लैगुएरे बहुपद: Difference between revisions

[[File:Complex color plot of the Laguerre polynomial L n(x) with n as -1 divided by 9 and x as z to the power of 4 from -2-2i to 2+2i.svg|alt=Complex color plot of the Laguerre polynomial L n(x) n के रूप में -1 को 9 से विभाजित किया गया और x को z के रूप में -2-2i से 2+2i|thumb|लैगुएरे बहुपद L n(x) के जटिल रंग प्लॉट को -1 के रूप में विभाजित किया गया 9 और x के रूप में z से 4 की घात -2-2i से 2+2i तक]]गणित में, [[एडमंड लागुएरे]] (1834-1886) के नाम पर लैगुएरे बहुपद, लैगुएरे के अंतर समीकरण का मान हैं:<math display="block">xy'' + (1 - x)y' + ny = 0,     

y = y(x)</math>जो द्वितीय कोटि के रेखीय अवकल समीकरण को प्रदर्शित करता हैं।  यदि {{mvar|n}} गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है तो इस समीकरण का केवल ऐकक मान होता है।कभी-कभी लैगुएरे बहुपद नाम का उपयोग मान प्राप्त करने के लिए किया जाता है<math display="block">xy'' + (\alpha + 1 - x)y' + ny = 0~.</math>

फिर उन्हें सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद भी नाम दिया गया है, जैसा कि यहाँ पर उपयोग में लाया गया हैं। (वैकल्पिक रूप से जुड़े लैगुएरे बहुपद या, संभवतः ही कभी, सोनिन बहुपद, उनके आविष्कारक के बाद [[निकोलाई याकोवलेविच सोनिन]] का उपयोग किया गया।<ref>{{cite journal|title=Recherches sur les fonctions cylindriques et le développement des fonctions continues en séries|author=N. Sonine|journal=[[Math. Ann.]]|date=1880|volume=16| issue=1|pages=1–80|doi=10.1007/BF01459227|s2cid=121602983|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN235181684_0016&DMDID=dmdlog8}}</ref> )।

 

 

 

 

भौतिक विज्ञानी कभी-कभी लैगुएरे बहुपदों के लिए परिभाषा का उपयोग करते हैं जो n<nowiki>!</nowiki> के गुणक द्वारा यहां उपयोग की गई परिभाषा से बड़ी होती है। (इसी प्रकार कुछ भौतिक विज्ञानी तथाकथित संबंधित लैगुएरे बहुपदों की कुछ भिन्न परिभाषाओं का उपयोग करते हैं।)

पहले दो बहुपदों को परिभाषित करते हुए लैगुएरे बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है<math display="block">L_0(x) = 1</math><math display="block">L_1(x) = 1 - x</math>और फिर किसी भी के लिए निम्नलिखित ओर्थोगोनल बहुपद#पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करना {{math|''k'' ≥ 1}}:<math display="block">L_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)L_k(x) - k L_{k - 1}(x)}{k + 1}. </math>आगे,<math display="block">  x L'_n(x) = nL_n (x) - nL_{n-1}(x).</math>कुछ सीमा तक प्राप्त होने वाले मानों से उत्पन्न होने वाली समस्याओं के मान में विशेष रूप से कुछ मान उपयोगी होते हैं:<math display="block">L_{k}(0) = 1, L_{k}'(0) = -k.  </math>बंद रूप है<math display="block">L_n(x)=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k!} x^k .</math>उनके लिए [[जनरेटिंग फ़ंक्शन]] भी इसी प्रकार है,<math display="block">\sum_{n=0}^\infty t^n L_n(x)=  \frac{1}{1-t} e^{-tx/(1-t)}.</math>ऋणात्मक सूचकांक के बहुपदों को धनात्मक सूचकांक वाले लोगों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है:<math display="block">L_{-n}(x)=e^xL_{n-1}(-x).</math>

बाइनरी विस्तार से संबंधित कार्यों का उपयोग करके लैगुएरे बहुपदों <math>n</math> को सेट करने की विधि है :<math display="block">L_n(x)=\frac{x^n}{n!}b(\frac{4^n-1}{3}, x).</math>यहाँ<math display="block">b(n, x) = \frac{1}{x}b(\frac{n - 2^{f(n)}}{2}, x) + (-1)^nb(\left\lfloor\frac{2n - 2^{f(n)}}{2}\right\rfloor, x).</math>साथ में <math>b(0,x)=1</math> माना जाता हैं।<math display="block">f(2n+1)=0, f(2n)=f(n)+1.</math>यहाँ <math>f(n)</math> {{OEIS link|A007814}} है और <math>b(n)</math> {{OEIS link|A347204}} का सामान्यीकरण है।

वास्तविक α का मान प्राप्त करने के लिए अंतर समीकरण के बहुपद मान सेट किया जाता हैं।<ref>A&S p. 781</ref><math display="block">x\,y'' + \left(\alpha +1 - x\right) y' + n\,y = 0</math>सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद कहलाते हैं, या संबंधित लैगुएरे बहुपद कहलाते हैं।

पहले दो बहुपदों को परिभाषित करते हुए सामान्यीकृत लेगुएरे बहुपदों को पुनरावर्ती रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है<math display="block">L^{(\alpha)}_0(x) = 1</math><math display="block">L^{(\alpha)}_1(x) = 1 + \alpha - x</math>और फिर किसी भी के लिए निम्नलिखित ओर्थोगोनल बहुपद पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग करता हैं जिसके लिए {{math|''k'' ≥ 1}} का मान सेट किया जाता हैं:<math display="block">L^{(\alpha)}_{k + 1}(x) = \frac{(2k + 1 + \alpha - x)L^{(\alpha)}_k(x) - (k + \alpha) L^{(\alpha)}_{k - 1}(x)}{k + 1}. </math>सरल लैगुएरे बहुपद विशेष स्थितियाँ हैं जहाँ पर {{math|1=''α'' = 0}} सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद हैं:<math display="block">L^{(0)}_n(x) = L_n(x).</math>उनके लिए रोड्रिग्स सूत्र है<math display="block">L_n^{(\alpha)}(x) = {x^{-\alpha} e^x \over n!}{d^n \over dx^n} \left(e^{-x} x^{n+\alpha}\right)

* लैगुएरे फ़ंक्शंस को [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|संगम हाइपरज्यामितीय फंक्शन]] और कुमेर के परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया गया है<ref>A&S p. 509</ref> <math display="block"> L_n^{(\alpha)}(x) := {n+ \alpha \choose n} M(-n,\alpha+1,x).</math> जहाँ <math display="inline">{n+ \alpha \choose n}</math> सामान्यीकृत [[द्विपद गुणांक]] है। जिसमें {{mvar|n}} पूर्णांक होते है जो फ़ंक्शन डिग्री के बहुपद {{mvar|n}} तक कम हो जाता है, इसकी वैकल्पिक अभिव्यक्ति भी की जाती है<ref>A&S p. 510</ref> <math display="block">L_n^{(\alpha)}(x)= \frac {(-1)^n}{n!} U(-n,\alpha+1,x)</math> कंफ्लुएंट हाइपरज्यामेट्रिक फ़ंक्शन के संदर्भ में या दूसरा फ़ंक्शन उपयोग में लाया जाता हैं।

* डिग्री के इन सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपदों के लिए बंद रूप {{mvar|n}} है<ref>A&S p. 775</ref> <math display="block"> L_n^{(\alpha)} (x) = \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+\alpha \choose n-i} \frac{x^i}{i!} </math> लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) लागू करके प्राप्त किया गया जाता हैं, रोड्रिग्स के फार्मूले से उत्पाद के विभेदन के लिए लाइबनिज की प्रमेय होती हैं।

* लैगुएरे बहुपदों में विभेदक संकारक प्रतिनिधित्व होता है, जो बहुत निकट से संबंधित हर्मिट बहुपदों की तरह होता है। अर्थात् <math>D = \frac{d}{dx}</math> और अंतर ऑपरेटर <math>M=qxD^2+(\alpha+1)D</math> पर विचार करें, तब <math>\exp(-tM)x^n=(-1)^nq^nt^nn!L^{(\alpha)}_n\left(\frac{x}{qt}\right)</math> का मान होता हैं।

* यदि {{math|''α''}} गैर-ऋणात्मक है, तो L_''n''^(α) में n [[वास्तविक संख्या]] होती हैं, फ़ंक्शन का धनात्मक रूट (ध्यान दें कि <math>\left((-1)^{n-i} L_{n-i}^{(\alpha)}\right)_{i=0}^n</math> स्टर्म श्रृंखला है), जो सभी [[अंतराल (गणित)]] में हैं <math>\left( 0, n+\alpha+ (n-1) \sqrt{n+\alpha} \, \right].</math>

* इसमें से बड़े मान के लिए बहुपदों का स्पर्शोन्मुख मान {{mvar|n}} होता हैं, किन्तु {{mvar|α}} और {{math|''x'' > 0}}, द्वारा दिया गया है <ref>Szegő, p. 198.</ref><ref>D. Borwein, J. M. Borwein, R. E. Crandall, "Effective Laguerre asymptotics", ''SIAM J. Numer. Anal.'', vol. 46 (2008), no. 6, pp. 3285–3312 {{doi|10.1137/07068031X}}</ref> और संक्षेप में <math display="block">\frac{L_n^{(\alpha)}\left(\frac x n\right)}{n^\alpha}\approx e^{x/ 2n} \cdot \frac{J_\alpha\left(2\sqrt x\right)}{\sqrt x^\alpha},</math>जहाँ <math>J_\alpha</math> बेसेल फ़ंक्शन असिम्प्टोटिक रूप है।

लागुएरे बहुपदों के लिए अतिरिक्त सूत्र:<ref>A&S equation (22.12.6), p. 785</ref><math display="block">L_n^{(\alpha+\beta+1)}(x+y)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x) L_{n-i}^{(\beta)}(y) .</math>लैगुएरे के बहुपद पुनरावर्तन संबंधों को संतुष्ट करते हैं<math display="block">L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n L_{n-i}^{(\alpha+i)}(y)\frac{(y-x)^i}{i!},</math>विशेष रूप से<math display="block">L_n^{(\alpha+1)}(x)= \sum_{i=0}^n L_i^{(\alpha)}(x)</math>और<math display="block">L_n^{(\alpha)}(x)= \sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n-i-1 \choose n-i} L_i^{(\beta)}(x),</math>या<math display="block">L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha-\beta+n \choose n-i} L_i^{(\beta- i)}(x);</math>इसके अतिरिक्त<math display="block">\begin{align}

\end{align}</math>संयुक्त रूप से वे इसे अतिरिक्त, उपयोगी पुनरावर्तन संबंध देते हैं<math display="block">\begin{align}

\end{align}</math>तब से <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math> डिग्री का मोनिक बहुपद <math>n</math> में <math>\alpha</math> हैं।

 

 

जो [[आंशिक अंश अपघटन]] है<math display="block">\begin{align}

\end{align}</math>यहाँ पर दूसरी समानता निम्नलिखित पहचान द्वारा अनुसरण करती है, जो पूर्णांक i और {{mvar|n}} के लिए मान्य है, और इसकी अभिव्यक्ति से तत्काल [[चार्लीयर बहुपद]] <math>L_n^{(\alpha)}(x)</math> के संदर्भ में:<math display="block"> \frac{(-x)^i}{i!} L_n^{(i-n)}(x) = \frac{(-x)^n}{n!} L_i^{(n-i)}(x).</math>तीसरी समानता के लिए इस खंड की चौथी और पाँचवीं सर्वसमिकाएँ लागू की जाती हैं।

सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के घात श्रेणी निरूपण में अंतर करना {{mvar|k}} क्रम की ओर जाता है।<math display="block">\frac{d^k}{d x^k} L_n^{(\alpha)} (x) = \begin{cases}

\end{cases}</math>यह विशेष स्थितियों ({{math|1=''α'' = 0}}) को इंगित करता है, उपरोक्त सूत्र का: पूर्णांक के लिए {{math|1=''α'' = ''k''}} सामान्यीकृत बहुपद लिखा जा सकता है<math display="block">L_n^{(k)}(x)=(-1)^k\frac{d^kL_{n+k}(x)}{dx^k},</math>इस क्रम के द्वारा {{mvar|k}} कभी-कभी व्युत्पन्न के लिए सामान्य कोष्ठक संकेतन के साथ भ्रम उत्पन्न करता है।

 

 

 

 

स्ट्रम-लियोविले सिद्धांत में| इस प्रारूप का अवकलन समीकरण है।<math display="block">-\left(x^{\alpha+1} e^{-x}\cdot L_n^{(\alpha)}(x)^\prime\right)' = n\cdot x^\alpha e^{-x}\cdot L_n^{(\alpha)}(x),</math>जो दर्शाता {{math|''L''{{su|b=''n''|p=''(α)''}}}} है जिसमें आइजन मान के लिए आइजन वैक्टर {{mvar|n}} का उपयोग करते हैं।

सामान्यीकृत लैग्युरे बहुपद ओर्थोगोनल ओवर हैं {{closed-open|0, ∞}} भार फंक्शन के साथ माप {{math|''x^α'' ''e''^−''x''}} के संबंध में:<ref>{{Cite web | url=http://mathworld.wolfram.com/AssociatedLaguerrePolynomial.html | title=Associated Laguerre Polynomial}}</ref><math display="block">\int_0^\infty x^\alpha e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!} \delta_{n,m},</math>जो इस प्रकार है<math display="block">\int_0^\infty x^{\alpha'-1} e^{-x} L_n^{(\alpha)}(x)dx= {\alpha-\alpha'+n \choose n} \Gamma(\alpha').</math>यदि <math>\Gamma(x,\alpha+1,1)</math> गामा वितरण को दर्शाता है तो ऑर्थोगोनलिटी रिलेशन को इस रूप में लिखा जा सकता है<math display="block">\int_0^{\infty} L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\Gamma(x,\alpha+1,1) dx={n+ \alpha \choose n}\delta_{n,m},</math>संबंधित, सममित कर्नेल बहुपद का प्रतिनिधित्व है ( जिसमें क्रिस्टोफ़ेल-डार्बौक्स सूत्र इस प्रकार हैं।)<math display="block">\begin{align}

\end{align}</math>रिकर्सिवली<math display="block">K_n^{(\alpha)}(x,y)=\frac{y}{\alpha+1} K_{n-1}^{(\alpha+1)}(x,y)+ \frac{1}{\Gamma(\alpha+1)} \frac{L_n^{(\alpha+1)}(x) L_n^{(\alpha)}(y)}{{\alpha+n \choose n}}.</math>इसके अतिरिक्त,<math display="block">y^\alpha e^{-y} K_n^{(\alpha)}(\cdot, y) \to \delta(y- \cdot).</math>तुरान की असमानताएँ यहाँ प्राप्त की जा सकती हैं, जो कि है<math display="block">L_n^{(\alpha)}(x)^2- L_{n-1}^{(\alpha)}(x) L_{n+1}^{(\alpha)}(x)= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{{\alpha+n-1\choose n-k}}{n{n\choose k}} L_k^{(\alpha-1)}(x)^2>0.</math>हाइड्रोजन परमाणु वेवफंक्शन के [[क्वांटम यांत्रिकी]] उपचार में निम्नलिखित [[अभिन्न]] की आवश्यकता है,<math display="block">\int_0^{\infty}x^{\alpha+1} e^{-x} \left[L_n^{(\alpha)} (x)\right]^2 dx= \frac{(n+\alpha)!}{n!}(2n+\alpha+1).</math>

यहाँ फंक्शन में (औपचारिक) श्रृंखला विस्तारित होते दें<math display="block">f(x)= \sum_{i=0}^\infty f_i^{(\alpha)} L_i^{(\alpha)}(x).</math>तब<math display="block">f_i^{(\alpha)}=\int_0^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{{i+ \alpha \choose i}} \cdot \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} \cdot f(x) \,dx .</math>श्रृंखला संबद्ध [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में अभिसरित होती है {{math|[[Lp space|''L''²[0, ∞)]]}} [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]]<math display="block">\| f \|_{L^2}^2 := \int_0^\infty \frac{x^\alpha e^{-x}}{\Gamma(\alpha+1)} | f(x)|^2 \, dx = \sum_{i=0}^\infty {i+\alpha \choose i} |f_i^{(\alpha)}|^2 < \infty. </math>

[[ एकपदीय | एकपदीय]] के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है<math display="block">\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^n (-1)^i {n+ \alpha \choose n-i} L_i^{(\alpha)}(x),</math>जबकि द्विपद गुणांक में पैरामीट्रिजेशन होता है<math display="block">{n+x \choose n}= \sum_{i=0}^n \frac{\alpha^i}{i!} L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha).</math>यह सीधे की ओर जाता है<math display="block">e^{-\gamma x}= \sum_{i=0}^\infty \frac{\gamma^i}{(1+\gamma)^{i+\alpha+1}} L_i^{(\alpha)}(x) \qquad \text{convergent iff } \Re(\gamma) > -\tfrac{1}{2}</math>घातीय फंक्शन के लिए। अपूर्ण गामा फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व होता है<math display="block">\Gamma(\alpha,x)=x^\alpha e^{-x} \sum_{i=0}^\infty \frac{L_i^{(\alpha)}(x)}{1+i} \qquad \left(\Re(\alpha)>-1 , x > 0\right).</math>

क्वांटम यांत्रिकी में हाइड्रोजन जैसे परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण गोलाकार निर्देशांक में चरों को अलग करके बिल्कुल मान करने योग्य है। वेव फ़ंक्शन का रेडियल भाग (सामान्यीकृत) लैगुएरे बहुपद है।<ref>{{Cite book|title=रसायन विज्ञान में क्वांटम यांत्रिकी|last=Ratner, Schatz|first=Mark A., George C.|publisher=Prentice Hall|year=2001|location=0-13-895491-7| pages=90–91}}</ref>