क्वांटाइल फलन

प्रोबिट सामान्य वितरण का मात्रात्मक कार्य है।

संभाव्यता और सांख्यिकी में एच्छिक चर के संभाव्यता वितरण से जुड़ा एक मात्र फलन स्वतंत्र चर के मान को निर्दिष्ट करता है जैसे चर के उस मान में सम्भाव्यता कम या उसके बराबर होने की संभावना के बराबर होती है। मात्रात्मक और कार्यात्मक संभाव्यता इनपुट के नीचे एक सीमा के साथ संबद्ध होता है कुछ संभाव्यता वितरण के लिए उस सीमा में एक स्वतंत्र चर का अनुभव होता है इसे फलन, प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी बंटन फलन भी कहा जाता है।

परिभाषा

स्वर वितरण फलन

सतत और सख्ती से एक स्वर संचयी वितरण फलन के संदर्भ में $F_{X}\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ एक स्वर चर एक्स स्वतंत्र कार्यक्रम $Q\colon [0,1]\to \mathbb {R}$ एक आरम्भिक वैल्यू एक्स देता है जिसके नीचे दिए गए सीडीएफ से याद्रच्छिक निष्कासन होता है जिसमें 100 प्रतिशत समय गिर जाता है वितरण कार्यक्रम एफ में स्वतंत्र कार्यक्रम वैल्यू एक्स को इस तरह लौटाता है।

$F_{X}(x):=\Pr(X\leq x)=p\,,$

जिसे सीडीएफ के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है।

$Q(p)=F_{X}^{-1}(p)\,.$

File:Quantile distribution function.svg

संचयी बंटन फलन (F(x) के रूप में दिखाया गया है) q मानों के फलन के रूप में p मान देता है। क्वांटाइल फ़ंक्शन विपरीत करता है: यह p मानों के फ़ंक्शन के रूप में q मान देता है। ध्यान दें कि लाल रंग में F(x) का भाग एक क्षैतिज रेखा खंड है।

सामान्य वितरण फलन

वितरण कार्यों की सामान्य स्थित में जो एक स्वर नहीं हैं इसलिए यह एक व्युत्क्रम सीडीएफ की अनुमति नहीं देते हैं एक स्वर संभावित रूप से एक वितरण फलन एफ का निर्धारित मूल्य है जो अंतराल द्वारा दिया गया है।

$Q(p)\,=\,\left[\sup \left\{x\colon F(x)<p\right\},\sup \left\{x\colon F(x)\leq p\right\}\right]$

निम्नतम मान को चुनना अधिकतर मानक होता है एफ के दांये निरंतरता का उपयोग करके जिसे समान रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है

$Q(p)\,=\,\inf \left\{x\in \mathbb {R} :p\leq F(x)\right\}\,.$

जैसे कि स्वतंत्र कार्यक्रम उन सभी मानों में से एक्स का न्यूनतम मान लौटाता है जिनका सीडीएफ मान पी से अधिक है जो विशेष जगहों में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है कि वितरण निरंतर है ध्यान दें कि निम्नतम और उच्चतम को न्यूनतम कार्यक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है क्योंकि वितरण कार्यक्रम निरंतर और कमजोर नीरस रूप से बढ़ रहा है।

गाल्वा जोड़ को संतुष्ट करने वाला एच्छिक अद्वितीय कार्य यह है-

$Q(p)\leq x$ और $p\leq F(x)$

यदि फलन एफ निरंतर है और यह नीरस रूप से बढ़ रहा है तो असमानताओं को समानता से बदला जा सकता है

$Q=F^{-1}$

कुछ वितरण कार्यक्रम एफ एक व्युत्क्रम कार्यक्रम एच्छिक कार्यक्रम में क्यू कार्यक्रम के लिए लगभग सुनिश्चित बाएं व्युत्क्रम के रूप में व्यवहार करता है

$Q(F(X))=X$

सरल उदाहरण

उदाहरण के लिए घातीय वितरण तीव्रता λ और अपेक्षित मान माध्य1/λ का संचयी वितरण कार्यक्रम है

$F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}$

घातीय λ के लिए स्वतंत्र कार्यक्रम क्यू के मान को ढूंढकर प्राप्त किया जाता है $1-e^{-\lambda Q}=p$:

$Q(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\!$

0 ≤ p < 1

पहला चतुर्थक (पी = 1/4)

$-\ln(3/4)/\lambda \,$

मंझला (पी = 2/4)

$-\ln(1/2)/\lambda \,$

तीसरा चतुर्थक (पी = 3/4)

$-<!--\; -\; -->\ln <!--\; \; -->($