तिरछी रेखाएँ

आयताकार समांतर चतुर्भुज। खंड AD के माध्यम से रेखा और खंड B के माध्यम से रेखा₁B तिरछी रेखाएँ हैं क्योंकि वे एक ही तल में नहीं हैं।

त्रि-आयामी ज्यामिति में, तिरछी दो रेखाएँ (ज्यामिति) होती हैं जो रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन नहीं करती हैं और समानांतर (ज्यामिति) नहीं होती हैं। तिरछी रेखाओं की जोड़ी का सरल उदाहरण एक नियमित चतुर्पाश्वीय के विपरीत किनारों से होकर जाने वाली रेखाओं की जोड़ी है। दो रेखाएँ जो एक ही तल में स्थित हैं, या तो एक दूसरे को काटती होंगी या समानांतर होंगी, इसलिए तिरछी रेखाएँ केवल तीन या अधिक आयामों में उपस्थित हो सकती हैं। दो रेखाएँ टेढ़ी हैं और वे समतलीय नहीं हैं।

सामान्य स्थिति

यदि एक इकाई घन के अंदर यादृच्छिक समान वितरण (निरंतर) पर चार बिंदु चुने जाते हैं, तो वे लगभग निश्चित रूप से तिरछी रेखाओं की जोड़ी को परिभाषित करेंगे। पहले तीन बिंदुओं को चुने जाने के बाद, चौथा बिंदु एक गैर-तिरछी रेखा को परिभाषित करेगा यदि, यह पहले तीन बिंदुओं के साथ समतलीय है। चूंकि, पहले तीन बिंदुओं के माध्यम से विमान घन के माप शून्य का उपसमुच्चय बनाता है, और इस विमान पर चौथा बिंदु होने की संभावना शून्य है। यदि ऐसा नहीं होता है, तो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखाएं टेढ़ी हो जाएंगी।

इसी तरह, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में किन्हीं भी दो समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाओं का अधिक छोटा क्षोभ लगभग निश्चित रूप से उन्हें तिरछी रेखाओं में बदल देगा। इसलिए, सामान्य स्थिति में कोई भी चार बिंदु सदैव तिरछी रेखाएँ बनाते हैं।

इस अर्थ में, तिरछी रेखाएँ सामान्य स्थिति में हैं, और समानांतर या प्रतिच्छेदी रेखाएँ विशेष स्थितियाँ में हैं।

सूत्र

Further information: रेखा-पंक्ति प्रतिच्छेदन § सूत्रों

तिरछापन के लिए परीक्षण

यदि तिरछी रेखाओं की जोड़ी में प्रत्येक रेखा को दो बिंदुओं (ज्यामिति) द्वारा परिभाषित किया जाता है जिससे वह गुजरती है, तो ये चार बिंदु समतलीय नहीं होने चाहिए, इसलिए वे गैर-शून्य आयतन के चतुर्पाश्वीय के शीर्ष (ज्यामिति) होने चाहिए। इसके विपरीत, शून्येतर आयतन के चतुष्फलक को परिभाषित करने वाले बिंदुओं के कोई भी दो युग्म तिरछी रेखाओं के युग्म को भी परिभाषित करते हैं। इसलिए, यह परीक्षण कि क्या दो जोड़े बिंदु तिरछी रेखाओं को परिभाषित करते हैं, चतुष्फलक के आयतन के सूत्र को उसके चार शीर्षों के संदर्भ में प्रयुक्त करना है। 1×3 सदिश के रूप में बिंदु को नकारना a जिसके तीन अवयव बिंदु के तीन समन्वय मान हैं, और इसी तरह निरूपित करते हैं b, c, और d अन्य बिंदुओं के लिए, हम जांच कर सकते हैं कि रेखा के माध्यम से है या नहीं a और b रेखा के माध्यम से तिरछा है c और d यह देखकर कि क्या चतुर्पाश्वीय आयतन सूत्र गैर-शून्य परिणाम देता है:

$V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.$

निकटतम बिंदु

See also: रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन § तिरछी रेखाओं के निकटतम बिंदु

See also: त्रिकोणासन (कंप्यूटर दृष्टि) § मध्य बिंदु विधि

सदिश के रूप में दो पंक्तियों को व्यक्त करना:

${\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}}$

${\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}}$

का क्रॉस उत्पाद $\mathbf {d_{1}}$ और $\mathbf {d_{2}}$ रेखाओं के लंबवत है।

$\mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}}$

लाइन 2 के साथ अनुवाद द्वारा गठित विमान $\mathbf {n}$ बिंदु सम्मिलित है $\mathbf {p_{2}}$ और लंबवत है

$\mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n}$.

इसलिए, उपर्युक्त समतल के साथ रेखा 1 का प्रतिच्छेदन बिंदु, जो रेखा 1 पर भी बिंदु है जो रेखा 2 के निकटतम है, द्वारा दिया गया है

$\mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}}$

इसी प्रकार, रेखा 2 पर रेखा 1 के निकटतम बिंदु द्वारा दिया गया है (जहाँ $\mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n}$ )

$\mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}}$

दूरी

निकटतम अंक $\mathbf {c_{1}}$ और $\mathbf {c_{2}}$ रेखा 1 और रेखा 2 को मिलाने वाला सबसे छोटा रेखाखंड बनाएं:

$d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .$

दो तिरछी रेखाओं में निकटतम बिंदुओं के मध्य की दूरी को अन्य सदिशों का उपयोग करके भी व्यक्त किया जा सकता है:

$\mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;$

$\mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .$

यहाँ 1×3 सदिश x विशेष बिंदु के माध्यम से रेखा पर इच्छानुसार बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है a साथ b रेखा की दिशा और वास्तविक संख्या के मान का प्रतिनिधित्व करता है $\lambda$ यह निर्धारित करना कि बिंदु रेखा पर कहाँ है, और इसी तरह इच्छानुसार बिंदु के लिए y विशेष बिंदु c के माध्यम से लाइन पर d दिशा में .

इकाई सदिश के रूप में b और d का क्रॉस उत्पाद लाइनों के लंबवत है

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}$

रेखाओं के मध्य लंबवत दूरी तब है

$d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.$

(यदि |b × d| शून्य है तो रेखाएं समानांतर हैं और इस विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है)।

दो से अधिक पंक्तियाँ

See also: रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन § दो से अधिक रेखाए

कॉन्फ़िगरेशन

तिरछी रेखाओं का विन्यास रेखाओं का समुच्चय है जिसमें सभी जोड़े तिरछे होते हैं। दो विन्यासों को समस्थानिक कहा जाता है यदि एक विन्यास को लगातार दूसरे में परिवर्तित करना संभव है, परिवर्तन के समय अपरिवर्तनीय बनाए रखते हुए कि सभी जोड़ी रेखाएं तिरछी रहती हैं। दो रेखाओं के किन्हीं भी दो विन्यासों को आसानी से समस्थानिक के रूप में देखा जाता है, और तीन से अधिक आयामों में समान संख्या वाली रेखाओं के विन्यास सदैव समस्थानिक होते हैं, किन्तु तीन आयामों में तीन या अधिक रेखाओं के कई गैर-समस्थानिक विन्यास उपस्थित होते हैं। 'R³' में n रेखाओं के गैर समस्थानिक विन्यासों की संख्या, n = 1 से प्रारंभ होकर, है

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (sequence A110887 in the OEIS).

रूल्ड सतह