सामान्य लघुगणक: Difference between revisions

Latest revision as of 16:48, 27 April 2023

0.1 से 100 तक की संख्याओं के सामान्य लघुगणक का आलेख

गणित में, सामान्य लघुगणक आधार 10 वाला लघुगणक है।^[1] इसे दशकीय लघुगणक और दशमलव लघुगणक के रूप में भी जाना जाता है जिसका नाम इसके आधार के नाम पर रखा गया है, या ब्रिग्सियन लघुगणक, हेनरी ब्रिग्स(गणितज्ञ) के नाम पर, एक अंग्रेजी गणितज्ञ, जिसने इसके उपयोग का मार्ग दिखलाया है, साथ ही मानक लघुगणक के रूप में भी जाना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, इसे 'लघुगणक दशमलव'^[2] या दशक का लघुगणक^[3] के रूप में जाना जाता था। यह $log(x)$ ,^[4] $log 10 (x)$ ,^[5] या कभी कभी पूंजी $L$ के साथ $Log(x)$ द्वारा इंगित किया जाता है(यद्यपि, यह अंकन अस्पष्ट है, क्योंकि इसका अर्थ जटिल प्राकृतिक लघुगणक बहु-मानित फलन भी हो सकता है)। कैलकुलेटर पर, इसे लॉग के रूप में मुद्रित किया जाता है, परन्तु गणितज्ञ सामान्यतः लॉग लिखते समय सामान्य लघुगणक के अतिरिक्त प्राकृतिक लघुगणक(आधार e ≈ 2.71828 के साथ लघुगणक) का अर्थ करते हैं। इस अस्पष्टता को कम करने के लिए, आईएसओ 80000-2 विनिर्देश अनुशंसा करता है कि $log 10 (x)$ को $lg(x)$ लिखा जाना चाहिए, और $log e (x)$ को $ln(x)$ होना चाहिए।

सामान्य लघुगणक की तालिका से पृष्ठ। यह पृष्ठ 1000 से 1500 तक की संख्याओं के लघुगणक को दशमलव के पाँच स्थानों तक दिखाता है। संपूर्ण तालिका में 9999 तक के मान सम्मिलित हैं।

1970 के दशक की प्रारंभ से पूर्व, हस्त इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर उपलब्ध नहीं थे, और गुणा करने में सक्षम यांत्रिक कैलकुलेटर भारी, महंगे और व्यापक रूप से उपलब्ध नहीं थे। इसके अतिरिक्त, विज्ञान, अभियांत्रिकी और निर्दशन में आधार -10 लघुगणक की गणितीय तालिका का उपयोग किया गया था - जब गणना के लिए सर्पण नियम से अधिक यथार्थतः की आवश्यकता होती है। गुणा और भाग को जोड़ और घटाव में बदलकर, लघुगणक के उपयोग से श्रमसाध्य और त्रुटि-प्रवण पृष्ठ-और-अंकनी गुणन और विभाजन से बचा जाता है।^[1] क्योंकि लघुगणक इतने उपयोगी थे, कई पाठ्यपुस्तकों के परिशिष्टों में आधार-10 लघुगणकों की गणितीय तालिकाएँ दी गई थीं। गणितीय और निर्दशन पुस्तिकाओं में त्रिकोणमितीय फलनों के लघुगणकों की तालिकाएँ भी सम्मिलित हैं।^[6] ऐसी तालिकाओं के इतिहास के लिए, लॉग तालिका देखें।

अपूर्णांश और विशेषता

आधार-10 लघुगणकों के एक महत्वपूर्ण गुण, जो उन्हें गणनाओं में इतना उपयोगी बनाती है, यह है कि 1 से बड़ी संख्याओं का लघुगणक जो 10 की घात के कारक से भिन्न होता है, सभी का एक ही भिन्नात्मक भाग होता है। आंशिक भाग को अपूर्णांश के रूप में जाना जाता है।^{[note 1]} इस प्रकार, लॉग तालिका को मात्र आंशिक भाग दिखाने की आवश्यकता होती है। सामान्य लघुगणकों की तालिकाएँ सामान्यतः अपूर्णांश को एक श्रेणी में प्रत्येक संख्या के चार या पाँच दशमलव स्थानों या अधिक तक सूचीबद्ध करती हैं, उदा. 1000 से 9999।

पूर्णांक भाग, जिसे विशेषता कहा जाता है, की गणना मात्र यह गिनकर की जा सकती है कि दशमलव बिंदु को कितने स्थानों पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए, ताकि यह पूर्व महत्वपूर्ण अंक के दाईं ओर हो। उदाहरण के लिए, 120 का लघुगणक निम्नलिखित गणना द्वारा दिया गया है:

\log _{10}(120)=\log _{10}\left(10^{2}\times 1.2\right)=2+\log _{10}(1.2)\approx 2+0.07918.

अंतिम संख्या(0.07918) —120 के सामान्य लघुगणक का आंशिक भाग या अपूर्णांश—दिखाई गई तालिका में पाया जा सकता है। 120 में दशमलव बिंदु का स्थान हमें बताता है कि 120 के सामान्य लघुगणक का पूर्णांक भाग, विशेषता, 2 है।

ऋणात्मक लघुगणक

1 से कम धनात्मक संख्याओं में ऋणात्मक लघुगणक होते हैं। उदाहरण के लिए,

\log _{10}(0.012)=\log _{10}\left(10^{-2}\times 1.2\right)=-2+\log _{10}(1.2)\approx -2+0.07918=-1.92082.

धनात्मक और ऋणात्मक लघुगणकों को वापस उनकी मूल संख्याओं में परिवर्तित करने के लिए अलग-अलग तालिकाओं की आवश्यकता से बचने के लिए, एक ऋणात्मक लघुगणक को एक ऋणात्मक पूर्णांक विशेषता और एक धनात्मक अपूर्णांश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे सुविधाजनक बनाने के लिए, एक विशेष संकेतन, जिसे बार अंकन कहा जाता है, का उपयोग किया जाता है:

\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}+0.07918=-1.92082.

विशेषता पर बार इंगित करता है कि यह ऋणात्मक है, जबकि अपूर्णांश धनात्मक रहता है। बार अंकन में किसी संख्या को तीव्रता से पढ़ते समय, प्रतीक ${\bar {n}}$ को "बार $n$ " के रूप में पढ़ा जाता है, ताकि ${\bar {2}}.07918$ को "बार 2 बिंदु 07918…" के रूप में पढ़ा जा सके। लघुगणक मापांक 10 को व्यक्त करने के लिए एक वैकल्पिक परम्परा है, इस स्थिति में

\log _{10}(0.012)\approx 8.07918{\bmod {1}}0,

परिणाम की उचित सीमा के ज्ञान द्वारा निर्धारित गणना के परिणाम के वास्तविक मान के साथ।^{[note 2]}

निम्न उदाहरण 0.012 × 0.85 = 0.0102 की गणना करने के लिए बार अंकन का उपयोग करता है:

{\begin{array}{rll}{\text{As found above,}}&\log _{10}(0.012)\approx {\bar {2}}.07918\\{\text{Since}}\;\;\log _{10}(0.85)&=\log _{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right)=-1+\log _{10}(8.5)&\approx -1+0.92942={\bar {1}}.92942\\\log _{10}(0.012\times 0.85)&=\log _{10}(0.012)+\log _{10}(0.85)&\approx {\bar {2}}.07918+{\bar {1}}.92942\\&=(-2+0.07918)+(-1+0.92942)&=-(2+1)+(0.07918+0.92942)\\&=-3+1.00860&=-2+0.00860\;^{*}\\&\approx \log _{10}\left(10^{-2}\right)+\log _{10}(1.02)&=\log _{10}(0.01\times 1.02)\\&=\log _{10}(0.0102).\end{array}}

* यह चरण 0 और 1 के बीच के अपूर्णांश को बनाता है, ताकि इसका प्रतिलघुगुणक(10^mantissa) ऊपर देखा जा सकता है।

निम्न तालिका दर्शाती है कि कैसे एक ही अपूर्णांश का उपयोग दस की घातों द्वारा भिन्न संख्याओं की श्रेणी के लिए किया जा सकता है:

किसी संख्या के 10 गुना की घात का सामान्य लघुगणक, विशेषता और अपूर्णांश
संख्या	लघुगणक	विशेषता	अपूर्णांश	संयुक्त रूप
n = 5 × 10ⁱ	log₁₀(n)	i = floor(log₁₀(n) )	log₁₀(n) − i
5 000 000	6.698 970...	6	0.698 970...	6.698 970...
50	1.698 970...	1	0.698 970...	1.698 970...
5	0.698 970...	0	0.698 970...	0.698 970...
0.5	−0.301 029...	−1	0.698 970...	1.698 970...
0.000 005	−5.301 029...	−6	0.698 970...	6.698 970...

ध्यान दें कि अपूर्णांश सभी $5 \times 10 i$ में उभयनिष्ठ है। यह किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या $x$ पर लागू होता है क्योंकि

\log _{10}\left(x\times 10^{i}\right)=\log _{10}(x)+\log _{10}\left(10^{i}\right)=\log _{10}(x)+i.

चूँकि $i$ एक स्थिरांक है, अपूर्णांश $\log _{10}(x)$ से आता है जो दिए गए $x$ के लिए स्थिर है।यह लॉग तालिका को प्रत्येक अपूर्णांश के लिए मात्र एक प्रविष्टि सम्मिलित करने की अनुमति देता है। $5 \times 10 i$ के उदाहरण में, 0.698 970(004 336 018 ...) को 5(या 0.5, या 500, आदि) द्वारा अनुक्रमित करने के बाद सूचीबद्ध किया जाएगा।

संख्याओं को उनके लघुगणक के बीच के अंतर के अनुपात में दूरी पर सर्पण नियम पैमाने पर रखा जाता है। यांत्रिक रूप से निचले पैमाने पर 1 से 2 की दूरी को ऊपरी पैमाने पर 1 से 3 की दूरी से जोड़कर, कोई भी उस

2 \times 3 = 6

को शीघ्रता से निर्धारित कर सकता है।

इतिहास

17वीं शताब्दी के ब्रिटिश गणितज्ञ हेनरी ब्रिग्स(गणितज्ञ) के नाम पर सामान्य लघुगणकों को कभी-कभी ब्रिग्सियन लघुगणक भी कहा जाता है। 1616 और 1617 में, ब्रिग्स ने एडिनबरा में जॉन नेपियर से मिले, जो नेपियर के लघुगणक में परिवर्तन का सुझाव देने के लिए अब प्राकृतिक(आधार-e) लघुगणक कहलाते हैं। इन सम्मेलनों के समय, ब्रिग्स द्वारा प्रस्तावित परिवर्तन पर सहमति बनी; और अपनी दूसरी यात्रा से लौटने के बाद, उन्होंने अपने लघुगणक का प्रथम एक हजार प्रकाशित किया।

क्योंकि आधार-10 लघुगणक अभिकलन के लिए सबसे अधिक उपयोगी थे, अभियंताओं ने सामान्यतः मात्र $log(x)$ लिखा था जब उनका तात्पर्य $log 10 (x)$ था। दूसरी ओर, गणितज्ञों ने $log(x)$ लिखा जब उनका तात्पर्य प्राकृतिक लघुगणक के लिए लॉग था $log e (x)$ था। आज, दोनों अंकन पाए जाते हैं। चूंकि हाथ से चलने वाले इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर गणितज्ञों के अतिरिक्त अभियंताओं द्वारा डिज़ाइन किए जाते हैं, इसलिए यह प्रथागत हो गया कि वे अभियंताओं के अंकन का पालन करते हैं। तो अंकन, जिसके अनुसार प्राकृतिक लघुगणक का अभिप्रेत होने पर $ln(x)$ लिखा जाता है, हो सकता है कि उसी आविष्कार से और अधिक लोकप्रिय हो गया हो जिसने "सामान्य लघुगणक" का उपयोग बहुत कम सामान्य, इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर के रूप में किया हो।

संख्यात्मक मान

एक विशिष्ट वैज्ञानिक कैलकुलेटर पर लघुगणक कुंजियाँ(आधार-10 के लिए लॉग और आधार-

e

के लिए

ln

)। हस्त कैलकुलेटर के आगमन ने कम्प्यूटेशन की सहायता के रूप में सामान्य लघुगणकों के उपयोग को पुर्णतया समाप्त कर दिया।

आधार 10 के लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना निम्नलिखित सर्वसमिकाओं के साथ की जा सकती है:^[5]

\log _{10}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(10)}}\quad

या

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{2}(x)}{\log _{2}(10)}}\quad

या

\quad \log _{10}(x)={\frac {\log _{B}(x)}{\log _{B}(10)}}\quad

किसी भी उपलब्ध आधार $\,B~$ के लघुगणक का उपयोग करके। चूंकि लघुगणक आधार $e$ (देखना प्राकृतिक लघुगणक § कुशल संगणना देखें) और द्विआधारी लघुगणक(द्विआधारी लघुगणक की गणना के लिए एल्गोरिथम देखें) के लिए संख्यात्मक मान निर्धारित करने के लिए प्रक्रियाएं स्थित हैं।

व्युत्पन्न

आधार b वाले लघुगणक का अवकलज ऐसा है कि

 ${d \over dx}\log _{b}(x)={1 \over x\ln(b)}$ , इसलिए  ${d \over dx}\log _{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$ .^[7]

यह भी देखें

↑ This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g., to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating-point number on computers, though the recommended term is significand.
↑ For example, Bessel, F. W. (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen". Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1823. Bibcode:1825AN......4..241B. doi:10.1002/asna.18260041601. S2CID 118630614. gives (beginning of section 8) $\log b=6.51335464$ , $\log e=8.9054355$ . From the context, it is understood that $b=10^{6.51335464}$ , the minor radius of the earth ellipsoid in toise (a large number), whereas $e=10^{8.9054355-10}$ , the eccentricity of the earth ellipsoid (a small number).

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms". Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company. p. 31.
↑ Euler, Leonhard; Speiser, Andreas; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas (ed.). Introductio in Analysin Infinitorum (Part 2). {{cite book}}: |work= ignored (help)
↑ Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (in Latina). Vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. p. 198.
↑ "Introduction to Logarithms". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-29.
↑ ^5.0 ^5.1 Weisstein, Eric W. "Common Logarithm". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-29.
↑ Hedrick, Earle Raymond (1913). Logarithmic and Trigonometric Tables. New York, USA: Macmillan.
↑ "Derivatives of Logarithmic Functions". Math24. 2021-04-14. Archived from the original on 2020-10-01.

ग्रन्थसूची

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Möser, Michael (2009). Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control. Springer. p. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manzhirov, Alexander Vladimirovich (2007) [2006-11-27]. Handbook of mathematics for engineers and scientists. CRC Press. p. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.

[7] This use of the word mantissa stems from an older, non-numerical, meaning: a minor addition or supplement, e.g., to a text. Nowadays, the word mantissa is generally used to describe the fractional part of a floating-point number on computers, though the recommended term is significand.

[8] For example, Bessel, F. W. (1825). "Über die Berechnung der geographischen Längen und Breiten aus geodätischen Vermessungen". Astronomische Nachrichten. 331 (8): 852–861. arXiv:0908.1823. Bibcode:1825AN......4..241B. doi:10.1002/asna.18260041601. S2CID 118630614. gives (beginning of section 8) $\log b=6.51335464$ , $\log e=8.9054355$ . From the context, it is understood that $b=10^{6.51335464}$ , the minor radius of the earth ellipsoid in toise (a large number), whereas $e=10^{8.9054355-10}$ , the eccentricity of the earth ellipsoid (a small number).

[Hall_1909-1] 1.0 ^1.1 Hall, Arthur Graham; Frink, Fred Goodrich (1909). "Chapter IV. Logarithms [23] Common logarithms". Trigonometry. Vol. Part I: Plane Trigonometry. New York: Henry Holt and Company. p. 31.

[Euler_1748-2] Euler, Leonhard; Speiser, Andreas; du Pasquier, Louis Gustave; Brandt, Heinrich; Trost, Ernst (1945) [1748]. Speiser, Andreas (ed.). Introductio in Analysin Infinitorum (Part 2). {{cite book}}: |work= ignored (help)

[Scherffer_1772-3] Scherffer, P. Carolo (1772). Institutionum Analyticarum Pars Secunda de Calculo Infinitesimali Liber Secundus de Calculo Integrali (in Latina). Vol. 2. Joannis Thomæ Nob. De Trattnern. p. 198.

[4] "Introduction to Logarithms". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-29.

[:0-5] 5.0 ^5.1 Weisstein, Eric W. "Common Logarithm". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2020-08-29.

[Hedrick_1913-6] Hedrick, Earle Raymond (1913). Logarithmic and Trigonometric Tables. New York, USA: Macmillan.

[9] "Derivatives of Logarithmic Functions". Math24. 2021-04-14. Archived from the original on 2020-10-01.

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