इकाई वेक्टर: Difference between revisions

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एक गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में यूनिट वेक्टर है, अर्थात्, यानी,
एक गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में यूनिट वेक्टर है, अर्थात्, यानी,
?>
:<math alt= "u-hat equals the vector u divided by its length">\mathbf{\hat{u}} = \frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|}</math>
जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी -कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।
जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=इकाई वेक्टर|url=https://mathworld.wolfram.com/UnitVector.html#:~:text=A%20unit%20vector%20is%20a,as%20the%20(finite)%20vector%20.|access-date=2020-08-19|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Unit Vectors {{!}} Brilliant Math & Science Wiki|url=https://brilliant.org/wiki/unit-vectors/|access-date=2020-08-19|website=brilliant.org|language=en-us}}</ref> सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी -कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।


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वे अक्सर सामान्य वेक्टर संकेतन (जैसे, 'मैं' या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं  
वे अक्सर सामान्य वेक्टर संकेतन (जैसे, 'मैं' या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं  
गणित alt = वेक्टर i> \ vec {\ imath} </math>) के बजाय मानक इकाई वेक्टर संकेतन (जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math>)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math>) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोट्स <गणित alt = x-hat, y-hat, z-hat> (\ mathbf {\ hat {Xbf {\ hat}, \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {y { {x}} _ 2, \\ mathbf {\ hat {x}} _ 3) </math>, <गणित alt = e-hat उप x, e-hat उप y, e-hat उप z> (\ mathbf {\ _ \ _ hat {ee} _x, \ mathbf {\ hat {e} _y, \ mathbf {\ hat {ee} _z) </math>, या <math alt = e-hat उप 1, e-hat उप 2, e- Hat उप 3> (e \ mathbf {\ hat {ee} _1, \ mathbf {\ hat {ee} _2, \ mathbf {\ hat {ee}}}} _3) </math>, के साथ या उसके बिना भी हैं। इस्तेमाल किया गया,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम पैदा कर सकता है (उदाहरण के लिए, '' I '', '' J '', '' k '' जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।
गणित alt = वेक्टर i> \ vec {\ imath} </math>) के बजाय मानक इकाई वेक्टर संकेतन (जैसे, <math alt= "unit vector i">\mathbf{\hat{\imath}}</math>)।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या <math alt="vector i">\vec{\imath},</math> <math alt= "vector j">\vec{\jmath},</math> और <math alt= "vector k"> \vec{k}</math>) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोटिस <math alt="x-hat, y-hat, z-hat">(\mathbf{\hat{x}}, \mathbf{\hat{y}}, \mathbf{\hat{z}})</math>।टोपी {x}} _ 3) </गणित>, <math alt="e-hat sub x, e-hat sub y, e-hat sub z">(\mathbf{\hat{e}}_x, \mathbf{\hat{e}}_y, \mathbf{\hat{e}}_z)</math>, या <गणित alt = e-hat उप 1, E-HAT उप 2, E-HAT उप 3> (\ Mathbf {\ hat {E}} _ 1, \ Mathbf {\ hat {E}} _ 2, \ Mathbf {\ hat {e}} _ 3) </math>, के साथ या उसके बिना#गणित के, का भी उपयोग किया जाता है,<ref name=":0" />विशेष रूप से उन संदर्भों में जहां मैं, j, k एक और मात्रा के साथ भ्रम पैदा कर सकता है (उदाहरण के लिए, '' I '', '' J '', '' k '' जैसे अनुक्रमित पारिवारिक प्रतीकों के साथ, जो एक तत्व की पहचान करने के लिए उपयोग किया जाता हैएक सेट या सरणी या चर का अनुक्रम)।


जब अंतरिक्ष में एक यूनिट वेक्टर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार वेक्टर के साथ यूनिट वेक्टर द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (वेक्टर (ज्यामिति) के खंड) के [[अभिविन्यास (गणित)]] (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक है।
जब अंतरिक्ष में एक यूनिट वेक्टर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जाता है तो#कार्टेशियन संकेतन के साथ एक वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि I, J, K के रैखिक संयोजन के रूप में होता है, इसके तीन स्केलर घटकों को [[दिशा कोसाइन]] के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।प्रत्येक घटक का मान संबंधित आधार वेक्टर के साथ यूनिट वेक्टर द्वारा गठित कोण के कोसाइन के बराबर है।यह एक सीधी रेखा, सीधी रेखा के खंड, उन्मुख अक्ष, या उन्मुख अक्ष (वेक्टर (ज्यामिति) के खंड) के [[अभिविन्यास (गणित)]] (कोणीय स्थिति) का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले तरीकों में से एक है।
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{{seealso|Jacobian matrix}}
{{seealso|Jacobian matrix}}
The three [[orthogonal]] unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:
The three [[orthogonal]] unitबेलनाकार समरूपता के लिए उपयुक्त वैक्टर हैं:
* <गणित alt = rho-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} </math> (यह भी नामित <math alt = e-hat> \ mathbf {\ hat {e}} </math> या <math> या <math> या <math> या <math> या <math>alt = s-hat> \ boldsymbol {\ hat s} </math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
* <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> (भी नामित <math alt="e-hat">\mathbf{\hat{e}}</math> या <math alt="s-hat">\boldsymbol{\hat s}</math>), उस दिशा का प्रतिनिधित्व करना जिसके साथ समरूपता के अक्ष से बिंदु की दूरी को मापा जाता है;
* <गणित alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} </math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
* <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math>, गति की दिशा का प्रतिनिधित्व करते हुए जो देखा जाएगा यदि बिंदु [[समरूपता अक्ष]] के बारे में वामावर्त को घुमा रहा था;
* <गणित alt = z-hat> \ mathbf {\ hat {z}}} </math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करता है;
* <math alt="z-hat">\mathbf{\hat{z}}</math>, समरूपता अक्ष की दिशा का प्रतिनिधित्व करना;
वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <गणित alt = x-hat> \ hat {x} </math>, <गणित alt = y-hat> \ hat {y} </math>, <गणित alt = z-hat> \ hat {z} </math> by:
वे कार्टेशियन आधार से संबंधित हैं <math alt="x-hat">\hat{x}</math>, <math alt="y-hat">\hat{y}</math>, <math alt="z-hat">\hat{z}</math> द्वारा:


: <गणित alt = rho-hat X-hat दिशा में phi के cosine को y-hat दिशा में phi की साइन के बराबर करता है> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} = \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ _hat {x}} + \ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}} </math>
:<math alt="rho-hat equals cosine of phi in the x-hat direction plus sine of phi in the y-hat direction"> \boldsymbol{\hat{\rho}} = \cos(\varphi)\mathbf{\hat{x}} + \sin(\varphi)\mathbf{\hat{y}}</math>
: <गणित alt = phi-hat X-hat दिशा में phi की नकारात्मक साइन के बराबर होता है, साथ ही y-hat दिशा में phi के cosine> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} =-\ sin (\ varphi) \ mathbf {\ hat {x}} + \ cos (\ varphi) \ mathbf {\ hat {y}} </math>
:<math alt="phi-hat equals negative sine of phi in the x-hat direction plus the cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = -\sin(\varphi) \mathbf{\hat{x}} + \cos(\varphi) \mathbf{\hat{y}}</math>
?
:<math alt="z-hat equals z-hat"> \mathbf{\hat{z}} = \mathbf{\hat{z}}.</math>
वैक्टर <math alt="rho-hat">\boldsymbol{\hat{\rho}}</math> और <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> के कार्य हैं <math alt="coordinate phi">\varphi,</math> और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव <math>\varphi</math> हैं:


वैक्टर <गणित alt = rho-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ rho}} </math> और <math alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat \ varphi} गणित alt = समन्वय pi> \ varphi, </math> और दिशा में स्थिर नहीं हैं।बेलनाकार निर्देशांक में अंतर या एकीकृत करते समय, इन यूनिट वैक्टर को भी संचालित किया जाना चाहिए।के संबंध में डेरिवेटिव  गणित> \ varphi </गणित> हैं:
:<math alt="partial derivative of rho-hat with respect to phi equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction equals phi-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\rho}}} {\partial \varphi} = -\sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \boldsymbol{\hat \varphi}</math>
:<math alt="partial derivative of phi-hat with respect to phi equals minus cosine of phi in the x-hat direction minus sine of phi in the y-hat direction equals minus rho-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat \varphi}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\boldsymbol{\hat{\rho}}</math>
:<math alt="partial derivative of z-hat with respect to phi equals zero"> \frac{\partial \mathbf{\hat{z}}} {\partial \varphi} = \mathbf{0}.</math>


: <गणित alt = phi के संबंध में rho-hat का आंशिक व्युत्पन्न X-hat दिशा में phi के माइनस साइन के बराबर होता है, Y-hat दिशा में phi के cosine phi-hat> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ _hat {\ rho}}} {\ _ आंशिक \ varphi} = -\ sin \ varphi \ mathbf {\ hat {x}}} </गणित>
: <गणित alt = phi के संबंध में phi-hat का आंशिक व्युत्पन्न X-hat दिशा में phi के माइनस कोसाइन के बराबर होता है, जो y-hat दिशा में phi के माइनस साइन में माइनस rho-hat> \ frac {\ _ आंशिक \ boldsymbol {के बराबर होता है {\ hat \ varphi}} {\ _ आंशिक \ varphi} =rho}} </math>
: <गणित alt = phi के संबंध में z-hat का आंशिक व्युत्पन्न शून्य> \ frac {\ आंशिक \ mathbf {\ hat {z}}} {\ _ आंशिक \ varphi} = \ mathbf {0} </math>


=== गोलाकार निर्देशांक ===
=== गोलाकार निर्देशांक ===


गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई वैक्टर हैं: <गणित alt = r-hat> \ mathbf {\ hat {r}}} </math>, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है;<गणित alt = phi-hat> \ boldsymbol {\ hat {\ varphi}}} </math>, जिस दिशा में X-y विमान में कोण सकारात्मक X- अक्ष से वामावर्त होता है;और <गणित alt = theta-hat> \ boldsymbol {\ hat \ theta} </math>, जिस दिशा में सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> आमतौर पर शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, जैसा कि <गणित ALT = PHI-HAT> \ BOLDSYMBOL {\ HAT \ VARPHI} </MATH> और <MATH ALT = THETA-HAT> की भूमिकाओं के रूप में\ boldsymbol {\ hat \ theta} </math> अक्सर उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:
गोलाकार समरूपता के लिए उपयुक्त इकाई वैक्टर हैं: <math alt="r-hat">\mathbf{\hat{r}}</math>, जिस दिशा में मूल से रेडियल दूरी बढ़ जाती है; <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat{\varphi}}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक एक्स-अक्ष से एक्स-वाई विमान वामावर्त में कोण बढ़ रहा है;और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math>, वह दिशा जिसमें सकारात्मक z अक्ष से कोण बढ़ रहा है।प्रतिनिधित्व के अतिरेक को कम करने के लिए, ध्रुवीय कोण <math alt="theta">\theta</math> आमतौर पर शून्य और 180 डिग्री के बीच झूठ बोलने के लिए लिया जाता है।यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है कि [[गोलाकार निर्देशांक]] में लिखे गए किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल के संदर्भ को नोट किया जाए, की भूमिकाओं के रूप में <math alt="phi-hat">\boldsymbol{\hat \varphi}</math> और <math alt="theta-hat">\boldsymbol{\hat \theta}</math> अक्सर उलट होते हैं।यहाँ, अमेरिकन फिजिक्स कन्वेंशन<ref>Tevian Dray and Corinne A. Manogue,Spherical Coordinates, College Math Journal 34, 168-169 (2003).</ref> प्रयोग किया जाता है।यह अज़ीमुथल कोण छोड़ देता है <math alt="phi">\varphi</math> बेलनाकार निर्देशांक में समान रूप से परिभाषित किया गया।कार्टेशियन समन्वय प्रणाली संबंध हैं:


? {r}} = \ sin \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {x} + \ sin \ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {yt {y} + \ cos \ thbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ _ }} </गणित>
:<math alt="r-hat equals sin of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction plus cosine of theta in the z-hat direction">\mathbf{\hat{r}} = \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}}  + \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} + \cos \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
:<math alt="theta-hat equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction">\boldsymbol{\hat \theta} = \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}</math>
:<math alt="phi-hat equals minus sine of phi in the x-hat direction plus cosine of phi in the y-hat direction">\boldsymbol{\hat \varphi} = - \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \varphi\mathbf{\hat{y}}</math>
गोलाकार इकाई वैक्टर दोनों पर निर्भर करते हैं <math alt="phi">\varphi</math> और <math alt="theta">\theta</math>, और इसलिए 5 संभावित गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, [[जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक]] देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:


: <गणित alt = theta-hat समानता समानता X-hat दिशा में Phi के समय के समय की समानता Z-hat दिशा में y-hat दिशा माइनस साइन में रहने वाले समय के z-hat दिशा में z-hat दिशा में gerection> \ boldsymbol {{\ {\ { hat \ theta} = \ cos \ cos \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {xt {x} \ mathbf {\ hat {z}} </math>
:<math alt="partial derivative of r-hat with respect to phi equals minus sine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus sine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals sine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \varphi} = -\sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \sin \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
:<math alt="partial derivative of r-hat with respect to theta equals cosine of theta times cosine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus sine of theta in the z-hat direction equals theta-hat">\frac{\partial \mathbf{\hat{r}}} {\partial \theta} =\cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \sin \theta\mathbf{\hat{z}}= \boldsymbol{\hat \theta}</math>
:<math alt="partial derivative of theta-hat with respect to phi equals minus cosine of theta times sine of phi in the x-hat direction plus cosine of theta times cosine of phi in the y-hat direction equals cosine of theta in the phi-hat direction">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \varphi} =-\cos \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{x}} + \cos \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{y}} = \cos \theta\boldsymbol{\hat \varphi}</math>
:<math alt="partial derivative of theta-hat with respect to theta equals minus sine of theta times cosine of phi in the x-hat direction minus sine of theta times sine of phi in the y-hat direction minus cosine of theta in the z-hat direction equals minus r-hat">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\theta}}} {\partial \theta} = -\sin \theta \cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \theta \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} - \cos \theta\mathbf{\hat{z}} = -\mathbf{\hat{r}}</math>
:<math alt="partial derivative of phi-hat with respect to phi equals minus cosine of phi in the x-hat direction minus sine of phi in the y-hat direction equals minus sine of theta in the r-hat direction minus cosine of theta in the theta-hat direction">\frac{\partial \boldsymbol{\hat{\varphi}}} {\partial \varphi} = -\cos \varphi\mathbf{\hat{x}} - \sin \varphi\mathbf{\hat{y}} = -\sin \theta\mathbf{\hat{r}} -\cos \theta\boldsymbol{\hat{\theta}}</math>


? } + \ cos \ verphi \ mathbf {\ hat {y} </math>
गोलाकार इकाई दोनों पर ved
गणित alt = phi> \ varphi </ math> और  गणित alt = theta> \ theta </math>, और इसलिए 5 संभव गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं।अधिक पूर्ण विवरण के लिए, जैकबियन गणित और निर्धारक देखें।गैर-शून्य डेरिवेटिव हैं:
: <गणित Alt = r-hat का आंशिक व्युत्पन्न Y-HAT डायरेक्टिव डायरेक्टिव इक्विटी में Phi के समय के एक्स-हैट दिशात्मक प्लस साइन में समय के समय के समय के समय के PHALS माइनस के संबंध में पीएच -हैट दिशा में थीटा में थीटा> \ frac {\ आंशिक \ mathbf {\ hat {r}} {\ _ आंशिक \ vaph} = -\ sin \ _ vi \ mathbf {\ hat {\ hat {Xin} + \ thateeta \ cos \ virphi \ mathbf {\ hat {y}} = \ sin \ theta \ boldsymbol {\ hat \ vi} </math>
: <गणित alt = r-hat का आंशिक व्युत्पन्न Z के y-hat प्रत्यक्ष माइनस में Phi के समय में एक्स-हैट दिशा में समय के समय के समय के थेटामोस के समान कोस के संबंध में। z में z में। x} + \ cos \ sin \ vi \ mathbf {\ hat {y}} - \ sin \ theta \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat { </गणित>
: <गणित alt = X-Hat दिशा में समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के समय के साथ theta-hat का आंशिक व्युत्पन्न, Y-HAT निर्देशित समान में प्रस्तुत करता है Theta में theta में phi-hat दिशा में> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ theta}} {\ _ आंशिक \ virph} = cos \ _ \ cos \ cos \ vi \ mathbf {\ hat {y}} = \ cos \ boldsymbol {\ hat \ vph} </math>
: <गणित alt = थीटा-हैट का आंशिक व्युत्पन्न थीटा के संबंध में एक्स-हैट दिशा माइनस में पीएचआई के टाइम्स कोल के माइनस के बराबर होता है और वाई-हैट दिशा में पीएचआई के समय के समय के समय का समय जेड-हैट दिशा में थीटा में थीटा की दिशा माइनस माइनस आर-हेट> \ frac {\ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ theta}} {\ _ आंशिक \ theta} =-\ sin \ cos \ _ \ _ \ _ गणित \ hat {x}} - \ sin \ sin \ vhi \ mathbf {\ hat {y}} - \ cos \ thata \ mathbf {\ hat {\ hat {\ mathbf {\ hat {r} </math>
: <गणित Alt = PH-HAT का आंशिक व्युत्पन्न Y-HAT दिशा में PH के X-Hat दिशा में PHI के PHAS माइनस कोस के संबंध में Y-HAT दिशा में R-HAT दिशा के R-HAT दिशा के माइनस के बराबर होता है। TheTa -hat दिशा में तब का शून्य> \ frac {\ _ आंशिक \ boldsymbol {\ hat {\ varpher}} {\ pertial \ virphi} = x (\ sin \ virphi \ mathbf {\ hat {y}} = -\ sin \ theta \ mathbf {\ hat {r}} -\ cos \ boldsymbol {\ hat {\ theta} </math>


=== सामान्य इकाई वैक्टर ===
=== सामान्य इकाई वैक्टर ===
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== वक्रता निर्देशांक ==
== वक्रता निर्देशांक ==
सामान्य तौर पर, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर <गणित alt = e-hat उप n> \ mathbf {\ hat {e}} _ n </math> का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है।<ref name=":0" />(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टरों को <गणित alt = e-hat उप 1, e-hat उप 2, e-hat उप 3> \ mathbf {\ hat {ee} _1, \ mathbf {\ hat {e {e {e {e {e {{e {\ hat {e {\ hat {e { }} _ 2, \ Mathbf {\ hat {e} _3 </math>।यह सबसे नज़दीकी हमेशा सुविधाजनक है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होने के लिए परिभाषित किया जाए। दाएं हाथ:
सामान्य तौर पर, एक समन्वय प्रणाली को कई रैखिक स्वतंत्रता इकाई वैक्टर का उपयोग करके विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट किया जा सकता है <math alt="e-hat sub n">\mathbf{\hat{e}}_n</math><ref name=":0" />(वास्तविक संख्या अंतरिक्ष की स्वतंत्रता की डिग्री के बराबर है)।साधारण 3-स्पेस के लिए, इन वैक्टरों को <गणित alt = e-hat उप 1, e-hat उप 2, e-hat उप 3> \ mathbf {\ hat {e}} _ 1, \ mathbf {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {\ hat {E}} _ 2, \ Mathbf {\ Hat {E}} _ 3 </Math>।यह लगभग हमेशा सुविधाजनक होता है कि सिस्टम को ऑर्थोनॉर्मल और [[दाहिने हाथ का नियम]] होना चाहिए। दाएं हाथ:
 
? </गणित>
? \ mathbf {\ hat {e} _k) = \ verepsilon_ {ijk} </math>


जहाँ ये है <math> \delta_{ij} </math> KRONECKER DELTA है (जो कि I = J के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और <Math Alt = Epsilon Sub I, J, J, \ varepsilon_ {ijk} </Math> लेवी-Civita प्रतीक है (जो 1 के लिए 1 है।क्रमपरिवर्तन IJK के रूप में आदेश दिया गया, और k1 के रूप में आदेश दिए गए क्रम के लिए −1)।
:<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j equals Kronecker delta of i and j">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot \mathbf{\hat{e}}_j = \delta_{ij} </math>
:<math alt="e-hat sub i dot e-hat sub j cross e-hat sub k = epsilon sub ijk">\mathbf{\hat{e}}_i \cdot (\mathbf{\hat{e}}_j \times \mathbf{\hat{e}}_k) = \varepsilon_{ijk} </math>
कहाँ <math> \delta_{ij} </math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (जो कि i = j के लिए 1 है, और 0 अन्यथा) और <math alt="epsilon sub i,j,k"> \varepsilon_{ijk} </math> [[लेवी-सिविटा प्रतीक]] है (जो कि IJK के रूप में आदेशित क्रम के लिए 1 है, और kji के रूप में आदेशित क्रमपरिवर्तन के लिए −1)।


== राइट वर्सोर ==
== राइट वर्सोर ==
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*[[चार-वेग]]
*[[चार-वेग]]
*जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
*जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
*[[सामान्य [[वेक्टर]]]]
*सामान्य [[वेक्टर]]
*ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
*ध्रुवीय समन्वय प्रणाली
*मानक आधार
*मानक आधार

Revision as of 12:36, 2 March 2023

Not to be confused with Vector of ones.

गणित में, एक आदर्श वेक्टर स्थान में एक इकाई वेक्टर एक वेक्टर_ (गणित_and_physics) (अक्सर एक वेक्टर (ज्यामिति)) है।में (उच्चारण वी-एचएटी)।

शब्द दिशा वेक्टर , जिसे आमतौर पर डी के रूप में निरूपित किया जाता है, का उपयोग एक इकाई वेक्टर का वर्णन करने के लिए किया जाता है जो स्थानिक दिशा और सापेक्ष दिशा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जा रहा है।2 डी स्थानिक दिशाएँ एकक व्रत पर अंक के बराबर हैं और 3 डी में स्थानिक दिशाएँ इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु के बराबर हैं।

दो 2 डी दिशा वैक्टर के उदाहरण

फ़ाइल: 3 डी दिशा वैक्टर.टिफ | अंगूठा

एक गैर-शून्य वेक्टर यू का सामान्यीकृत वेक्टर û यू की दिशा में यूनिट वेक्टर है, अर्थात्, यानी,

जहां ‖U and यू का आदर्श (गणित) (या लंबाई) है।[1][2] सामान्यीकृत वेक्टर शब्द को कभी -कभी यूनिट वेक्टर के पर्याय के रूप में उपयोग किया जाता है।

यूनिट वैक्टर को अक्सर वेक्टर स्पेस के आधार (रैखिक बीजगणित) बनाने के लिए चुना जाता है, और अंतरिक्ष में प्रत्येक वेक्टर को यूनिट वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

ऑर्थोगोनल निर्देशांक

कार्टेशियन निर्देशांक

Main article: Standard basis

Unit vectors may be used to एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के कुल्हाड़ियों का प्रतिनिधित्व करते हैं।उदाहरण के लिए, एक तीन आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के x, y, और z कुल्हाड़ियों की दिशा में मानक इकाई वैक्टर हैं

<गणित alt = i-hat 3 द्वारा 1 मैट्रिक्स 1,0,0 के बराबर है;जे-हैट 3 के बराबर है 1 मैट्रिक्स 0,1,0;के-हैट 3 के बराबर है 1 मैट्रिक्स 0,0,1>

\ mathbf {\ hat {i}} = \ _ {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}, \, \, \ mathbf {\ hat {j}} = \ {bmatrix} 0 {bmatrix} 0 \ _1 \\ 0 \ end {bmatrix}, \, \, \ mathbf {\ hat {k}} = = \ {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \ _ {bmatrix} </math>

वे पारस्परिक रूप से ओर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का एक सेट बनाते हैं, जिसे आमतौर पर रैखिक बीजगणित में एक मानक आधार के रूप में संदर्भित किया जाता है।

वे अक्सर सामान्य वेक्टर संकेतन (जैसे, 'मैं' या का उपयोग करके निरूपित किए जाते हैं गणित alt = वेक्टर i> \ vec {\ imath} </math>) के बजाय मानक इकाई वेक्टर संकेतन (जैसे, )।अधिकांश संदर्भों में यह माना जा सकता है कि मैं, जे, और के, (या और ) एक 3-डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के वर्सर्स हैं।नोटिस ।टोपी {x}} _ 3) </गणित>,