हेटिंग बीजगणित: Difference between revisions
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गणित में, हेयटिंग बीजगणित (जिसे स्यूडो-बूलियन बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Pseudo-Boolean_algebra|title = Pseudo-Boolean algebra - Encyclopedia of Mathematics}}</ref>) बंधी हुई जाली है (जॉइन और मीट ऑपरेशंस लिखित ∨ और ∧ के साथ और कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ) बाइनरी ऑपरेशन a → b से सुसज्जित है,निहितार्थ इस प्रकार है कि (c ∧ a) ≤ b, c ≤ (a → b) के समतुल्य है। तार्किक दृष्टिकोण से, | गणित में, हेयटिंग बीजगणित (जिसे स्यूडो-बूलियन बीजगणित के रूप में भी जाना जाता है<ref>{{Cite web|url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Pseudo-Boolean_algebra|title = Pseudo-Boolean algebra - Encyclopedia of Mathematics}}</ref>) बंधी हुई जाली है (जॉइन और मीट ऑपरेशंस लिखित ∨ और ∧ के साथ और कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 के साथ) बाइनरी ऑपरेशन a → b से सुसज्जित है,निहितार्थ इस प्रकार है कि (c ∧ a) ≤ b, c ≤ (a → b) के समतुल्य है। तार्किक दृष्टिकोण से, ''a'' → ''b'' इस परिभाषा के अनुसार सबसे कमजोर तर्कवाक्य है जिसके लिए मॉडस पोनेन्स, अनुमान नियम ''A'' → ''B'', ''A'' ⊢ ''B'', ध्वनि है।बूलियन बीजगणित की तरह, हेटिंग बीजगणित कई समीकरणों के साथ स्वयंसिद्ध भिन्नताएं बनाते हैं। अन्तर्ज्ञानवादी तर्क को औपचारिक बनाने के लिए हेटिंग अलजेब्रा की शुरुआत अरेंड्ट हैटिंग (1930) द्वारा की गई थी। | ||
जाली के रूप में, हेटिंग बीजगणित वितरण कर रहे हैं प्रत्येक बूलियन बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जब a → b को ¬a ∨ b के रूप में परिभाषित किया जाता है,जैसा कि प्रत्येक पूर्ण वितरण जाली एक तरफा अनंत वितरण नियम को संतुष्ट करता है जब a → b है सभी c के समुच्चय का सर्वोच्च माना जाता है जिसके लिए c ∧ a ≤ b। सीमित स्थितियों में, प्रत्येक गैर-खाली [[वितरण जाली]], विशेष रूप से प्रत्येक गैर-खाली सीमित कुल आदेशया चेन्स, स्वचालित रूप से पूर्ण और पूरी तरह से वितरण योग्य है, और इसलिए विषम बीजगणित है। | जाली के रूप में, हेटिंग बीजगणित वितरण कर रहे हैं प्रत्येक बूलियन बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जब a → b को ¬a ∨ b के रूप में परिभाषित किया जाता है,जैसा कि प्रत्येक पूर्ण वितरण जाली एक तरफा अनंत वितरण नियम को संतुष्ट करता है जब a → b है सभी c के समुच्चय का सर्वोच्च माना जाता है जिसके लिए c ∧ a ≤ b। सीमित स्थितियों में, प्रत्येक गैर-खाली [[वितरण जाली]], विशेष रूप से प्रत्येक गैर-खाली सीमित कुल आदेशया चेन्स, स्वचालित रूप से पूर्ण और पूरी तरह से वितरण योग्य है, और इसलिए विषम बीजगणित है। | ||
यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि 1 ≤ 0 → | यह परिभाषा से अनुसरण करता है कि 1 ≤ 0 → a, अंतर्ज्ञान के अनुरूप है कि कोई भी प्रस्ताव विरोधाभास 0 से निहित है। चूंकि नकारात्मक ऑपरेशन ¬a परिभाषा का हिस्सा नहीं है, यह a → 0 के रूप में परिभाषित है। सहज ज्ञान युक्त ¬a की सामग्री वह प्रस्ताव है जो मान लेने से विरोधाभास हो जाएगा। परिभाषा का तात्पर्य है कि a ∧ ¬a = 0. आगे यह दिखाया जा सकता है कि a ≤ ¬¬a, चूंकि इसका विलोम, ¬¬a ≤ a, सामान्य रूप से सत्य नहीं है, अर्थात, [[दोहरा निषेध उन्मूलन]] सामान्य रूप से मान्य नहीं है हेटिंग बीजगणित में। | ||
हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित का सामान्यीकरण इस अर्थ में करते हैं कि बूलियन बीजगणित निश्चित रूप से हेटिंग बीजगणित हैं जो ∨ ¬a = 1 (मध्य को छोड़कर), समकक्ष ¬¬a = a को संतुष्ट करते हैं। हेटिंग बीजगणित एच के फॉर्म | हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित का सामान्यीकरण इस अर्थ में करते हैं कि बूलियन बीजगणित निश्चित रूप से हेटिंग बीजगणित हैं जो ∨ ¬a = 1 (मध्य को छोड़कर), समकक्ष ¬¬a = a को संतुष्ट करते हैं। हेटिंग बीजगणित एच के फॉर्म ¬a के वे तत्व बूलियन जाली सम्मिलित करते हैं, किन्तु सामान्यतः यह H का [[subalgebra|उपबीजगणित]] नहीं है (देखें या नियमित और पूरक तत्व)। | ||
हेटिंग बीजगणित उसी तरह से प्रस्तावपरक अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीजगणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जैसे बूलियन बीजगणित मॉडल प्रस्तावपरक [[शास्त्रीय तर्क|मौलिक तर्क]]। [[प्राथमिक टोपोस]] का आंतरिक तर्क [[टर्मिनल वस्तु]] 1 के उप-वस्तु के हेटिंग बीजगणित पर आधारित होता है, जो समावेशन द्वारा आदेशित होता है, समकक्ष रूप से 1 से [[subobject|उपवस्तु]] वर्गीकरणकर्ता Ω तक। | हेटिंग बीजगणित उसी तरह से प्रस्तावपरक अंतर्ज्ञानवादी तर्क के बीजगणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जैसे बूलियन बीजगणित मॉडल प्रस्तावपरक [[शास्त्रीय तर्क|मौलिक तर्क]]। [[प्राथमिक टोपोस]] का आंतरिक तर्क [[टर्मिनल वस्तु]] 1 के उप-वस्तु के हेटिंग बीजगणित पर आधारित होता है, जो समावेशन द्वारा आदेशित होता है, समकक्ष रूप से 1 से [[subobject|उपवस्तु]] वर्गीकरणकर्ता Ω तक। | ||
किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] के खुले | किसी भी [[टोपोलॉजिकल स्पेस|संस्थानिक स्पेस]] के खुले समुच्चय पूर्ण हेटिंग बीजगणित बनाते हैं। पूर्ण हेटिंग बीजगणित इस प्रकार [[व्यर्थ टोपोलॉजी]] में अध्ययन का केंद्रीय उद्देश्य बन जाता है। | ||
प्रत्येक हेटिंग बीजगणित जिसके गैर-महानतम तत्वों के | प्रत्येक हेटिंग बीजगणित जिसके गैर-महानतम तत्वों के समुच्चय में सबसे बड़ा तत्व होता है (और और हेटिंग बीजगणित बनाता है) उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय बीजगणित होता है, जहां से प्रत्येक हेटिंग बीजगणित को नए महानतम तत्व से जोड़कर उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय बनाया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि सीमित हेटिंग बीजगणितों में भी असीम रूप से कई ऐसे उपस्थित हैं जो उप-प्रत्यक्ष रूप से अलघुकरणीय हैं, जिनमें से दो में समान [[समीकरण सिद्धांत]] नहीं है। इसलिए सीमित हेटिंग बीजगणित का कोई सीमित समुच्चय हेटिंग बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रतिउदाहरणों की आपूर्ति नहीं कर सकता है। यह बूलियन बीजगणित के बिल्कुल विपरीत है, जिसका एकमात्र उप-प्रत्यक्ष रूप से अप्रासंगिक दो-तत्व वाला है, जो अपने दम पर बूलियन बीजगणित के गैर-नियमों के लिए सभी प्रति-उदाहरणों के लिए पर्याप्त है, जो सरल सत्य तालिका निर्णय पद्धति का आधार है। फिर भी, यह [[निर्णायकता (तर्क)]] है कि क्या समीकरण सभी हेटिंग बीजगणितों को धारण करता है।<ref name="Kripke63">Kripke, S. A.: 1965, 'Semantical analysis of intuitionistic logic I'. In: J. N. Crossley and M. A. E. Dummett (eds.): Formal Systems and Recursive Functions. Amsterdam: North-Holland, pp. 92–130.</ref> | ||
हेयटिंग बीजगणित को अधिकांशतः छद्म-बूलियन बीजगणित कहा जाता है,<ref name="Rasiowa-Sikorski">{{cite book|author1=Helena Rasiowa|author2=Roman Sikorski|title=The Mathematics of Metamathematics|year=1963 |publisher=Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN)|pages=54–62, 93–95, 123–130}}</ref> या यहां तक कि ब्रोवर जाली,<ref name="KusraevKutateladze1999">{{cite book|author1=A. G. Kusraev|author2=Samson Semenovich Kutateladze|title=Boolean valued analysis|url=https://books.google.com/books?id=MzVXq3LRHOYC&pg=PA12 |year=1999 |publisher=Springer|isbn=978-0-7923-5921-0|page=12}}</ref> चूंकि बाद वाला शब्द दोहरी परिभाषा को निरूपित कर सकता है,<ref>{{springer | title=Brouwer lattice | id= b/b017660 | last= Yankov | first= V.A.}}</ref> या थोड़ा और सामान्य अर्थ है।<ref name="Blyth2005">{{cite book|author=Thomas Scott Blyth|title=Lattices and ordered algebraic structures|url=https://books.google.com/books?id=WgROkcmTxG4C&pg=PA151 |year=2005 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-905-0|page=151}}</ref> | हेयटिंग बीजगणित को अधिकांशतः छद्म-बूलियन बीजगणित कहा जाता है,<ref name="Rasiowa-Sikorski">{{cite book|author1=Helena Rasiowa|author2=Roman Sikorski|title=The Mathematics of Metamathematics|year=1963 |publisher=Państwowe Wydawnictwo Naukowe (PWN)|pages=54–62, 93–95, 123–130}}</ref> या यहां तक कि ब्रोवर जाली,<ref name="KusraevKutateladze1999">{{cite book|author1=A. G. Kusraev|author2=Samson Semenovich Kutateladze|title=Boolean valued analysis|url=https://books.google.com/books?id=MzVXq3LRHOYC&pg=PA12 |year=1999 |publisher=Springer|isbn=978-0-7923-5921-0|page=12}}</ref> चूंकि बाद वाला शब्द दोहरी परिभाषा को निरूपित कर सकता है,<ref>{{springer | title=Brouwer lattice | id= b/b017660 | last= Yankov | first= V.A.}}</ref> या थोड़ा और सामान्य अर्थ है।<ref name="Blyth2005">{{cite book|author=Thomas Scott Blyth|title=Lattices and ordered algebraic structures|url=https://books.google.com/books?id=WgROkcmTxG4C&pg=PA151 |year=2005 |publisher=Springer |isbn=978-1-85233-905-0|page=151}}</ref> | ||
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== औपचारिक परिभाषा == | == औपचारिक परिभाषा == | ||
हेटिंग बीजगणित एच जाली (आदेश) या आंशिक रूप से आदेशित | हेटिंग बीजगणित एच जाली (आदेश) या आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय के रूप में है कि एच में सभी ए और बी के लिए एच का सबसे बड़ा तत्व एक्स है जैसे कि | ||
:<math> a \wedge x \le b.</math> | :<math> a \wedge x \le b.</math> | ||
यह तत्व ''बी'' के संबंध में ''ए'' का सापेक्ष छद्म-पूरक है, और इसे | यह तत्व ''बी'' के संबंध में ''ए'' का सापेक्ष छद्म-पूरक है, और इसे a→b के रूप में दर्शाया गया है। हम क्रमशः ''H'' के सबसे बड़े और सबसे छोटे अवयव के लिए 1 और 0 लिखते हैं। | ||
किसी भी हेटिंग बीजगणित में, कोई व्यक्ति ¬''a'' = (''a''→0) | किसी भी हेटिंग बीजगणित में, कोई व्यक्ति ¬''a'' = (''a''→0) समुच्चय करके किसी भी तत्व ''a'' के छद्म-पूरक ¬''a'' को परिभाषित करता है। परिभाषा से, <math>a\wedge \lnot a = 0</math>, और ¬a इस गुण वाला सबसे बड़ा तत्व है। चूँकि, यह सामान्य रूप से सच नहीं है <math>a\vee\lnot a=1</math>, इस प्रकार ¬ केवल छद्म पूरक है, वास्तविक [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] नहीं है, जैसा कि बूलियन बीजगणित में होता है। | ||
पूर्ण हेटिंग बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जो [[पूर्ण जाली]] है। | पूर्ण हेटिंग बीजगणित हेटिंग बीजगणित है जो [[पूर्ण जाली]] है। | ||
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:<math>\begin{cases} f_a \colon H \to H \\ f_a(x)=a\wedge x \end{cases}</math> | :<math>\begin{cases} f_a \colon H \to H \\ f_a(x)=a\wedge x \end{cases}</math> | ||
एच में कुछ निश्चित के लिए। बंधी हुई जाली h हेटिंग बीजगणित है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] हर मानचित्रण f<sub>a</sub> एक लय [[गाल्वा कनेक्शन]] का निचला भाग है। इस स्थितियों में संबंधित ऊपरी संलग्न | एच में कुछ निश्चित के लिए। बंधी हुई जाली h हेटिंग बीजगणित है [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] हर मानचित्रण f<sub>a</sub> एक लय [[गाल्वा कनेक्शन]] का निचला भाग है। इस स्थितियों में संबंधित ऊपरी संलग्न g<sub>a</sub> द्वारा दिया जाता है g<sub>a</sub>(x) = a→x, जहाँ → ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। | ||
फिर भी और परिभाषा [[अवशिष्ट जाली]] के रूप में है जिसका मोनोइड ऑपरेशन ∧ है। मोनॉइड इकाई तब शीर्ष तत्व 1 होना चाहिए। इस मोनॉइड की क्रमविनिमेयता का अर्थ है कि दो अवशेष → | फिर भी और परिभाषा [[अवशिष्ट जाली]] के रूप में है जिसका मोनोइड ऑपरेशन ∧ है। मोनॉइड इकाई तब शीर्ष तत्व 1 होना चाहिए। इस मोनॉइड की क्रमविनिमेयता का अर्थ है कि दो अवशेष a → b के रूप में मेल खाते हैं। | ||
=== एक निहितार्थ ऑपरेशन के साथ | === एक निहितार्थ ऑपरेशन के साथ जालीदार जाली === | ||
सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्वों 1 और 0, और बाइनरी ऑपरेशन → के साथ बंधी हुई जाली ए को देखते हुए, ये साथ हेटिंग बीजगणित बनाते हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित हो: | सबसे बड़े और सबसे छोटे तत्वों 1 और 0, और बाइनरी ऑपरेशन → के साथ बंधी हुई जाली ए को देखते हुए, ये साथ हेटिंग बीजगणित बनाते हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित हो: | ||
#<math>a\to a = 1</math> | #<math>a\to a = 1</math> | ||
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जहाँ समीकरण 4 → के लिए वितरण नियम है। | जहाँ समीकरण 4 → के लिए वितरण नियम है। | ||
===अंतर्ज्ञानवादी तर्क | ==== अंतर्ज्ञानवादी तर्क के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके विशेषता ==== | ||
हेटिंग बीजगणित का यह लक्षण वर्णन अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक कलन और हेटिंग बीजगणित के बीच के संबंध से संबंधित मूलभूत तथ्यों का प्रमाण तत्काल बनाता है। (इन तथ्यों के लिए, अनुभाग देखें या प्रामाणिक पहचान और या सार्वभौमिक निर्माण।) तत्व के बारे में सोचना चाहिए <math>\top</math> अर्थ के रूप में, सहज रूप से, सिद्ध रूप से सत्य। अंतर्ज्ञानवादी तर्कया अक्षीयकरण पर सिद्धांतों के साथ तुलना करें)। | हेटिंग बीजगणित का यह लक्षण वर्णन अंतर्ज्ञानवादी प्रस्तावपरक कलन और हेटिंग बीजगणित के बीच के संबंध से संबंधित मूलभूत तथ्यों का प्रमाण तत्काल बनाता है। (इन तथ्यों के लिए, अनुभाग देखें या प्रामाणिक पहचान और या सार्वभौमिक निर्माण।) तत्व के बारे में सोचना चाहिए <math>\top</math> अर्थ के रूप में, सहज रूप से, सिद्ध रूप से सत्य। अंतर्ज्ञानवादी तर्कया अक्षीयकरण पर सिद्धांतों के साथ तुलना करें)। | ||
समुच्चय ए को तीन बाइनरी ऑपरेशंस →, ∧ और ∨, और दो विशिष्ट तत्वों के साथ दिया गया है <math>\bot</math> और <math>\top</math>, तो ए इन परिचालनों के लिए हेटिंग बीजगणित है (और संबंध ≤ शर्त द्वारा परिभाषित किया गया है <math>a \le b</math> जब ए → बी = <math>\top</math>) यदि और केवल यदि निम्नलिखित शर्तें ए के किसी भी तत्व x, y और z के लिए हैं: | |||
#<math>\mbox{If } x \le y \mbox{ and } y \le x \mbox{ then } x = y ,</math> | #<math>\mbox{If } x \le y \mbox{ and } y \le x \mbox{ then } x = y ,</math> | ||
| Line 75: | Line 74: | ||
#<math> x \to z \le (y \to z) \to (x \lor y \to z) ,</math> | #<math> x \to z \le (y \to z) \to (x \lor y \to z) ,</math> | ||
#<math> \bot \le x .</math> | #<math> \bot \le x .</math> | ||
अंत में, हम ¬x को x→ | अंत में, हम ¬x को x→<math>\bot</math> के रूप में परिभाषित करते हैं . | ||
शर्त 1 कहती है कि समतुल्य सूत्रों की पहचान की जानी चाहिए। शर्त 2 कहती है कि सही सिद्ध करने वाले सूत्र मोडस पोनेंस के अनुसार बंद हैं। फिर शर्तें 3 और 4 शर्तें हैं। शर्तें 5, 6 और 7 हैं और शर्तें। शर्तें 8, 9 और 10 या शर्तें हैं। शर्त 11 झूठी शर्त है। | शर्त 1 कहती है कि समतुल्य सूत्रों की पहचान की जानी चाहिए। शर्त 2 कहती है कि सही सिद्ध करने वाले सूत्र मोडस पोनेंस के अनुसार बंद हैं। फिर शर्तें 3 और 4 शर्तें हैं। शर्तें 5, 6 और 7 हैं और शर्तें। शर्तें 8, 9 और 10 या शर्तें हैं। शर्त 11 झूठी शर्त है। | ||
बेशक, यदि तर्क के लिए स्वयंसिद्धों का अलग | बेशक, यदि तर्क के लिए स्वयंसिद्धों का अलग समुच्चय चुना गया था, तो हम अपने हिसाब से संशोधित कर सकते हैं। | ||
== उदाहरण == | == उदाहरण == | ||
[[File:Rieger-Nishimura.svg|thumb|right|280px|एक जनरेटर (उर्फ रिगर-निशिमुरा जाली) पर [[मुक्त वस्तु]] हेयटिंग बीजगणित]]<li> प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) हेटिंग बीजगणित है, जिसमें p→q ¬p∨q द्वारा दिया गया है।</li> | [[File:Rieger-Nishimura.svg|thumb|right|280px|एक जनरेटर (उर्फ रिगर-निशिमुरा जाली) पर [[मुक्त वस्तु]] हेयटिंग बीजगणित]]<li> प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) हेटिंग बीजगणित है, जिसमें p→q को ¬p∨q द्वारा दिया गया है।</li> | ||
<li> प्रत्येक कुल क्रम जिसमें कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 है, हेटिंग बीजगणित है (यदि जाली के रूप में देखा जाता है)। इस स्थिति में p→q 1 के बराबर होता है जब p≤q, और q अन्यथा।</li> | <li> प्रत्येक कुल क्रम जिसमें कम से कम तत्व 0 और सबसे बड़ा तत्व 1 है, हेटिंग बीजगणित है (यदि जाली के रूप में देखा जाता है)। इस स्थिति में p→q 1 के बराबर होता है जब p≤q, और q अन्यथा।</li> | ||
<li> सबसे सरल हेटिंग बीजगणित जो पहले से ही बूलियन बीजगणित नहीं है, पूरी तरह से आदेशित | <li> सबसे सरल हेटिंग बीजगणित जो पहले से ही बूलियन बीजगणित नहीं है, पूरी तरह से आदेशित समुच्चय है {0, {{sfrac|1|2}}, 1} (जाली के रूप में देखा जाता है), संचालन प्रदान करते हुए: | ||
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<li> प्रत्येक [[टोपोलॉजी]] अपने खुले | |||
<li> प्रत्येक [[टोपोलॉजी]] अपने खुले समुच्चय जाली के रूप में पूर्ण हेटिंग बीजगणित प्रदान करती है। इस स्थितियों में, तत्व A → B, ''A<sup>c</sup>'' के मिलन का आंतरिक (टोपोलॉजी) है और बी, जहां A<sup>c</sup> खुले समुच्चय A के पूरक (समुच्चय सिद्धांत) को दर्शाता है। सभी पूर्ण हेटिंग बीजगणित इस रूप के नहीं होते हैं। इन मुद्दों का अध्ययन व्यर्थ टोपोलॉजी में किया जाता है, जहां पूर्ण हेटिंग बीजगणित को 'फ्रेम' या 'लोकेल' भी कहा जाता है। | |||
<li> प्रत्येक [[आंतरिक बीजगणित]] खुले तत्वों की जाली के रूप में हेटिंग बीजगणित प्रदान करता है। हर हेटिंग बीजगणित इस रूप का है क्योंकि हेटिंग बीजगणित को बूलियन बीजगणित में बाध्य वितरण जाली के रूप में अपने मुक्त बूलियन विस्तार को लेकर पूरा किया जा सकता है और फिर इसे इस बूलियन बीजगणित में [[सामान्यीकृत टोपोलॉजी]] के रूप में माना जा सकता है। | <li> प्रत्येक [[आंतरिक बीजगणित]] खुले तत्वों की जाली के रूप में हेटिंग बीजगणित प्रदान करता है। हर हेटिंग बीजगणित इस रूप का है क्योंकि हेटिंग बीजगणित को बूलियन बीजगणित में बाध्य वितरण जाली के रूप में अपने मुक्त बूलियन विस्तार को लेकर पूरा किया जा सकता है और फिर इसे इस बूलियन बीजगणित में [[सामान्यीकृत टोपोलॉजी]] के रूप में माना जा सकता है। | ||
<li> प्रस्तावित अंतर्ज्ञानवादी तर्क का लिंडेनबाम बीजगणित हेटिंग बीजगणित है।</li> | <li> प्रस्तावित अंतर्ज्ञानवादी तर्क का लिंडेनबाम बीजगणित हेटिंग बीजगणित है।</li> | ||
<li> प्राथमिक टोपोस के उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायर Ω के [[वैश्विक तत्व]] हेटिंग बीजगणित बनाते हैं; यह टोपोस द्वारा प्रेरित अंतर्ज्ञानवादी उच्च-क्रम तर्क के [[सत्य मूल्य|सत्य]] मूल्यों का हेयटिंग बीजगणित है। अधिक सामान्यतः, किसी भी वस्तु एक्स के उपवस्तुओं का | <li> प्राथमिक टोपोस के उप-ऑब्जेक्ट क्लासिफायर Ω के [[वैश्विक तत्व]] हेटिंग बीजगणित बनाते हैं; यह टोपोस द्वारा प्रेरित अंतर्ज्ञानवादी उच्च-क्रम तर्क के [[सत्य मूल्य|सत्य]] मूल्यों का हेयटिंग बीजगणित है। अधिक सामान्यतः, किसी भी वस्तु एक्स के उपवस्तुओं का समुच्चय टोपोस में हेटिंग बीजगणित बनाता है।</li> | ||
<li> लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित (LM<sub>''n''</sub>) भी किसी भी n के लिए बीजगणित कर रहे हैं<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/s10516-005-4145-6| title = N-Valued Logics and Łukasiewicz–Moisil Algebras| journal = Axiomathes| volume = 16| pages = 123–136| year = 2006| last1 = Georgescu | first1 = G. | issue = 1–2| s2cid = 121264473}}, Theorem 3.6</ref> (किन्तु वे n ≥ 5 के लिए MV-बीजगणित नहीं हैं<ref>Iorgulescu, A.: Connections between MV<sub>''n''</sub>-algebras and ''n''-valued Łukasiewicz–Moisil algebras—I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) {{doi|10.1016/S0012-365X(97)00052-6}}</ref>). | <li> लुकासिविक्ज़-मोइसिल बीजगणित (LM<sub>''n''</sub>) भी किसी भी n के लिए बीजगणित कर रहे हैं<ref>{{Cite journal | doi = 10.1007/s10516-005-4145-6| title = N-Valued Logics and Łukasiewicz–Moisil Algebras| journal = Axiomathes| volume = 16| pages = 123–136| year = 2006| last1 = Georgescu | first1 = G. | issue = 1–2| s2cid = 121264473}}, Theorem 3.6</ref> (किन्तु वे n ≥ 5 के लिए MV-बीजगणित नहीं हैं<ref>Iorgulescu, A.: Connections between MV<sub>''n''</sub>-algebras and ''n''-valued Łukasiewicz–Moisil algebras—I. Discrete Math. 181, 155–177 (1998) {{doi|10.1016/S0012-365X(97)00052-6}}</ref>). | ||
== गु</ul>ण == | == गु</ul>ण == | ||
=== सामान्य गुण === | === सामान्य गुण === | ||
आदेश <math>\le</math> हेटिंग बीजगणित एच पर ऑपरेशन से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है → निम्नानुसार: | आदेश <math>\le</math> हेटिंग बीजगणित एच पर ऑपरेशन से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है → निम्नानुसार: H के किसी भी तत्व a , b के लिए, <math>a \le b</math> यदि और केवल यदि a→ b= 1। | ||
कुछ [[बहु-मूल्यवान तर्क|बहु-मूल्यवान]] तर्कों के विपरीत, हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित के साथ निम्नलिखित संपत्ति साझा करते हैं: यदि निषेध का [[निश्चित बिंदु (गणित)]] है (अर्थात ¬a = कुछ a के लिए), तो हेटिंग बीजगणित तुच्छ एक-तत्व हेटिंग है बीजगणित। | कुछ [[बहु-मूल्यवान तर्क|बहु-मूल्यवान]] तर्कों के विपरीत, हेटिंग बीजगणित बूलियन बीजगणित के साथ निम्नलिखित संपत्ति साझा करते हैं: यदि निषेध का [[निश्चित बिंदु (गणित)]] है (अर्थात ¬a = कुछ a के लिए), तो हेटिंग बीजगणित तुच्छ एक-तत्व हेटिंग है बीजगणित। | ||
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# H में प्रत्येक x पूरक है।<ref>Rutherford (1965), Th.26.1 p.78.</ref> | # H में प्रत्येक x पूरक है।<ref>Rutherford (1965), Th.26.1 p.78.</ref> | ||
इस स्थितियों में, तत्व {{nowrap|1=''a''→''b''}} के बराबर है {{nowrap|1=¬''a'' ∨ ''b''.}} | इस स्थितियों में, तत्व {{nowrap|1=''a''→''b''}} के बराबर है {{nowrap|1=¬''a'' ∨ ''b''.}} | ||
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<li>किसी भी हेटिंग बीजगणित H के नियमित (क्रमशः पूरक) तत्व बूलियन बीजगणित H | <li>किसी भी हेटिंग बीजगणित H के नियमित (क्रमशः पूरक) तत्व बूलियन बीजगणित H<sub>reg</sub> (क्रमशः H<sub>comp</sub>) का निर्माण करते हैं, जिसमें संचालन ∧, ¬ और →, के साथ ही स्थिरांक 0 और 1, H के साथ मेल खाते हैं। h<sub>comp</sub> के स्थितियों में संक्रिया ∨ भी वही है, इसलिए H<sub>comp</sub> H का उपबीजगणित है। सामान्यतः, H<sub>reg</sub> H का उपबीजगणित नहीं होगा, क्योंकि इसका ज्वाइन ऑपरेशन ∨<sub>reg</sub> ∨ से भिन्न हो सकता है। {{nowrap|1=''x'', ''y'' ∈ ''H''<sub>reg</sub>,}} के लिए अपने पास {{nowrap|1=''x'' ∨<sub>reg</sub> ''y'' = ¬(¬''x'' ∧ ¬''y'').}} है ∨<sub>reg</sub> के क्रम में आवश्यक और पर्याप्त शर्तों के लिए नीचे देखें| | ||
=== हेटिंग बीजगणित में [[डी मॉर्गन कानून|डी मॉर्गन नियम]] === | === हेटिंग बीजगणित में [[डी मॉर्गन कानून|डी मॉर्गन नियम]] === | ||
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#<math>\lnot(\lnot x \wedge \lnot y) = x \vee y \mbox{ for all regular } x, y \in H,</math> | #<math>\lnot(\lnot x \wedge \lnot y) = x \vee y \mbox{ for all regular } x, y \in H,</math> | ||
#<math>\lnot x \vee \lnot\lnot x = 1 \mbox{ for all } x \in H.</math> | #<math>\lnot x \vee \lnot\lnot x = 1 \mbox{ for all } x \in H.</math> | ||
स्थिति 2 अन्य डी मॉर्गन नियम है। स्थिति 6 कहती है कि H के नियमित तत्वों के बूलियन बीजगणित H<sub>reg</sub> पर जुड़ने का ऑपरेशन ''H''<sub>reg</sub> = ''H''<sub>comp</sub> है H के स्थिति 7 के ऑपरेशन के साथ संयोग करता है | |||
उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाले हेटिंग बीजगणित [[मध्यवर्ती तर्क]] से उसी तरह संबंधित हैं जैसे हेटिंग बीजगणित सामान्य रूप से अंतर्ज्ञानवादी तर्क से संबंधित हैं। | <li> | ||
<li>हम समानता सिद्ध करते हैं। स्पष्ट रूप से मेटानिहितार्थ {{nowrap|1 ⇒ 2,}} {{nowrap|2 ⇒ 3}} और {{nowrap|4 ⇒ 5}} तुच्छ हैं। आगे, {{nowrap|3 ⇔ 4}} और {{nowrap|5 ⇔ 6}} केवल पहले डी मॉर्गन नियम और नियमित तत्वों की परिभाषा से परिणाम। हम वह दिखाते हैं {{nowrap|6 ⇒ 7}} 6 में x और y के स्थान पर ¬x और ¬¬x लेकर और सर्वसमिका का उपयोग करके {{nowrap|''a'' ∧ ¬''a'' {{=}} 0.}} नोटिस जो {{nowrap|2 ⇒ 1}} पहले डी मॉर्गन नियम से अनुसरण करता है, और {{nowrap|7 ⇒ 6}} इस तथ्य के परिणाम हैं कि उपबीजगणित H<sub>comp</sub> पर जॉइन ऑपरेशन ∨ केवल H<sub>comp</sub> के लिए v का प्रतिबंध है हमने 6 और 7 की शर्तों के बारे में बताए गए लक्षणों को ध्यान में रखते हुए मेटानिहितार्थ 5 ⇒ 2 कमजोर डे मॉर्गन कानून का एक तुच्छ परिणाम है, जो 5 में x और y के स्थान पर andx और yy ले रहा है। | |||
<li> | |||
<li>उपरोक्त गुणों को संतुष्ट करने वाले हेटिंग बीजगणित [[मध्यवर्ती तर्क]] से उसी तरह संबंधित हैं जैसे हेटिंग बीजगणित सामान्य रूप से अंतर्ज्ञानवादी तर्क से संबंधित हैं। | |||
== हेटिंग बीजगणित रूपवाद == | == हेटिंग बीजगणित रूपवाद == | ||
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यह पिछली तीन स्थितियों (2, 3, या 4) में से किसी से भी निकलता है कि f वर्धमान फलन है, अर्थात {{nowrap|1=''f''(''x'') ≤ ''f''(''y'')}} जब कभी भी {{nowrap|1=''x'' ≤ ''y''}}. | यह पिछली तीन स्थितियों (2, 3, या 4) में से किसी से भी निकलता है कि f वर्धमान फलन है, अर्थात {{nowrap|1=''f''(''x'') ≤ ''f''(''y'')}} जब कभी भी {{nowrap|1=''x'' ≤ ''y''}}. | ||
मान लीजिए एच<sub>1</sub> और वह<sub>2</sub> संचालन के साथ संरचनाएं हैं →, ∧, ∨ (और संभवतः ¬) और स्थिरांक 0 और 1, और एफ एच से प्रक्षेपण मानचित्रण है<sub>1</sub> एच के लिए<sub>2</sub> उपरोक्त 1 से 4 गुणों के साथ। फिर यदि H<sub>1</sub> हेयटिंग बीजगणित है, इसलिए एच भी है<sub>2</sub>. हेयटिंग बीजगणित के लक्षण वर्णन से यह ऑपरेशन के साथ बंधे हुए जाल (आंशिक रूप से आदेशित | मान लीजिए एच<sub>1</sub> और वह<sub>2</sub> संचालन के साथ संरचनाएं हैं →, ∧, ∨ (और संभवतः ¬) और स्थिरांक 0 और 1, और एफ एच से प्रक्षेपण मानचित्रण है<sub>1</sub> एच के लिए<sub>2</sub> उपरोक्त 1 से 4 गुणों के साथ। फिर यदि H<sub>1</sub> हेयटिंग बीजगणित है, इसलिए एच भी है<sub>2</sub>. हेयटिंग बीजगणित के लक्षण वर्णन से यह ऑपरेशन के साथ बंधे हुए जाल (आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय के अतिरिक्त बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में माना जाता है) के रूप में होता है → कुछ पहचानों को संतुष्ट करता है। | ||
=== गुण === | === गुण === | ||
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एक हेटिंग बीजगणित एच और किसी भी उपबीजगणित एच को देखते हुए<sub>1</sub>, समावेशन मानचित्रण {{nowrap|1=''i'' : ''H''<sub>1</sub> → ''H''}} रूपवाद है। | एक हेटिंग बीजगणित एच और किसी भी उपबीजगणित एच को देखते हुए<sub>1</sub>, समावेशन मानचित्रण {{nowrap|1=''i'' : ''H''<sub>1</sub> → ''H''}} रूपवाद है। | ||
किसी भी हेटिंग बीजगणित H के लिए, map {{nowrap|1=''x'' ↦ ¬¬''x''}} अपने नियमित तत्वों एच के बूलियन बीजगणित पर | किसी भी हेटिंग बीजगणित H के लिए, map {{nowrap|1=''x'' ↦ ¬¬''x''}} अपने नियमित तत्वों एच के बूलियन बीजगणित पर H<sub>reg</sub> से आकारिकी को परिभाषित करता है यह सामान्य रूप से एच से अपने आप में रूपवाद नहीं है, क्योंकि H<sub>reg</sub> के सम्मिलित होने के संचालन के बाद से h से भिन्न हो सकता है। | ||
== भागफल == | == भागफल == | ||
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#<math> \mbox{If } x,y \in F \mbox{ then } x \land y \in F,</math> | #<math> \mbox{If } x,y \in F \mbox{ then } x \land y \in F,</math> | ||
#<math> \mbox{If } x \in F, \ y \in H, \ \mbox{and } x \le y \mbox{ then } y \in F.</math> | #<math> \mbox{If } x \in F, \ y \in H, \ \mbox{and } x \le y \mbox{ then } y \in F.</math> | ||
एच पर फिल्टर के किसी भी | एच पर फिल्टर के किसी भी समुच्चय का प्रतिच्छेदन फिर से फिल्टर है। इसलिए, एच के किसी भी उपसमुच्चय एस को दिए जाने पर सबसे छोटा फिल्टर होता है जिसमें एस होता है। हम इसे एस द्वारा 'उत्पन्न' फिल्टर कहते हैं। यदि एस खाली है, {{nowrap|1=''F'' = {1}.}} अन्यथा, एफ एच में एक्स के समुच्चय के बराबर है जैसे कि उपस्थित है {{nowrap|1=''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, ..., ''y''<sub>''n''</sub> ∈ ''S''}} साथ {{nowrap|1=''y''<sub>1</sub> ∧ ''y''<sub>2</sub> ∧ ... ∧ ''y''<sub>''n''</sub> ≤ ''x''.}} | ||
चलो S हेटिंग बीजगणित ''H'' का उपसमुच्चय है और '' | <li> | ||
<li>यदि H हेटिंग बीजगणित है और F, H पर फ़िल्टर है, तो हम H पर संबंध ∼ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: हम लिखते हैं {{nowrap|1=''x'' ∼ ''y''}} जब कभी भी {{nowrap|1=''x'' → ''y''}} और {{nowrap|1=''y'' → ''x''}} दोनों F से संबंधित हैं। फिर ∼ [[तुल्यता संबंध]] है; हम लिखते हैं {{nowrap|1=''H''/''F''}} भागफल समुच्चय के लिए। अद्वितीय हेटिंग बीजगणित संरचना पर है {{nowrap|1=''H''/''F''}} जैसे कि विहित अनुमान {{nowrap|1=''p''<sub>''F''</sub> : ''H'' → ''H''/''F''}} हेटिंग बीजगणित रूपवाद बन जाता है। हम हेटिंग बीजगणित कहते हैं {{nowrap|1=''H''/''F''}} ''F'' द्वारा ''H'' का भागफल। | |||
चलो S हेटिंग बीजगणित ''H'' का उपसमुच्चय है और ''F'' को ''S'' द्वारा उत्पन्न फिल्टर होने दें। फिर ''H''/''F'' निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है: | |||