माध्य: Difference between revisions

Revision as of 07:20, 3 April 2023

सांख्यिकी गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है अधिकतर किसी दिए गए डेटा सेट के समग्र मूल्य परिमाण और चिह्न गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए माध्य सांख्यिकी का प्रयोग किया जाता है।

एक डेटा सेट को अंकगणितीय माध्य तथा अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना है संख्याओं के परिमित सेट की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय है विशेष रूप से मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग संख्याओं के समूह x का अंकगणितीय माध्य₁ एक्स₂ पर ओवरहेड बार का उपयोग करके दर्शाया जाता है ${\bar {x}}$ कहते हैं^{[note 1]} यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने सांख्यिकी द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे तो अंकगणितीय माध्य नमूना माध्य है ( ${\bar {x}}$ ) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए जनसंख्या माध्य ^[1]संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अधिकतर ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है ।

साधनों के प्रकार

पाइथागोरस का अर्थ है

अंकगणितीय माध्य

संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है इसी तरह एक नमूने का अर्थ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ इसे x द्वारा निरूपित किया जाता है ${\bar {x}}$ नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित किया जाता है ।

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

उदाहरण के लिए पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

ज्यामितीय माध्य (जीएम)

ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है और उनकी राशि नहीं होती है ।

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

^[2]

उदाहरण के लिए पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

अनुकूल माध्य (एचएम)

हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

उदाहरण के लिए पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है

{\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य के बीच संबंध

Template:अंकगणितीय माध्य, ज्यामिति माध्य, अनुकूल माध्य

अंकगणितीय माध्य, ज्यामितिय माध्य और अनुकूल माध्य इन असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।

\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,

समानता तब होती है जब दिए गए नमूने के सभी तत्व समान हों।

सांख्यिकीय स्थान

[note 1]

[1]

[2]

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 {{Main|Expected value}}
 {{See also|Population mean}}
-[[प्रायिकता वितरण]] का माध्य उस वितरण वाले यादृच्छिक चर का दीर्घकालीन अंकगणितीय औसत मान है यदि यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>X</math> को इसके अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है [[असतत संभाव्यता वितरण]] माध्य द्वारा विरूपित किया जाता है <math>\textstyle \sum xP(x)</math> जहां यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का योग लिया जाता है और <math>P(x)</math> संभाव्यता द्रव्यमान का कार्य है [[निरंतर संभाव्यता वितरण]] के लिए माध्य है जहाँ<math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx</math>, कहाँ <math>f(x)</math> संभाव्यता घनत्व समारोह है <ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=आबादी मतलब|url=https://mathworld.wolfram.com/PopulationMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उन सभी जगहों में जिनमें वितरण न तो असतत है और न ही निरंतर है मतलब इसकी संभावना माप के संबंध में यादृच्छिक चर का [[लेबेसेग एकीकरण]] है माध्य का अस्तित्व या परिमित होना आवश्यक नहीं है कुछ संभाव्यता वितरण के लिए माध्य अनंत है ({{math|+&infin;}} या {{math|−&infin;}}) जबकि अन्य के लिए माध्य [[अपरिभाषित (गणित)]] है।
+[[प्रायिकता वितरण]] का माध्य उस वितरण वाले यादृच्छिक चर का दीर्घकालीन अंकगणितीय औसत मान यदि यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है तो <math>X</math> को इसके अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है [[असतत संभाव्यता वितरण]] माध्य द्वारा विरूपित किया जाता है <math>\textstyle \sum xP(x)</math> जहां यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का योग लिया जाता है और <math>P(x)</math> संभाव्यता द्रव्यमान का कार्य है [[निरंतर संभाव्यता वितरण]] के लिए माध्य है जहाँ<math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx</math> तब <math>f(x)</math> संभाव्यता घनत्व समारोह है <ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=आबादी मतलब|url=https://mathworld.wolfram.com/PopulationMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उन सभी जगहों में जिनमें वितरण न तो असतत है और न ही निरंतर है मतलब इसकी संभावना माप के संबंध में यादृच्छिक चर का [[लेबेसेग एकीकरण]] है माध्य का अस्तित्व परिमित होना आवश्यक नहीं है कुछ संभाव्यता वितरण के लिए माध्य अनंत है ({{math|+&infin;}} या {{math|−&infin;}}) जबकि अन्य के लिए माध्य [[अपरिभाषित (गणित)]] है।
 === सामान्यीकृत का अर्थ है ===
 ==== शक्ति मतलब ====
-[[सामान्यीकृत माध्य]] जिसे शक्ति माध्य या धारक मध्यम के रूप में भी जाना जाता है [[द्विघात माध्य]], अंकगणितीय ज्यामितीय और हार्मोनिक साधनों का एक अमूर्त है इसे n धनात्मक संख्याओं x के समुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है इसे <sub>i</sub> द्वारा प्रदर्शित करते हैं।
+[[सामान्यीकृत माध्य]] जिसे शक्ति माध्य या धारक मध्यम के रूप में भी जाना जाता है [[द्विघात माध्य]] अंकगणितीय ज्यामितीय और हार्मोनिक साधनों का एक अमूर्त है इसे n धनात्मक संख्याओं x के समुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है इसे <sub>i</sub> द्वारा प्रदर्शित करते हैं।
 <p स्टाइल = मार्जिन-लेफ्ट: 1.6em; >
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 === [[छोटा मतलब]] ===
-कभी-कभी, संख्याओं के एक समूह में आउटलेयर हो सकते हैं (अर्थात, डेटा मान जो दूसरों की तुलना में बहुत कम या बहुत अधिक हैं)। अक्सर, आउटलेयर त्रुटिपूर्ण डेटा होते हैं जो [[विरूपण साक्ष्य (अवलोकन)]] के कारण होते हैं। इस मामले में, कोई छोटा मतलब का उपयोग कर सकता है। इसमें शीर्ष या निचले छोर पर डेटा के दिए गए हिस्सों को छोड़ना शामिल है, आमतौर पर प्रत्येक छोर पर एक समान राशि और फिर शेष डेटा का अंकगणितीय माध्य लेना। हटाए गए मानों की संख्या को मानों की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में दर्शाया गया है।
+कभी-कभी संख्याओं के एक समूह में अलग-अलग भी हो सकते हैं अर्थात डेटा मान जो दूसरों की तुलना में बहुत कम या बहुत अधिक हैं कुछ अलग-अलग त्रुटिपूर्ण डेटा होते हैं जो [[विरूपण साक्ष्य (अवलोकन)|विरूपण साक्ष्य अवलोकन]] के कारण होते हैं इन जगहों में कोई छोटे मतलब का उपयोग कर सकता है इसमें शीर्ष या निचले छोर पर डेटा के दिए गए हिस्सों को छोड़ना भी सम्मिलित है पर प्रत्येक छोर पर एक समान राशि और फिर शेष डेटा का अंकगणितीय माध्य लेना या हटाए गए मानों की संख्या को मानों की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में दर्शाया गया है।
 === अंतःचतुर्थक माध्य ===
-[[अंतरचतुर्थक माध्य]] एक काटे गए माध्य का एक विशिष्ट उदाहरण है। मूल्यों के निम्नतम और उच्चतम तिमाही को हटाने के बाद यह केवल अंकगणितीय माध्य है।
+[[अंतरचतुर्थक माध्य]] एक काटे गए माध्य का एक विशिष्ट उदाहरण है मूल्यों के निम्नतम और उच्चतम तिमाही को हटाने के बाद यह अंकगणितीय माध्य होता है।
 : <math>\bar{x} = \frac{2}{n} \;\sum_{i = \frac{n}{4} + 1}^{\frac{3}{4}n}\!\! x_i</math>
-यह मानते हुए कि मूल्यों का आदेश दिया गया है, इसलिए वजन के एक विशिष्ट सेट के लिए भारित माध्य का एक विशिष्ट उदाहरण है।
+यह मानते हुए कि मूल्यों का आदेश दिया गया है इसलिए वजन के एक विशिष्ट सेट के लिए भारित माध्य का एक विशिष्ट उदाहरण है।
-=== एक समारोह का मतलब ===
+=== एक समारोह ===
 {{Main|Mean of a function}}
-कुछ परिस्थितियों में, गणितज्ञ मूल्यों के एक अनंत (या यहां तक कि एक [[बेशुमार]]) सेट के माध्य की गणना कर सकते हैं। माध्य मान की गणना करते समय ऐसा हो सकता है <math>y_\text{avg}</math> एक समारोह का <math>f(x)</math>. सहजता से, एक फ़ंक्शन का एक वक्र के एक खंड के तहत क्षेत्र की गणना के रूप में सोचा जा सकता है, और उसके बाद उस खंड की लंबाई से विभाजित किया जा सकता है। यह ग्राफ पेपर पर वर्गों की गिनती करके या अधिक सटीक रूप से [[अभिन्न]] द्वारा किया जा सकता है। एकीकरण सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:
+कुछ परिस्थितियों में गणितज्ञ मूल्यों के एक अनंत सेट के माध्य की गणना कर सकते हैं माध्य मान की गणना करते समय ऐसा हो सकता है कि एक समारोह का <math>f(x)</math> सहजता से एक वक्र के एक खंड के तहत क्षेत्र की गणना के रूप में सोचा जा सकता है और उसके बाद उस खंड की लंबाई से विभाजित किया जा सकता है यह ग्राफ पेपर पर वर्गों की गिनती करके या अधिक सटीक रूप से [[अभिन्न]] रूप में दर्शाया जाता है तथा एकीकरण सूत्र इस प्रकार लिखा गया है-
 : <math>y_\text{avg}(a, b) = \frac{1}{b - a} \int\limits_a^b\! f(x)\,dx</math>
-इस मामले में, यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि अभिन्न अभिसरण हो। लेकिन माध्य परिमित हो सकता है भले ही फलन स्वयं कुछ बिंदुओं पर अनंत की ओर प्रवृत्त हो।
+इसमें यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि अभिन्न अभिसरण हो लेकिन माध्य परिमित हो सकता है भले ही फलन स्वयं कुछ बिंदुओं पर अनंत की ओर प्रवृत्त हो।
-===[[कोण]]ों का माध्य और चक्रीय राशियाँ===
+===[[कोण]] का माध्य और चक्रीय राशियाँ===
-कोण, दिन के समय, और अन्य चक्रीय मात्राओं को जोड़ने और अन्यथा संख्याओं को संयोजित करने के लिए [[मॉड्यूलर अंकगणित]] की आवश्यकता होती है। इन सभी स्थितियों में कोई अद्वितीय माध्य नहीं होगा। उदाहरण के लिए, आधी रात से पहले और बाद में एक घंटे का समय आधी रात और दोपहर दोनों के बराबर है। यह भी संभव है कि कोई माध्य मौजूद न हो। [[ रंग पहिया ]] पर विचार करें - सभी रंगों के सेट का कोई मतलब नहीं है। इन स्थितियों में, आपको यह तय करना होगा कि कौन सा माध्य सबसे अधिक उपयोगी है। आप औसत करने से पहले मूल्यों को समायोजित करके या चक्रीय मात्राओं के माध्य का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं।
+कोण दिन के समय और अन्य चक्रीय मात्राओं को जोड़ने और संख्याओं को संयोजित करने के लिए प्रमापीय [[मॉड्यूलर अंकगणित|अंकगणित]] की आवश्यकता होती है इन सभी स्थितियों में कोई अद्वितीय माध्य नहीं होगा उदाहरण के लिए आधी रात से पहले और बाद में एक घंटे का समय आधी रात और दोपहर दोनों के बराबर है यह भी संभव है कि कोई माध्य स्थिर न हो [[ रंग पहिया |रंग पहिया]] पर विचार करें सभी रंगों के सेट का कोई मतलब नहीं है इन स्थितियों में आपको यह तय करना होगा कि कौन सा माध्य सबसे अधिक उपयोगी है आप औसत करने से पहले मूल्यों को समायोजित करके या चक्रीय मात्राओं के माध्य का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं।
 === फ्रेचेट मतलब ===

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