क्वांटाइल फलन

प्रोबिट सामान्य वितरण का मात्रात्मक कार्य है।

संभाव्यता और सांख्यिकी में एच्छिक चर के वितरण से जुड़ा एक मात्र फलन स्वतंत्र चर के मान को निर्दिष्ट करता है जैसे चर के उस मान में सम्भाव्यता कम या उसके बराबर होने की संभावना के बराबर होती है यदि मात्रात्मक और कार्यात्मक संभाव्यता इनपुट के नीचे की सीमा के साथ संबद्ध होता है तो कुछ संभाव्य वितरण की सीमा एक स्वतंत्र चर का अनुभव होता है इसे फलन प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी बंटन फलन भी कहा जाता है।

परिभाषा

स्वर वितरण फलन

सतत और एक स्वर संचयी वितरण फलन के संदर्भ में एक स्वर चर एक्स स्वतंत्र कार्यक्रम $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ को आरम्भिक वैल्यू एक्स देता है जिसके नीचे दिए गए सीडीएफ से याद्रच्छिक निष्कासन होता है जिसमें 100 प्रतिशत समय गिर जाता है वितरण कार्यक्रम एफ में स्वतंत्र कार्यक्रम वैल्यू एक्स को इस तरह लौटाता है जो निम्न प्रकार है-

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,$

जिसे सीडीएफ के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.$

संचयी बंटन फलन (F(x) के रूप में दिखाया गया है) q मानों के फलन के रूप में p मान देता है। क्वांटाइल फ़ंक्शन विपरीत करता है: यह p मानों के फ़ंक्शन के रूप में q मान देता है। ध्यान दें कि लाल रंग में F(x) का भाग एक क्षैतिज रेखा खंड है।

सामान्य वितरण फलन

वितरण कार्यों की सामान्य स्थित में जो स्वर नहीं हैं वो व्युत्क्रम सीडीएफ की अनुमति नहीं देते हैं एक स्वर संभावित रूप से वितरण फलन एफ का निर्धारित मूल्य है जो अंतराल द्वारा दिया गया है

$Q(p)\,=\,\left[\sup \left\{x\colon F(x)<p\right\},\sup \left\{x\colon F(x)\leq p\right\}\right]$

निम्नतम मान अधिकतर मानक होता है जिसमें एफ के दांये निरंतरता का उपयोग करके समान रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

$Q(p)\,=\,\inf \left\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\right\}\,.$

जैसे कि स्वतंत्र कार्यक्रम उन सभी मानों में एक्स का न्यूनतम मान लौटाता है जिनका सीडीएफ मान पी से अधिक है जो कुछ स्थानों में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है यदि वितरण निरंतर है तो निम्नतम और उच्चतम को न्यूनतम कार्यक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है क्योंकि वितरण कार्यक्रम निरंतर और कमजोर रूप से बढ़ रहा है।

गाल्वा जोड़ को संतुष्ट करने वाला एच्छिक अद्वितीय कार्य यह है-

$Q(p)\leq x$ और $p\leq F(x)$

यदि फलन एफ निरंतर है और यह नीरस रूप से बढ़ रहा है तो असमानताओं को समानता से बदला जा सकता है

$Q=F^{-1}$

$Q(F(X))=X$

सरल उदाहरण

उदाहरण के लिए घातीय वितरण तीव्रता λ और अपेक्षित मान माध्य1/λ का संचयी वितरण कार्यक्रम है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

घातीय λ के लिए स्वतंत्र कार्यक्रम क्यू के मान को ढूंढकर प्राप्त किया जाता है $1-e^{-\lambda Q}=p$:

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

0 ≤ p < 1

पहला चतुर्थक (p = 1/4)

$-\ln(3/4)/\lambda \,$

मंझला (p= 2/4)

$-\ln(1/2)/\lambda \,$

तीसरा चतुर्थक (p = 3/4)

$-\ln(1/4)/\lambda .\,$

अनुप्रयोग

मात्रात्मक कार्यों का उपयोग सांख्यिकीय अनुप्रयोगों दोनों में किया जाता है।

ऐच्छिक कार्यक्रम प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक तरीका है और यह प्रायिकता घनत्व कार्यक्रम पीडीएफ या प्रायिकता द्रव्यमान कार्यक्रम संचयी वितरण कार्यक्रम सीडीएफ और विशेषता कार्यक्रम संभाव्यता सिद्धांत का एक विकल्प है प्रायिकता वितरण का ऐच्छिक कार्यक्रम क्यू संचयी वितरण कार्यक्रम एफ का व्युत्क्रम कार्यक्रम है ऐच्छिक कार्यक्रम का व्युत्पन्न स्वतंत्र घनत्व कार्यक्रम प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक और तरीका है यह ऐच्छिक कार्यक्रम से बनी पीडीएफ का व्युत्क्रम है।

सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए उपयोगकर्ताओं को प्रमुख प्रतिशत अंक जानने की आवश्यकता होती है किसी दिए गए वितरण की माध्यिका 25 प्रतिशत और 75 प्रतिशत चतुर्थक की आवश्यकता होती है जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है यह अन्य अनुप्रयोगों के लिए 5 प्रतिशत 95 प्रतिशत 2.5 प्रतिशत 97.5 प्रतिशत स्तर जैसे किसी अवलोकन में सांख्यिकीय के महत्व का आकलन करना जिसका वितरण ज्ञात है कंप्यूटरों के लोकप्रिय होने से पहले पुस्तकों के लिए सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ परिशिष्ट होना असामान्य नहीं था जो ऐच्छिक कार्यक्रम का नमूना लेते थे गिलक्रिस्ट द्वारा मात्रात्मक कार्यों के सांख्यिकीय अनुप्रयोगों पर व्यापक रूप से चर्चा की गई है मोंटे-कार्लो के अनुरूप विभिन्न प्रकार की गणनाओं में उपयोग के लिए गैर-समान यादृच्छिक या छद्म यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए मात्रात्मक कार्यों को नियोजित करते हैं यदि किसी दिए गए वितरण से एक नमूना एक समान वितरण से अपने ऐच्छिक कार्यक्रम को लागू करके सैद्धांतिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है अनुरूप विधियों की मांग आधुनिक वित्त में मात्रात्मक कार्यों के आधार पर विधियों में ध्यान केंद्रित कर रहे हैं क्योंकि वे सांख्यिकी या अर्ध-मोंटे-कार्लो विधियों के आधार पर बहुभिन्नरूपी विश्लेषण तकनीकों के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं।

गणना

मात्रात्मक कार्यों के मूल्यांकन में अधिकतर संख्यात्मक तरीके सम्मिलित होते हैं जैसे ऊपर घातीय वितरण जो उन वितरणों में से एक है जहां एक बंद-रूप अभिव्यक्ति पाई जा सकती है तथा समान वितरण वीबुल वितरण तुकी लैम्ब्डा भी सम्मिलित हैं जब सीडीएफ के पास एक बंद अभिव्यक्ति होती है तो सीडीएफ को उलटने के लिए द्विभाजन विधि जैसे संख्यात्मक रूट-खोज प्रारूप का हमेशा उपयोग किया जा सकता है मात्रात्मक कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए अन्य पुस्तकों की संख्यात्मक व्यंजनों के प्रारूप श्रृंखला में दिए गए हैं सामान्य वितरण के लिए प्रारूप कई सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर पैकेजों में निर्मित होते हैं।

मात्रात्मक कार्यों को गैर-रैखिक सामान्य और कुछ अंतर समीकरण के समाधान के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है सामान्य वितरण छात्र टी-वितरण, बीटा वितरण और गामा वितरण वितरण की स्थिति लिए साधारण अंतर समीकरण दिए गए हैं और हल किए गए हैं।

सामान्य वितरण

Main article: Normal distribution § Quantile function

सामान्य वितरण सबसे महत्वपूर्ण माना गया है क्योंकि सामान्य वितरण एक स्थान-स्तरीय परिवार है यह मापदंडों के लिए ऐच्छिक कार्यक्रम मानक सामान्य वितरण के ऐच्छिक कार्यक्रम के सरल परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है जिसे संभाव्यता कार्यक्रम के रूप में जाना जाता है इस कार्यक्रम में बुनियादी बीजगणितीय कार्यों का उपयोग करके बंद प्रतिनिधित्व नहीं है यह अनुमानित प्रतिनिधित्व पर उपयोग किए जाते हैं।

सामान्य क्वांटाइल के लिए साधारण समीकरण

सामान्य मात्रा में डब्ल्यू पी के लिए एक गैर-रैखिक सामान्य अंतर समीकरण दिया जा सकता है

${\frac {d^{2}w}{dp^{2}}}=w\left({\frac {dw}{dp}}\right)^{2}$

प्रारम्भिक शर्तों के साथ

$w\left(1/2\right)=0,\,$

$w'\left(1/2\right)={\sqrt {2\pi }}.\,$

इस समीकरण को शास्त्रीय शक्ति श्रृंखला दृष्टिकोण सहित कई तरीकों से हल किया जा सकता है इससे उच्च ढंग से उच्च सटीकता के समाधान विकसित किए जा सकते हैं ।

छात्र का टी-वितरण

Further information: Student's t-distribution

यह ऐतिहासिक रूप से अधिक कठिन स्थित में से एक रहा है क्योंकि एक पैरामीटर वी स्वतंत्रता की डिग्री की उपस्थिति में तर्कसंगत और अन्य अनुमानों के उपयोग को कठोर बनाती है जबकि सरल सूत्र एकत्रित होते हैं जब वी = 1, 2, 4 और वी सम होने पर समस्या को बहुपद के समाधान में कम किया जा सकता है तथा अन्य स्थित में मात्रात्मक कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विकसित की जा सकता है साधारण स्थित इस प्रकार हैं-

ν = 1

Main article: Cauchy distribution

$Q(p)=\tan(\pi (p-1/2))\!$

एन = 2

$Q(p)=2(p-1/2){\sqrt {\frac {2}{\alpha }}}\!$

एन = 4

$Q(p)=\operatorname {sign} (p-1/2)\,2\,{\sqrt {q-1}}\!$

कहाँ

$q={\frac {\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\sqrt {\alpha }}\,\right)\right)}{\sqrt {\alpha }}}\!$

और

$\alpha =4p(1-p).\!$

उपरोक्त में ज्या कार्यक्रम सकारात्मक तर्कों के लिए +1 नकारात्मक तर्कों के लिए -1 और शून्य पर शून्य है इसे त्रिकोणमितीय ज्या कार्यक्रम के साथ भ्रमित नहीं होने चाहिए।

क्वांटाइल मिश्रण

मिश्रण वितरण के अनुरूप वितरण को मात्रात्मक मिश्रण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$Q(p)=\sum _{i=1}^{m}a_{i}Q_{i}(p)$,

जहॉं $Q_{i}(p)$, $i=1,\ldots ,m$ मात्रात्मक कार्य हैं और $a_{i}$, $i=1,\ldots ,m$ मॉडल पैरामीटर हैं पैरामीटर $a_{i}$ चुना जाना चाहिए जिससे $Q(p)$ एक मात्रात्मक कार्य कर सके। दो चार-प्राचलिक ऐच्छिक मिश्रण सामान्य-बहुपद स्वतंत्र मिश्रण और बीजकोश-बहुपद ऐच्छिक मिश्रण द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं।

मात्रात्मक कार्यों के लिए गैर-रैखिक अंतर समीकरण

सामान्य वितरण में गैर-रैखिक समीकरण किसी भी ऐच्छिक कार्यक्रम के लिए उपलब्ध है सामान्य रूप से ऐच्छिक क्यू पी के लिए समीकरण दिया जा सकता है जो इस प्रकार है-

${\frac {d^{2}Q}{dp^{2}}}=H(Q)\left({\frac {dQ}{dp}}\right)^{2}$

उपयुक्त सीमा स्थितियों द्वारा संवर्धित

$H(x)=-{\frac {f'(x)}{f(x)}}=-{\frac {d}{dx}}\ln f(x)$

प्रायिकता घनत्व फलन है इस समीकरण के रूप और सामान्य गामा और बीटा वितरण की स्थितियों के लिए श्रृंखला और स्पर्शोन्मुख समाधानों द्वारा इसका शास्त्रीय विश्लेषण सरल प्रशासनिक 2008 द्वारा स्पष्ट किया गया है कि इस तरह के समाधान मोड़ प्रदान करते हैं ।

यह भी देखें

• उलटा नमूना बदलना।
• प्रतिशत।
• संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन।
• श्रेणी-आकार वितरण।

अग्रिम पठन

• Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *"Applying series expansion to the inverse beta distribution to find percentiles of the F-distribution", ACM Trans. Math. Softw., 9 (4), 478–480 doi:10.1145/168173.168387
• Refinement of the Normal Quantile
• New Methods for Managing "Student's" T Distribution
• ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles