एकल इंटीग्रल

गणित में, एकवचन समाकलन हार्मोनिक विश्लेषण के लिए केंद्रीय होते हैं, और आंशिक अंतर समीकरणों के अध्ययन से घनिष्ठ रूप से संयुक्त होते हैं। सामान्यतः एकवचन समाकलन प्राकृतिक संकारक होते है I

$T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,$

जिसका कर्नेल कार्य K : Rⁿ×Rⁿ → R विकर्ण x = y के साथ गणितीय विलक्षणता है। विशेष रूप से, विलक्षणता ऐसी है कि |K(x, y)| आकार का है I |x − y|⁻ⁿ असमान रूप से |x − y| के रूप में → 0 होते है I चूंकि इस प्रकार के समाकलन सामान्य रूप से पूर्णरूपेण समाकलनीय नहीं हो सकते हैं, इसलिए कठोर परिभाषा को उन्हें |y − x| पर समाकलन की सीमा के रूप में परिभाषित करना चाहिए। > ε ε → 0 के रूप में, किन्तु व्यवहार में यह तकनीकी है। सामान्यतः L^p(Rⁿ) पर उनकी बाध्यता से परिणाम प्राप्त करने के लिए आगे की धारणाओं की आवश्यकता होती है I

हिल्बर्ट रूपांतरण

Main article: हिल्बर्ट रूपांतरण

मूल प्ररूपी एकवचन समाकलन संचालिका का हिल्बर्ट रूपांतरण H है। यह 'R' में x के लिए कर्नेल K(x) = 1/(πx) के विरुद्ध कनवल्शन द्वारा दिया गया है।

$H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|x-y|>\varepsilon }{\frac {1}{x-y}}f(y)\,dy.$

इनमें से सीधा उच्च आयाम एनालॉग्स रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म हैं, जो K(x) = 1/x को प्रतिस्थापित करते हैं:-

$K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}$

जहां i = 1, …, n और $x_{i}$ 'Rⁿ' में x का i-वाँ घटक है I ये सभी ऑपरेटर L^p पर जुड़े होते हैं, और (1, 1) अनुमानों को संतुष्ट करते हैं।

कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन

Main article: कनवल्शन प्ररूप का एकवचन अभिन्न ऑपरेटर्स

कनवल्शन प्ररूप का एकवचन समाकलन ऑपरेटर T है, जिसे कर्नेल K के साथ कनवल्शन द्वारा परिभाषित किया गया है, जो कि Rⁿ\{0} पर स्थानीय रूप से एकीकृत फंक्शन है। इस प्रकार हैं:-

$T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|y-x|>\varepsilon }K(x-y)f(y)\,dy.$

(1)

मान लीजिए कि कर्नेल संतुष्ट करता है:

1. K के फूरियर रूपांतरण पर आकार की स्थिति इस प्रकार है:-

   ${\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbf {R} ^{n})$

2. समतलता की स्थिति: कुछ C > 0 के लिए,

   $\sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(x-y)-K(x)|\,dx\leq C.$

यह दिखाया जा सकता है- कि T, L^p(Rⁿ) पर परिबद्ध है, और (1, 1) अनुमान को संतुष्ट करते है।

संपत्ति 1 यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक है कि, कनवल्शन (1) वितरण के साथ टेम्पर्ड वितरण और फूरियर ट्रांसफॉर्म p.v. K कॉची प्रिंसिपल वैल्यू द्वारा दिया गया है:-

$\operatorname {p.v.} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx$

L² पर उत्तम प्रकार से परिभाषित फूरियर गुणक है I गुणों में से कोई भी 1 या 2 आवश्यक रूप से सत्यापित करना सरल नहीं है, और विभिन्न प्रकार की पर्याप्त स्थितियाँ उपस्थित होती हैं। सामान्यतः अनुप्रयोगों में, समाप्त करने की भी स्थिति होती है I

$\int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0$

जिसका परिक्षण करना सरल होता है। यह स्वचालित है, उदाहरण के लिए, यदि K विषम फलन है। यदि, इसके अतिरिक्त, कोई 2 और निम्न आकार की स्थिति होती है:-