ऑपेराड: Difference between revisions

Revision as of 11:05, 7 March 2023

गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) ऑपरेशन (गणित) होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा O दिया गया है $O$ इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप ऑपरेशन की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा L जैसे L के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में L संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए समूह (गणित) के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

इतिहास

ऑपरेशंस बीजगणितीय टोपोलॉजी में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट^[1]^[2] और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।^[3] ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।^[4] 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब मैक्सिम कोंटेसेविच, विक्टर गिन्ज़बर्ग और मिखाइल कापरानोव की प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद (गणित) घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।^[5]^[6] इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे जहर कई गुना के विरूपण परिमाणीकरण में, डेलिग्ने अनुमान,^[7] या मैक्सिम कोंटसेविच और थॉमस विलवाकर के कार्य में ग्राफ (असतत गणित) होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

अंतर्ज्ञान

माना X एक समूह है और

n\in \mathbb {N}

को परिभाषित करता है

और

P(n):=\{f:X^{n}\to X\}

,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह $n$ की प्रतिरूप $X$ को $X$ है।

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया $f\in P(n)$ , $f_{1}\in P(k_{1}),\ldots ,f_{n}\in P(k_{n})$ , फलन

f\circ (f_{1},\ldots ,f_{n})\in P(k_{1}+\cdots +k_{n})

निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया $k_{1}+\cdots +k_{n}$ से तर्क $X$ , हम उन्हें विभाजित करते हैं $n$ ब्लॉक, पहले वाला $k_{1}$ तर्क, दूसरा $k_{2}$ तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें $f_{1}$ पहले ब्लॉक के लिए, $f_{2}$ दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान X से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं |

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास समूह क्रिया है $*$ सममित समूह का $S_{n}$ पर $P(n)$ , द्वारा परिभाषित

(f*s)(x_{1},\ldots ,x_{n})=f(x_{s^{-1}(1)},\ldots ,x_{s^{-1}(n)})

के लिए $f\in P(n)$ , $s\in S_{n}$ और $x_{1},\ldots ,x_{n}\in X$ .

नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है $\circ$ और $*$ .

परिभाषा

गैर-सममित संक्रिया

असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर- $\Sigma$ या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:

अनुक्रम $(P(n))_{n\in \mathbb {N} }$ समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं $n$ -एरी ऑपरेशन ,
अवयव $1$ में $upper P left parenthesis 1 right parenthesis$

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Line 192: / Line 192: @@
 == फ्री ऑपरेशंस ==
-विशिष्ट बीजगणितीय निर्माण (जैसे, मुक्त बीजगणित निर्माण) को ऑपरेड्स तक बढ़ाया जा सकता है। होने देना <math>\mathbf{Set}^{S_n}</math> उस श्रेणी को निरूपित करें जिसकी वस्तुएं समूह पर सेट हैं <math>S_n</math> कार्य करता है। फिर एक [[भुलक्कड़ कारक]] है <math>\mathsf{Oper} \to \prod_{n\in\N} \mathbf{Set}^{S_n}</math>, जो केवल ओपेरा रचना को भूल जाता है। एक सहायक फ़ैक्टर्स का निर्माण संभव है <math>\Gamma: \prod_{n\in\N} \mathbf{Set}^{S_n}\to \mathsf{Oper}</math> इस भुलक्कड़ फ़ंक्टर के लिए (यह [[मुक्त कारक]] की सामान्य परिभाषा है)। संचालन ई के संग्रह को देखते हुए, <math>\Gamma(E)</math> ई पर फ्री ऑपेरड है।
+विशिष्ट बीजगणितीय निर्माण (जैसे, फ्री बीजगणित निर्माण) को ऑपेराड तक बढ़ाया जा सकता है। समुच्चय<sup>''S''n</sup> उस श्रेणी को निरूपित करें जिसकी ऑब्जेक्ट समूह पर  होता है जिस पर समूह <math>S_n</math>कार्य करता है। फिर नगण्य करक है ओपेर, जो ऑपेराड सामान्यतः नगण्य हो जाता है | सहायक फ़ैक्टर्स का निर्माण संभव है <math>\Gamma: \prod_{n\in\N} \mathbf{Set}^{S_n}\to \mathsf{Oper}</math> इस नगण्य कारक के लिए (यह फ्री कारक की सामान्य परिभाषा है)। संचालन ई के संकलन को देखते हुए, <math>\Gamma(E)</math> ई पर फ्री ऑपेरड है।
-एक समूह या अंगूठी की तरह, नि: शुल्क निर्माण जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में एक ओपेरा को व्यक्त करने की अनुमति देता है। एक ओपेरा के मुक्त प्रतिनिधित्व द्वारा <math>\mathcal{O}</math>, हमारा मतलब लिखना है <math>\mathcal{O}</math> एक मुफ्त ओपेरा के भागफल के रूप में <math>\mathcal{F} = \Gamma(E)</math> जहां ई के जनरेटर का वर्णन करता है <math>\mathcal{O}</math> और एपिमोर्फिज्म की गिरी <math>\mathcal{F} \to \mathcal{O}</math> संबंधों का वर्णन करता है।
+समूह या रिंग की तरह, नि: शुल्क निर्माण जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में ओपेरा को व्यक्त करने की अनुमति देता है। ओपेरा के मुक्त प्रदर्शित <math>\mathcal{O}</math> द्वारा, हमारा अर्थ लिखना है <math>\mathcal{O}</math> मुफ्त ओपेरा के भागफल के रूप में <math>\mathcal{F} = \Gamma(E)</math> जहां ई के जनरेटर का वर्णन करता है <math>\mathcal{O}</math> और अधिरूपता की मूल  <math>\mathcal{F} \to \mathcal{O}</math> संबंधों का वर्णन करता है।
-ए (सममित) ओपेरा <math>\mathcal{O} = \{ \mathcal{O}(n) \}</math> द्विघात कहा जाता है यदि इसकी एक मुक्त प्रस्तुति है जैसे कि <math>E = \mathcal{O}(2)</math> जनरेटर है और संबंध इसमें निहित है <math>\Gamma(E)(3)</math>.<ref>{{cite journal | last1 = Markl | first1 = Martin| year = 2006 |  title = Operads and PROPs | journal = Handbook of Algebra | volume = 5 | pages = 87–140|  doi = 10.1016/S1570-7954(07)05002-4  | isbn = 9780444531018| s2cid = 3239126}} Definition 37</ref>
+ए (सममित) ऑपेराड <math>\mathcal{O} = \{ \mathcal{O}(n) \}</math> द्विघात कहा जाता है यदि इसकी मुक्त प्रस्तुति है जैसे कि <math>E = \mathcal{O}(2)</math> जनरेटर है और संबंध इसमें निहित है <math>\Gamma(E)(3)</math>.<ref>{{cite journal | last1 = Markl | first1 = Martin| year = 2006 |  title = Operads and PROPs | journal = Handbook of Algebra | volume = 5 | pages = 87–140|  doi = 10.1016/S1570-7954(07)05002-4  | isbn = 9780444531018| s2cid = 3239126}} Definition 37</ref>
 == होमोटॉपी थ्योरी में ऑपरेशंस ==
 {{expand section|date=December 2018}}
-में {{harvtxt|Stasheff|2004}}, स्टैशेफ़ लिखते हैं:
+स्टैशेफ़ (2004) में, स्टैशेफ़ लिखते हैं:
-:ओपेराड होमोटॉपी की अच्छी धारणा वाली श्रेणियों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण और उपयोगी होते हैं, जहां वे उच्च समरूपता के पदानुक्रम को व्यवस्थित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
+:ऑपेराड होमोटॉपी की सही धारणा वाली श्रेणियों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण और उपयोगी होते हैं, जहां वे उच्च समरूपता के पदानुक्रम को व्यवस्थित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
 == यह भी देखें ==

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