ऑपेराड: Difference between revisions

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=== थोड़ा कुछ ओपेरा ===
=== थोड़ा कुछ ओपेरा ===
[[Image:Composition in the little discs operad.svg|thumb|छोटे 2-डिस्क ऑपरैड में ऑपेरडिक रचना, पाठ में समझाया गया है।|300x300px]]छोटा 2-डिस्क ऑपेराड सामयिक ऑपेराड है जहां <math>P(n)</math> की [[यूनिट डिस्क]] के अंदर n डिसजॉइंट [[डिस्क (गणित)]] की ऑर्डर की गई सूचियाँ सम्मिलित हैं <math>\R^2</math> मूल पर केन्द्रित है। सममित समूह छोटे डिस्क की सूची को क्रमपरिवर्तन करके ऐसे विन्यास पर कार्य करता है। छोटी डिस्क के लिए ऑपेराड रचना को साथ में दाईं ओर दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां अवयव  <math>\theta\in P(3)</math> अवयव <math>(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(2)\times P(3)\times P(4)</math> के साथ बना है और <math>\theta \circ (\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(9)</math> के विन्यास को सिकोड़ कर प्राप्त किया <math>\theta_i</math> और इसे i-th डिस्क में सम्मिलित किया जाता है <math>\theta</math>, <math>i=1,2,3</math> के लिए किया जाता है।  
[[Image:Composition in the little discs operad.svg|thumb|छोटे 2-डिस्क ऑपरैड में ऑपेरडिक रचना, पाठ में समझाया गया है।|300x300px]]छोटा 2-डिस्क ऑपेराड सामयिक ऑपेराड है जहां <math>P(n)</math> की [[यूनिट डिस्क]] के अंदर एन डिसजॉइंट [[डिस्क (गणित)]] की ऑर्डर की गई सूचियाँ सम्मिलित हैं <math>\R^2</math> मूल पर केन्द्रित है। सममित समूह छोटे डिस्क की सूची को क्रमपरिवर्तन करके ऐसे विन्यास पर कार्य करता है। छोटी डिस्क के लिए ऑपेराड रचना को साथ में दाईं ओर दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां अवयव  <math>\theta\in P(3)</math> अवयव <math>(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(2)\times P(3)\times P(4)</math> के साथ बना है और <math>\theta \circ (\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(9)</math> के विन्यास को सिकोड़ कर प्राप्त किया <math>\theta_i</math> और इसे i-th डिस्क में सम्मिलित किया जाता है <math>\theta</math>, <math>i=1,2,3</math> के लिए किया जाता है।  


समान प्रकार से, <math>\R^n</math> यूनिट बॉल के अंदर असम्बद्ध एन-बॉल्स के विन्यास पर विचार करके छोटे एन-डिस्क ऑपेराड को परिभाषित कर सकता है <ref>Giovanni Giachetta, Luigi Mangiarotti, [[Sardanashvily|Gennadi Sardanashvily]] (2005) ''Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics,'' {{isbn|981-256-129-3}}, [https://books.google.com/books?id=fLbisfrkWpoC&pg=PA474 pp. 474,475]</ref>. मुख्य प्रकार  से छोटे एन-क्यूब्स ऑपेराड या छोटे अंतराल ऑपेराड (प्रारम्भ में छोटे एन-क्यूब्स पीआरओ (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है) को [[माइकल बोर्डमैन]] और [[रेनर वोग्ट]] द्वारा इसी तरह परिभाषित किया गया था, असम्बद्ध अक्ष-संरेखित एन-के विन्यास के संदर्भ में किया गया था। यूनिट [[ अतिविम |अतिविमय]] के अंदर [[ अतिविम |विमय]] हाइपरक्यूब्स (एन-[[ अतिविम |विमय]] इंटरवल (गणित))।<ref>{{Cite book|title=स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत|last=Greenlees|first=J. P. C.|publisher=Springer Science & Business Media|year=2002|isbn=978-1-4020-1834-3|series=Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत|location=Cambridge, [[United Kingdom]]|pages=154–156}}</ref> बाद में इसे मई तक सामान्य कर दिया गया था <ref>{{cite journal | last1 = May | first1 = J. P. | year = 1977 | title = अनंत लूप अंतरिक्ष सिद्धांत| url = http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183538891&page=record| journal = Bull. Amer. Math. Soc. | volume = 83 | issue = 4| pages = 456–494 | doi=10.1090/s0002-9904-1977-14318-8| doi-access = free }}</ref> छोटे उत्तल निकायों के लिए ऑपेराड और छोटी डिस्क छोटे उत्तल निकायों से प्राप्त लोककथाओं का कथन है।<ref>{{Cite arXiv |eprint=math/9803156 |title=ग्राफ्टिंग बोर्डमैन के चेरी के पेड़ क्वांटम फील्ड थ्योरी के लिए|last1=Stasheff |first1=Jim |year=1998}}</ref>
समान प्रकार से, <math>\R^n</math> यूनिट बॉल के अंदर असम्बद्ध एन-बॉल्स के विन्यास पर विचार करके छोटे एन-डिस्क ऑपेराड को परिभाषित कर सकता है <ref>Giovanni Giachetta, Luigi Mangiarotti, [[Sardanashvily|Gennadi Sardanashvily]] (2005) ''Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics,'' {{isbn|981-256-129-3}}, [https://books.google.com/books?id=fLbisfrkWpoC&pg=PA474 pp. 474,475]</ref>. मुख्य प्रकार  से छोटे एन-क्यूब्स ऑपेराड या छोटे अंतराल ऑपेराड (प्रारम्भ में छोटे एन-क्यूब्स पीआरओ (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है) को [[माइकल बोर्डमैन]] और [[रेनर वोग्ट]] द्वारा इसी तरह परिभाषित किया गया था, असम्बद्ध अक्ष-संरेखित एन-के विन्यास के संदर्भ में किया गया था। यूनिट [[ अतिविम |अतिविमय]] के अंदर [[ अतिविम |विमय]] हाइपरक्यूब्स (एन-[[ अतिविम |विमय]] इंटरवल (गणित)) है।<ref>{{Cite book|title=स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत|last=Greenlees|first=J. P. C.|publisher=Springer Science & Business Media|year=2002|isbn=978-1-4020-1834-3|series=Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत|location=Cambridge, [[United Kingdom]]|pages=154–156}}</ref> बाद में इसे मई तक सामान्य कर दिया गया था <ref>{{cite journal | last1 = May | first1 = J. P. | year = 1977 | title = अनंत लूप अंतरिक्ष सिद्धांत| url = http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183538891&page=record| journal = Bull. Amer. Math. Soc. | volume = 83 | issue = 4| pages = 456–494 | doi=10.1090/s0002-9904-1977-14318-8| doi-access = free }}</ref> छोटे उत्तल निकायों के लिए ऑपेराड और छोटी डिस्क छोटे उत्तल निकायों से प्राप्त लोककथाओं का कथन है।<ref>{{Cite arXiv |eprint=math/9803156 |title=ग्राफ्टिंग बोर्डमैन के चेरी के पेड़ क्वांटम फील्ड थ्योरी के लिए|last1=Stasheff |first1=Jim |year=1998}}</ref>




=== जड़ वाले पेड़ ===
=== जड़ वाले पेड़ ===
ग्राफ थ्योरी में, जड़ वाले पेड़ प्राकृतिक ऑपेराड बनाते हैं। यहाँ, <math>P(n)</math> n पत्तों वाले सभी जड़ वाले वृक्षों का समुच्चय है, जहाँ पत्तियाँ 1 से n तक क्रमांकित हैं। समूह <math>S_n</math> लीफ लेबल्स को क्रमपरिवर्तन करके इस समूह पर कार्य  करता है। ऑपरेटिव रचना <math>T\circ (S_1,\ldots,S_n)</math> के i-वें पत्ते को बदलकर दिया जाता है <math>T</math> i-वें पेड़ की जड़ से <math>S_i</math>, के लिए <math>i=1,\ldots,n</math>, इस प्रकार n पेड़ों को संलग्न करना <math>T</math> और एक बड़ा पेड़ बनाते हैं, जिसकी जड़ को जड़ के समान ही लिया जाता है <math>T</math> और जिनकी पत्तियाँ क्रम से क्रमांकित हैं।
ग्राफ थ्योरी में, जड़ वाले पेड़ प्राकृतिक ऑपेराड बनाते हैं। यहाँ, <math>P(n)</math> n पत्तों वाले सभी जड़ वाले वृक्षों का समुच्चय है, जहाँ पत्तियाँ 1 से एन तक क्रमांकित हैं। समूह <math>S_n</math> लीफ लेबल्स को क्रमपरिवर्तन करके इस समूह पर कार्य  करता है। ऑपरेटिव रचना <math>T\circ (S_1,\ldots,S_n)</math> के i-वें पत्ते को बदलकर दिया जाता है <math>T</math> i-वें पेड़ की जड़ से <math>S_i</math>, के लिए <math>i=1,\ldots,n</math>, इस प्रकार एन पेड़ों को संलग्न करना <math>T</math> और एक बड़ा पेड़ बनाते हैं, जिसकी जड़ को जड़ के समान ही लिया जाता है <math>T</math> और जिनकी पत्तियाँ क्रम से क्रमांकित हैं।


=== स्विस-चिज ऑपेराड ===
=== स्विस-चिज ऑपेराड ===




''स्विस-चीज़ ऑपेराड''  दो-रंग का टोपोलॉजिकल ऑपेराड है, जो इकाई एन-सेमीडिस्क और एन के अंदर डिसजॉइंट एन-क्रमपरिवर्तन डिस्क (गणित) के विन्यास के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। '-डायमेंशनल सेमीडिस्क, इकाई सेमीडिस्क के आधार पर केंद्रित है और इसके भीतर अधिवेशन है। ऑपेराडिक रचना इकाई  डिस्क के अंदर छोटी डिस्क के ग्लूइंग विन्यास से दूसरी इकाई सेमीडिस्क में छोटी डिस्क और यूनिट सेमीडिस्क के अंदर छोटी डिस्क और विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में आती है।
 
''स्विस-चीज़ ऑपेराड''  दो-रंग का टोपोलॉजिकल ऑपेराड है, जो यूनिट एन-सेमीडिस्क और एन के अंदर डिसजॉइंट एन-क्रमपरिवर्तन डिस्क (गणित) के विन्यास के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। '-डायमेंशनल सेमीडिस्क, यूनिट सेमीडिस्क के आधार पर केंद्रित है और इसके भीतर अधिवेशन है। ऑपेराडिक रचना यूनिट  डिस्क के अंदर छोटी डिस्क के ग्लूइंग विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में छोटी डिस्क और यूनिट सेमीडिस्क के अंदर छोटी डिस्क और विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में आती है।


स्विस-''चीज़ ऑपेराड''  को अलेक्जेंडर ए वोरोनोव द्वारा परिभाषित किया गया था।<ref>{{Cite book|title=स्विस-पनीर ओपेरा|last=Voronov|first=Alexander A.|publisher=AMS|year=1999|isbn=978-0-8218-7829-3|series=Contemporary Mathematics|location=Baltimore, Maryland, [[United States]]|pages=365–373}}</ref> इसका उपयोग मैक्सिम कोंटेसेविच द्वारा डेलिग्ने अनुमान के स्विस-''चीज़''  संस्करण को तैयार करने के लिए किया गया था। होशचाइल्ड कोहोलॉजी पर डेलिग्ने का अनुमान में किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Kontsevich | first1 = Maxim | year = 1999 | title = विरूपण परिमाणीकरण में संचालन और मकसद| url = https://link.springer.com/article/10.1023/A:1007555725247| journal = Lett. Math. Phys. | volume = 48 | pages = 35–72 | doi=10.1023/A:1007555725247 | arxiv = math/9904055 | bibcode = 1999math......4055K | s2cid = 16838440 }}</ref> कोन्टसेविच का अनुमान [[ पो मैं |पो मैं]], [[इगोर क्रिज़]] और अलेक्जेंडर ए वोरोनोव द्वारा आंशिक रूप से सिद्ध किया गया था<ref>{{cite journal | last1 = Hu | first1 = Po | last2 = Kriz | first2 = Igor | last3 = Voronov | first3 = Alexander A. | year = 2006 | title = कोंटसेविच के होशचाइल्ड कोहोलॉजी अनुमान पर| journal = Compositio Mathematica | volume = 142 | issue = 1| pages = 143–168 | doi=10.1112/S0010437X05001521 | doi-access = free }}</ref> और फिर पूरी तरह से [[जस्टिन थॉमस (गणितज्ञ)]] द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Thomas | first1 = Justin | year = 2016 | title = Kontsevich का स्विस पनीर अनुमान| url = https://projecteuclid.org/euclid.gt/1510858920| journal = Geom. Topol. | volume = 20 | issue = 1| pages = 1–48 | doi = 10.2140/gt.2016.20.1 | arxiv = 1011.1635 | s2cid = 119320246 }}</ref>
स्विस-''चीज़ ऑपेराड''  को अलेक्जेंडर ए वोरोनोव द्वारा परिभाषित किया गया था।<ref>{{Cite book|title=स्विस-पनीर ओपेरा|last=Voronov|first=Alexander A.|publisher=AMS|year=1999|isbn=978-0-8218-7829-3|series=Contemporary Mathematics|location=Baltimore, Maryland, [[United States]]|pages=365–373}}</ref> इसका उपयोग मैक्सिम कोंटेसेविच द्वारा डेलिग्ने अनुमान के स्विस-''चीज़''  संस्करण को तैयार करने के लिए किया गया था। होशचाइल्ड कोहोलॉजी पर डेलिग्ने का अनुमान में किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Kontsevich | first1 = Maxim | year = 1999 | title = विरूपण परिमाणीकरण में संचालन और मकसद| url = https://link.springer.com/article/10.1023/A:1007555725247| journal = Lett. Math. Phys. | volume = 48 | pages = 35–72 | doi=10.1023/A:1007555725247 | arxiv = math/9904055 | bibcode = 1999math......4055K | s2cid = 16838440 }}</ref> कोन्टसेविच का अनुमान [[ पो मैं |पो मैं]], [[इगोर क्रिज़]] और अलेक्जेंडर ए वोरोनोव द्वारा आंशिक रूप से सिद्ध किया गया था<ref>{{cite journal | last1 = Hu | first1 = Po | last2 = Kriz | first2 = Igor | last3 = Voronov | first3 = Alexander A. | year = 2006 | title = कोंटसेविच के होशचाइल्ड कोहोलॉजी अनुमान पर| journal = Compositio Mathematica | volume = 142 | issue = 1| pages = 143–168 | doi=10.1112/S0010437X05001521 | doi-access = free }}</ref> और फिर पूरी तरह से [[जस्टिन थॉमस (गणितज्ञ)]] द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Thomas | first1 = Justin | year = 2016 | title = Kontsevich का स्विस पनीर अनुमान| url = https://projecteuclid.org/euclid.gt/1510858920| journal = Geom. Topol. | volume = 20 | issue = 1| pages = 1–48 | doi = 10.2140/gt.2016.20.1 | arxiv = 1011.1635 | s2cid = 119320246 }}</ref>
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रेखीय बीजगणित में, वास्तविक वेक्टर स्पेस को ऑपेराड के ऊपर बीजगणित माना जा सकता है <math>\R^\infty</math> सभी [[रैखिक संयोजन|रैखिक संयोजनों]] की तरह है। <math>\R^\infty(n)=\R^n</math> के लिए <math>n\in\N</math> इस ऑपेराड द्वारा परिभाषित किया गया है, <math>S_n</math> क्रमचय घटकों के उचित कदम के साथ, और संरचना <math>\vec{x}\circ (\vec{y_1},\ldots,\vec{y_n})</math> वैक्टर के संयोजन द्वारा दिया गया <math>x^{(1)}\vec{y_1},\ldots,x^{(n)}\vec{y_n}</math>, जहाँ <math>\vec{x}=(x^{(1)},\ldots, x^{(n)})\in\R^n</math> है। सदिश <math>\vec{x}=(2,3,-5,0,\dots)</math> है। उदाहरण के लिए गुणांक 2,3,-5,0,... के साथ  रैखिक संयोजन बनाने के संचालन को प्रदर्शित करता है।
रेखीय बीजगणित में, वास्तविक वेक्टर स्पेस को ऑपेराड के ऊपर बीजगणित माना जा सकता है <math>\R^\infty</math> सभी [[रैखिक संयोजन|रैखिक संयोजनों]] की तरह है। <math>\R^\infty(n)=\R^n</math> के लिए <math>n\in\N</math> इस ऑपेराड द्वारा परिभाषित किया गया है, <math>S_n</math> क्रमचय घटकों के उचित कदम के साथ, और संरचना <math>\vec{x}\circ (\vec{y_1},\ldots,\vec{y_n})</math> वैक्टर के संयोजन द्वारा दिया गया <math>x^{(1)}\vec{y_1},\ldots,x^{(n)}\vec{y_n}</math>, जहाँ <math>\vec{x}=(x^{(1)},\ldots, x^{(n)})\in\R^n</math> है। सदिश <math>\vec{x}=(2,3,-5,0,\dots)</math> है। उदाहरण के लिए गुणांक 2,3,-5,0,... के साथ  रैखिक संयोजन बनाने के संचालन को प्रदर्शित करता है।


यह दृष्टिकोण इस धारणा को औपचारिक रूप देता है कि रैखिक संयोजन सदिश स्थान पर सबसे सामान्य प्रकार का ऑपरेशन है - यह कहना कि सदिश स्थान रैखिक संयोजनों के ऑपेराड पर बीजगणित है, ठीक इसी प्रकार यह कथन है कि सदिश स्थान में सभी संभव बीजगणितीय ऑपेराड रैखिक संयोजन है। सदिश जोड़ और अदिश गुणन के संबंधित ऑपेराड सभी रैखिक संयोजनों के ऑपेराड के लिए [[जनरेटिंग सेट|जनरेटिंग समूह]] हैं, जबकि रैखिक संयोजन ऑपेराड सदिश स्थान पर सभी संभावित संचालनों को सांकेतिक प्रकार से एनकोड करता है।
यह दृष्टिकोण इस धारणा को औपचारिक रूप देता है कि रैखिक संयोजन सदिश स्पेस पर सबसे सामान्य प्रकार का ऑपरेशन है - यह कहना कि सदिश स्थान रैखिक संयोजनों के ऑपेराड पर बीजगणित है, ठीक इसी प्रकार यह कथन है कि सदिश स्थान में सभी संभव बीजगणितीय ऑपेराड रैखिक संयोजन है। सदिश जोड़ और अदिश गुणन के संबंधित ऑपेराड सभी रैखिक संयोजनों के ऑपेराड के लिए [[जनरेटिंग सेट|जनरेटिंग समूह]] हैं, जबकि रैखिक संयोजन ऑपेराड सदिश स्पेस पर सभी संभावित संचालनों को सांकेतिक प्रकार से एनकोड करता है।


इसी प्रकार, अफ्फिन संयोजनों, [[शंक्वाकार संयोजन|शंक्वाकार संयोजनों]] और [[उत्तल संयोजन|उत्तल संयोजनों]] को उप-ऑपेराड के अनुरूप माना जा सकता है जहां सदिश <math>\vec{x}</math> के पदों का योग 1 है, सभी पद क्रमशः अऋणात्मक या दोनों हैं। रेखांकन प्रकार से, इनफिनिट अफ्फिन इनफिनिट हाइपरप्लेन, हाइपर-ऑक्टेंट इनफिनिट और सिम्प्लेक्स हैं। यह औपचारिकता करता है कि <math>\R^n</math> होने का क्या अर्थ है या मानक सिम्पलेक्स मॉडल स्पेस है, और इस प्रकार के टिप्पणियां जैसे कि प्रत्येक बाध्य [[उत्तल पॉलीटॉप]] सिंप्लेक्स की इमेज  है। यहां सबऑपराड्स अत्यधिक प्रतिबंधित ऑपेराड और इस प्रकार अधिक सामान्य सिद्धांतों के अनुरूप हैं।
इसी प्रकार, अफ्फिन संयोजनों, [[शंक्वाकार संयोजन|शंक्वाकार संयोजनों]] और [[उत्तल संयोजन|उत्तल संयोजनों]] को उप-ऑपेराड के अनुरूप माना जा सकता है जहां सदिश <math>\vec{x}</math> के पदों का योग 1 है, सभी पद क्रमशः अऋणात्मक या दोनों हैं। रेखांकन प्रकार से, इनफिनिट अफ्फिन इनफिनिट हाइपरप्लेन, हाइपर-ऑक्टेंट इनफिनिट और सिम्प्लेक्स हैं। यह औपचारिकता करता है कि <math>\R^n</math> होने का क्या अर्थ है या मानक सिम्पलेक्स मॉडल स्पेस है, और इस प्रकार के टिप्पणियां जैसे कि प्रत्येक बाध्य [[उत्तल पॉलीटॉप]] सिंप्लेक्स की इमेज  है। यहां सबऑपराड्स अत्यधिक प्रतिबंधित ऑपेराड और इस प्रकार अधिक सामान्य सिद्धांतों के अनुरूप हैं।

Revision as of 11:19, 8 March 2023

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है इस समूह पर ठोस ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ऑपेराड L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है। ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट[1][2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत किया गया था।[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।[5][6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

माना X एक समूह है और को परिभाषित करता है
और ,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह की प्रतिरूप को है।

हम इन फलन की रचना कर सकते हैं: दिया गया , , फलन

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया से तर्क , हम उन्हें विभाजित करते हैं ब्लॉक, पहले वाला तर्क, दूसरा तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें पहले ब्लॉक के लिए, दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त एन मानों की सूचि में एफ को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है सममित समूह का पर , द्वारा परिभाषित