बानाच समष्टि: Difference between revisions

गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]] में, एक बैनाच स्पेस (उच्चारण {{IPA-pl|ˈbanax|}}) एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] मानक सदिश स्थान है। इस प्रकार, एक बैनाच स्पेस एक [[मीट्रिक (गणित)]] के साथ एक सदिश स्थान है जो नॉर्म (गणित) की गणना और वैक्टर के बीच की दूरी की अनुमति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि वैक्टर का एक [[कॉची अनुक्रम]] हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है अनुक्रम जो अंतरिक्ष के भीतर है।

बानाच रिक्त स्थान का नाम पोलिश गणितज्ञ [[स्टीफन बानाच]] के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया और 1920-1922 में [[हंस हैन (गणितज्ञ)]] और [[एडुआर्ड हेली]] के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया।<ref>{{harvnb|Bourbaki|1987|loc=V.86}}<!--From French edition. Please check the "Historical Note" in the English edition.--></ref> मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बनच स्पेस का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बनच ने फ्रेचेट स्पेस शब्द गढ़ा।{{sfn|Narici|Beckenstein| 2011|p=93}}

बानाच रिक्त स्थान मूल रूप से [[डेविड हिल्बर्ट]], मौरिस रेने फ्रेचेट | फ्रेचेट, और [[फ्रिगियस रिज्ज़]] द्वारा शताब्दी में पहले कार्य स्थान के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बनच स्थान एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के तहत रिक्त स्थान अक्सर बनच स्थान होते हैं।

एक बनच स्पेस एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस [[नॉर्म्ड स्पेस]] है <math>(X, \| \cdot \|).</math> एक आदर्श स्थान एक जोड़ी है<ref group=note>It is common to read "<math>X</math> is a normed space" instead of the more technically correct but (usually) pedantic "<math>(X, \| \cdot \|)</math> is a normed space," especially if the norm is well known (for example, such as with [[Lp space|<math>L^p</math> spaces]]) or when there is no particular need to choose any one (equivalent) norm over any other (especially in the more abstract theory of [[topological vector space]]s), in which case this norm (if needed) is often automatically assumed to be denoted by <math>\| \cdot \|.</math> However, in situations where emphasis is placed on the norm, it is common to see <math>(X, \| \cdot \|)</math> written instead of <math>X.</math> The technically correct definition of normed spaces as pairs <math>(X, \| \cdot \|)</math> may also become important in the context of [[category theory]] where the distinction between the categories of normed spaces, [[normable space]]s, [[metric space]]s, [[topological vector space|TVS]]s, [[topological space]]s, etc. is usually important.</ref>  

<math>(X, \| \cdot \|)</math> एक [[सदिश स्थल]] से मिलकर <math>X</math> एक अदिश क्षेत्र पर <math>\mathbb{K}</math> (कहाँ <math>\mathbb{K}</math> सामान्यतः है <math>\R</math> या <math>\Complex</math>) एक प्रतिष्ठित के साथ<ref group=note>This means that if the norm <math>\| \cdot \|</math> is replaced with a different norm <math>\|\,\cdot\,\|^{\prime} \text{ on } X,</math> then <math>(X, \| \cdot \|)</math> is {{em|not}} the same normed space as <math>\left(X, \| \cdot \|^{\prime}\right),</math> even if the norms are equivalent. However, equivalence of norms on a given vector space does form an [[equivalence relation]].</ref> सामान्य (गणित) <math>\| \cdot \| : X \to \R.</math> सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड [[अनुवाद अपरिवर्तनीय]] को प्रेरित करता है<ref group=note name="translation invariant metric">A metric <math>D</math> on a vector space <math>X</math> is said to be '''translation invariant''' if <math>D(x, y) = D(x + z, y + z)</math> for all vectors <math>x, y, z \in X.</math> This happens if and only if <math>D(x, y) = D(x - y, 0)</math> for all vectors <math>x, y \in X.</math> A metric that is induced by a norm is always translation invariant.</ref> मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित<ref group=note>Because <math>\|- z\| = \|z\|</math> for all <math>z \in X,</math> it is always true that <math>d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|</math> for all <math>x, y \in X.</math> So the order of <math>x</math> and <math>y</math> in this definition does not matter.</ref>

सभी वैक्टर के लिए <math>x, y \in X.</math> यह बनाता है <math>X</math> एक मीट्रिक अंतरिक्ष में <math>(X, d).</math> एक क्रम <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> कहा जाता है {{nowrap|'''{{em|[[Cauchy sequence|<math>d</math>-Cauchy]]}}'''}} या {{nowrap|'''{{em|Cauchy in}} <math>(X, d)</math>'''}} या {{nowrap|'''{{em|<math>\| \cdot \|</math>-Cauchy}}'''}} अगर हर असली के लिए <math>r > 0,</math> कुछ सूचकांक मौजूद है <math>N</math> ऐसा है कि

जब कभी भी <math>m</math> और <math>n</math> से अधिक हैं <math>N.</math> विहित मीट्रिक <math>d</math> ए कहा जाता है{{em|[[complete metric]]}} अगर जोड़ी <math>(X, d)</math> एक है {{em|[[complete metric space]]}}, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है {{nowrap|<math>d</math>-[[Cauchy sequence]]}} <math>x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}</math> में <math>(X, d),</math> कुछ मौजूद है <math>x \in X</math> ऐसा है कि

परिभाषा के अनुसार, आदर्श स्थान <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक है{{em|Banach space}} यदि मानक प्रेरित मीट्रिक <math>d</math> एक [[पूर्ण मीट्रिक]] है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि <math>(X, d)</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।

नियम <math>\| \cdot \|</math> एक आदर्श स्थान का <math>(X, \| \cdot \|)</math> ए कहा जाता है{{em|{{visible anchor|complete norm|Complete norm}}}} अगर <math>(X, \| \cdot \|)</math> एक बनच स्थान है।

किसी भी सामान्य स्थान के लिए <math>(X, \| \cdot \|),</math> एक एल-सेमी-इनर उत्पाद मौजूद है <math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math> पर <math>X</math> ऐसा है कि <math display=inline>\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}</math> सभी के लिए <math>x \in X</math>; सामान्य तौर पर, असीम रूप से कई एल-सेमी-इनर उत्पाद हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। एल-सेमी-इनर उत्पाद आंतरिक उत्पादों का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त स्थान को अन्य सभी बानाच स्थानों से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक स्थान (और इसलिए सभी बनच स्थान) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

सदिश अंतरिक्ष संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित)#सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की अनुमति देती है।

एक आदर्श स्थान <math>X</math> एक Banach स्थान है यदि और केवल यदि प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला में <math>X</math> में विलीन हो जाता है <math>X,</math><ref>see Theorem&nbsp;1.3.9, p.&nbsp;20 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>

=== टोपोलॉजी ===

विहित मीट्रिक <math>d</math> एक आदर्श स्थान का <math>(X, \|\cdot\|)</math> सामान्य [[मीट्रिक टोपोलॉजी]] को प्रेरित करता है <math>\tau_d</math> पर <math>X,</math> जिसे विहित या मानक प्रेरित [[टोपोलॉजी]] कहा जाता है।

जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक स्थान स्वचालित रूप से इस [[हॉसडॉर्फ स्पेस]] टोपोलॉजी को ले जाने के लिए मान लिया जाता है।

इस टोपोलॉजी के साथ, प्रत्येक बनच स्थान एक बायर स्थान है, हालांकि ऐसे मानक स्थान मौजूद हैं जो बेयर हैं लेकिन बनच नहीं हैं।{{sfn|Wilansky|2013|p=29}} नियम <math>\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R</math> टोपोलॉजी के संबंध में हमेशा एक सतत कार्य होता है जो इसे प्रेरित करता है।

  <math display=block>B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.</math> ऐसी कोई भी गेंद एक [[उत्तल सेट]] और बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) है <math>X,</math> लेकिन एक [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] बॉल/नेबरहुड (टोपोलॉजी) मौजूद है अगर और केवल तभी <math>X</math> एक [[परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष]] है।

विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श स्थान [[स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान]] नहीं हो सकता है या मोंटेल स्पेस | हेइन-बोरेल संपत्ति हो सकती है।

<math display=block>x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).</math> का उपयोग करते हुए <math>s := 1</math> दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित टोपोलॉजी [[अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी]] है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए <math>x \in X</math> और <math>S \subseteq X,</math> सबसेट <math>S</math> [[खुला सेट]] (क्रमशः, [[बंद सेट]]) में है <math>X</math> अगर और केवल अगर यह इसके अनुवाद के लिए सही है <math>x + S := \{x + s : s \in S\}.</math> नतीजतन, मानक प्रेरित टोपोलॉजी मूल रूप से किसी भी [[पड़ोस व्यवस्था]] द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ आम पड़ोस के ठिकानों में शामिल हैं:

इसके अतिरिक्त, <math>I</math> [[ गणनीय सेट ]] होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि <math>X</math> एक है {{em|[[separable space]]}}, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है <math>X</math> कुछ गणनीय घने सेट शामिल हैं।

एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट स्थान [[उत्पाद स्थान]] के लिए [[होमोमोर्फिज्म]] है <math display=inline>\prod_{i \in \N} \R</math> की अनगिनत प्रतियाँ <math>\R</math> (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय नक्शा नहीं होना चाहिए)।<ref>{{harvnb|Bessaga|Pełczyński|1975|p=189}}</ref> चूँकि प्रत्येक बनच स्थान एक फ्रेचेट स्थान है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बनच स्थानों के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट स्थान L2-अंतरिक्ष भी शामिल है।<math>\ell</math>² अनुक्रम स्थान <math>\ell^2(\N)</math> अपने सामान्य मानदंड के साथ <math>\|\cdot\|_2,</math> जहां (परिमित-आयामी रिक्त स्थान के विपरीत) <math>\ell^2(\N)</math> इसकी इकाई क्षेत्र|इकाई के लिए होमोमोर्फिज्म भी है {{em|sphere}} <math>\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}.</math>

एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है <math>S</math> का <math>\ell^2(\N)</math> जिसका उत्तल पतवार <math>\operatorname{co}(S)</math> है {{em|not}} बंद और इस प्रकार भी {{em|not}} कॉम्पैक्ट (यह फुटनोट देखें<ref group=note name=ExampleCompactButHullIsNotCompact>Let <math>H</math> be the separable [[Hilbert space]] [[Lp space|<math>\ell^2(\N)</math>]] of square-summable sequences with the usual norm <math>\|\cdot\|_2</math> and let <math>e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)</math> be the standard [[orthonormal basis]] (that is <math>1</math> at the <math>n^{\text{th}}</math>-coordinate). The closed set <math>S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}</math> is compact (because it is [[Sequentially compact space|sequentially compact]]) but its convex hull <math>\operatorname{co} S</math> is {{em|not}} a closed set because <math>h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n</math> belongs to the closure of <math>\operatorname{co} S</math> in <math>H</math> but <math>h \not\in\operatorname{co} S</math> (since every sequence <math>\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S</math> is a finite [[convex combination]] of elements of <math>S</math> and so <math>z_n = 0</math> for all but finitely many coordinates, which is not true of <math>h</math>). However, like in all [[Complete topological vector space|complete]] Hausdorff locally convex spaces, the {{em|closed}} convex hull <math>K := \overline{\operatorname{co}} S</math> of this compact subset is compact. The vector subspace <math>X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}</math> is a [[pre-Hilbert space]] when endowed with the substructure that the Hilbert space <math>H</math> induces on it but <math>X</math> is not complete and <math>h \not\in C := K \cap X</math> (since <math>h \not\in X</math>). The closed convex hull of <math>S</math> in <math>X</math> (here, "closed" means with respect to <math>X,</math> and not to <math>H</math> as before) is equal to <math>K \cap X,</math> which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might {{em|fail}} to be compact (although it will be [[Totally bounded space|precompact/totally bounded]]).</ref> एक उदाहरण के लिए)।{{sfn|Aliprantis|Border|2006|p=185}}

हालाँकि, सभी बनच स्थानों की तरह, बंद उत्तल हल |{{em|closed}} उन्नतोत्तर पेटा <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> इसका (और हर दूसरा) कॉम्पैक्ट सबसेट कॉम्पैक्ट होगा।{{sfn|Trèves|2006|p=145}} लेकिन अगर एक मानक स्थान पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है {{em|not}} ने गारंटी दी <math>\overline{\operatorname{co}} S</math> जब भी कॉम्पैक्ट होगा <math>S</math> है; एक उदाहरण<ref group=note name=ExampleCompactButHullIsNotCompact />के [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष]]|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है <math>\ell^2(\N).</math>

यह आदर्श-प्रेरित टोपोलॉजी भी बनाती है <math>\left(X, \tau_d\right)</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक वेक्टर स्पेस है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS <math>\left(X, \tau_d\right)</math> है {{em|only}} एक निश्चित प्रकार की टोपोलॉजी के साथ एक सदिश स्थान; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है {{em|not}} के साथ जुड़े {{em|any}} विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस <math>\left(X, \tau_d\right)</math> [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी खुली गेंदों का सेट मूल रूप से उत्तल [[संतुलित सेट]] खुले सेट से मिलकर एक [[पड़ोस का आधार]] बनाता है। यह टीवीएस भी है {{em|[[Normable space|normable]]}}, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका टोपोलॉजी कुछ (संभवतः अज्ञात) नॉर्म (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) होने के कारण मूल के उत्तल सेट पड़ोस।

पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर टोपोलॉजी की तुलना

[[ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण)]] का तात्पर्य है कि यदि <math>\tau \text{ and } \tau_2</math> टोपोलॉजी चालू हैं <math>X</math> जो दोनों बनाते हैं <math>(X, \tau)</math> और <math>\left(X, \tau_2\right)</math> [[एफ-स्पेस]] में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट स्पेस) और यदि एक टोपोलॉजी दूसरे की तुलना में [[टोपोलॉजी की तुलना]] है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि <math>\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2</math>).{{sfn|Trèves|2006|pp=166–173}}

तो उदाहरण के लिए, अगर <math>(X, p) \text{ and } (X, q)</math> टोपोलॉजी के साथ बनच स्थान हैं <math>\tau_p \text{ and } \tau_q</math> और यदि इन स्थानों में से एक में कुछ खुली गेंद है जो कि अन्य स्थान का भी एक खुला उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक <math>p : \left(X, \tau_q\right) \to \R</math> या <math>q : \left(X, \tau_p\right) \to \R</math> निरंतर है) तो उनकी टोपोलॉजी समान हैं और उनके [[समतुल्य मानदंड]] हैं।

दो मानदंड, <math>p</math> और <math>q,</math> सदिश स्थान पर मानक (गणित) # समतुल्य मानदंड कहा जाता है{{em|equivalent}} अगर वे एक ही टोपोलॉजी प्रेरित करते हैं;<ref name="Conrad Equiv norms">{{cite web|url=https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-url=https://ghostarchive.org/archive/20221009/https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/gradnumthy/equivnorms.pdf |archive-date=2022-10-09 |url-status=live|title=मानदंडों की समानता|last=Conrad|first=Keith|website=kconrad.math.uconn.edu|access-date=September 7, 2020}}</ref> ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं मौजूद हों <math>c, C > 0</math> ऐसा है कि <math display=inline>c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)</math> सभी के लिए <math> x \in X.</math> अगर <math>p</math> और <math>q</math> सदिश स्थान पर दो समान मानदंड हैं <math>X</math> तब <math>(X, p)</math> एक Banach स्थान है अगर और केवल अगर <math>(X, q)</math> एक बनच स्थान है।

इस फ़ुटनोट को बानाच स्थान पर एक सतत मानदंड के उदाहरण के लिए देखें {{em|not}} उस बनच स्पेस के दिए गए मानदंड के बराबर।<ref group=note>Let <math>\left(C([0, 1]), \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> denote the [[Continuous functions on a compact Hausdorff space|Banach space of continuous functions]] with the supremum norm and let <math>\tau_{\infty}</math> denote the topology on <math>C([0, 1])</math> induced by <math>\|\cdot\|_{\infty}.</math> The vector space <math>C([0, 1])</math> can be identified (via the [[inclusion map]]) as a proper [[Dense set|dense]] vector subspace <math>X</math> of the [[Lp-space|<math>L^1</math> space]] <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right),</math> which satisfies <math>\|f\|_1 \leq \|f\|_{\infty}</math> for all <math>f \in X.</math> Let <math>p</math> denote the restriction of the [[Lp space|L¹-norm]] to <math>X,</math> which makes this map <math>p : X \to \R</math> a norm on <math>X</math> (in general, the restriction of any norm to any vector subspace will necessarily again be a norm). The normed space <math>(X, p)</math> is {{em|not}} a Banach space since its completion is the proper superset <math>\left(L^1([0, 1]), \|\cdot\|_1\right).</math> Because <math>p \leq \|\cdot\|_{\infty}</math> holds on <math>X,</math> the map <math>p : \left(X, \tau_{\infty}\right) \to \R</math> is continuous. Despite this, the norm <math>p</math> is {{em|not}} equivalent to the norm <math>\|\cdot\|_{\infty}</math> (because <math>\left(X, \|\cdot\|_{\infty}\right)</math> is complete but <math>(X, p)</math> is not).</ref><ref name="Conrad Equiv norms"/>  

परिमित-आयामी सदिश स्थान पर सभी मानदंड समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी आदर्श स्थान एक बनच स्थान है।<ref>see Corollary&nbsp;1.4.18, p.&nbsp;32 in {{harvtxt|Megginson|1998}}.</ref>

एक मीट्रिक <math>D</math> एक वेक्टर स्थान पर <math>X</math> पर एक मानदंड से प्रेरित है <math>X</math> अगर और केवल अगर <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>और{{em|absolutely homogeneous}}, जिसका अर्थ है कि <math>D(sx, sy) = |s| D(x, y)</math> सभी स्केलर्स के लिए <math>s</math> और सभी <math>x, y \in X,</math> किस मामले में समारोह <math>\|x\| := D(x, 0)</math> पर मानदंड परिभाषित करता है <math>X</math> और विहित मीट्रिक द्वारा प्रेरित <math>\|\cdot\|</math> के बराबर है <math>D.</math>

लगता है कि <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक आदर्श स्थान है और वह <math>\tau</math> मानक टोपोलॉजी पर प्रेरित है <math>X.</math> लगता है कि <math>D</math> है {{em|any}} मीट्रिक (गणित) पर <math>X</math> ऐसा है कि टोपोलॉजी कि <math>D</math> प्रवृत्त करता है <math>X</math> के बराबर है <math>\tau.</math> अगर <math>D</math> अनुवाद अपरिवर्तनीय है<ref group=note name="translation invariant metric"/>तब <math>(X, \|\cdot\|)</math> एक Banach स्थान है अगर और केवल अगर <math>(X, D)</math> एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=47-66}}

अगर <math>D</math> है {{em|not}} अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए