलग-अलग है।
 == यह भी देखें ==
-* [[व्युत्पन्न के सामान्यीकरण]]
+* अवकलज [[व्युत्पन्न के सामान्यीकरण|के सामान्यीकरण]]
-* [[अर्ध-भिन्नता]]
+* [[अर्ध-भिन्नता|अर्ध-अवकलनीयता]]
-* [[विभेदक प्रोग्रामिंग]]
+* [[विभेदक प्रोग्रामिंग|अवलकनीय प्रोग्रामिंग]]
 ==संदर्भ==

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चर के वास्तविक फलनों की अवकलनीयता

अवकलनीयता और सातत्यहीनता

अवकलनीय वर्ग

उच्च आयामों में अवकलनीयता

सम्मिश्र विश्लेषण में अवकलनीयता

प्रसमष्‍टि पर अवकलनीय फलन

यह भी देखें

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