न्यूटन बहुपद: Difference between revisions

From Vigyanwiki
(Created page with "संख्यात्मक विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, एक न्यूटन बहुपद, जिस...")
 
No edit summary
Line 106: Line 106:
=== सटीकता ===
=== सटीकता ===


जब, स्टर्लिंग या बेसेल के साथ, उपयोग किए गए अंतिम शब्द में दो अंतरों का औसत शामिल होता है, तो न्यूटन या अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में एक और बिंदु का उपयोग उसी बहुपद डिग्री के लिए किया जाएगा। तो, उस उदाहरण में, स्टर्लिंग या बेसेल N-1 डिग्री बहुपद को N बिंदुओं के माध्यम से नहीं डाल रहे हैं, बल्कि इसके बजाय, बेहतर केंद्र और सटीकता के लिए न्यूटन के साथ व्यापार तुल्यता है, उन तरीकों को कभी-कभी संभावित बहुपद डिग्री के लिए संभावित रूप से अधिक सटीकता प्रदान करते हैं। , अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में।
जब, स्टर्लिंग या बेसेल के साथ, उपयोग किए गए अंतिम शब्द में दो अंतरों का औसत शामिल होता है, तो न्यूटन या अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में एक और बिंदु का उपयोग उसी बहुपद डिग्री के लिए किया जाएगा। तो, उस उदाहरण में, स्टर्लिंग या बेसेल N-1 डिग्री बहुपद को N बिंदुओं के माध्यम से नहीं डाल रहे हैं, बल्कि इसके बजाय, बेहतर केंद्र और सटीकता के लिए न्यूटन के साथ व्यापार तुल्यता है, उन तरीकों को कभी-कभी संभावित बहुपद डिग्री के लिए संभावित रूप से अधिक सटीकता प्रदान करते हैं।, अन्य बहुपद प्रक्षेपों की तुलना में।


== सामान्य मामला ==
== सामान्य मामला ==
Line 148: Line 148:
(<math>\text{Stm}_n</math>) :
(<math>\text{Stm}_n</math>) :


तथ्य 2. (<math>\text{Stm}_n</math>) : अगर <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_{n-1}, y_{n-1})</math> क्या कोई है <math>n</math> विशिष्ट के साथ अंक <math>x</math>-निर्देशांक और <math>P=P(x)</math> डिग्री का अद्वितीय बहुपद है (अधिकतम)
तथ्य 2. (<math>\text{Stm}_n</math>) : अगर <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_{n-1}, y_{n-1})</math> क्या कोई है <math>n</math> विशिष्ट के साथ अंक <math>x</math>-निर्देशांक और <math>P=P(x)</math> डिग्री का अद्वितीय बहुपद है (अधिकतम)
  <math>n-1</math> जिसका ग्राफ इन्हीं से होकर गुजरता है <math>n</math> अंक तो वहाँ संबंध रखता है
  <math>n-1</math> जिसका ग्राफ इन्हीं से होकर गुजरता है <math>n</math> अंक तो वहाँ संबंध रखता है
<math display="block">[y_0, \ldots, y_n](x_n - x_0)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1}) = y_n - P(x_n)</math> सबूत। (सटीक कथन और इसकी सूक्ष्मता को ध्यान में रखना सबूत के धाराप्रवाह पढ़ने के लिए सहायक होगा: <math>P</math> के माध्यम से परिभाषित किया गया है <math>(x_0,y_0),. . . ,(x_{n-1},y_{n-1})</math> लेकिन सूत्र एक अतिरिक्त मनमाने बिंदु के दोनों ओर भी बोलता है <math>(x_n,y_n)</math> साथ <math>x</math>- दूसरे से अलग समन्वय <math> x_i </math>.)
<math display="block">[y_0, \ldots, y_n](x_n - x_0)\cdot\ldots\cdot(x_n-x_{n-1}) = y_n - P(x_n)</math> सबूत। (सटीक कथन और इसकी सूक्ष्मता को ध्यान में रखना सबूत के धाराप्रवाह पढ़ने के लिए सहायक होगा: <math>P</math> के माध्यम से परिभाषित किया गया है <math>(x_0,y_0),. . . ,(x_{n-1},y_{n-1})</math> लेकिन सूत्र एक अतिरिक्त मनमाने बिंदु के दोनों ओर भी बोलता है <math>(x_n,y_n)</math> साथ <math>x</math>- दूसरे से अलग समन्वय <math> x_i </math>.)


हम इन कथनों को फिर से आगमन द्वारा सिद्ध करते हैं।
हम इन कथनों को फिर से आगमन द्वारा सिद्ध करते हैं।
जाहिर करना। <math>\text{Stm}_1,</math> होने देना <math>(x_0,y_0)</math> कोई एक बिंदु हो और जाने दो <math>P(x)</math> डिग्री 0 से गुजरने वाला अद्वितीय बहुपद हो <math>(x_0, y_0)</math>. फिर जाहिर है <math>P(x)=y_0</math> और हम लिख सकते हैं  <math display="block">[y_0, y_1](x_1 - x_0) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x_1-x_0) = y_1 - y_0 = y_1 - P(x_1)</math> जैसा चाहता था।
जाहिर करना। <math>\text{Stm}_1,</math> होने देना <math>(x_0,y_0)</math> कोई एक बिंदु हो और जाने दो <math>P(x)</math> डिग्री 0 से गुजरने वाला अद्वितीय बहुपद हो <math>(x_0, y_0)</math>. फिर जाहिर है <math>P(x)=y_0</math> और हम लिख सकते हैं  <math display="block">[y_0, y_1](x_1 - x_0) = \frac{y_1 - y_0}{x_1 - x_0} (x_1-x_0) = y_1 - y_0 = y_1 - P(x_1)</math> जैसा चाहता था।


का सबूत <math>\text{Stm}_{n+1},</math> मान लिया जाये <math>\text{Stm}_{n}</math> पहले से ही स्थापित: चलो <math>P(x)</math> डिग्री का बहुपद हो (अधिकतम) <math>n</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n).</math>
का सबूत <math>\text{Stm}_{n+1},</math> मान लिया जाये <math>\text{Stm}_{n}</math> पहले से ही स्थापित: चलो <math>P(x)</math> डिग्री का बहुपद हो (अधिकतम) <math>n</math> के माध्यम से गुजरते हुए <math>(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n).</math>
साथ <math>Q(x)</math> डिग्री का अद्वितीय बहुपद होना (अधिकतम) <math>n-1</math> बिंदुओं से गुजरना <math>(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)</math>, हम समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, जहाँ हम उपयोग करते हैं
साथ <math>Q(x)</math> डिग्री का अद्वितीय बहुपद होना (अधिकतम) <math>n-1</math> बिंदुओं से गुजरना <math>(x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)</math>, हम समानता की निम्नलिखित श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, जहाँ हम उपयोग करते हैं
अंत से पहले समानता कि Stm<math>_n</math> पर लागू होता है <math>Q</math>:
अंत से पहले समानता कि Stm<math>_n</math> पर लागू होता है <math>Q</math>:


Line 177: Line 177:
&= y_0 \\
&= y_0 \\
&= P(x_0). \\
&= P(x_0). \\
\end{align} </math> अब देखिए <math>Q(x)+ [y_0,\ldots,y_n](x - x_1)\cdot\ldots\cdot(x - x_n).</math> की परिभाषा से <math>Q</math> यह बहुपद गुजरता है <math>(x_1,y_1), . . ., (x_n,y_n)</math> और, जैसा कि हमने अभी दिखाया है, यह भी गुजरता है
\end{align} </math> अब देखिए <math>Q(x)+ [y_0,\ldots,y_n](x - x_1)\cdot\ldots\cdot(x - x_n).</math> की परिभाषा से <math>Q</math> यह बहुपद गुजरता है <math>(x_1,y_1), . . ., (x_n,y_n)</math> और, जैसा कि हमने अभी दिखाया है, यह भी गुजरता है
द्वारा <math>(x_0,y_0).</math> इस प्रकार यह घात का अद्वितीय बहुपद है <math>\leq n</math> जो इन बिंदुओं से होकर गुजरता है। इसलिए यह बहुपद है <math>P(x);</math> अर्थात: <math>P(x)= Q(x)+ [y_0,\ldots,y_n](x - x_1)\cdot\ldots\cdot(x - x_n).</math>
द्वारा <math>(x_0,y_0).</math> इस प्रकार यह घात का अद्वितीय बहुपद है <math>\leq n</math> जो इन बिंदुओं से होकर गुजरता है। इसलिए यह बहुपद है <math>P(x);</math> अर्थात: <math>P(x)= Q(x)+ [y_0,\ldots,y_n](x - x_1)\cdot\ldots\cdot(x - x_n).</math>
इस प्रकार हम समानता की पहली श्रृंखला में अंतिम पंक्ति को ` के रूप में लिख सकते हैं<math> y_{n+1}-P(x_{n+1})</math>' और इस प्रकार यह स्थापित किया है
इस प्रकार हम समानता की पहली श्रृंखला में अंतिम पंक्ति को ` के रूप में लिख सकते हैं<math> y_{n+1}-P(x_{n+1})</math>' और इस प्रकार यह स्थापित किया है
<math display="block"> [y_0,\ldots,y_{n+1}](x_{n+1} - x_0)\cdot\ldots\cdot(x_{n+1} - x_n)=y_{n+1}-P(x_{n+1}).</math> सो ऽहम्
<math display="block"> [y_0,\ldots,y_{n+1}](x_{n+1} - x_0)\cdot\ldots\cdot(x_{n+1} - x_n)=y_{n+1}-P(x_{n+1}).</math> सो ऽहम्
Line 184: Line 184:


अब तथ्य 2 को देखें: इसे इस प्रकार सूत्रबद्ध किया जा सकता है: यदि <math>P</math> अधिक से अधिक घात का अद्वितीय बहुपद है <math>n-1</math> जिसका ग्राफ बिंदुओं से होकर गुजरता है <math>(x_0, y_0), . . . , (x_{n-1}, y_{n-1}),</math> तब <math>P(x)+ [y_0, \ldots, y_n](x - x_0)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1})</math> अधिक से अधिक घात का अद्वितीय बहुपद है <math>n</math> पासिंग
अब तथ्य 2 को देखें: इसे इस प्रकार सूत्रबद्ध किया जा सकता है: यदि <math>P</math> अधिक से अधिक घात का अद्वितीय बहुपद है <math>n-1</math> जिसका ग्राफ बिंदुओं से होकर गुजरता है <math>(x_0, y_0), . . . , (x_{n-1}, y_{n-1}),</math> तब <math>P(x)+ [y_0, \ldots, y_n](x - x_0)\cdot\ldots\cdot(x-x_{n-1})</math> अधिक से अधिक घात का अद्वितीय बहुपद है <math>n</math> पासिंग
अंक के माध्यम से <math>(x_0, y_0), . . . , (x_{n-1}, y_{n-1}), (x_n, y_n).</math> तो हम देखते हैं कि न्यूटन प्रक्षेप वास्तव में पहले से ही गणना की जा चुकी चीजों को नष्ट किए बिना नए प्रक्षेप बिंदुओं को जोड़ने की अनुमति देता है।
अंक के माध्यम से <math>(x_0, y_0), . . . , (x_{n-1}, y_{n-1}), (x_n, y_n).</math> तो हम देखते हैं कि न्यूटन प्रक्षेप वास्तव में पहले से ही गणना की जा चुकी चीजों को नष्ट किए बिना नए प्रक्षेप बिंदुओं को जोड़ने की अनुमति देता है।


== [[टेलर बहुपद]] ==
== [[टेलर बहुपद]] ==
Line 284: Line 284:
==बाहरी संबंध==
==बाहरी संबंध==
*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Module for the Newton Polynomial by John H. Mathews]
*[https://web.archive.org/web/20120213001949/http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/NewtonPolyMod.html Module for the Newton Polynomial by John H. Mathews]
{{Isaac Newton}}
[[Category: प्रक्षेप]] [[Category: परिमित मतभेद]] [[Category: क्रमगुणित और द्विपद विषय]] [[Category: बहुपदों]]  
[[Category: प्रक्षेप]] [[Category: परिमित मतभेद]] [[Category: क्रमगुणित और द्विपद विषय]] [[Category: बहुपदों]]  


Revision as of 21:44, 15 March 2023

संख्यात्मक विश्लेषण के गणितीय क्षेत्र में, एक न्यूटन बहुपद, जिसका नाम इसके आविष्कारक आइजैक न्यूटन के नाम पर रखा गया है,[1] डेटा बिंदुओं के दिए गए सेट के लिए एक बहुपद प्रक्षेप बहुपद है। न्यूटन बहुपद को कभी-कभी न्यूटन का विभाजित अंतर अंतर्वेशन बहुपद कहा जाता है क्योंकि बहुपद के गुणांकों की गणना न्यूटन की विभाजित अंतर विधि का उपयोग करके की जाती है।

परिभाषा

k+1 डेटा बिंदुओं का एक सेट दिया गया है

जहां कोई दो एक्स नहीं हैj समान हैं, न्यूटन प्रक्षेप बहुपद न्यूटन आधारित बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है

न्यूटन आधार बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया

जे > 0 और के लिए .

गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है

कहाँ

विभाजित मतभेदों के लिए अंकन है।

इस प्रकार न्यूटन बहुपद को इस प्रकार लिखा जा सकता है


न्यूटन आगे विभाजित अंतर सूत्र

न्यूटन बहुपद को सरलीकृत रूप में व्यक्त किया जा सकता है जब समान दूरी के साथ क्रमिक रूप से व्यवस्थित हैं। अंकन का परिचय 

 प्रत्येक के लिए

और