बानाच समष्टि: Difference between revisions
From Vigyanwiki
| Line 37: | Line 37: | ||
जहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> समूह के रूप में लिखा जा सकता है | जहाँ <math>\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> धनात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो <math>0</math> में <math>\R</math> (जैसे कि <math>r_n := 1/n</math> या <math>r_n := 1/2^n</math> के लिए) अभिसरण करता है। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक विवृत उपसमुच्चय <math>U</math> का <math>X</math> समूह के रूप में लिखा जा सकता है | ||
<math display="block">U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)</math> | <math display="block">U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)</math> | ||
कुछ | कुछ उपसमुच्चय द्वारा अनुक्रमित <math>I \subseteq U,</math> जहां प्रत्येक <math>r_x</math> किसी पूर्णांक <math>r_x = \tfrac{1}{n_x}</math> कुछ पूर्णांक के लिए <math>n_x > 0</math> स्वरूप का है (संवृत गोले का उपयोग विवृत गोले के अतिरिक्त भी किया जा सकता है, हालांकि अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> और त्रिज्या <math>r_x</math> बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट | गणनीय समुच्चय]] होने के लिए सदैव चयन किया जा सकता है यदि <math>X</math> {{em|[[वियोज्य समष्टि]]}} है, जिसका परिभाषा के अनुसार तात्पर्य है कि <math>X</math> कुछ गणनीय सघन समुच्चय सम्मिलित हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|गुणनफल समष्टि]] के लिए <math display="inline">\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय मानचित्र नहीं होना चाहिए) [[होमोमोर्फिज्म]] है।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बानाख समष्टि के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट समष्टि L2-समष्टि <math>\ell</math><sup>2</sup> अनुक्रम समष्टि <math>\ell^2(\N)</math> भी सम्मिलित है। इसका सामान्य मानदंड <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त समष्टि के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}</math>होमोमोर्फिज्म भी है। | ||
इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट | गणनीय समुच्चय]] होने के लिए सदैव | |||
एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट समष्टि [[उत्पाद स्थान|गुणनफल समष्टि]] के लिए | |||
===== सघन और उत्तल उपसमुच्चय ===== | |||
हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल |{{em|closed}} उन्नतोत्तर पेटा <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> इसका (और | <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> सुसंहत उपसमुच्चय है जिसका उत्तल पतवार <math>\operatorname{co}(S)</math> है {{em|not}} संवृत और इस प्रकार भी {{em|not}} सुसंहत (यह फुटनोट देखें<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact">Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref> एक उदाहरण के लिए)।{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}} | ||
हालाँकि, सभी बानाख समष्टि की तरह, संवृत उत्तल हल |{{em|closed}} उन्नतोत्तर पेटा <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> इसका (और प्रत्येक दूसरा) सुसंहत उप-समुच्चय सुसंहत होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन यदि एक मानक समष्टि पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है {{em|not}} ने गारंटी दी <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> जब भी सुसंहत होगा <math>S</math> है; एक उदाहरण<ref group="note" name="ExampleCompactButHullIsNotCompact" />के [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष|पूर्व-हिल्बर्ट समष्टि]]|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है <math>\ell^2(\N).</math> | |||
यह मानक-प्रेरित सांस्थिति भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] खुले समुच्चय से मिलकर एक [[पड़ोस का आधार|प्रतिवेश का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी है {{em|[[Normable space|normable]]}}, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड समुच्चय (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) होने के कारण मूल के उत्तल समुच्चय प्रतिवेश। | यह मानक-प्रेरित सांस्थिति भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक सांस्थिति के साथ संपन्न एक वेक्टर समष्टि है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की सांस्थिति के साथ एक सदिश समष्टि; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी विवृत गेंदों का समुच्चय मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट|संतुलित समुच्चय]] खुले समुच्चय से मिलकर एक [[पड़ोस का आधार|प्रतिवेश का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी है {{em|[[Normable space|normable]]}}, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका सांस्थिति कुछ (संभवतः अज्ञात) मानक (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड समुच्चय (सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि) होने के कारण मूल के उत्तल समुच्चय प्रतिवेश। | ||
| Line 48: | Line 47: | ||
==== पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना ==== | ==== पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर सांस्थिति की तुलना ==== | ||
[[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> सांस्थिति चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस|एफ-समष्टि]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना|सांस्थिति की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}} | [[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> सांस्थिति चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस|एफ-समष्टि]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट समष्टि) और यदि एक सांस्थिति दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना|सांस्थिति की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}} | ||
तो उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत | तो उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> सांस्थिति के साथ बानाख समष्टि हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन समष्टि में से एक में कुछ विवृत गोले है जो कि अन्य समष्टि का भी एक विवृत उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> निरंतर है) तो उनकी सांस्थिति समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड]] हैं। | ||
=== पूर्णता === | === पूर्णता === | ||
| Line 64: | Line 63: | ||
एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। | एक फ्रेचेट समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है जिसका सांस्थिति कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। | ||
प्रत्येक बानाख समष्टि एक फ्रेचेट समष्टि है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट समष्टि सम्मिलित हैं, जिस पर कोई मानदंड एक सतत फलन नहीं है (जैसे कि [[वास्तविक अनुक्रमों का स्थान|वास्तविक अनुक्रमों का समष्टि]] <math display=inline>\R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R</math> [[उत्पाद टोपोलॉजी|गुणनफल सांस्थिति]] के साथ)। | |||
हालांकि, | हालांकि, प्रत्येक फ्रेचेट समष्टि की सांस्थिति वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल समुच्चय परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें [[सेमिनोर्म]] कहा जाता है, जो मानक (गणित) के सामान्यीकरण हैं। | ||
एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है {{em|norms}} (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे)<ref group="note" name="CharacterizationOfContinuityOfANorm">A norm (or [[seminorm]]) <math>p</math> on a topological vector space <math>(X, \tau)</math> is continuous if and only if the topology <math>\tau_p</math> that <math>p</math> induces on <math>X</math> is [[Comparison of topologies|coarser]] than <math>\tau</math> (meaning, <math>\tau_p \subseteq \tau</math>), which happens if and only if there exists some open ball <math>B</math> in <math>(X, p)</math> (such as maybe <math>\{x \in X : p(x) < 1\}</math> for example) that is open in <math>(X, \tau).</math></ref>{{sfn|Trèves|2006|pp=57–69}} | एक फ्रेचेट समष्टि के लिए एक सांस्थिति होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है {{em|norms}} (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे)<ref group="note" name="CharacterizationOfContinuityOfANorm">A norm (or [[seminorm]]) <math>p</math> on a topological vector space <math>(X, \tau)</math> is continuous if and only if the topology <math>\tau_p</math> that <math>p</math> induces on <math>X</math> is [[Comparison of topologies|coarser]] than <math>\tau</math> (meaning, <math>\tau_p \subseteq \tau</math>), which happens if and only if there exists some open ball <math>B</math> in <math>(X, p)</math> (such as maybe <math>\{x \in X : p(x) < 1\}</math> for example) that is open in <math>(X, \tau).</math></ref>{{sfn|Trèves|2006|pp=57–69}} | ||
लेकिन एक बानाख / [[सामान्य स्थान|सामान्य समष्टि]] नहीं होने के कारण इसकी सांस्थिति को किसी के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है {{em|single}} मानदंड। | लेकिन एक बानाख / [[सामान्य स्थान|सामान्य समष्टि]] नहीं होने के कारण इसकी सांस्थिति को किसी के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है {{em|single}} मानदंड। | ||
| Line 74: | Line 73: | ||
मीट्रिक पूर्णता के अतिरिक्त पूर्णता की एक और धारणा है और वह एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है। | मीट्रिक पूर्णता के अतिरिक्त पूर्णता की एक और धारणा है और वह एक पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान समष्टि के सिद्धांत का उपयोग करती है। | ||
विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय [[एकरूपता (टोपोलॉजी)|एकरूपता (सांस्थिति)]] का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि#कैनोनिकल एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है {{em|only}} वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर <math>\tau</math> सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक से स्वतंत्र है <math>\tau</math> (और यहां तक कि टीवीएस पर भी प्रयुक्त होता है {{em|not}} यहां तक कि मेट्रिजेबल)। | विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय [[एकरूपता (टोपोलॉजी)|एकरूपता (सांस्थिति)]] का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि#कैनोनिकल एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है {{em|only}} वेक्टर घटाव और सांस्थिति पर <math>\tau</math> सदिश समष्टि के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा सांस्थिति को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक से स्वतंत्र है <math>\tau</math> (और यहां तक कि टीवीएस पर भी प्रयुक्त होता है {{em|not}} यहां तक कि मेट्रिजेबल)। | ||
प्रत्येक बानाख समष्टि एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अतिरिक्त, एक मानक समष्टि एक बानाख समष्टि है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) यदि और केवल यदि यह एक सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि के रूप में पूर्ण है। | |||
यदि <math>(X, \tau)</math> एक मेट्रिजेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह a {{em|sequentially}} पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक कॉची की जाँच करने के लिए पर्याप्त है {{em|sequence}} में <math>(X, \tau)</math> में विलीन हो जाता है <math>(X, \tau)</math> किसी बिंदु पर <math>X</math> (अर्थात्, मनमानी कॉची [[नेट (गणित)]] की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)। | यदि <math>(X, \tau)</math> एक मेट्रिजेबल सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित सांस्थिति, उदाहरण के लिए), फिर <math>(X, \tau)</math> एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह a {{em|sequentially}} पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक कॉची की जाँच करने के लिए पर्याप्त है {{em|sequence}} में <math>(X, \tau)</math> में विलीन हो जाता है <math>(X, \tau)</math> किसी बिंदु पर <math>X</math> (अर्थात्, मनमानी कॉची [[नेट (गणित)]] की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)। | ||
| Line 119: | Line 118: | ||
लगता है कि <math>X</math> और <math>Y</math> बानाख समष्टि हैं और वह <math>T \in B(X, Y).</math> का एक प्रामाणिक गुणनखंड सम्मिलित है <math>T</math> जैसा<ref name="Caro17" /> | लगता है कि <math>X</math> और <math>Y</math> बानाख समष्टि हैं और वह <math>T \in B(X, Y).</math> का एक प्रामाणिक गुणनखंड सम्मिलित है <math>T</math> जैसा<ref name="Caro17" /> | ||
<math display=block>T = T_1 \circ \pi, \ \ \ T : X \ \overset{\pi}{\longrightarrow}\ X / ker(T) \ \overset{T_1}{\longrightarrow} \ Y</math> | <math display=block>T = T_1 \circ \pi, \ \ \ T : X \ \overset{\pi}{\longrightarrow}\ X / ker(T) \ \overset{T_1}{\longrightarrow} \ Y</math> | ||
जहां पहला मानचित्र <math>\pi</math> भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र है <math>T_1</math> | जहां पहला मानचित्र <math>\pi</math> भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र है <math>T_1</math> प्रत्येक वर्ग भेजता है <math>x + \ker T</math> छवि के भागफल में <math>T(x)</math> में <math>Y.,</math> यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण <math>T_1</math> से एक रैखिक आक्षेप है <math>X / \ker T</math> सीमा पर <math>T(X),</math> जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है। | ||
=== शास्त्रीय समष्टि === | === शास्त्रीय समष्टि === | ||
| Line 150: | Line 149: | ||
* [[डिस्क बीजगणित]] <math>A(\mathbf{D})</math> ओपन यूनिट डिस्क में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के फलन होते हैं <math>D \subseteq \Complex</math> और इसके [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर (सांस्थिति)]] पर निरंतर: <math>\overline{\mathbf{D}}.</math> अधिकतम मानदंड से लैस <math>\overline{\mathbf{D}},</math> डिस्क बीजगणित <math>A(\mathbf{D})</math> का एक संवृत सबलजेब्रा है <math>C\left(\overline{\mathbf{D}}\right).</math> | * [[डिस्क बीजगणित]] <math>A(\mathbf{D})</math> ओपन यूनिट डिस्क में [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] के फलन होते हैं <math>D \subseteq \Complex</math> और इसके [[क्लोजर (टोपोलॉजी)|क्लोजर (सांस्थिति)]] पर निरंतर: <math>\overline{\mathbf{D}}.</math> अधिकतम मानदंड से लैस <math>\overline{\mathbf{D}},</math> डिस्क बीजगणित <math>A(\mathbf{D})</math> का एक संवृत सबलजेब्रा है <math>C\left(\overline{\mathbf{D}}\right).</math> | ||
* वीनर बीजगणित <math>A(\mathbf{T})</math> यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है <math>\mathbf{T}</math> बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से <math>\mathbf{T}</math> इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाख बीजगणित के लिए समरूप है <math>\ell^1(Z),</math> जहां गुणनफल अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है। | * वीनर बीजगणित <math>A(\mathbf{T})</math> यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है <math>\mathbf{T}</math> बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से <math>\mathbf{T}</math> इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बानाख बीजगणित के लिए समरूप है <math>\ell^1(Z),</math> जहां गुणनफल अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है। | ||
* | * प्रत्येक बानाख समष्टि के लिए <math>X,</math> समष्टि <math>B(X)</math> परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की <math>X,</math> गुणनफल के रूप में नक्शों की संरचना के साथ, एक बानाख बीजगणित है। | ||
*ए सी*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित है <math>A</math> एक [[एंटीलाइनर नक्शा|एंटीलाइनर मानचित्र]] इनवोल्यूशन (गणित) के साथ <math>a \mapsto a^*</math> जैसे कि <math>\left\|a^* a\right\| = \|a\|^2.</math> समष्टि <math>B(H)</math> हिल्बर्ट समष्टि पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की संख्या <math>H</math> C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सी*-बीजगणित कुछ के सी*-सबलजेब्रा के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>B(H).</math> समष्टि <math>C(K)</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर जटिल निरंतर कार्यों का <math>K</math> क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां | *ए सी*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित है <math>A</math> एक [[एंटीलाइनर नक्शा|एंटीलाइनर मानचित्र]] इनवोल्यूशन (गणित) के साथ <math>a \mapsto a^*</math> जैसे कि <math>\left\|a^* a\right\| = \|a\|^2.</math> समष्टि <math>B(H)</math> हिल्बर्ट समष्टि पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की संख्या <math>H</math> C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सी*-बीजगणित कुछ के सी*-सबलजेब्रा के लिए सममितीय रूप से आइसोमोर्फिक है। <math>B(H).</math> समष्टि <math>C(K)</math> सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर जटिल निरंतर कार्यों का <math>K</math> क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां प्रत्येक क्रिया के साथ जुड़ाव जुड़ा हुआ है <math>f</math> इसका जटिल संयुग्म <math>\overline{f}.</math> | ||
| Line 206: | Line 205: | ||
का द्वैत <math>\ell^1</math> सममितीय रूप से समाकृतिक है <math>\ell^{\infty}</math>. | का द्वैत <math>\ell^1</math> सममितीय रूप से समाकृतिक है <math>\ell^{\infty}</math>. | ||
एलपी समष्टि का दोहरा # एलपी समष्टि का गुण <math>L^p([0, 1])</math> सममितीय रूप से समाकृतिक है <math>L^q([0, 1])</math> कब <math>1 \leq p < \infty</math> और <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math> | एलपी समष्टि का दोहरा # एलपी समष्टि का गुण <math>L^p([0, 1])</math> सममितीय रूप से समाकृतिक है <math>L^q([0, 1])</math> कब <math>1 \leq p < \infty</math> और <math>\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.</math> | ||
प्रत्येक वेक्टर के लिए <math>y</math> एक हिल्बर्ट समष्टि में <math>H,</math> मानचित्रण | |||
<math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math> | <math display=block>x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle</math> | ||
एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>f_y</math> पर <math>H.</math>रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> स्वरूप का है <math>f_y</math> विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H.</math> | एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है <math>f_y</math> पर <math>H.</math>रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर <math>H</math> स्वरूप का है <math>f_y</math> विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए <math>y</math> में <math>H.</math> | ||
| Line 219: | Line 218: | ||
<math display=block>I_x = \ker \delta_x = \{f \in C(K) : f(x) = 0\}, \quad x \in K.</math> | <math display=block>I_x = \ker \delta_x = \{f \in C(K) : f(x) = 0\}, \quad x \in K.</math> | ||
अधिक सामान्य रूप से, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एक यूनिटल कम्यूटेटिव बानाख बीजगणित के अधिकतम आदर्शों को इसके बानाख बीजगणित # आदर्शों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल समुच्चय के रूप में बल्कि सांंस्थितिक रिक्त समष्टि के रूप में: [[हल-कर्नेल टोपोलॉजी|हल-कर्नेल सांस्थिति]] के साथ पूर्व और w*-सांस्थिति के साथ बाद वाला। | अधिक सामान्य रूप से, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एक यूनिटल कम्यूटेटिव बानाख बीजगणित के अधिकतम आदर्शों को इसके बानाख बीजगणित # आदर्शों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल समुच्चय के रूप में बल्कि सांंस्थितिक रिक्त समष्टि के रूप में: [[हल-कर्नेल टोपोलॉजी|हल-कर्नेल सांस्थिति]] के साथ पूर्व और w*-सांस्थिति के साथ बाद वाला। | ||
इस पहचान में, अधिकतम मानक समष्टि को दोहरी | इस पहचान में, अधिकतम मानक समष्टि को दोहरी गोले में इकाई गोले के w*-सुसंहत उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है <math>A'.</math> | ||
{{math theorem|math_statement= If <math>K</math> is a compact Hausdorff space, then the maximal ideal space <math>\Xi</math> of the Banach algebra <math>C(K)</math> is [[homeomorphic]] to <math>K.</math><ref name=Eilenberg>{{cite journal |last=Eilenberg |first=Samuel |title=Banach Space Methods in Topology |journal=[[Annals of Mathematics]] |date=1942 |volume=43 |issue=3 |pages=568–579 |doi=10.2307/1968812|jstor=1968812 }}</ref>}} | {{math theorem|math_statement= If <math>K</math> is a compact Hausdorff space, then the maximal ideal space <math>\Xi</math> of the Banach algebra <math>C(K)</math> is [[homeomorphic]] to <math>K.</math><ref name=Eilenberg>{{cite journal |last=Eilenberg |first=Samuel |title=Banach Space Methods in Topology |journal=[[Annals of Mathematics]] |date=1942 |volume=43 |issue=3 |pages=568–579 |doi=10.2307/1968812|jstor=1968812 }}</ref>}} | ||
| Line 243: | Line 242: | ||
सममितीय एम्बेडिंग का उपयोग करना <math>F_X,</math> यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए प्रथागत है <math>X</math> इसकी बोली के उप-समुच्चय के रूप में। | सममितीय एम्बेडिंग का उपयोग करना <math>F_X,</math> यह एक मानक समष्टि पर विचार करने के लिए प्रथागत है <math>X</math> इसकी बोली के उप-समुच्चय के रूप में। | ||
कब <math>X</math> एक बानाख समष्टि है, इसे एक संवृत रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> यदि <math>X</math> रिफ्लेक्सिव नहीं है, की यूनिट बॉल <math>X</math> की इकाई | कब <math>X</math> एक बानाख समष्टि है, इसे एक संवृत रेखीय उप-समष्टि के रूप में देखा जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> यदि <math>X</math> रिफ्लेक्सिव नहीं है, की यूनिट बॉल <math>X</math> की इकाई गोले का एक उपयुक्त उपसमुच्चय है <math>X^{\prime\prime}.</math> [[गोल्डस्टाइन प्रमेय]] में कहा गया है कि एक मानक समष्टि की इकाई गोले बोली की इकाई गोले में दुर्बल*-सघन होती है। | ||
दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए <math>x''</math> बिडुअल में, एक नेट सम्मिलित है (गणित) <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> में <math>X</math> ताकि | दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए <math>x''</math> बिडुअल में, एक नेट सम्मिलित है (गणित) <math>\left(x_i\right)_{i \in I}</math> में <math>X</math> ताकि | ||
<math display="block>\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x''\|, \ \ x''(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.</math> | <math display="block>\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x''\|, \ \ x''(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.</math> | ||
| Line 308: | Line 307: | ||
यूनिट बॉल की दुर्बल कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। | यूनिट बॉल की दुर्बल कॉम्पैक्टनेस कुछ [[अनंत-आयामी अनुकूलन]] के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त समष्टि में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। | ||
उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई | उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गोले पर निरंतर फलन करता है <math>B</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है <math>B.</math> | ||
पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, कब <math>X</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि ओवर है <math>\R,</math> | पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष स्थिति के रूप में, कब <math>X</math> एक रिफ्लेक्सिव समष्टि ओवर है <math>\R,</math> प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक <math>f</math> में <math>X^{\prime}</math> अधिकतम प्राप्त करता है <math>\|f\|</math> की यूनिट बॉल पर <math>X.</math> निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक विलोम कथन प्रदान करता है। | ||
{{math theorem| name = James' Theorem | math_statement = For a Banach space the following two properties are equivalent: | {{math theorem| name = James' Theorem | math_statement = For a Banach space the following two properties are equivalent: | ||
| Line 317: | Line 316: | ||
प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। | प्रमेय को दुर्बल रूप से सघन उत्तल समुच्चय का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। | ||
प्रत्येक नॉन-रिफ्लेक्सिव बानाख समष्टि पर <math>X,</math> निरंतर रेखीय फलन सम्मिलित हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। | |||
हालांकि, [[ बिशप बचाओ ]]-[[रॉबर्ट फेल्प्स]] प्रमेय<ref>{{cite journal|last1=bishop|first1=See E.|last2=Phelps|first2=R.|year=1961|title=एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=67|pages=97–98|doi=10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access=free }}</ref> बताता है कि मानक-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं <math>X^{\prime}</math> का <math>X.</math> | हालांकि, [[ बिशप बचाओ ]]-[[रॉबर्ट फेल्प्स]] प्रमेय<ref>{{cite journal|last1=bishop|first1=See E.|last2=Phelps|first2=R.|year=1961|title=एक सबूत है कि हर बनच स्पेस सबरेफ्लेक्सिव है|journal=Bull. Amer. Math. Soc.|volume=67|pages=97–98|doi=10.1090/s0002-9904-1961-10514-4|doi-access=free }}</ref> बताता है कि मानक-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं <math>X^{\prime}</math> का <math>X.</math> | ||
| Line 334: | Line 333: | ||
इकाई वेक्टर आधार <math>\ell^1</math> दुर्बल कॉची नहीं है। | इकाई वेक्टर आधार <math>\ell^1</math> दुर्बल कॉची नहीं है। | ||
दुर्बल कॉची क्रम में <math>\ell^1</math> दुर्बल रूप से अभिसरण हैं, चूंकि <math>L^1</math>-समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। | दुर्बल कॉची क्रम में <math>\ell^1</math> दुर्बल रूप से अभिसरण हैं, चूंकि <math>L^1</math>-समष्टि दुर्बल रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। | ||
वास्तव में, दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम <math>\ell^1</math> मानक अभिसरण हैं।<ref>see p. 85 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref> इस का | वास्तव में, दुर्बल रूप से अभिसारी अनुक्रम <math>\ell^1</math> मानक अभिसरण हैं।<ref>see p. 85 in {{harvtxt|Diestel|1984}}.</ref> इस का तात्पर्य है कि <math>\ell^1</math> शूर की गुण को संतुष्ट करता है। | ||
==== परिणाम सम्मिलित हैं <math>\ell^1</math> आधार == | ==== परिणाम सम्मिलित हैं <math>\ell^1</math> आधार == | ||
| Line 348: | Line 347: | ||
*Every element of the bidual <math>X''</math> is the weak*-limit of a sequence <math>\left\{x_n\right\}</math> in <math>X.</math>}} | *Every element of the bidual <math>X''</math> is the weak*-limit of a sequence <math>\left\{x_n\right\}</math> in <math>X.</math>}} | ||
गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> कब <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1,</math> का | गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> का <math>X^{\prime\prime}</math> दुर्बल है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा <math>X.</math> कब <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1,</math> का प्रत्येक तत्व <math>B^{\prime\prime}</math> दुर्बल है* - एक की सीमा {{em|sequence}} की यूनिट बॉल में <math>X.</math><ref>Odell and Rosenthal, Sublemma p. 378 and Remark p. 379.</ref> | ||
जब बानाख समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई | जब बानाख समष्टि <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गोले <math>X^{\prime},</math> दुर्बल *-सांस्थिति से लैस, एक मेट्रिजेबल सुसंहत समष्टि है <math>K,</math><ref name="DualBall" />और प्रत्येक तत्व <math>x^{\prime\prime}</math> बोली में <math>X^{\prime\prime}</math> एक बंधे हुए फलन को परिभाषित करता है <math>K</math>: | ||
<math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math> | <math display=block>x' \in K \mapsto x''(x'), \quad \left |x''(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.</math> | ||
यह फलन सुसंहत सांस्थिति के लिए निरंतर है <math>K</math> यदि और केवल यदि <math>x^{\prime\prime}</math> वास्तव में है <math>X,</math> का उपसमुच्चय माना जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> बाकी पैराग्राफ के लिए अतिरिक्त मान लें कि <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1.</math> ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, फलन <math>x^{\prime\prime}</math> बिन्दुवार अभिसरण चालू है <math>K</math> एक क्रम का <math>\left\{x_n\right\} \subseteq X</math> निरंतर कार्यों पर <math>K,</math> इसलिए यह एक [[बाहरी समारोह|बाहरी फलन]] है <math>K.</math> बिडुअल की यूनिट बॉल पहले बायर वर्ग का बिंदुवार सुसंहत उपसमुच्चय है <math>K.</math><ref>for more on pointwise compact subsets of the Baire class, see {{citation|last1=Bourgain|first1=Jean|author1-link=Jean Bourgain|last2=Fremlin|first2=D. H.|last3=Talagrand |first3=Michel|title=Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions|journal=Am. J. Math.|volume=100|year=1978|issue=4|pages=845–886|jstor=2373913|doi=10.2307/2373913}}.</ref> | यह फलन सुसंहत सांस्थिति के लिए निरंतर है <math>K</math> यदि और केवल यदि <math>x^{\prime\prime}</math> वास्तव में है <math>X,</math> का उपसमुच्चय माना जाता है <math>X^{\prime\prime}.</math> बाकी पैराग्राफ के लिए अतिरिक्त मान लें कि <math>X</math> सम्मिलित नहीं है <math>\ell^1.</math> ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, फलन <math>x^{\prime\prime}</math> बिन्दुवार अभिसरण चालू है <math>K</math> एक क्रम का <math>\left\{x_n\right\} \subseteq X</math> निरंतर कार्यों पर <math>K,</math> इसलिए यह एक [[बाहरी समारोह|बाहरी फलन]] है <math>K.</math> बिडुअल की यूनिट बॉल पहले बायर वर्ग का बिंदुवार सुसंहत उपसमुच्चय है <math>K.</math><ref>for more on pointwise compact subsets of the Baire class, see {{citation|last1=Bourgain|first1=Jean|author1-link=Jean Bourgain|last2=Fremlin|first2=D. H.|last3=Talagrand |first3=Michel|title=Pointwise Compact Sets of Baire-Measurable Functions|journal=Am. J. Math.|volume=100|year=1978|issue=4|pages=845–886|jstor=2373913|doi=10.2307/2373913}}.</ref> | ||
| Line 356: | Line 355: | ||
==== अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * कॉम्पैक्टनेस ==== | ==== अनुक्रम, दुर्बल और दुर्बल * कॉम्पैक्टनेस ==== | ||
कब <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई | कब <math>X</math> वियोज्य है, दोहरी की इकाई गोले दुर्बल है * - बानाख-अलाग्लु प्रमेय द्वारा सुसंहत और दुर्बल * सांस्थिति के लिए मेट्रिजेबल,<ref | ||