द्वैत संख्या

For कुछ भाषाओं में दोहरी व्याकरणिक संख्या पाई गई, see दोहरी (व्याकरणिक संख्या).

बीजगणित में, दोहरी संख्या एक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में प्रस्तुत किया गया था। वे a + bε रूप की अभिव्यक्ति (गणित) हैं a + bε, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और ε संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक है $\varepsilon ^{2}=0$ साथ $\varepsilon \neq 0$ है बीजगणित में, दोहरी संख्या एक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या है जिसे पहली बार 19वीं शताब्दी में प्रस्तुत किया गया था। वे a + bε रूप की अभिव्यक्ति (गणित) हैं a + bε, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और ε संतुष्ट करने के लिए लिया गया प्रतीक है $\varepsilon ^{2}=0$ साथ $\varepsilon \neq 0$ है

दोहरी संख्याओं को घटक-वार जोड़ा जा सकता है, और सूत्र द्वारा गुणा किया जा सकता है

$(a+b\varepsilon )(c+d\varepsilon )=ac+(ad+bc)\varepsilon ,$

जो संपत्ति ε2 = 0 और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि गुणन एक द्विरेखीय संक्रिया है।

दोहरी संख्या वास्तविक से दो आयाम (रैखिक बीजगणित) का एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाती है, और एक आर्टिनियन स्थानीय रिंग भी। वे एक अंगूठी के सबसे सरल उदाहरणों में से एक हैं जिसमें नॉनज़रो निलपोटेंट तत्व है।

इतिहास

1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा दोहरे नंबर प्रस्तुत किए गए थे, और बीसवीं शताब्दी की प्रारंभ में जर्मन गणितज्ञ एडवर्ड स्टडी द्वारा उपयोग किए गए थे, जिन्होंने उन्हें दोहरे कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया था जो अंतरिक्ष में दो तिरछी रेखाओं की सापेक्ष स्थिति को मापता है। अध्ययन ने एक दोहरे कोण को परिभाषित किया θ + dε, कहाँ θ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो रेखाओं की दिशाओं के बीच का कोण है और d उनके बीच की दूरी है। वह n-विमीय सामान्यीकरण, ग्रासमान संख्या, 19वीं शताब्दी के अंत में हरमन ग्रासमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

== सार बीजगणित == में परिभाषा

अमूर्त बीजगणित में, दोहरी संख्याओं के बीजगणित को अधिकांशतः वास्तविक संख्याओं पर एक बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है। $(\mathbb {R} )$ अनिश्चित (चर) के वर्ग (बीजगणित) द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श द्वारा, अर्थात

$\mathbb {R} [X]/\left\langle X^{2}\right\rangle .$

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

दोहरी संख्या $a+b\epsilon$ वर्ग मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है ${\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}}$. इस प्रतिनिधित्व में मैट्रिक्स ${\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}$ वर्ग शून्य मैट्रिक्स के लिए, दोहरी संख्या के अनुरूप $\varepsilon$ है

दोहरी संख्याओं को वर्ग आव्यूहों के रूप में प्रदर्शित करने के अन्य तरीके हैं। वे दोहरी संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं $1$ पहचान मैट्रिक्स द्वारा, और $\epsilon$ किसी मैट्रिक्स द्वारा जिसका वर्ग शून्य मैट्रिक्स है; जिससे इन स्थितियों में 2×2 मेट्रिसेस, फॉर्म का कोई भी नॉनजेरो मैट्रिक्स है

${\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}$ साथ $a^{2}+bc=0.$

भेद

दोहरी संख्याओं का एक अनुप्रयोग स्वचालित विभेदीकरण है। उपरोक्त वास्तविक दोहरी संख्याओं पर विचार करें। कोई वास्तविक बहुपद दिया गया है P(x) = p₀ + p₁x + p₂x² + ... + p_nxⁿ, इस बहुपद के डोमेन को वास्तविक से दोहरी संख्या तक विस्तारित करना सीधा है। तब हमारे पास यह परिणाम है:

${\begin{aligned}P(a+b\varepsilon )={}&p_{0}+p_{1}(a+b\varepsilon )+\cdots +p_{n}(a+b\varepsilon )^{n}\\={}&p_{0}+p_{1}a+p_{2}a^{2}+\cdots +p_{n}a^{n}+p_{1}b\varepsilon +2p_{2}ab\varepsilon +\cdots +np_{n}a^{n-1}b\varepsilon \\[3pt]={}&P(a)+bP^{\prime }(a)\varepsilon ,\end{aligned}}$

जहाँ P′ का व्युत्पन्न है P है

अधिक सामान्यतः, हम किसी भी (विश्लेषणात्मक) वास्तविक कार्य को उसकी टेलर श्रृंखला को देखकर दोहरी संख्याओं तक बढ़ा सकते हैं:

$f(a$