माध्य: Difference between revisions

Revision as of 18:02, 2 April 2023

सांख्यिकी गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है अधिकतर किसी दिए गए डेटा सेट के समग्र मूल्य परिमाण और चिह्न गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए माध्य सांख्यिकी का प्रयोग किया जाता है।

एक डेटा सेट को अंकगणितीय माध्य तथा अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना है संख्याओं के परिमित सेट की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय है विशेष रूप से मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग संख्याओं के समूह x का अंकगणितीय माध्य₁ एक्स₂ पर ओवरहेड बार का उपयोग करके दर्शाया जाता है ${\bar {x}}$ कहते हैं^{[note 1]} यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने सांख्यिकी द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे तो अंकगणितीय माध्य नमूना माध्य है ( ${\bar {x}}$ ) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए जनसंख्या माध्य ^[1]संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अधिकतर ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है ।

साधनों के प्रकार

पाइथागोरस का अर्थ है

अंकगणितीय माध्य

संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है इसी तरह एक नमूने का अर्थ $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ इसे x द्वारा निरूपित किया जाता है ${\bar {x}}$ नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित किया जाता है ।

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

उदाहरण के लिए पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

ज्यामितीय माध्य (जीएम)

ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है और उनकी राशि नहीं होती है ।

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

^[2]

उदाहरण के लिए पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

अनुकूल माध्य (एचएम)

हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

उदाहरण के लिए पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है

\frac{5}{\frac{1}{4} + \frac{1}{36} + \frac{1}{45} + \frac{1}{50} + \frac{1}{75}}

[note 1]

[1]

[2]

@@ Line 31: / Line 31: @@
 :<math> \bar{x} = n \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}</math>
-उदाहरण के लिए, पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है
+उदाहरण के लिए पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है
 :<math>\frac{5}{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{45} + \tfrac{1}{50} + \tfrac{1}{75}} = \frac{5}{\;\tfrac{1}{3}\;} = 15.</math>
@@ Line 48: / Line 48: @@
 {{See also|Average#Statistical location}}
 [[File:Comparison mean median mode.svg|thumb|दो तिरछे ([[ लॉग-सामान्य वितरण ]]|लॉग-नॉर्मल) डिस्ट्रीब्यूशन के अंकगणितीय माध्य, माध्यिका और [[मोड (सांख्यिकी)]] की तुलना।]]
-[[File:visualisation mode median mean.svg|thumb|100px|मोड का ज्यामितीय विज़ुअलाइज़ेशन, माध्यिका और मनमाना संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का माध्य।<ref>{{cite web|title=एपी सांख्यिकी समीक्षा - घनत्व वक्र और सामान्य वितरण|url=http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|access-date=16 March 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|archive-date=2 April 2015|url-status=dead}}</ref>]]वर्णनात्मक आंकड़ों में, माध्य को माध्यिका, मोड (सांख्यिकी) या मध्य-श्रेणी के साथ भ्रमित किया जा सकता है, क्योंकि इनमें से किसी को भी गलत तरीके से औसत कहा जा सकता है (औपचारिक रूप से, केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय)। प्रेक्षणों के समुच्चय का माध्य मानों का अंकगणितीय औसत है; हालाँकि, [[तिरछापन]] के लिए, माध्य आवश्यक रूप से मध्य मान (माध्यिका), या सबसे संभावित मान (मोड) के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, औसत आय आम तौर पर बहुत बड़ी आय वाले लोगों की एक छोटी संख्या से ऊपर की ओर तिरछी होती है, ताकि बहुमत की आय औसत से कम हो। इसके विपरीत, औसत आय वह स्तर है जिस पर आधी आबादी नीचे और आधी ऊपर है। मोड आय सबसे अधिक संभावित आय है और कम आय वाले लोगों की बड़ी संख्या का पक्ष लेती है। हालांकि इस तरह के विषम डेटा के लिए मध्यिका और मोड अक्सर अधिक सहज ज्ञान युक्त उपाय होते हैं, कई तिरछे वितरण वास्तव में उनके माध्यम से सर्वोत्तम रूप से वर्णित होते हैं, जिसमें घातीय वितरण और पॉसॉन वितरण वितरण शामिल हैं।
+[[File:visualisation mode median mean.svg|thumb|100px|मोड का ज्यामितीय विज़ुअलाइज़ेशन, माध्यिका और मनमाना संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का माध्य।<ref>{{cite web|title=एपी सांख्यिकी समीक्षा - घनत्व वक्र और सामान्य वितरण|url=http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|access-date=16 March 2015|archive-url=https://web.archive.org/web/20150402183703/http://apstatsreview.tumblr.com/post/50058615236/density-curves-and-the-normal-distributions?action=purge|archive-date=2 April 2015|url-status=dead}}</ref>]]वर्णनात्मक आंकड़ों में माध्य को माध्यिका मोड सांख्यिकी या मध्य-श्रेणी के साथ भ्रमित किया जा सकता है क्योंकि इनमें से किसी को भी गलत तरीके से औसत कहा जा सकता है औपचारिक रूप से यह केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय जो प्रेक्षणों के समुच्चय का माध्य मानों का अंकगणितीय औसत है जबकि [[तिरछापन|तिरछेपन]] के लिए माध्य आवश्यक रूप से मध्यमान या माध्यिका सबसे संभावित मान के समान नहीं है उदाहरण  औसत आय बहुत बड़ी आय वाले लोगों की एक छोटी संख्या से ऊपर की ओर तिरछी होती है जिससे बहुमत की आय औसत से कम हो इसके विपरीत औसत आय वह स्तर है जिस पर आधी आबादी नीचे और आधी ऊपर होती है बहुलक आय सबसे अधिक संभावित आय है और कम आय वाले लोगों की बड़ी संख्या का पक्ष लेती है जबकि इस तरह के विषम डेटा के लिए मध्यिका और बहुलक अधिकतर अधिक सहज ज्ञान युक्त उपाय होते हैं कई तिरछे वितरण वास्तव में उनके माध्यम से सर्वोत्तम रूप से वर्णित होते हैं जिसमें घातीय वितरण भी सम्मिलित हैं।
 ==== एक संभाव्यता वितरण का मतलब ====
 {{Main|Expected value}}
 {{See also|Population mean}}
-[[प्रायिकता वितरण]] का माध्य उस वितरण वाले यादृच्छिक चर का दीर्घकालीन अंकगणितीय औसत मान है। यदि यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>X</math>, तो इसे के अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है <math>X</math> (निरूपित <math>E(X)</math>). [[असतत संभाव्यता वितरण]] के लिए, माध्य द्वारा दिया जाता है <math>\textstyle \sum xP(x)</math>, जहां यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का योग लिया जाता है और <math>P(x)</math> संभाव्यता द्रव्यमान कार्य है। [[निरंतर संभाव्यता वितरण]] के लिए, माध्य है <math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx</math>, कहाँ <math>f(x)</math> संभाव्यता घनत्व समारोह है।<ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=आबादी मतलब|url=https://mathworld.wolfram.com/PopulationMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उन सभी मामलों में, जिनमें वितरण न तो असतत है और न ही निरंतर है, मतलब इसकी संभावना माप के संबंध में यादृच्छिक चर का [[लेबेसेग एकीकरण]] है। माध्य का अस्तित्व या परिमित होना आवश्यक नहीं है; कुछ संभाव्यता वितरण के लिए माध्य अनंत है ({{math|+&infin;}} या {{math|−&infin;}}), जबकि अन्य के लिए माध्य [[अपरिभाषित (गणित)]] है।
+[[प्रायिकता वितरण]] का माध्य उस वितरण वाले यादृच्छिक चर का दीर्घकालीन अंकगणितीय औसत मान है यदि यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है <math>X</math> को इसके अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है [[असतत संभाव्यता वितरण]] माध्य द्वारा विरूपित किया जाता है <math>\textstyle \sum xP(x)</math> जहां यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का योग लिया जाता है और <math>P(x)</math> संभाव्यता द्रव्यमान का कार्य है [[निरंतर संभाव्यता वितरण]] के लिए माध्य है जहाँ<math>\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx</math>, कहाँ <math>f(x)</math> संभाव्यता घनत्व समारोह है <ref name=":1">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=आबादी मतलब|url=https://mathworld.wolfram.com/PopulationMean.html|access-date=2020-08-21|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref> उन सभी जगहों में जिनमें वितरण न तो असतत है और न ही निरंतर है मतलब इसकी संभावना माप के संबंध में यादृच्छिक चर का [[लेबेसेग एकीकरण]] है माध्य का अस्तित्व या परिमित होना आवश्यक नहीं है कुछ संभाव्यता वितरण के लिए माध्य अनंत है ({{math|+&infin;}} या {{math|−&infin;}}) जबकि अन्य के लिए माध्य [[अपरिभाषित (गणित)]] है।
 === सामान्यीकृत का अर्थ है ===
 ==== शक्ति मतलब ====
-[[सामान्यीकृत माध्य]], जिसे शक्ति माध्य या होल्डर माध्य के रूप में भी जाना जाता है, [[द्विघात माध्य]], अंकगणितीय, ज्यामितीय और हार्मोनिक साधनों का एक अमूर्त है। इसे n धनात्मक संख्याओं x के समुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है<sub>i</sub> द्वारा
+[[सामान्यीकृत माध्य]] जिसे शक्ति माध्य या धारक मध्यम के रूप में भी जाना जाता है [[द्विघात माध्य]], अंकगणितीय ज्यामितीय और हार्मोनिक साधनों का एक अमूर्त है इसे n धनात्मक संख्याओं x के समुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है इसे <sub>i</sub> द्वारा प्रदर्शित करते हैं।
 <p स्टाइल = मार्जिन-लेफ्ट: 1.6em; >
@@ Line 64: / Line 64: @@
 </p>
-पैरामीटर एम के लिए अलग-अलग मान चुनकर, निम्न प्रकार के साधन प्राप्त किए जाते हैं:
+पैरामीटर एम के लिए अलग-अलग मान चुनकर निम्न प्रकार के साधन प्राप्त किए जाते हैं
-{{glossary|style=display:grid;grid-template-columns: max-content auto;margin-left:1.6em;}}
+{{जैसे माध्य, माध्यिका}}
-{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to \infty}</math>}}
-{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=[[maximum]] of <math>x_i</math>}}
-{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to 2}</math>}}
-{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=[[quadratic mean]]}}
-{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to 1}</math>}}
-{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=[[arithmetic mean]]}}
-{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to 0}</math>}}
-{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=[[geometric mean]]}}
-{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to -1}</math>}}
-{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=[[harmonic mean]]}}
-{{term|style=grid-column-start: 1;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:right;|term=<math>\lim_{m \to -\infty}</math>}}
-{{defn|style=grid-column-start: 2;margin-top:auto;margin-bottom:auto;text-align:left;|defn=[[minimum]] of <math>x_i</math>}}
-{{glossary end}}
 ==== एफ-मीन ====
-इसे सामान्यीकृत f-mean|सामान्यीकृत के रूप में आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है {{mvar|f}}-अर्थ
+इसे f के रूप में आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है
 : <math> \bar{x} = f^{-1}\left({\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{f\left(x_i\right)}}\right) </math>
-और फिर से एक उलटा का उपयुक्त विकल्प {{mvar|f}} दे देंगे
-: {|
-|-
-| <math>f(x) = x</math> || [[arithmetic mean]],
-|-
-| <math>f(x) = \frac{1}{x}</math> || [[harmonic mean]],
-|-
-| <math>f(x) = x^m</math> || [[power mean]],
-|-
-| <math>f(x) = \ln(x)</math> || [[geometric mean]].
-|}
+:
 === भारित अंकगणितीय माध्य ===
-[[भारित माध्य]] (या भारित औसत) का उपयोग किया जाता है यदि कोई एक ही जनसंख्या के विभिन्न आकार के नमूनों से औसत मानों को जोड़ना चाहता है:
+[[भारित माध्य]] या भारित औसत का उपयोग भी किया जाता है यदि कोई एक ही जनसंख्या के विभिन्न आकार के नमूनों से औसत मानों को जोड़ना चाहता है
 :<math>\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n {w_i \bar{x_i}}}{\sum_{i=1}^n w_i}. </math>  <ref name=":2" />
-कहाँ <math>\bar{x_i}</math> और <math>w_i</math> नमूने का माध्य और आकार हैं <math>i</math> क्रमश। अन्य अनुप्रयोगों में, वे संबंधित मूल्यों द्वारा माध्य पर प्रभाव की विश्वसनीयता के लिए एक माप का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+कहाँ <math>\bar{x_i}</math> और <math>w_i</math> नमूने का माध्य और आकार हैं <math>i</math> क्रमश अन्य अनुप्रयोगों में वे संबंधित मूल्यों द्वारा माध्य पर प्रभाव की विश्वसनीयता के लिए एक माप का प्रतिनिधित्व करते हैं।
 === [[छोटा मतलब]] ===

Anonymous

Search

माध्य: Difference between revisions

Namespaces

More

Page actions